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Faire des maths autrement

De
240 pages
Ce livre apporte quelques réponses dans un domaine essentiel de l'enseignement mathématique: l'apprentissage de la proportionnalité. Cet apprentissage est particulièrement riche puisqu'il renvoie, dès l'école primaire, à l'ensemble des problèmes dont la résolution nécessite l'utilisation d'une ou plusieurs multiplications ou divisions. A partir d'une double approche expérimentale et clinique, cet ouvrage explore sur du long terme les compétences des élèves, il décrit très finement les procédures qu'ils utilisent et analyse certaines spécificités cognitives liées à la réussite ou à l'échec. Il avance enfin tout un ensemble de propositions éducatives et didactiques afin de faciliter l'apprentissage des concepts de rapport et de proportion.
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FAIRE DES MATHS AUTREMENT
Développement cognitif et proportionnalitéCollection Espaces Théoriques
dirigée par Michèle Bertrand
Partout où le réel est donné à penser, les sciences de l'homme et de la
société affûtent inlassablement outils méthodologiques et modèles
théoriques. Pas de savoir sans construction qui l'organise, pas de
construction qui n'ait sans cesse à mettre à l'épreuve sa validité. La réflexion
théorique est ainsi un moment nécessaire à chacun de ces savoirs. Mais
par ailleurs, leur spécialisation croissante les rend de plus en plus
étrangers les uns aux autres. Or certaines questions se situent au confluent de
plusieurs d'entre eux. Ces questions ne sauraient être traitées par simple
juxtaposition d'études relevant de champs théoriques distincts, mais par
une articulation rigoureuse et argumentée, ce qui implique la pratique
accomplie, chez un auteur, de deux ou plusieurs disciplines. La
collection Espaces Théoriques a donc une orientation épistémologique. Elle
propose des ouvrages qui renouvellent le champ d'un savoir en y
mettant à l'épreuve des modèles validés dans d'autres disciplines, parfois
éloignées, aussi bien dans le domaine des SHS, que dans celui de la
biologie, des mathématiques, ou de la philosophie.
Michèle BERTRAND, Gilles CAMPAGNOLO, Olivier LE GUILLOU, Esther
DUFLO,Pierre SERNE,La reconstruction des identités communistes
après les bouleversements intervenus en Europe centrale et orientale,
1997.
Michèle BERTRAND,Les enfants dans la guerre et les violences civiles.
Approches théoriques et théoriques, 1997.
@ L'Harmattan, 1997
ISBN: 2-7384-5856-4Jean-Pierre Levain
FAIRE DES MATHS
AUTREMENT
Développement cognitif et proportionnalité
Préface par Michel Henry
Éditions L'Harmattan L'Harmattan Inc.
5- 7, rue de l'École-Polytechnique 55, rue Saint-Jacques
75005 Paris Montréal (Qc) - CANADA H2Y IK9A Nicole et NicolasSOMMAIRE
PRÉFACE par MICHEL HENRy............................... Il
INTRODUCTION . 17
1- DÉVELOPPEMENT COGNITIF ET
ACQUISITION DE LA PROPORTIONNALITÉ........ 19
1- Les travaux piagétiens........................................ 19
2- Les années 1970 : premières mises en cause du
modèle piagétien.................................................... 26
3- L'analyse des différentes classes de problèmes.... 40
La structure de proportion simple.................... 43
La de simple composée ... 45
La structure du produit de mesure................... 46
La structurede proportion double ................... 46
4- La théorie des champs conceptuels..................... 47
L'analyse et la catégorisation des différentes
situations . 47
La description et l'analyse des différents
schèmes utilisés par le sujet.............................. 48
L'étude des représentations symboliques ......... 48
5- Le statut des unités ........................ 49
6- L'acquisition du concept de nombres rationnels. 52
Notes du premier chapitre.......................................... 60
11-LA RESOLUTION DE PROBLEMES
MUL TIPLICA TIFS A LA FIN DU CYCLE
PRIMAIRE . 63
1- Présentation de l'expérience............................... 63
2- Analyse statistique .... 68
3- Hypothèses........................................................ 68
4- Analyse des résultats ..... 70
5- Conclusion......................................................... 77
6- Annexes: présentation des 35 problèmes........... 79
Notes du deuxième chapitre....................................... 83
11I-EVOLUTION DE NOTRE PROBLEMATIQUE. 85
1- L'introduction d'une perspective génétique........ 85
2-
clinicoexpérimentale . 85
Le concept de schème...................................... 86
Méthodologie . 88
73- L'utilisation de nouvelles tâches mieux adaptées
90à notre étude..........................................................
924- Proportionnalité, agrandissement et échelle........
