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Mathématiques pour économistes

De
462 pages
Conçu comme un instrument de travail, ce manuel destiné aux étudiants, aux chercheurs et aux scientifiques, constitue un outil puissant pour une meilleure assimilation des théories économiques. Il couvre un large champ des mathématiques contenant l'essentiel de de ce qu'il est nécessaire de connaître.
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MATHÉMATIQUES POUR ÉCONOMISTES
Cours et exercices résolus
"L’étude de la Science Économique ne semble pas requérir des dons
spécifiques très poussés… C’est une matière facile, mais où peu de
gens émergent. Cette contradiction est due au fait qu’un économiste MATHÉMATIQUES POUR ÉCONOMISTES
de formation bien outillé doit posséder une rare combinaison de dons.
Il doit être mathématicien, historien, homme d’État, philosophe, dans
une certaine mesure... être aussi lointain et incorruptible qu’un artiste,
Cours et exercices résolusmais parfois aussi proche de la réalité qu’un homme politique."
Cette phrase de John M. KEYNES montre les difficultés qu’éprouvent
les économistes dans la résolution des problèmes économiques et
la nécessité de mettre à leur disposition un ouvrage de base pour la
compréhension de nombreux aspects des problèmes économiques.
Conçu comme un instrument de travail, ce manuel est destiné aux
étudiants en Sciences économiques et constitue un outil puissant pour
une meilleure assimilation des théories économiques. Il couvre un
large champ des mathématiques contenant l’essentiel de ce qu’il est
nécessaire de connaître.
Beaujolais BOFOYA KOMBA enseigne les Sciences Économiques
à l’Université de Kinshasa comme dans plusieurs institutions
d’enseignement universitaire et supérieur du Congo-Kinshasa.
Il est auteur de plusieurs ouvrages, dont Statistiques pour
Économistes (2010), Modèles macroéconomiques (2010), Finances
publiques approfondies (2011), Économie politique (2013). Il est
consultant aux institutions internationales dont la Banque Mondiale, les Fonds
Européen de Développement, Bricks International... Actuellement, il est Senior
Advisor du premier ministre de la République démocratique du Congo, en
charge du Collège Économie, Finances et Budget.
ISBN : 978-2-343-11918-2
42 €
Beaujolais BOFOYA KOMBA
MATHÉMATIQUES POUR ÉCONOMISTES
Beaujolais
B
OFOY
A
K
OMBA










































© L’Harmattan, 2017
5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris

www.harmattan.com

ISBN : 978-2-343-11918-2
EAN : 9782343119182




Mathématiques pour économistes

Notes de cours
Dirigée par Benjamin Mulamba Mbuyi

L'objet de la collection est de susciter les publications dont la vocation est double : d'une
part offrir aux professeurs d'universités l'opportunité de publier leurs notes de cours,
utilisées tout au long de leur carrière, et d'autre part offrir aux étudiants et chercheurs les
outils de travail dont ils ont grandement besoin.
La collection s’adresse principalement aux étudiants et se propose d’envisager
toutes les questions qui touchent tous les aspects de droit, de science politique et de
relations internationales qui font l’objet d’un enseignement universitaire autonome.
Nous privilégierons la publication de manuels de grande qualité scientifique qui
seront mis à la disposition des étudiants, régulièrement révisés comme des outils
pédagogiques et utilisés dans un grand nombre d’institutions universitaires à travers le
monde.



Déjà parus :

Marie-Thérèse KENGE NGOMBA TSHILOMBAYI, Droit civil, Les obligations, 2017 ;
Rémy MUSUNGAYI BAMPALE, Les associations pré-politiques dans la ville de
Luluabourg (Kananga) avant 1960, Cas de l'association Lulua-Frères, Nouvelle édition, 2017
Georges MUYAYABANTU MUPALA, La culture du maïs sur les oxisols en République
Démocratique du Congo, 2017.
José-Marie TASOKI MANZELE, Procédure pénale congolaise, 2016.
Dieudonné MIRIMO MULONGO, Comment briser le plafond de verre pour les femmes
candidates aux élections en RD Congo, 2016.
Jean-Louis ESAMBO KANGASHE, Le droit congolais des marchés publics, 2016.
Marcel WETSH’OKONDA KOSO, La protection des droits de l’Homme par le juge
constitutionnel congolais, Analyse critique et jurisprudence (2003-2013), 2016.
Richard LUKUNDA VAKALA-MFUMU, Le développement intégré de l’Afrique par les
bassins fluviaux, Cas des bassins du Congo et du Nil, 2016.
Hubert MUKENDI MPINGA, Pauvreté et résilience des enfants dans les mines de diamants
(Kasaï-Oriental), 2016.
Hilaire KABUYA KABEYA TSHILOBO, La gestion des forêts en RDC, Étude écologique,
économique et juridique, 2016.
Dieudonné KALINDYE BYANJIRA, Droit international humanitaire, 2015.
Blaise SARY NGOY, La politique étrangère de Joseph Kabila, Les politiques étrangères des
Etats menacés de décomposition, 2014.
Zacharie NTUMBA MUSUKA, Le rôle du juge administratif congolais dans l’émergence de
l’état de droit, 2014.
Stanislas BOGOY NANGAMA, La pédagogie générale, 2014.
Stanislas BOGOY NANGAMA, La pédagogie comparée, Historique, Théories et Méthodes,
2013.
Floribert Nzuzi MAKAYA, Les finances publiques dans les constitutions de la République
démocratique du Congo, 2012.
Kazumba K. TSHITEYA, Introduction aux théories et doctrines politiques et sociales, 2012.
Benjamin MULAMBA MBUYI, Droit International Public, Les sources, 2012.
BenjamLAI, Droit des Organisations Internationales, 2012. Beaujolais BOFOYA KOMBA





