L'ENTRETIEN COGNITIF À VISÉE D'APPRENTISSAGE :

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La loi d'orientation de 1989 a ouvert le fonctionnement de l'école à de nouveaux dispositifs destinés à mieux répondre aux besoins individualisés des élèves. Dans ce contexte, un modèle d'Entretien Cognitif à visée d'apprentissage (ECA) cherchant à prévenir les difficultés rencontrées par les écoliers a été conçu et mis à l'épreuve dans le domaine de l'enseignement de la proportionnalité en CM2. Onze entretiens d'élèves qui ont été réalisés, transcrits et étudiés montrent des modifications bénéfiques quant à la manière d'aborder et de résoudre les problèmes de proportionnalité. Un nouvel outil dont peuvent tirer profit les enseignants, les accompagnants scolaires et les rééducateurs.
Publié le : mardi 1 janvier 2002
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EAN13 : 9782296295704
Nombre de pages : 360
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L'ENTRETIEN COGNITIF A VISÉE D'APPRENTISSAGE:
Un dispositif pour aider l'élève en mathématiques

Collection Savoir et Formation dirigée par Jacky Beillerot et Michel Gault

Déjà parus Hervé TERRAL, Les savoirs du maître. Noël TERROT, Histoire de l'éducation des adultes en France Gérard IGNASSE, Hugues LENOIR, Ethique etformation. Claudine BLANCHARD-LA VILLE, Dominique FABLET, Analyser les pratiques professionnelles. Chantal HUMBERT (ed), Projets en action sociale. Daniel GAYET, Ecole et socialisation. Yves GUERRE, Le théâtre-Forum. Jacky BEILLEROT, L'éducation en débats: lafin des certitudes. Françoise F. LAOT, La formation des adultes, histoire d'une utopie en ecte, le Complexe de Nancy. Georges SNYDERS, Des élèves heureux... Bernard BONNET, La formation professionnelle des adultes, une institution et ses formateurs. Christophe WULF, L'anthropologie de l'éducation. Claudine BLANCHARD-LA VILLE et Dominique FABLET, L'analyse des pratiques professionnelles (édition revue et corrigée), 2000. Nicole MOSCONI, Formes etformations du rapport au savoir. Chantal HUMBERT (coordonné par) Les usagers de l'action sociale. Sujets, clients ou bénéficiares ? Claudine BLANCHARD-LA VILLE et Dominique FABLET (coord.), Pratiques d'intervention dans les institutions sociales et éducatives. Philippe SARREMEJANE, Histoire des didactiques disciplinaires, 2001. Philippe CARRÉ (sous la dir. de), De la motivation à laformation, 2001. Patrice PELPEL, Apprendre etfaire, 2001. Jean-Claude FILLOUX, Épistémologie, éthique et sciences de l'éducation, 2001. Michèle GUIGUE, Le point de vue desjeunes sur l'orientation, 2001. M. HUBER et P. CHAUT ARD, Les savoirs cachés des enseignants, 2001.

Collectif du MOULIN, Intégrer les formations ouvertes - Résultats et
analyse d'une conférence de consensus, 2002

@L'Harmatlan,2002 ISBN: 2-7475-2865-0

Michel Perraudeau

L'ENTRETIEN COGNITIF A VISÉE D'APPRENTISSAGE:
Un dispositif pour aider l'élève en mathématiques

L'Harmattan 5-7, nIe de l'École-Polyteclmique 75005 Paris

FRANCE

L'Harmattan Hongrie Hargita u. 3 1026 Budapest HONGRIE

L'Harmattan Italia Via Bava, 37 10214 Torino ITALIE

Ouvrages du même auteur

-Echanger pour apprendre: l'entretien critique, 1998, Paris, Armand Colin-Bordas
- Les Méthodes cognitives: apprendre autrement à l'école, 1996 (2e édition: 2001), Paris, Armand Colin-Bordas ... Piaget aujourd'hui: réponses à une controverse, 1996 (2e

édition: 2001), Paris, Armand Colin-Bordas

- Les

. traduction portugaise: 1998, Lisboa . traduction espagnole: 1999, Mexico

Cycles et la Différenciation pédagogique, 1994 (4e édition: 2001), Paris, Armand Colin-Bordas - Les Ateliers d'écriture à J'école primaire, 1994, Paris, Albin Michel