96Notes du troisième chapitre........................................
IV NOUVEAU QUESTIONNAIRE TRAIT ANT DES
PROBLÈMES D'AGRANDISSEMENT I
97RÉDUCTION ET D'ÉCHELLE .................
971- Objectifs............................................................
982- Présentation des items ...............
99Les problèmes d'agrandissement I réduction.....
105Les d'échelle...................................
1123- Premiers résultats...............................................
1144- Analyse des procédures......................................
114Les problèmes d'agrandissement réduction......
117Les
1255- Traitement statistique des données......................
1346- Analyse des résultats..........................................
134Le groupe E....................................................
136Le D....................................................
137Le groupe C .............
139Le B....................................................
140Le groupe A....................................................
1427- Conclusion.........................................................
142Les problèmes d'agrandissement......................
143Les d'échelle...................................
149Notes du quatrième chapitre.......................................
153V- ANALYSE CLINIQUE........................................
1541- Méthodologie ...........
1552- Le concept d'agrandissement..............................
158Analyse des entretiens......................................
1683- Le concept d'échelle...........................................
170Analyse des entretiens ....
1744- La gestion des unités..........................................
175Analyse des entretiens ....
1751° Le groupe des bons élèves.......................
2° Les quatre élèves du groupe C qui
177maintiennent leur position............................
3° Le groupe des sept élèves pour qui le
rapport d'agrandissement doit
nécessairement s'exprimer dans certaines
180unités .
1845- Objectiver l'échelle.............................................
185Anal yse des entretiens......................................
86- Répertoire de procédures................................... 191
Analyse des entretiens ............. 192
7- L'organisation des procédures ;................... 201
Analyse des entretiens ..................... 203
1° type: une bonne représentation de départ
aboutit à une résolution aisée du problème...... 204
2° type: une bonne de départ
conduit progressivement à l'échec.................... 208
3° type: une mauvaise représentation de
départ conduit progressivement à la réussite
grâce à la qualité des schèmes mis en œuvre au
cours de la procédure de résolution................. 210
Conclusion . 217
Notes du cinquième chapitre ........... 225
CONCLUSION GÉNÉRALE ....... 227
BIBLIOGRAPHIE . 233
9PRÉFACE
Michel HENRY,
IREM de Besançon
Aujourd'hui, les jeunes doctorants sont placés dans des
conditions de recherche qui ne leur permettent guère de parler
de leur travail en dehors du cercle restreint de leur laboratoire
ou d'une équipe attachée à un même Directeur de recherches.
Les sujets de recherche sont des plus "pointus", le temps de la
réflexion est limité, les lieux d'échanges sont cloisonnés, les
revues scientifiques sont très spécifiques. Débattre d'une
problématique, partager des méthodes, confronter des résultats
sont des actes de proximité non pas géographique, surtout avec
internet, mais de spécialité au sein d'une même discipline. Il se
produit ainsi une abondante littérature qui, faute de trouver les
moyens d'un transfert en direction d'utilisateurs non
spécialistes mais éclairés, garde pour elle-même d'intéressants
résultats de recherche non exploités.
Il est donc peu fréquent de voir un chercheur faire une
démarche trans-disciplinaire, pour mettre ses connaissances, ses
méthodes et ses résultats à l'épreuve d'autres savoirs, d'autres
outils d'investigations et d'autres manières de concevoir les
mêmes problèmes. C'est le courage de cette démarche que j'ai
d'abord apprécié chez Jean-Pierre Levain, quand il a manifesté
son souhait de travailler avec les équipes de l'IREM (Institut de
Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques) de Besançon
que je dirigeais alors. J'ai pu apprécier ensuite la clarté de ses
exposés, qui ont permis à nos collègues, enseignants et
formateurs du second degré ou chercheurs universitaires, de
faire le point sur les développements contemporains de la
psychologie cognitive et génétique. Contribuant aux études de
l'IREM et de l'APMEP (Association des Professeurs de
Mathématiques) sur l'évaluation des compétences acquises par
les élèves en fin d'année dans les différentes classes des collèges,
il a pu nous faire bénéficier de ses de psychologue
spécialisé en Education et de sa rigueur de pensée dans ce
domaine, rejoignant les attentes de mathématiciens attachés à
cette rigueur pour ce qui a trait à leur discipline d'élection.
Travaillant sous la direction de Gérard Vergnaud - dont l'un
des mérites incontestés a été d'importer au sein de la jeune
didactique des mathématiques une critique constructive des
théories piagétiennes, contribuant ainsi à son développement sur
11des bases psychogénétiques solides - Jean-Pierre Leyain s'est
attaqué à l'un des grands problèmes de l'Education
Mathématique: l'acquisition de la proportionnalité.