Mathématiques pour économistes

Cours et exercices résolus









PREFACE
C’est d’abord, outre l’amitié, en considération de la catégorie dans
laquelle il a choisi de placer son manuel, rigoureux et complet, que j’ai
avec plaisir accepté de préfacer cette production du Professeur
Beaujolais BOFOYA KOMBA. Il s’agit d’un ouvrage de référence
pour les étudiants, et surtout les Professeurs économistes.
Tout le monde sait que, parmi les sciences sociales, l’Economie est
celle qui, de loin, utilise le plus les mathématiques. Ce qui me pousse
à dire sans crainte d’être contredit : « l’économiste trouve des
solutions aux problèmes qui se posent dans la société ». L’optimalité
de ces solutions exige de l’économiste l’utilisation des mathématiques
avec beaucoup d’à propos. D’où de multiples opérations chiffrées,
avec des quantités de biens, des prix et des valeurs.
L’activité de l’économiste va de calculs relativement simples
comme ceux faits en Comptabilité et en calcul actuariel à ceux, plus
compliqués, qui ont trait à la recherche d’une solution optimale dans
un problème d’optimisation dynamique.
Le débat à propos du rôle des mathématiques en économie ne
porte pas, en fait, sur leur utilisation en tant que moyen de gestion
efficace des ressources ou de traitement des données, mais sur les
théories qui font appel à elles pour expliquer divers aspects de la vie
économique et, si possible, faire des prédictions.
La matière qui fait l’objet de cet ouvrage, à savoir : la terminologie,
concepts et outils en économie, l’analyse combinatoire, la théorie des
ensembles et des relations, les dérivées et différentielles, la notions de
vecteurs et les matrices, l’optimisation, la programmation mathématique,
l’introduction aux calculs intégrales, les équations différentielles, est celle
que nos étudiants ne rencontrent pas tous les jours dans les
bibliothèques. Le souci pour ces étudiants, ainsi que pour ceux des autres
institutions supérieures et universitaires de notre pays où le Professeur
Beaujolais BOFOYA enseigne, livrés à eux-mêmes, sans support de
cours accessible, a poussé l’auteur à opter pour un manuel à l’intention
des étudiants.
7 Un traité doit être distingué d’un manuel, le premier s’efforçant de
donner une vue aussi complète que possible sur le sujet traité, alors que
le second expose seulement les connaissances que l’auteur, Beaujolais
BOFOYA KOMBA, estime utiles au public auquel il s’adresse. Ce public
est très bien connu de l’auteur. Il s’agit, en premier lieu, des étudiants en
Sciences économiques. Se joindront à eux, en second lieu, les chercheurs
et autres scientifiques.
Loin des querelles doctrinales, avec cette publication, les économistes
ont été suffisamment servis. Je ne saurais manquer cette occasion pour
recommander la lecture de ce manuel, aux Professeurs et leurs étudiants.
Seuls ces derniers diront si l’auteur a réussi.

Gustave KINTAMBU MAFUKU
Professeur Ordinaire


8 INTRODUCTION
Tout le monde essaie d’épargner les pas. L’enfant qui se rend à l’école
trouve la nécessité de prendre un raccourci. Les mathématiques sont
intéressantes pour l’économiste parce qu’elles sont un grand raccourci
appliqué à l’étude des ensembles et des relations économiques.
Le rôle de mathématique est fondamental à plusieurs titres.
L’apprentissage de Mathématique permet d’acquérir la netteté du
raisonnement et la précision de la pensée. Il donne ainsi le goût de
l’effort et, par la formulation des solutions élégantes, un certain sens de
l’esthétique.
Cet ouvrage s’adresse essentiellement aux étudiants et aux chercheurs
en Sciences économiques et propose au lecteur une cure complète de
mathématiques indispensables à la compréhension des problèmes
économiques. Il constitue donc un outil puissant pour une meilleure
assimilation des théories économiques.
En suivant une approche pédagogique adaptée à la réceptivité de
l’étudiant en Sciences économiques, cet ouvrage est conçu comme un
instrument de référence, où l’essentiel de ce qu’il est nécessaire de
connaître est contenu. C’est donc avant tout en vue de lui faciliter la
tâche que cet ouvrage a été élaboré. Il a pour but d’assurer une formation
générale en Mathématiques devant permettre aux futures économistes
d’utiliser les techniques quantitatives dans la résolution des problèmes
économiques.
De nombreux exemples et exercices illustrent les développements
théoriques aux travers des différentes sections. Les solutions aux
exercices étant indiquées à la fin de chaque section, l’étudiant pourrait
ainsi parvenir à une bonne assimilation des concepts et techniques à
retenir et un contrôle individuel des connaissances.
Il est à peine besoin de souligner ici qu’un ouvrage de ce genre ne
pourrait guère être le fait d’une seule personne. Nous sommes redevables
à bien d’autres personnes, à commencer par de nombreux devanciers
dont les ouvrages repris parmi les références bibliographiques nous ont
servi.
9 Nous voudrions ainsi exprimer notre gratitude au Professeur
BOSONGA BOFEKI LOUNGA, en tant que notre Maître. Cet
ouvrage constitue un modeste témoignage de l’encadrement dont nous y
avons bénéficié.
Professeur Dr Beaujolais BOFOYA KOMBA

10 �
t
CHAPITRE 1.

TERMINOLOGIE, CONCEPTS ET OUTILS EN ECONOMIE
1.1. Système de nombre
- Parmi les divers types de nombres qui offrent un intérêt pour les
économistes, le plus simple sont les nombres naturels ; c’est-à-dire ceux
qui servent à caractériser des collections d’objets. Ils sont désignés par :
N = {0, 1, 2, 3, …}
N* = {1, 2, 3, …} ou N \ {0}
- En ajoutant aux nombres naturels les entiers négatifs, nous retrouvons
l’ensemble de nombres entiers relatifs :
Z = {…, -1, -2, -3, 0, 1, 2, 3, …}
Z* = {…, -1, -2, -3, 1, 2, 3, …} = Z \ {0}
+Z = {1, 2, 3, …} = N*
– – Z = {-1, -2, -3, …} ou Z = {…, -3, -2, -1}
- L’apparition des fractions amène à considérer l’ensemble de nombre
rationnels auxquels appartiennent des nombres comme 1/2, 3/4, 2.35,
0.3333, …
Q = {x \ x = a/b, où a Є Z et b Є Z*}
- Finalement il y a l’ensemble R de nombre réels. En plus des éléments
de l’ensemble Q, l’ensemble R réunit tous les nombres qui ne peuvent
se mettre sous la forme d’un nombre entier, ni sous celle d’une fraction
comme c’est le cas de :
π = 3.141592
e = 2.718281
= 1.414213
11