Articles et contributions

à des ouvrages collectifs
(dir.),

- "L'ECA

- UL'Entretien de type critique", 2002, Cahiers Binet-Simon
BARAIS

et la question du sujet", in M. SOETARD Le Sujet en éducation, à paraître

- "La psychologie en milieu éducatif: quelles interventions

pour favoriserla réussitescolaire", 2002, Psychologie et Education, en co-rédaction avec Annick WEll.r

- nL'éducation intellectuelle dans rapproche de Jean
Piaget", inJ.-P. GATE (dir.), De l'éducation intellectuelle, 2000, Paris, L'Harmattan - "Accompagner la construction du raisonnement: les ARLà l'école", in J.-P. GATE (dir.), De l'éducation intellectuelle, 2000, Paris, L'Harmattan

TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION CHERCHE

- DE
-

LA PRATIQUE VERS LA REIl
ETAT DE

Première partie LA PROPORTIONNALITE: LA QUESTION Chapitre Premier - Epistémologie de la proportionnalité l.a - Le cadre mathématique l.b - Les situations de proportionnalité
Chapitre 2 Psychogénèse de la proportionnalité 2.a L'école de Genève 2.b Les prolongements de l'approche piagetienne 2.c - La théorie des champs conceptuels

21 21 23 29 29 31 35 41 41 42 49 59

-

-

-

Chapitre 3 L'enseignement de la proportionnalité en CM2 3.a Bref rappel de l'enseignement 3.b Proportionnalité et programmes officiels

-

-

3"c - Analyse de plusieurs manuels de CM2 3.d - Les différentes classes de problèmes

partie - LA PROPORTIONNALITE: DIAGNOSTIC DES PROCEDURES DE RESOLUTION, UTI. LISEES PAR LES ELEVES Chapitre 4 - Analyse des réponses des élèves pour diagnostiquer leurs procédures 65 4.a - Les problèmes 65 4.b - La population concernée 67 4.c - Le recueil des données 68 4.d - Le bilan du test exploratoire 70 Deuxième Chapitre 5 - Un outil de diagnostic des procédures de résolution utilisées par les élèves: le 9PQP S.a - Présentation et analyse des neuf problèmes 5.b - Présentation des deux classes d'élèves S.c - Méthodologie employée S.d -Analyse des réponses des élèves 75 75 83 84 86

7

Troisième partie UN MODELE D'ENTRETIEN TIF POUR L'APPRENTISSAGE Chapitre 6 - Les principaux modèles d'entretien 6.a ...L'entretien comme modalité d'observation 6.b - L'entretien clinique-critique piagetien 6.c - D'autres modèles d'entretien

-

COGNI95 95 98 103

Chapitre 7 - Vers un nouveau modèle d'entretien cognitif à visée d'apprentissage 113 7.a - Les questions posées par un nouveau modèle 113 7.b - Médiation et tutelle 114 7.c - Les différents types de parole provoquée 123 7.d - Le contrat liant les interactants 127 7.e - Un premier modèle d'entretien cognitif 131 Chapitre 8 - Le choix de la méthodologie de traitement des données recueillies en entretien 135 8.a - L'analyse du discours de l'élève 135 8.b - L'analyse des questions de l'intervieweur 143 S.c - Les relations entre interactants 154

Chapitre 9 - Traitement des données pour les entretiens relatifs au problème peinture 165 9.a - Le problème peinture et sa résolution 165 9.b - Les procédures de résolution des élèves 167 9.c - La conceptualisation des relations 170 9.d - L'analyse des relations entre interactants 189

Quatrième partie EVOLUTION DES PROCEDURES DE RESOLUTION EN COURS D'ENTRETIEN COGNITIF

-

9.e - Conclusion

200

Chapitre 10 - Traitement des données pour les entretiens relatifs au problème tapisserie 207
10.a

- Le

problème tapisserie et sa résolution

207

10.b- Les procéduresde résolutiondes élèves IO.c- La conceptualisationdes relations 10.d- L'analysedes relationsentre interactants IO.e - Conclusion
Chapitre Il Interprétation des résultats Il.a La composante cognitive de l'ECA 11.b - La composante verbale de l'ECA