Il existe bien des travaux théoriques sur ce sujet, notamment
ceux de Piaget et lnhelder, Bruner, Fishbein et plus récemment
Karplus, pour ce qui concerne l'approche psychologique. Il
existe aussi de nombreuses études d'origine didactique sur les
situations de proportionnalité, notamment celles de Guy
Brousseau, les productions des IREM pour des activités de
classe, ou le manuel de Jean Houdebine, Jean Julo et al. La
proportionnalité et ses problèmes, dédié à la formation des
formateurs, pour ne citer que l'un des plus récents.
L'originalité de la thèse de Jean-Pierre Levain réside dans
l'exploitation des méthodes de la recherche en psychologie
dans les cadres des théories didactiques contemporaines.
Il faut reconnaître que cette rencontre entre la psychologie et
la didactique a porté ses fruits, nous apportant de nouvelles
connaissances sur le comportement des élèves, du CM à la
troisième, quand ils développent leur apprentissage de la
proportionnalité.
Cette recherche a aussi pu mettre en évidence l'importance
du milieu dans lequel les enfants sont appelés à faire
fonctionner leurs démarches de pensée pour reconnaître une
situation de proportionnalité et pour mettre en œuvre des outils
de résolution de tels problèmes.
Le dispositif expérimental qu'il a mis en place à partir d'une
étude théorique approfondie, permet à Jean-Pierre Levain de
révéler et analyser finement les obstacles qui se présentent lors
de cet apprentissage et qui, "par une sorte de lenteur et de
trouble", s'opposent à la formation de l'esprit scientifique.
L'analyse statistique des données issues des réussites ou
échecs des élèves à des items remarquablement construits, fait
apparaître ce qu'il appelle des «profils cognitifs», confirmés par
des entretiens cliniques, qui font découvrir clairement les
ressorts des réponses produites.
Cet ouvrage, directement issu de la thèse, présente donc des
résultats très utiles pour les enseignants qui désirent mieux
comprendre l'origine des difficultés, hésitations et conceptions
erronées qu'ils rencontrent chez leurs élèves, afin de tenter d'y
remédier. Il intéressera les didacticiens qui y trouveront le
fonctionnement de théories didactique~, ainsi mises à l'épreuve.
Les psychologues, sensibilisés par l'Education, y verront tout
12l'avantage d'une collaboration fructueuse avec les spécialistes
d'une discipline scolaire et de son enseignement.
Reprenons maintenant la progression qui est développée au
travers des cinq chapitres de cet ouvrage, pour en indiquer plus
précisément les objectifs, la problématique, le plan expérimental
et les résultats.
Dans la première partie, l'auteur fait le point sur le
développement actuel des travaux en psychologie cognitive
centrés sur la proportionnalité, pour les mettre en perspective
des premières études piagétiennes et de leurs développements
dans les années 70 et 80. Cette synthèse, parsemée de citations
significatives et accompagnée de nombreuses remarques
bibliographiques, sera très certainement un bon outil de travail
pour les jeunes chercheurs en psychologie cognitive. Les
enseignants universitaires y trouveront également de quoi
illustrer abondamment leurs exposés.
Montrant les limites de la théorie des stades de Piaget et de
ses développements, Jean-Pierre Levain nous invite à prendre en
compte la complexité cognitive de la tâche comme déterminant
du comportement des enfants, qui ont à mobiliser un ensemble
plus ou moins riche de schèmes de pensée et d'action pour la
mener à bien. Ce coup de projecteur sur la question des schèmes
nous amène naturellement aux travaux de Gérard Vergnaud,
notamment à son étude du champ conceptuel des structures
multiplicatives. Ce point de vue des structures multiplicatives
permet, par exemple, d'éclairer la question de l'acquisition du
concept de nombre rationnel, au delà des sept composantes et
des cinq conceptualisations dégagées dans d'autres travaux. Il
ouvre aussi la porte à l'analyse quantitative des procédures
utilisées par les enfants, et à son traitement par l'analyse
statistique des données.
Exploitant les cadres théoriques ainsi rappelés, Jean Pierre
Levain présente dans son chapitre 2 une étude très fine du
comportement d'élèves du Cours Moyen en situation de
résolution de problèmes multiplicatifs. Son plan expérimental
est constitué de 35 petits problèmes qui, en des variations
subtiles sur les quatre thèmes des structures multiplicatives mises
en évidence par Gérard Vergnaud, combinés avec les trois types
de problèmes qu'elles induisent, jouent avec la complexité des
valeurs numériques impliquées et le degré de familiarité des
situations décrites dans les énoncés. Les données ainsi recueillies
lui permettent de conduire une analyse statistique sur la base de
dix hypothèses de travail, pour conclure à l'importance du
13facteur "structure" dans le fonctionnement de trois obstacles
majeurs déterminant les réponses des enfants.