u

$


$

4

u
y

4


t

= 1.732050
Ces nombres dont les chiffres après la virgule ne reviennent pas de
manière périodique forment l’ensemble Q’ des irrationnels. Ce dernier
regroupe les nombres pouvant être représentés par une écriture décimale
infinie et non périodique. Ainsi, Q U Q’ = R
L’ensemble R de nombres réels est apprécié par l’ensemble des
éléments d’une droite : à tout nombre réel correspond un et un seul
point de la droite numérique ; et à tout point de la droite numérique
correspond un et un seul nombre réel.
On appelle droite réelle achevée, noté , l’ensemble des nombres
réels auxquels on adjoint - ∞ et + ∞. Donc, = R U {- ∞, + ∞}.
Le diagramme de Venn suivant résume les relations entre les
différents ensembles de nombres mentionnés.
R

� 7/3
Z -15 N Fst
0 2 -4 2 1 -15/7
1 9
Fyu

1/2




N.B. Nous n’avons pas introduit un cercle spécifique pour
l’ensemble Q’. Cet ensemble de nombres est le complément de
l’ensemble des rationnels pour l’obtention des réels.
Ainsi : N C Z C Q C R et Q’ =
12
N


















t











x


v













u












Les relations entre les différents ensembles sont clarifiées en se
servant des exemples ci-dessous.
1. Répondre par vrai (V) ou faux (F)
(a) (d) (g) 3/2 Q (V) 27/5 N (V) � Z (V)
(b) (e) (h) 8/2 N (F) 0/4 N (F) �
’ (c) (f) (i) 1/3 Q (F) 1/3 Q (V) � R (V)

2. Compléter le tableau suivant par ou
’ N Z Q Q R
0
-4

7
3.1414
8/4
π
3. Répondre par vrai (V) ou faux (F)
’(a) N C Q (V) (c) Q C Q (F) (e) R C Q (F)
’ ’ (b) (d) Q C R (V) (f) Z C Q (F)Z R (F)
4. Soient les propositions suivantes :
I. Si x Z et y Z, alors x/y Z
’ II. Si x N, alors � Q
’III. Si x Q , alors x R
Lesquelles sont vraie.
a. Les trois propositions données sont vraies
b. Seulement I et II sont vraies
c. (c) Seulement III est vraie
13 �



T
T
9
9

T
T


9

T



9
d. Seulement I est vraie
e. Seulement I et III sont vraies
1.2. Opérateur sigma ( Σ) et pi ( П)
Les opérateurs sigma et pi sont largement utilisés en Mathématiques
et en Statistique ; surtout pour l’agrégation d’une suite des valeurs
numériques représentées par des variables indicées afin d’abréger
certaines formules mathématiques.
A. Opérateur sigma
Soit une suite composée de n nombres indicés : x , x , x , …, x , x . 1 2 3 n-1 n
La somme des éléments de cette suite est égale à : S = x + x + x + …+ 1 2 3
x + x . Par convention, cette expression s’écrit S = et se lit : n-1 n �@5
« somme de x, avec i allant de 1 à n », c’est-à-dire on donne à i des i
valeurs successives à partir de 1 jusqu’à n.
Exemple. Calculons le revenu total de 5 étudiants dont le revenu
individuel figure dans le tableau ci-dessous.
Etudiant Revenu
(i) (x)
1 100
2 150
3 120
4 300
5 330

En désignant par x le revenu de l’étudiant i, cette somme s’obtient i
par :
S = = x + x + x + x + x = 100 + 150 + 120 + 300 + 330 = 1 2 3 4 5�@5
1000
L’indice utilisé dans le symbole Σ est dit « indice muet », car on peut le
remplacer par n’importe quel autre indice sans toutefois modifier la
valeur de la somme. Ainsi, = = = 1000. �@5 �@5 �@5
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Propriétés
a. = b + b + b + … + b = nb �@5
b. EU = + �@5 �@5 �@5
c. >T = �@5 �@5
d. = �@5 �@5
�>5 �>6e. = = �@4 �@5 �?5 �@6 �?6
��f. = = �� �� ���@5 �@5 �@5 �@5 �@5 �@5 ��g. = = = �@5 �@5 �@5 �@5 �@5 �@5 �@5
�@5
Ces propriétés peuvent être vérifiées en se servant des exemples
ciaprès :
a. v= = 4 (a + a + a + a ) 0 1 2 3�@4
b. t:uE E s; = 2 ( uE + ) = 2[3(0+1+2+3) + �@4 �@4 �@4
(1+1+1+1)] = 2(18 + 4) = 44
t:uE E s; = 2(0+1) + 2(3+1) +2(6+1) +2(9+1) = 2 + 8 + 14 �@4
+ 20 = 44
c. E> = (a + b ) + (a + b ) + (a + b ) �@5 1 1 2 2 3 3
+ = (a + a + a ) + (b + b + b ) �@5 �@5 1 2 3 1 2 3
L’addition étant commutative, ces deux expressions sont identiques.
d. = a + a + a + a + a = = �?5 0 1 2 3 4 �?6�@5 �@4 �@6
e. = E= E= = a + a + a + a + a + �@5 �@5 �� �@5 �5 �6 �7 11 12 13 21 22
a 23
= E= = a + a + a + a + a + a �@5 �@5 �� �@5 11 21 12 22 13 23
L’addition étant commutative, ces deux expressions sont identiques.
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f. �� = E= E= = a c + a c + a c + �@5 �@5 �@5 1 1 1 2 1 3
a c + a c + a c 2 1 2 2 2 3
�� = = E? E? = a (c + �@5 �@5 �@5 �@5 �@5 1 1
c + c ) + a (c + c + c ) = a c + 2 3 2 1 2 3 1 1
a c + a c + a c + a c + a c1 2 1 3 2 1 2 2 2 3
�� �� = = E= = a c + a c + 1 1 2 1�@5 �@5 �@5 �@5 �@5
a c + a c + a c + a c 1 2 2 2 1 3 2 3
�� = = E= = c (a + a ) + 1 1 2�@5 �@5 �@5 �@5 �@5
c (a + a ) + c (a + a ) = a c + a c 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1
+ a c + a c + a c + a c 1 2 2 2 1 3 2 3
Ces quatre expressions sont identiques (cf. Propriété g)
B. Opérateur pi
Pour certaines opérations répétitives de multiplication, on recourt à
l’opérateur du produit communément appelé П (pi).
Ainsi, = x (x ) (x ) … (x ) ( x ) 1 2 3 n-1 ng@5
Propriétés
n a. = b
nb. = b g@5 g@5
c. = g@5
Ces propriétés peuvent être vérifiées en se servant des exemples
ciaprès :
a. + ) = ( + ) . ( + ) . ( + ) . ( + ) = �@5
b. = (a . a . a ) . (b . b . b ) = (a b . a b . a b ) = 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