209 213 234
245

-

-

253 253 263

8

Il.c - La composante sociale de l'BCA Il.d - Le modèle d'BeA

271 278 VERS LA PRA281 295
305 307 309 313 319 323 325 329 333 337 343 347 351 355 361

CONCLUSION TIQUE

- DE

LA RECHERCHE

BIBLIOGRAPHIE INDEX DES TABLEAUX ANNEXES
Entretien avec Ber. Entretien avec ThÎ. Entretien avec Man. Entretien avec Pau. (1) Entretien avec Nic. Entretien avec Bap. Entretien avec Ben. Entretien avec Jea. Entretien avec Ale. Entretien avec Pau. (2) Entretien avec Mat. Entretien avec Aud. Version actualisée des neuf problèmes

9

INTRODUCTION: DE LA PRATIQUE VERS LA RECHERCHE

Le fonctionnement de l'école est organisé sur un
mode collectif dont le groupe classe et renseignement indifférencié sont les expressions les plus courantes. Depuis plusieurs années, une série de directives (MEN: 1994, 1995) cherche à faire évoluer les pratiques à récole primaire. Ces textes préconisent de développer l'aide individualisée lors de périodes d'études dirigées, n'excédant pas deux heures hebdomadaires, afin de répondre aux besoins différenciés de chaque élève. L'enjeu de ce dispositif est double: permettre aux enseignants de mieux identifier les conduites d'apprentissage des élèves et donner à ces derniers des outils méthodologiques afin qu'ils construisent leurs savoirs de manière plus stable. Cependant, ces propositions ne se confondent pas avec la remédiation destinée aux élèves en échec, qui existe sous deux formes principales: adaptation souple, telle l'intervention de rééducateurs de réseau d'aide, et intégration structurellement organisée (classes spécialisées et regroupement d'établissements de zones prioritaires). Le dispositif des études dirigées va même à rencontre de l'idée selon laquelle l'école ne peut engager un traitement de la difficulté qu'une fois qu'elle est installée. Il propose la mise en œuvre de modalités d'aide afin de "prévenir les risques d'échec et de réduire les difficultés (...)" (MEN, 1994). Ces instructions mettent en avant la nécessité d'anticipation de l'enseignant et de regard nouveau à poser sur les risques

de l'apprentissage, en complément de la remédiation existante.
11

Dans ce nouveau contexte, nous avons, depuis plusieurs années, réfléchi à la pertinence d'un dispositif destiné à provoquer la verbalisation de l'écolier, afin de mieux comprendre les procédés qu'il utilise quand il est confronté à une tâche. Ce travail constitua le thème d'une publication (1998) puis de notre recherche de DEA (1999). Nous avions montré que la conduite d'un entretien, de type clinique-critique, ne pouvait se circonscrire au simple enregistrement de parole. Etait apparue la nécessité d'étudier les échanges avec des outils méthodologiques. Nous avions utilisé le découpage en épisodes, ces unités permettant de "mieux rendre compte de la structure de communication révélée par les échanges et types d'interactions verbales et de son aspect temporel successif, répétitif et cyclique." (Altet, 1994b). Nous avions aussi convoqué une méthode d'analyse structurale (Piret, Nizet et Bourgeois, 1996). Nous nous étions également aperçu qu'au-delà des aspects verbal et cognitij; l'entretien enseignant-élève comprenait des composantes sociale et didactique dont nous n'avions pas mesuré au préalable toute l'importance: le fait que ces entretiens fussent menés par des étudiantes, novices dans la pratique, et qu'ils fussent dispersés entre différents champs disciplinaires, limita nos constats sur les conduites réellement engagées par les écoliers. A partir des résultats de nos précédentes recherches, l'objet de notre thèse, dont la présente publication reprend les éléments principaux, fut de montrer qu'il est possible de concevoir un modèle d'entretien à visée d'apprentissage qui prenne en compte, pour les dépasser, les limites enregistrées: en conduisant nous-mêmes les échanges avec les écoliers; en situant la tâche, support du dialogue, dans un seul champ disciplinaire; en objectivant la pratique par l'utilisation de nouveaux outils d'analyse de parole. Le travail consista à concevoir ce modèle et explorer sa pertinence. Pour le mettreà l'épreuve, nous l'avions utilisé lors d'activités de résolution de problèmes avec des élèves de CM2. Nous avions choisi un domaine de connaissances réputé difficile, la proportionnalité, pour lequel ces écoliers 12

possèdent peu d'expérience. Dans le contexte défini, celui de la prévention, nous nous situions en amont de l'apprentissage et non en phase de remédiation. L'épistémologie du domaine de connaissance