Cette première étude montre aussi l'intérêt de développer
une recherche dans une perspective génétique: comment se
mettent en place les concepts de rapport et de proportion.
L'analyse statistique a aussi révélé ses limites quant à
l'interprétation des résultats obtenus, notamment par rapport au
niveau de développement cognitif des enfants. Dans son
chapitre 3, Jean-Pierre Levain souligne les conditions qui
doivent lui permettre de poursuivre cette investigation sur les
processus d'apprentissage de la proportionnalité. Il montre que
cela suppose alors la coordination des méthodes cliniques et
statistiques. Affinant sa problématique, il fait appel à la théorie
des jeux de cadres de Régine Douady et précise sa méthode
expérimentale.
Pour limiter le champ de cette expérimentation et dégager
des résultats précis, il se centre sur les problèmes
d'agrandissements et d'échelles, qui occupent une place
essentielle dans ce champ conceptuel de la proportionnalité. Le
plan expérimental est constitué cette fois-ci de 19 items,
présentant un jeu remarquable de variables didactiques, opérant
sur la structure des problèmes, sur les données numériques et sur
la familiarité des contextes évoqués. La méthode de travail
annoncée consiste en une exploitation statistique des
productions des élèves, du CM à la troisième, complétée par des
entretiens systématiquement conduits sur la base de ces 19
problèmes soumis dans un premier temps à ces élèves.
Les quatrième et cinquième chapitres présentent donc le
corpus de données et les résultats qui se dégagent de cette
expérimentation. Dans le quatrième, Jean-Pierre Levain
développe une analyse a priori des 19 problèmes, montrant en
quoi leur construction s'insère dans les cadres théoriques qui
sous-tendent sa problématique. Il y analyse notamment les
milieux induits par les situations propres à chaque item et
l'impact de la prégnance des structures additives pour induire
chez les enfants le fonctionnement préférentiel d'une sorte de
"pré-proportionnalité". Dans les problèmes d'échelles, il met
en jeu les 4 types de représentations traditionnelles et montre
leur rôle dans l'objectivation des rapports d'agrandissement.
De nombreuses questions se dégagent des réponses des
élèves, de leurs réussites ou échecs. Elles conduisent à certaines
conjectures sur les déterminants de leurs productions qui
appellent, dans un véritable suspense, des outils d'analyse
14performants. Le chapitre 4 se poursuit donc par le traitement
statistique de ces réponses. L'analyse des données en
composantes principales montre alors son efficacité visuelle, en
mettant en évidence sur les graphiques présentés cinq types de
comportements bien différenciés, que Jean-Pierre Levain
désigne par le terme de «profils cognitifs». Ce premier résultat
permet de rapporter aux spécificités de chaque problème les
comportements de chacun de ces groupes, et l'auteur reprend
alors sa compétence de psychologue pour formuler des
hypothèses sur les composantes psycho génétiques de
l'apprentissage de la proportionnalité.
Poursuivant la progression, le chapitre 5 consiste en une
présentation structurée des entretiens qui ont suivi la résolution
des 19 problèmes d'agrandissement et d'échelles. Tel qu'il est
rédigé, ce chapitre peut être un excellent outil de formation
pour la conduite d'entretiens, qui, pour avoir un sens du point
de vue de la recherche, relèvent d'une grande compétence
professionnelle.
Mais cette investigation clinique retiendra aussi l'attention
des didacticiens et passionnera les enseignants. Car, éclairée par
l'analyse en termes de profils cognitifs et étayée par un choix
judicieux d'extraits significatifs des déclarations des enfants, elle
apporte de nombreuses illustrations pour comprendre en
profondeur l'élaboration de leurs idées, implicitement et
explicitement révélées. On goûtera de surcroît la vivacité des
réponses et les remarques suaves que les élèves ont fournies, mis
en confiance par l'habileté de l'expérimentateur. L'intégralité
de ces entretiens n'a pu être reproduite ici, faute de place. On
peut le regretter, rien que pour le plaisir de les lire in extenso
(on pourra les trouver dans les annexes de la thèse).
L'étude clinique confirme alors la pertinence des profils
cognitifs dégagés par l'analyse des données. Elle permet de plus
de positionner les groupes dans leurs évolutions, pour autoriser
quelques hypothèses diagnostiques, débouchant, peut-être, sur
des outils de pronostics.