5c. = 2.2.2.2.2 = 32 = 2
16
g@5
g@5
g@5 g@5
79
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3d. :t� ) = 2b .(2b ). (2b ) = 8 (b . b . b ) = 2 :� 1 2 3 1 2 3 g@5
b. t:uE E s; = 2 ( uE + ) = 2[3(0+1+2+3) + �@4 �@4 �@4
(1+1+1+1)] = 2(18 + 4) = 44
t:uE E s; = 2(0+1) + 2(3+1) +2(6+1) +2(9+1) = 2 + 8 + 14 �@4
+ 20 = 44
C. Exercices
�>5 �?5Ex.1. Sachant que = et = n. (n-1) , Donner la �@5 �@4
valeur numérique de :
(a) F:u F tF ; , (b) F:u F tF ; �@4
Ex.2. Ecrire au moyen du symbole Σ les sommes suivantes :
a. (p – p ) (q – q ) + (p – p ) (q – q ) + (p – p ) (q – q ) + (p – p )1 5 1 0 2 5 2 1 3 5 3 2 4 5
(q – q ) 4 3
b. a + a + a + … + a 10 21 32 n(n-1)
c. a + a + a +a + a 11 12 13 14 15
Ex.3. Soit a , a , …, a des nombres réels indicés. Montrer que : 1 2 n
��a. F= = 0 �@5 �@5
��b. E= = 2n �@5 �@5 �@5
�>5 �?5c. F = a�@6 �?5 �@5 �>5 1
d. = 0�@5 �@5
Ex.4. Modifier l’ordre de sommation de l’expression suivante :
�?5�� �@� ?5 �@5 ��
Ex.5. Considérons une économie simplifiée composée de :
a. m consommateur indicés i = 1, 2, …, m
17
@?6 �
7= 7;
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g@5�

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T
T
6



T
:









;

u
b. n producteurs indicés j = 1, 2, …, n
c. l biens privés (par opposition aux biens publics) indicés h = 1, 2,
…, l
Soient :
ème- = { , , …, , …, }, la consommation du i-
consommateur, avec > 0 h
ème- = { , , …, , …, }, la production du j- producteur,
avec > 0 h
a. Que signifie l’expression ?
b. l’expression a-t-elle un sens ? Si oui, lequel �@5
c. l’expression �@5
d. l’expression �@5
��e. Ecrire en extension. �@5 �@5
Ex.6. Supposons que, dans notre économie simplifiée ci-dessus, k soit le
travail fourni par le consommateur i (output) ou utilisé par le
producteur j (input), laquelle de deux contraintes de rareté du bien
1 a un sens ?
a. ≤ �@5 �@5
b. ≥ �@5 �@5
Solution
Ex.1.
a. F:u F tF ; = – 2 = 3(0) + – 2 �@4 �@4 �@4 �@5 �@4
= – 2[38(37) (( tF = -33 041
18
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b. F:u F tF ; = uF + uF – ( tF + �@5
tF ) �@4
2 2= 3(-2) + 3(-1) + 3(0) – [2(-2) + 2(-1) + 2(40.39. ] = -38 759
Ex. 2.
a. FL FM ou FL FM �@5 �?5 �@4 �>5 �>5
�?5 �?5b. a + a + a + … + a = �� = �� 10 21 32 n(n-1) �@�?5 �@5 �� �@� >5 �@4 ��
c. a + a + a +a + a = 11 12 13 14 15 �@5
Ex.3.
a. �� F= = = :J =�@5 �@5 �@5 �@5 �@5 �@5
�@5
= n �� = n FJ = 0 �@5 �@5 �@5 �@5 �@5
b. �� E= = n EJ = n[(a + … + a ) + (a �@5 �@5 �@5 �@5 1 n 1
+ … + a )] n
= 2n �@5
�>5 �?5 �?5c. F = F = (a + �?5 �>5 �>5 1�@6 �@5 �@5 �@5
�?5 ;F = a �>5 1�@5 �@6
d. = F �� = �@5 �@5 �@5 �@5 �@5 �@5
J= �@5
= F = 0 �@5 �@5
Ex.4.
�?5 �?5�� = E= E� E= = a + a + a + … �� 10 21 32�@� ?5 �@5 �@�?5
+ a n(n-1)
�?5��= ���@�>5 �@4
19
�� 6� 5�
5�
;=
7=
@?6 � @?6 � @?6 �
?5 7= 7=T
5
T


U
T
:


6
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5


5
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U

U




T



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T


5

5
6
T
5

5
6
5
6

T
U

5
7
U
T
6
T
U

7

U


5
T
5
6
T
5
:
T

U

5

6



5

T
U
6



7

6


6

Ex. 5.
a. signifie le bien 2 consommé par le consommateur k.
b. Oui, = + + + … + est la somme totale de tous �@5
les biens
-èmeconsommés par le i consommateur.
c. Oui, = + + + … + �@5
-èmeles biens produits par le j producteur.
d. Oui, = + + + … + représente l’offre totale du �@5
bien 1 (ou la
somme totale du bien 1 offert par tous les producteurs).
e. �� = ( + + … + ) +( + + … + ) + … + �@5 �@5
( + + … + )
Cette somme représente la consommation totale de la communauté
(la somme totale de tous les biens consommés par tous les
consommateurs).
Ex. 6.
Il n’y a que la contrainte (b) qui a un sens. En effet, �@5
représente la quantité totale du travail offert (ou fourni) par tous les
consommateurs, en échange de salaires versés par les demandeurs du
travail (les producteurs). Et, représente la quantité totale du �@5
travail demandé (ou utilisé) par tous les producteurs.
Le travail total utilisé par les producteurs (demandeurs) ne provient
que des consommateurs (offreurs). Par conséquent. Ça ne peut pas
être supérieur à la quantité totale de travail fournie par les
consommateurs.
1.3. Monômes et polynômes
Dans une expression telle que 3x+5, x est appelée la variable parce
qu’elle prend n’importe quelle valeur numérique, et 3 est appelé le
20 1
/
.
w
.
v
w
3

1
coefficient de x. Les expressions contenant simplement un nombre réel
(ex. 8) ou un coefficient multiplié par une ou plusieurs variables affectées
3 4d’un exposant entier positif (ex. 2x ou 3xy) sont appelées des
monômes.
Les monômes peuvent être ajoutés ou soustraits de façon à former
5 3des polynômes (ex. 3x + 2x – 7). Chacun des monômes composant un
polynôme est appelé un terme.
Les termes formés des mêmes variables et exposants sont appelés des
5 5termes semblables (par exemple 3x et 7x ).
Les règles d’addition, de soustraction, de multiplication et de division
des polynômes sont présentées ci-dessous.
5 5 54x + 9x = 13x
(4x – 7y) + (2x + 5y) = 6x – 2y
(2x + y) (3x – 2) = 6x2 – 4x + 3xy – 2y
=
1.4. Constante, variables, paramètres et coefficients
dLes économistes stipule que la quantité demandée d’un bien (Q ) est
fonction de multiples variables dont les principales sont : le prix de ce
bien (P), les prix des autres biens (spécialement les substituts P , et les i s
compléments P), le revenu du consommateur (R) et ses goûts (G). Cette j
dernière variable joue le rôle d’une catégorie « fourre – tout » qui inclut
aussi bien les motivations psychologiques que les attitudes sociales ou
culturelles.
Nous pouvons donc écrire sous la forme générale suivante la relation
fonctionnelle qui existe entre la quantité demandée du bien i et les autres
dQ f ( p , p , p ,R,G)grandeurs : i s j
Cette relation est appelée la fonction de demande du bien i.
Généralement, on observe que la quantité d’un bien demandée par
individu est d’autant plus élevée que le prix du bien est faible, que le désir
21
6v
6w 8v


du consommateur pour ce bien est intense que son revenu est élevé, et
que les biens susceptible de satisfaire le même besoin (substituts) ont un
prix élevé ou sont inexistants.
De cet ensemble d’influences, la théorie économique cherche alors à
isoler la dépendance de la quantité demandée d’un bien vis-à-vis du prix
de ce bien. Dans ce but, elle suppose stable (inchangés) les autres
variables susceptibles d’influencer la demande, hypothèse souvent
exprimée par les termes « toutes choses restant égales par ailleurs ». Ce
dqui revient à réécrire la fonction de demande à l’expression : Q f ( p)
qui peut être représentée par une courbe dans un diagramme à deux
dimensions. L’expression analytique de cette courbe de la demande est
souvent représentée par une équation linéaire sous la forme :
dQ a bP ou tout simplement Q = a – bP (1). Où Q = quantité i
demandée et P = prix.
Dans cette expression, Q et P sont des variables tandis que a et b sont
des constantes.
La constante est une quantité qui ne change pas dans la résolution
d’un problème. Les constantes numériques prennent la même valeur dans
tous les problèmes ; ce sont des nombres réels. Les constantes symboliques,
appelée paramètres, ont la même valeur dans un problème donné, mais
peuvent prendre d’autres valeurs dans d’autres problèmes, c’est le cas de
a et b, dans l’équation (1).
Une variable peut prendre plusieurs valeurs dans un problème donné.
Dans l’équation ci-dessus, Q et P sont des variables. Etant donné que Q
dépend de P, elle est appelée « variable dépendante » et P, dont la valeur
peut être fixée de manière arbitraire, est appelée « variable indépendante ».
Dans le cas d’un système d’équation, les variables déterminées par le
modèle s’appellent : « variables endogènes », et les variables non déterminées
par le modèle s’appellent : « variables exogènes ». Dans une équation
unique, la variable dépendante est dite endogène, tandis que la variable
indépendante est dite exogène.
Une autre distinction importante concerne la période actuelle t et les
périodes précédentes t-i ; i = 1, 2, …, n. Comme nous nous intéressons
au fonctionnement du modèle au temps t, toutes les valeurs retardées,
22 qu’elles soient endogènes ou exogènes, sont des données et ne peuvent
plus prendre maintenant d’autres valeurs. Ces variables forment, avec les
variables exogènes, ce qu’on appelle : « variables prédéterminées » puisque
du point de vue du modèle, au moment t, leurs valeurs ont déjà été
déterminées par l’histoire passée du système ou sont données d’une
manière exogène.
Une constante numérique ou symbolique placée devant une variable
comme multiplicateur, telle que b, dans l’équation (1) ci-dessus,
s’appelle : « coefficient ».
Dans l’équation C = 50 + 0,85Y, C et Y sont des variables. C est la
variable endogène et Y la variable exogène. 50 et 0,85 sont des
constantes numériques. 0,85 est le coefficient de Y.
1.5. Equations
Un énoncé mathématique qui établit une égalité entre deux
expressions algébriques est une équation. Cette égalité n’est vérifiée que
pour certaines valeurs données aux variables dites inconnues qu’elle
contient. Ces valeurs constituent les solutions (ou racines) de l’équation.
A. Equations et Identité
D’une manière générale, lorsqu’une fonction est égale à un nombre
particulier, on a ce qu’on appelle une équation. Comme exemples
d’équations, nous pouvons donner les expressions suivantes :
2x = 8
2x = 9
2x – 4 = 0
φ(x) = 0
La solution d’une équation est une valeur de x qui vérifie l’équation. La
première équation a pour solution : x = 4. La seconde équation a deux
solutions : x = 3 et x = -3. La quatrième équation est simplement une
équation générale. La solution de cette équation ne peut être identifiée
tant que la règle représentée par φ n’est pas connue. Cependant, nous
pouvons représenter cette solution par x*. Cela signifie simplement que
23