Le choix du contexte, le domaine de la proportionnalité, tient à la place déterminante que ce champ mathématique occupe dans le cursus scolaire (Boisnard et al., 1994) ainsi qu'à l'importance de sa mallrise dans l'exercice de la vie quotidienne et professionnelle (Juto, 1982). Ces raisons expliquent que la proportionnalité ait fait l'objet de nombreuses recherches, à la suite des travaux de Vergnaud (notamment: 1983), portant sur son appren. tissage par les collégiens (Levain, 1994; !REM de Rennes, 1997) et par les jeunes adultes (Meni, 1995). Nous nous sommes intéressé, en amont de ces populations, aux élèves de CM2, considérés comme sujets novices puisqu'ils n'ont pas encore bénéficié, dans ce domaine, d'un enseignement systématique. Cependant, aborder un champ aussi riche que celui de la proportionnalité implique que nous effectuions une remarque préalable. Notre formation originelle n'est pas celle d'un didacticien des mathématiques et, comme pour beaucoup d'enseignants du premier degré, notre pratique dans ce domaine s'est longtemps fondée sur la connaissance et l'usage des manuels destinés aux élèves. Par la suite, la conduite d'analyses de pratiques, menées dans le cadre de l'exercice de notre fonction de formateur en IUFM, nous a instruit des limites de la seule expérience et de la nécessité de maîtriser l'épistémologie et le savoir expert du domaine. C'est la raison pour laquelle, nous nous sommes, en premier, référé aux fondements de la proportionnalité, définie par Vergnaud (1987) comme champ conceptuel utilisant plusieurs registres de représentations. Au début de notre travail, nous avons, aussi, tracé les lignes d'une psy-

13

chogénèse du champ, en rappelant les références piagetiennes (principalement: Inhelder et Piaget, 1955) et en les relisant à la lumière de recherches récentes.

Afin de comprendre renseignement de ]a proportionnalité à récole primaire et le type de problèmes qui est proposé aux élèves, il nous a semblé nécessaire d'étudier les manuels les plus usités en CM2. Nous nous sommes,
aussi, intéressé aux évaluations nationales, réalisées chaque

année en début de sixième: elles fournissent des indications sur le traitement des structures multiplicatives par le collégien débutant. La conception d'un outil de diagnostic

Une fois le domaine de connaissance défini, se pose le choix de la tâche constituant le support de l'entretien. Ce choix nous semble important car c'est au cours du dialogue, que l'élève met en mots les procédés qu'il a utilisés lors de la réalisation. Cette tâche se rapporte à la résolution de problèmes, activité permettant ttde comprendre comment les individus s'y prennent pour trouver des solutions pour lesquelles ils ne disposent pas a priori de réponse appropriée." (Weil-Barais, 1991). Nous avons écarté les exercices extraits des manuels, compte tenu des limites relevées: disparité entre les types de problèmes proposés et faible prise en compte de leurs structures. TI nous a semblé
préférable de concevoir un outil de diagnostic - d'une part, un ensemble de problèmes, pouvant

être considéré comme référence commune, préalable à l'intervention individualisée; - d'autre part, une grille d'analyse des procédures

mises en œuvre, par les écoliers, pour résoudre ces problèmes. Ainsi, nous avons mis au point neuf problèmes analysablespar une structure de proportion simple mettant en jeu quatre quantitéspouvantappartenirà deux espacesde
14