L'ensemble de l'ouvrage présente ainsi une belle illustration
de cette maxime de base de la formation des jeunes chercheurs:
pour mener à bien une recherche, une méthodologie bien
adaptée à la problématique joue un rôle essentiel.
En l'occurrence, quelle que soit la puissance de l'outil
statistique, notamment de l'analyse factorielle qui permet de
discerner dans des effets extrêmement mélangés l'impact de
différents facteurs, l'interprétation des résultats relève du
15spécialiste, psychologue et didacticien, sachant tirer parti de ses
connaissances théoriques. On ne soulignera jamais assez que
dans l'étude psycho-didactique de phénomènes
d'apprentissage, les données statistiques ne conduisent qu'à la
formulation prudente d'hypothèses que l'analyse clinique
permet de transformer en connaissances sur le développement
passé, présent et peut-être futur de cet apprentissage. C'est l'un
des enseignements, et non des moindres, de cet ouvrage
attachant.
Besançon, le 13 Février 1997.
16INTRODUCTION
Depuis quinze ans, nous assistons à une multiplication
spectaculaire et à une diversité des recherches de psychologie
cognitive concernant l'acquisition et l'utilisation des concepts de
rapport et de proportion. Cette diversité des recherches traduit
l'abandon progressif d'une perspective structuraliste dans
laquelle le raisonnement proportionnel était appréhendé comme
une capacité globale relevant du stade formel. La perspective
cognitive est aujourd'hui largement développée. Elle est
davantage centrée sur les connaissances mathématiques
impliquées dans les différentes tâches et sur la description des
procédures spécifiques mises en œuvre par les élèves. A travers
la variété de ces recherches l'accent est tantôt mis sur l'aspect
procédural (par exemple: qu'est-ce qui conduit un élève à
choisir telle opération pour résoudre tel ou tel type de
problème) ou tantôt sur les aspects conceptuels et représentatifs
(comment s'organise la connaissance du sujet à l'intérieur des
situations qui peuvent être analysées dans le cadre d'une
proportion simple ou multiple). Cette diversité renvoie
cependant à des perspectives de recherches pas toujours
cohérentes les unes vis à vis des autres (perspective
développementale, linguistique et cognitiviste, éducative et
développement des curricula, modélisation cognitive ou encore
psychologie différentielle). Il importait donc de faire le point et
aussi de montrer que, depuis peu, une volonté d'organisation et
de synthèse semble se dégager de ces différents travaux. C'est ce
que nous tentons de faire dans le premier chapitre qui analyse
cette évolution qui porte sur les quarante dernières années et
tente de présenter les perspectives contemporaines les plus
prometteuses.
Nous avons voulu, dans un deuxième temps, faire avancer la
recherche sur un certain nombre de points. Pour ce faire, nous
présentons dans le chapitre II, un questionnaire concernant la
résolution de problèmes multiplicatifs à la fin du cycle primaire.
Un travail statistique s'appuyant sur les méthodes fiduciaires de
l'équipe de H. Rouanet met en évidence les bonnes
performances des élèves de CM2 à résoudre des problèmes de
recherche d'une quatrième proportionnelle. A ce niveau, les
élèves sont beaucoup plus nombreux à réussir, notamment les
problèmes avec des décimaux inférieurs à 1, que ne le laissaient
prévoir les enquêtes anglo-saxonnes. Ce travail permet déjà
d'avancer plusieurs pistes que nous présentons sous forme de
]7propositions didactiques pouvant éventuellement servir de relais
à d'autres expérimentations.
Le chapitre III souligne les limites méthodologiques de cette
recherche et aboutit à la présentation, dès le chapitre IV, d'un
nouveau questionnaire à des élèves de 10 à 15 ans de classes
allant du CM2 à la 3ème. Ce travail vise trois principaux
objectifs:
1- explorer sur une large période de temps les compétences
des élèves à résoudre une série de problèmes d'agrandissement
et d'échelle.
2- Catégoriser et décrire les différentes procédures de
résolution.
3- Analyser si la réussite ou l'échec renvoient à des profils
cognitifs spécifiques ainsi qu'à l'utilisation de procédures de
résolution particulières. L'étude statistique des différentes
procédures repose sur le croisement d'une analyse factorielle des
correspondances et d'une analyse hiérarchique. Elle nous
permet de valider cinq styles cognitifs spécifiques et de
reconstituer la trajectoire possible des élèves.
Enfin, nous développons ,dans le chapitre V, une étude
clinique qui porte sur l'analyse du contenu de vingt entretiens
réalisés une année après la passation du questionnaire et
concernant un sous-échantillon de celui-ci. Ce travail nous
permet de pointer les principaux types d'erreurs rencontrées par
les élèves. Il débouche également sur un ensemble d'hypothèses
didactiques susceptibles de faciliter l'acquisition des concepts de
rapport d'agrandissement et d'échelle.