x* est un nombre tel que φ(x*) = 0. On dit que x* vérifie l’équation φ(x)
= 0.
Une identité est une relation entre des variables qui est vérifiée pour
toutes les valeurs de ces variables. Les deux expressions suivantes sont
des exemples d’identités :
2 2 2 (x + y) x + 2xy + y
2(x + 1) 2x + 2.
Le symbole signifie que le membre de gauche et le membre de
droite sont égaux pour toutes les valeurs des variables. Une équation n’est
vérifiée que pour certaines valeurs des variables tandis qu’une identité est
vérifiée pour toutes les valeurs des variables. Une identité est souvent
vérifiée par définition.
B. Equations linéaires et quadratiques
La forme générale d’une équation linéaire à une variable est ax + b =
0. De cette forme x est la variable ou l’inconnue, a et b sont des
constantes.
Une équation linéaire se résout en isolant la variable inconnue du côté
gauche de l’égalité et en regroupant tous les autres termes du côté droit.
Une équation dans laquelle toutes les variables sont élevées à la
puissance un est une équation linéaire. Une équation linéaire à deux
variables a la forme générale ax + by + c = 0 ; où x et y sont des
variables et a, b des constantes différentes de 0. Cette forme est dite forme
implicite de l’équation d’une droite.
Lorsque l’une de variable est isolée du côté gauche et tous les autres
termes de l’équation du côté droit, on parle de la forme explicite de
l’équation d’une droite ; et sa représentation graphique n’est rien d’autre
qu’une droite linéaire. Dans cette forme explicite, la variable à gauche de
l’équation est appelée variable dépendante ou endogène et celle située à droite
de l’équation est dite variable indépendante ou exogène.
Une équation du second degré, appelée équation quadratique, est celle
dont la variable intervient au moins une fois au second degré et jamais à
24 �


8
8

9

6
9





.
une puissance supérieure. La forme générale d’une équation quadratique
2est : ax + bx + c = 0 ; où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Le terme
2ax est appelé terme quadratique ; bx le terme linéaire et c le terme constant.
Si la puissance de x est un entier naturel n > 2, on parlera d’une
équation polynômiale (polynôme du degré n) qui n’est rien d’autre qu’une
équation du degré n.
Une équation quadratique peut se résoudre par la méthode d’Horney ou
bien en utilisant la formule quadratique suivante :
x =
La résolution des équations linéaires et quadratiques par les
différentes méthodes est présentée ci-dessous :
a. – 3 = + 1 – = 4 x = 80
2b. x – 18x + 45 = 0
Formule quadratique
2b – 4ac = 324 – 180 = 144 et svv = 12
x = x = 3 et x = 15 1 2
Règle d’Horney
1 -18 45
3 3 -45
1 -15 0

2On obtient ainsi : x – 18x + 45 = (x – 3) (x – 15) = 0
x = 3 et x = 15 1 2
2c. 5x + 23x + 12 = 0


25
5<G56
6�
?8�� G ?�
7

7

5
5
7
=

6

5
7

=
5
6
\

6
6
5
6
\

6

6
6

=

5
=

6
5

5
=


5

=
=
]
Formule quadratique
2b – 4ac = 529 – 240 = 289 et tz{ = 17
x = x = -0.6 et x = -4 1 2
Règle d’Horney
5 23 12
-4 -20 -12
5 3 0

2On obtient ainsi : 5x + 23x + 12 = (5x +3) (x +4) = 0
x = -0.6 et x = -4 1 2
C. Système d’équations simultanées
Un système composé de deux ou plusieurs équations linéaires est
appelé système d’équations simultanées.
La forme générale d’un système linéaire de deux équations à deux
TE > UL ?
inconnues est :
TE > UL ?
Si les paramètres c et c sont nuls, le système d’équation est dit 1 2
TE > UL r
homogène. Ce dernier se présente comme suit :
TE > UL r
Le système d’équations linéaires à trois inconnues est de la forme :
TE > UE ? VL @
TE > UE ? VL @
TE > UE ? VL @
On appelle solution d’équations simultanées tout couple de nombres réels
vérifiant les différentes égalités. Les méthodes couramment utilisées pour
résoudre un système d’équation linéaire sont : la méthode de
soustraction, la méthode de substitution, la méthode de cramer, la
méthode d’inversion matricielle et la méthode de pivot de Gauss.
26
54
?67G5;

\
\
\




\

La méthode de soustraction, appelée aussi méthode d’addition ou
d’élimination consiste à multiplier chaque équation du système par un
nombre qui convient, de telle sorte que les coefficients de l’une des
variables dans les deux équations soient des nombres opposés. Elle part
du principe selon lequel en multipliant les deux membres d’une équation
par un nombre réel, cela ne modifie pas l’équation.
tT F U L v:s;
Exemple : résoudre le système suivant : uT F tU L u:t;
- Si l’on multiplie l’équation (1) par 3 et l’équation (2) par 2, on obtient :
xT F uU L st:u;

xT F vU L x:v;
En soustrayant (4) dans (3) afin d’éliminer la variable sélectionnée x,
on obtient :
0x + y = 6 y = 6 (6)
En substituant (6) dans l’une des équations ci-dessus, on obtient : x = 5.
- De même, en multipliant l’équation (1) par -2, et en laissant inchangé
l’équation (2), on obtient :
FvT E tU L z:u;F

uT F tU L u:v;
En additionnant les deux équations, afin d’éliminer la variable y, on
obtient : x = 5.
En substituant la valeur de x dans l’une des équations ci-dessus, on
obtient : y = 6.
La méthode de substitution consiste à résoudre l’une des équations
par rapport à l’une des variables, et l’expression obtenue est ensuite
substituée dans l’autre équation.
tT F U L v:s;
Exemple : résoudre le système suivant :
uT F tU L u:t;
En résolvant l’équation (1) pour y, on obtient :
27 �

\
6
\

5

\


y = 2x – 4 (3)
En substituant l’expression (3) dans (2), on obtient :
3x – 2(2x – 4) = 3 -x + 8 = 3 x = 5
En substituant la valeur de x dans l’une des équations ci-dessus, on
obtient : y = 6.
La méthode de pivot de Gauss consiste à transformer un système
quelconque en un système échelonné par l’utilisation de la méthode de
soustraction.
tT F U L v:s;
Exemple : résoudre le système suivant :
uT F tU L u:t;
En retranchant 3 fois l’équation (1) au double de l’égalité (2), on obtient :
tT F U L vtT F U L v

uT F tU L ut. Fu. rT F U L F x
Nous venons d’éliminer x dans la deuxième équation. Ce système est
échelonné et permet de trouver y = 6. En substituant cette valeur dans
l’équation (1), on obtient : x = 5.
La méthode de Cramer permet de résoudre des systèmes
d’équations linéaire ayant au plus trois équations et trois inconnues. Elle
consiste à résoudre ces systèmes au moyen de déterminant. Cette
méthode et celle de l’inverse matricielle sont exposées dans la partie
réservée à l’analyse matricielle.
1.6. Inéquations
Une inégalité est une proposition établissant qu’un nombre est plus
grand ou plus petit qu’un autre. Le symbole utilisés sont : <, > (inégalités
strictes) et ≤, ≥ (inégalités relatives).
A. Propriété des inéquations
- Lorsqu’on ajoute ou on retranche une même quantité aux deux
membres d’une inégalité, on obtient une inégalité de même sens et
équivalente à la précédente ;
28 :














- Lorsqu’on multiplie ou on divise une même quantité aux deux
membres d’une inégalité par un nombre positif, on obtient une inégalité de
même sens et équivalente à la précédente ;
- Lorsqu’on multiplie ou on divise une même quantité aux deux
membres d’une inégalité par un nombre négatif, on obtient une inégalité
de sens contraire et équivalente à la précédente.
Ces propriétés sont vérifiées en se servant des exemples ci-dessous :
a. 5 < 9 5 – 2 < 9 – 2. Donc 3 < 7. (5 < 9 est identique à 5 – 2 + 2
< 9)
b. 5 < 9 5 (– 2) > 9 (– 2). Donc -10 > -18.
c. 6 < 12 � > . Donc -2 > -4.
Une inéquation est une inégalité qui n’est vérifiée que pour certaines
valeurs données aux inconnues (variables) qu’elle contient. Tout nombre
du domaine de définition qui, par substitution à l’inconnue, vérifie
l’inégalité est appelé solution de l’inéquation.
L’ensemble solution S est l’ensemble de toutes les solutions de
l’inéquation sur son domaine de définition.
Exemple : l’inégalité x < 4 dans N admet comme solutions : 0, 1, 2, 3.
Ainsi S = {0, 1, 2, 3}.
Si l’opération s’effectuait dans R, la solution serait : S = ]- ∞, 4[
(intervalle semi-fermé à droite d’extrémité 4).
On parle d’inégalité soluble lorsque l’inéquation a de solution sur son
domaine de définition. Sinon, l’inéquation est insoluble.
Le tableau ci-dessous présente deux exemples d’inéquations solubles et insolubles
Inéquations solubles Inéquations insolubles
x < 0 pour x Z S = ]- ∞, -1[ x < 0 pour x N S =
3x > 5x pour x R S = ]- ∞, 0[ 3x > 5x pour x N S =
2x – 5 < 3x est soluble dans N, car S 2x – 5 < 3x pour x R S = ]-5,
= N +∞[
29
?7 ?7
565


\



\
D

=


6
=
r

\


6






5




B. Inéquation du premier degré
La forme générale d’une inéquation linéaire à une variable est : ax +
b 0. De cette forme x est la variable ou l’inconnue a et b sont des
constantes.
Notons que les inégalités relatives peuvent aussi être utilisées à la place des
inégalités strictes.
Une inéquation linéaire se résout en effectuant des transformations
permettant de trouver les valeurs qui, substituées à l’inconnue (x),
vérifient l’inégalité.
La résolution des inéquations linéaires est effectuée en se servant des
exemples ci-dessous :
a. 2x + 3 ≤ 6 2x ≤ 3, d’où x ≤ 3/2
L’ensemble solution est S = {x R | x ≤ 3/2} = ]- ∞, 3/2]
b. 3x + 7 < 5x – 5 -2x < -12, d’où x > 6 S = {x R | x > 6} = [6, + ∞ [
C. Système d’inéquation linéaire
La forme générale d’une inéquation linéaire à une variable est :
TE > r

TE >
Les inégalités relatives peuvent aussi être utilisées à la place des inégalités strictes.
La solution à ce système s’obtient en effectuant, d’abord, des
transformations permettant de trouver les valeurs qui vérifient chaque
inégalité, puis, en faisant l’intersection des ensembles solutions.
La résolution d’un système d’inéquations linéaires est effectuée en se
servant des exemples ci-dessous :
L? F s� E�>uT E t P Fs TP Fsa. �D
sFtT R Fu T Q t L? F �� t?
30





\
\
D
\






\


\


L’ensemble solution est : S = S ∩ S = ] –1, 2] 1 2
TP Fu L? F u� E�>tT E u P T
b. �\
T F wOv L? F �� {?
L’ensemble solution est : S = S ∩ S = ] –3, 9] 1 2
D. Inéquations simultanées
La forme générale d’une inéquation simultanée est : a x + b < a x + b 1 1 2 2
< a x + b 3 3
Notons que les inégalités relatives peuvent aussi être utilisées à la place des
inégalités strictes.
Une inéquation simultanée se résout en transformant, d’abord,
l’inéquation simultanée en un système d’inéquation linéaire. Ensuite, on
procède comme ci-haut.
Exemple
La résolution d’une inéquation simultanée est effectuée en se servant
des exemples ci-dessous :
a. –3 ≤ x + 5 ≤ 7
Cette inéquation peut être transformée en un système linéaire
d’équation suivant :
TR Fz L >Fz� E�> u Q � E w �\
� E w Q y L? F �� t?
L’ensemble solution est : S = S ∩ S = [ –8, 2] 1 2
b. 3 < ≤ 5
�>7
Cette inéquation peut être transformée en un système linéaire
d’équation suivant :
31
?5 8�
t Q T
{ O T�

P

L
E�>





>sr�
6


=
\
E�>


>sx�




\

L
6

7
\

u O uT E { O v� F s�>7
v� F s Q w� E swQ w
�>7
L’ensemble solution est : S = S ∩ S = [ 10, + ] 1 2
E. Inéquations du premier degré à deux inconnues
La forme générale d’une inéquation linéaire à une variable est : ax +
by + c 0. De cette forme x et y sont des variables ou les inconnues. a, b
et c sont des constantes.
Notons que les inégalités relatives peuvent aussi être utilisées à la
place des inégalités strictes.
La solution à cette inéquation sera le couple (x, y) qui vérifie
l’inégalité. Et, comme la forme générale de l’inéquation est identique à
l’expression d’une droite, la solution correspondra à une partie de plan
appelée « demi-plan ».
De manière générale, la solution est trouvée en procédant comme
suit :
1° Transformer l’inéquation linéaire de manière à obtenir une équation
explicite du type : y = ax + b ; puis tracer la droite de cette équation.
Cette droite passe par les points (0, b) et (-b/a, 0).
2° Tester un point quelconque non situé sur la droite. En pratique, on
choisit le point (0, 0) si la droite ne passe pas par l’origine des axes. Si
les coordonnées du point-test vérifient l’inéquation, le demi-plan auquel
appartient ce point est l’ensemble-solution. Sinon, c’est le demi-plan
opposé qui est l’ensemble-solution.
3° Hachurer le demi-plan qui ne vérifie pas l’inéquation.
Exemple : Trouver graphiquement la solution de l’inéquation : 3x – 2y
< 9
Cette inéquation peut être réécrite comme suit : 3x – 2y < 9 -2y <
3x – 2y = 9 y > x –
32
5 ? 8�
?5 8�=
6
7


r
6
=


=
6
6
r
5

=

P

=
6
6
5
5
1° y = x – , la droite d passe par les points (0, - ) et (3, 0).
2° Si x = 0 et y = 0, alors on aura : 3(0) – 2(0) < 9 ou 0 < 9. L’inéquation
étant vérifiée, le demi-plan auquel appartient le point-test (0, 0) est
l’ensemble-solution. D’où, on hachure le demi-plan opposé.
Graphique n°1 :
Y

S

0 3 4 X






F. Système d’inéquations du premier degré à deux inconnues
La forme générale d’un système d’inéquation du premier degré à deux
variables est :
TE > UE ? r
TE > UE ?
TE > UE ?
Les inégalités relatives peuvent aussi être utilisées à la place des inégalités strictes.
L’ensemble-solution est défini par l’intersection des ensembles
solutions de différentes inéquations composant le système. Cet
ensemble-solution est généralement présenté sous forme d’un
33

�6
6
9

=
6
6
6

=
=


6
T
7
]

T
^
6
7
6



9

9



1polyèdre convexe . Les sommets de ce polyèdre sont des solutions de
base, pour autant qu’ils satisfont l’ensemble de contraintes.
Exemple
uT F tU O {
T E U E sPr
tT F w U R Fw
T F U E sPrRésoudre : (1) et (2)
T R s
FT EU Es R r
UE t P r
Solution :
UP TF
U Q TE s(1)
T R s
UP Ft
Etape 1 : y = – , la droite d passe par les points (0, - ) et (3, 0) 1
y = + 1, la droite d passe par les points (0,1) et (- , 0) 2
x = 1, la droite d est parallèle à l’axe des ordonnées 3
y = -2, la droite d est parallèle à l’axe des abscisses. 4


1 Un polyèdre convexe est un ensemble convexe qui possède un nombre fini de points
extrêmes (ou sommets). La surface plane d’un triangle est un polyèdre convexe, tandis
que celle d’un cercle n’en est pas un. Un simplexe est un polyèdre, dans l’espace à n
dimensions, ayant exactement (n + 1) points extrêmes. Si n = 2, un simplexe dans un
espace à deux dimensions est un triangle (le plus petit ensemble convexe dans un
espace à deux dimensions avec n + 1 = 3 sommets).
34

]
6

Etape 2
Graphique n°2 :

Y
B


A
S
?9 3 0 1 2 3 4 X
d 2
2 C D
d4

1


d3 d1
La région des solutions possibles, appelée ensemble-solution, est le
polyèdre (quadrilatère) ABCD (la surface S). Il est à noter que les
segments AD et AB font partie de la solution, contrairement aux
segments DC et BC, à cause de la forme des inégalités. Les sommets A,
B, et D sont des solutions de base. Le sommet C ne fait pas partie de la
solution parce qu’il ne satisfait pas à toutes les contraintes d’inégalité.
UP FT F s
UO T E s(2)
UR T F s
Etape 1 : y = -x – 1 la droite d passe par les points (0, -1) et (-1, 0) 1
y = x + 1, la droite d passe par les points (0,1) et (-1, 0) 2
y = x – 1, la droite d passe par les points (0, -1) et (1, 0) 3
35 Etape 2
Graphique n°3

Y



S

-1 1 X

d 1 2


d3
d
1
L’ensemble-solution est le rectangle non bornée S. Le seul côté
faisant partie de la solution est celui constitué par la troisième droite.
1.7. Variation et taux de variation
Le symbole Δx signifie « variation de x ». Cela ne correspond pas à la
multiplication de Δ par x ; mais Δx comme un tout.
Si x passe de x à x , la variation de x est simplement égale à Δx = x – 1 2 1
x . 2
Les variations des prix et des quantités demandées pour un bien
particulier figurent dans le tableau ci-dessous.
Année Prix Δx Quantité Δy
(x) (y)
1 10 - 100 -
2 7 -3 150 50
3 9 2 120 -30
4 5 -4 200 80
5 8 3 180 -20

36
L
;
.
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d
;

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;
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