mesure différents (Vergnaud, 1983; Levain, 1994). Selon les problèmes, nous formulons l'hypothèse que les modes de traitement peuvent emprunter une voie plutôt pragmatique ou une voie plutôt canonique. Dans le premier cas, l'élève met principalement à profit des connaissances de la vie quotidienne pouvant raider à résoudre le problème. Dans le second cas, le traitement repose surtout sur ltune des modalités suivantes: la relation interne, ou scalaire, entre quantités à l'intérieur d'un même espace de mesure; le passage par l'unité, autre relation interne; la relation externe, ou fonction, établie entre des quantités d'espaces différents. Nous avons proposé les neuf problèmes aux élèves de deux classes de CM2: rune située en REP, réseau d'établissements de zone prioritaire, l'autre en centre-ville. Ce choix nous permet de considérer une population diversifiée d'élèves. Recueillir une tra.ceécrite du traitement effectué et des procédures de résolution mises en œuvre fut l'étape préalable à la conduite des entretiens. La conception d'un modèle d'entretien cognitif

En partant de notre première recherche, en tenant compte des limites que nous avions enregistrées, en nous appuyant sur la définition du champ conceptuel et sur l'outil de diagnostic, nous avons conçu un nouveau modèle d'entretien. Les principes directeurs que nous avons retenus sont les suivants: le tuteur est l'intermédiaire entre le savoir et l'élève, dans les perspectives de Vygotski et de Bruner;

-

- les problèmes

et les réponses écrites constituent un

référent commun aux interactants;

- le questionnement du tuteur est dirigé par sa
connaissance du champ conceptuel et les données recueillies lors du diagnostic;

descriptive ou explicative, réponse à une question ou à une 15

- la parole

provoquée par le tuteur peut être

contre-suggestion, elle a pour effet de permettre à l'enseignant de comprendre les procédés de l'élève et à celui-ci de les identifier et, éventuellement, de les modifier.

Dans ces conditions, nous avons fait l'hypothèse que, à rissue d'une interaction menée surla façon de traiter le problème, l'élève soit en mesure d'accroître les connaissances qu'il partage avec le tuteur. Ce premier
modèle d'Entretien Cognitif à visée d'Apprentissage (ECA) est mis à l'épreuve auprès des élèves de CM2.

La méthode d t analyse des entretiens
Deux semaines après la phase papier-crayon de résolution des neuf problèmes, nous avons mené onze ECA avec des élèves de chacune des deux classes. Ces écoliers ont utilisé des procédures qui n'aboutissent pas, selon les critères défmis par notre grille de diagnostic, ou n'ont donné aucune réponse. Pour mieux comprendre les discours enregistrés et les évolutions de conduites, nous avons analysé les données recueillies au cours des dialogues. Comme l'expliquent Berdot et Blanchard-Laville (1996), il est nécessaire d'établir un lien 'tentre les intuitions foumies par l'approche clinique, subjective par nature, et les éléments d'objectivation apportées par l'usage des techniques d'analyse de discours." Afm d'objectiver plus finement les contenus de parole, nous avons enrichi la méthode utilisée précédemment par le relevé des modalités épistémiques (Basano, 1990). Elles traduisent l'opinion du sujet sur son propre discours et peuvent renseigner sur le degré d'implication de l'élève dans les procédés qu'il choisit. En outre, afin de prendre plus directement en compte la composante sociale de l'entretien, nous avons cherché à identifier les éventuels enjeux liés aux places occupées par les partenaires lors de l'interaction verbale. Pour cela, nous avons analysé les relations en termes de positions de places et de proximité entre interactants (Kerbrat-Orecchioni, 1992). L'analyse des "questions élu16

cidantes" (Barth, 1987) que nous avons énoncées et de leur niveau de guidage ainsi que les divers modes de communication employés sont également présentés. Dans le corps de la thèse, les dialogues sont étudiés à partir des épisodes les plus significatifs. La transcription verbatim des
entretiens figure en annexes.