181- DÉVELOPPEMENT COGNITIF ET ACQUISITION DE
LA PROPORTIONNALITÉ
Nous tenterons dans ce chapitre d'analyser l'évolution des
principales recherches concernant la résolution de problèmes de
proportionnalité. Pour ce faire, nous distinguerons plus
particulièrement trois grandes étapes: les travaux de Piaget et de
ses collaborateurs, les premières divergences formulées par ses
successeurs immédiats qui mettent en cause, au cours des années
1970, le modèle lié à la théorie des stades, enfin les orientations
contemporaines qui insistent davantage sur les processus de
conceptualisation contruits par le sujet en référence aux
différentes classes de 'problèmes à résoudre.
1- Les travaux piagétiens :
Les travaux de Jean Piaget et de ses collaborateurs ont
marqué, par leur richesse et leur importance, une avancée
décisive dans l'étude de l'acquisition des notions de rapport et de
proportion. Si, aujourd'hui la majorité des recherches font
encore référence à ces travaux, c'est cependant pour s'en
démarquer plus ou moins nettement.
Pour Piaget, la proportionnalité est une notion
logicomathématique qui relève de l'accès au stade formel. La mise en
place du raisonnement proportionnel passerait, selon lui par
deux phases: d'abord une compréhension logique de la
proportionnalité puis, dans un deuxième temps, une estimation
de ses aspects métriques (Inhelder et Piaget, 1955).
Si nous reprenons comme exemple, la très célèbre épreuve de
la balance dont chacun des bras comporte plusieurs points de
fixation équidistants auxquels peuvent être suspendus des poids
de valeur variable. Il est généralement demandé au sujet de
rétablir l'équilibre à partir d'une configuration donnée pour l'un
des bras de la balance et d'expliquer les effets observés. L'enfant
doit d'abord découvrir qu'une certaine augmentation de poids
dans un plateau peut être compensée par une diminution de la
distance du plateau par rapport à l'axe central (dans un premier
temps cette compensation est le plus souvent considérée comme
additive). Ce n'est qu'au delà de cette première compréhension
qu'intervient l'évaluation quantitative du système de rapports en
jeu à partir, cette fois, d'une compensation multiplicative
(Noelting, 1982, p4).
19Cette épreuve de la balance traduit bien une situation de
proportionnalité, puisque les poids sont en proportion inverse
des distances (fig.I) :
Il. ... 12...
Pl 12l I
--P 2 Il
5J GJ
Fig.l
Le raisonnement: "si je double pl, alors je dois aussi
doubler 12" est un raisonnement de proportionnalité. Nous
noterons néanmoins que cette expérience fait intervenir la
notion de "moment" et aboutit, de ce fait, à l'égalité de deux
produits plutôt qu'à l'égalité de deux rapports!..
Au stade des opérations concrètes un enfant peut, par un
processus d'essais et d'erreurs, déterminer qu'un poids de 200
grammes par exemple, placé à 10 centimètres du point de pivot
peut être compensé par un autre de 100 grammes, suspendu de
l'autre côté à 20 centimètres de ce même axe. Par contre il
faudra attendre le stade des opérations formeUes pour que
l'adolescent calcule directement à queUe distance il convient de
placer tel poids à droite pour compenser tel autre à gauche.
Pour Inhelder et Piaget (1955), la capacité à résoudre des
problèmes de proportion découle directement de la mise en
place du groupe INRC. Le sujet peut établir l'équilibre de la
balance de deux façons: soit en ajoutant ou en retranchant un
poids, soit en déplaçant le plateau vers la gauche ou vers la
droite par rapport au couteau. La maîtrise de la situation
d'équilibre implique donc de coordonner un double système de
transformations causales et spatiales.
Si l'on désigne par p la proposition: "Augmenter le poids
dans le plateau", il est alors possible de définir I, la
p, ainsi que N, la transformationtransformation identique: Ip =
inverse qui se traduit par la possibilité d'annuler l par une
diminution correspondante du poids: Np =non-p.
Si l'on désigne enfin par q la proposition: "Augmenter la
distance du plateau par rapport au couteau", cette
transformation réciproque R annule la transformation p dans un
20deuxième système spatial, nous obtenons alors Rp = q
(l'augmentation de la distance sur l'un des bras de la balance
"compense" l'augmentation du poids sur l'autre bras). La
transformation corrélative C est l'inverse de R, elle traduit,
toujours dans ce deuxième système, une diminution
correspondante de la distance: Cp =non-q =NRp :
"L'augmentation du poids est à la diminution
correspondante de distance comme une augmentation de
distance à la diminution correspondante de poids (ceci
indépendamment encore de toute mesure). Tel paraît être le
schéma qualitatif d'où part le sujet dans sa découverte de la
proportionnalité et qui se fonde essentiellement sur la
réciprocité des poids et des distances que lui suggère
l'expérience ..."'Inhelder et Piaget 1955, p280).
Selon Piaget, la compréhension des situations de
proportionnalité découle de cette nouvelle structure du groupe
INRC qui organise les schèmes opératoires du sujet: notion de
proportion, double système de référence, équilibre entre action
et réaction etc. La réversibilité de ces quatre opérations I:
opération identique, N: opération inverse, R: opération
réciproque, C : opération inverse de la réciproque ou corrélative,
et leur coordination en un système unique expliquerait la
supériorité de la pensée de l'adolescent par rapport à celle de
l'enfant. Cette nouvelle logique traduit également la
subordination du réel au monde des possibles puisque les
arguments émis par le sujet peuvent s'analyser comme autant
d'actualisation des virtualités qui sont comprises au sein même
de cette structure2.
Le développement de la notion de proportion, dans
l'expérience de la balance, s'effectue en trois stades comprenant
chacun deux sous-stades:
Au stade I A (entre 3 et 5 ans), l'enfant est incapable
d'intégrer les données du problème et ne possède que des
représentations intuitives des facteurs en jeu.
Au niveau B du stade I (de 5-6 à 7-8 ans), l'enfant reconnaît
l'action du poids ou de la distance par rapport à l'axe, mais sans
possibilité de compensation de l'un par à l'autre. Piaget
parle de régulations, et pas encore d'opérations: elles permettent
déjà, à un niveau intuitif, de résoudre les problèmes les plus
simples où un seul facteur varie.
Au stade II A (de 7-8 à 9-10 ans), l'enfant devient capable
d'opérer concrètement sur chacun des facteurs en jeu, sans
21toutefois parvenir à coordonner le poids avec la distance.
L'équilibre est atteint par approximations successives.
Au niveau B de ce même stade la loi d'équilibre est quantifiée
ordinalement (plus de poids donc moins de distance).
Le stade formel III A (de 12 à 13 ans), se caractérise par la
découverte de la proportionnalité et l'explication de la loi
d'équilibre (un poids déterminé peut compenser une distance
donnée multiplicativement). Il manque encore au sujet une
métrique suffisamment développée pour traiter toutes les
questions possibles.
Ce n'est qu'au niveau B de ce stade (de 13 à 14 ans) que tous
les rapports seront analysés quantitativement, la compensation
des variables étant déjà établie. L'adolescent devient capable de
résoudre tous les cas3 : Pl/P2 = D2/DI.
L'épreuve de la quantification des probabilités4 permet
également à Piaget et Inhelder d'étudier le développement de la
notion de proportion. Cette expérience porte sur la comparaison
de deux collections de jetons blancs dont certains portent une
croix au verso. Les jetons sont retournés, de manière à ce que les
croix ne soient plus visibles, puis mélangés. On demande alors
au sujet de déterminer la collection qui offre le plus de chance,
par tirage d'un seul jeton au hasard, d'obtenir un jeton avec
croix. La probabilité repose sur une différenciation entre le
possible et le nécessaire puisque tous les jetons sont blancs
(nécessité) alors que seuls certains ont une croix (possible) son
calcul est donc le rapport des cas favorables sur les cas possibles.
C'est en ce sens que, pour Piaget, le concept de hasard se
construit à partir des opérations, la combinatoire permettant
l'évaluation des possibles. Les dix questions posées au sujet vont
de la double impossibilité (pas de jeton à croix dans aucune des
deux collections) à l'inégalité complète des rapports en jeu (par
exemple: 1/2 dans une collection, et 2/3 dans l'autre) en passant
par la proportionnalité (comme 1/3 dans une collection, et 2/6
dans l'autre).
Le développement de la proportionnalité passe là encore par
trois stades comprenant chacun deux sous-stades:
Au stade I A (de 4 à 5 ans), l'enfant ne se préoccupe pas des
relations quantitatives, mais réussit cependant les problèmes
comportant des impossibilités (égalité des probabilités 0/2 et 0/3,
inégalités respectives des deux probabilités suivantes: 0/2
comparé à 2/2 et 1/2 comparé à 0/2).
Au niveau B du stade I (de 5 à 7 ans) L'enfant réussit, mais
de manière irrégulière et intuitive à analyser certains rapports où
une seule variable est impliquée (1/2 et 1/3, 1/4 et 2/4). Il
22s'appuie encore essentiellement sur des configurations
perceptives ou imagées de la collection. Il n'y a donc pas encore
d'opérations basées sur des emboîtements ou des disjonctions
généralisables entre parties et touts.
Au stade II A (de 7 à 9 ans), Il y a, cette fois, réussite
générale à l'ensemble des comparaisons qui impliquent une
seule variable et échec systématique aux autres questions de
proportionnalité.
Le niveau II B (de 9 à Il ans) est un stade de transition. Il
marque déjà le passage vers le stade III. Avant de donner lieu à
une solution systématique, les questions à deux variables sont
résolues peu à peu par tâtonnements empiriques. Il y a par
exemple solution des problèmes de type 1/2 et 2/4.
Au stade III (12 ans et plus), L'enfant réussit de manière
systématique et rapide à l'ensemble des questions à deux
variables, aussi bien 1/3 comparé à 2/6 que 1/2 à 2/5 ou 2/5 à 4/9.
Nous avons résumé et schématisé dans les tableaux nOI et 2 la
progression des stades en ce qui concerne ces deux expériences
(équilibre de la balance et quantification des probabilités) :
Stade A e: Observations:
L'enfant est incapable d'intégrer les données
IA 3 à 5 ans du problème, et ne possède que des
re résentations intuitives des facteurs en 'eu.
Mise en évidence de l'action du poids suivant
ill 5-6 à 7-8 la position sur le fléau. Régulations qui
ans permettent déjà de résoudre les problèmes les
lus sim les où un seul facteur varie.
7-8 à 9- Capacité à opérer l'équilibre par
IIA 10 ans approximation; pas de coordination générale
oids-distance.
La loi d'équilibre est quantifiée additivement9-10 à
IIB 11-12 lus de oids donc moins de distance .
Explication de la loi :"un poids déterminé
DIA 12 à 13 peut compenser une distance donnée
ans multiplicativement". La proportionnalité est
découverte.
13 à 14 Pl/P2 = D2/Dl. Résolution de tous les cas
IIJB ans ( corn ris les lus corn lexes .
Tableau nOl : progression des stades dans l'équilibre
de la balance d'après Piaget et al. 1955.
23Age:Stade: Observations:
lA 4 à 5 ans L'enfant ne se préoccupe pas des relations
quantitatives, mais réussit les problèmes avec
impossibilité: 0/2 comparé à 0/3, 0/2 à 2/2,
1/2 à 0/2.
Régulations s'appuyant sur des configurationsIB 5 à 7 ans
perceptives ou imagées de la collection. Pas
encore d'opérations basées sur des emboîtements
ou disjonctions généra]isables à des relations
oarties-tout ex : ]/2 comoaré à 1/3 ; 1/4 à 2/4.
ITA 7 à 9 ans Réussite générale aux comparaisons à une seule
variable. Échec systématique aux questions de
orooortion.
Solutions empiriques aux questions deDB 9 à 11
proportionnalité simples par exemple: 1/2ans
comparé à
2/4.Résolution systématique des questions à deuxm 12 ans et
plus variables: aussi bien 1/3 comparé à 2/6 que 1/2
à 2/5 ou 2/5 à 4/9.
Tableau n02 : progression des stades dans l'épreuve de la quantification
des probabilités d'après Piaget et al. 1951.
Comme nous pouvons le remarquer, ces deux tableaux sont
relativement convergents en ce qui concerne la mise en place
des différents stades liés au développement de la
proportionnalité qui n'est jamais acquise avant l'âge de douze ou
treize ans.
Pourtant en 1968, Piaget reprend et commente une
expérience conduite par Sinclair dans laquelle trois anguilles A,
B et C respectivement de longueur 5, 10 et 15 centimètres
ingurgitent une quantité de nourriture proportionnelle à leur
longueur. Dans une première épreuve, la nourriture consiste en
boulettes de viande représentées par des perles (unités discrètes).
Dans une seconde, il s'agit de biscuits représentés par des
réglettes de longueur variable (quantité continue).
Les questions posées sont les suivantes:
- si A reçoit une boulette, combien en reçoivent B et C ?
- Si B quatre boulettes, combien en reçoivent A et C ?
- Si C reçoit neuf en A et B ?
Piaget et Sinclair distinguent cette fois non plus trois, mais
quatre stades dans le passage d'une pré proportionnalité
qualitative à une proportionnalité quantitative:
Au stade I, le sujet juge "en plus ou en moins". Toutes les
solutions sont bonnes pourvu que C reçoive plus de nourriture
que B qui en reçoit lui-même plus que A. La règle appliquée est
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