La mise à l'épreuve

de l'ECA

Chacun des onze entretiens cognitifs à visée d'apprentissage est conduit à propos d'un des deux problèmes choisis pour le recueil des données, parmi les neuf réalisés lors de la phase papier-crayon. Le choix de ces deux problèmes résulte du fait qu'ils présentent a priori les deux cas typiques de résolution, le mpport interne et le rapport externe. Ils offrent aussi la possibilité d'une approche plus pragmatique: ces deux problèmes sont liés à des pratiques sociales pouvant être connues des élèves et pouvant servir de point d'ancrage aux échanges (calcul du prix de pots de peinture, pour le premier cas, et de celui de rouleaux de tapisserie, pour le second problème). La discussion qui suit l'étude des entretiens concerne plusieurs domaines.

apprennent à propos de la résolution de problèmes de proportionnalité par les élèves de CM2 interrogés: leur
cheminement vers la conceptualisation et leur évolution dans la mise en œuvre de procédures de résolution. - Nous dégageons les caractéristiques de l'ECA, à partir du modèle conçu et tel qu'il apparaît après la mise à l'épreuve. - Nous discutons, notamment, ce qui concerne le rôle du questionneur et le niveau de sa médiation; la nature du contrat liant enseignant et élève dans la situation particulière du dialogue; les effets produits par l'utilisation des suggestions alternatives.

- Nous revenons sur ce que les dialogues

17

Ces constats nous conduisent à préciser les conditions à partir desquelles l'entretien cognitif à visée dtapprentissage peut être considéré comme modèle d'accompagnement individualisé, avec pour finalité de prévenir certaines difficultés d'apprentissage. Conséquemment, ces constats amènent à s'interroger sur la fonnation des enseignants à la maîtrise de ce nouvel outil d'aide individualisée.
Notre cheminement professionnel nous a conduit de la pratique vers la recherche et, plus précisément, nous a mené à ce que la mise à distance que pennet celle-ci enrichisse celle-là. fi repose sur une question importante de l'articulation enseignement-apprentissage: quelle forme
d'accompagnenrent

l'enseignant peut-il mettre en place pour

aider plus directement l'élève à construire ses savoirs? Le travail présenté dans cet ouvrage consiste à proposer une réponse originale: un dispositif d'entretien cognitif à visée d'apprentissage, plaçant en interaction le professeur et l'élève, s'inscrivant en complément des pratiques collectives, liées au groupe-classe.

18

Première partie LA PROPORTIONNALITE: ET AT DE LA QUESTION

Chapitre premier EPISTEMOLOGIE DE LA PROPORTIONNALITE

Selon Vergnaud, la proportionnalité n'est pas un concept: elle "offre un exemple particulièrement riche de champ conceptuel" (1994, p. 81j. Boisnard et al. la caractérisent de la même façon: "la proportionnalité n'est pas à proprement parler un concept mathématique" (1994,p. 74).

Ils la définissent comme

modélisation

de la réalité utilisant

des concepts (comme celui de fonction ou celui de
grandeur) et des outils mathématiques (comme les tableaux ou les représentations graphiques J. Ce premier chapitre rappelle les définitions et les propriétés.

l.a - Le cadre mathématique

. Définitions
On dit de quatre nombres a, b, c, d, qu'ils forment une proportion quand les rapports ale et bId sont égaux. Deux suites de nombres non nuls (xl, x2, ..., xn) et (yI, y2, ..., yn) sont proportionnelles si: xl /yI = x21y2 = ... ::: xn Iyn = k yi est alors appelé image de xi. Si k désigne le cœfficient de proportionnalité, la fonction linéaire est la fonction F:x -+ kt

..., xn) et (yI, y2, ..., yn) si xl + x2 est un termede la
première suite, alors yI
+

- Dans

. Propriétés

le cas des suites proportionnelles (x 1, x2,

y2 est son image dans la

deuxième suite. yI = kt 1 et y2 = kx2 impliquent yI +y2 = k(x 1 +x2)

21

de la première suite est obtenu en multipliant x 1 par À, alors son image y est le produit de l'image y 1 par À. Ce rapport interne s'explique de la façon
suivante, à partir de y 1 = la 1:

- Si un terme x

y = kt = k(Àxl)

=À(kxl) =Àyl

toujours des égalités de produits: x 1 x y2 ou encore xl x y3 =yI x x3

- Si on isole deux couples correspondants, on a =Y 1 x x2
ligne et les écritures

. Représentations en Outre les écritures
- Le tableau

symboliques (qui mettent en lumière les relations entre deux nombres), il existe des registres de représentation, propres à la proportionnalité.
de proportionnalité

Les suites proportionnelles se notent à l'intérieur d'un tableau qui permet de mettre en évidence les propriétés présentées. Le tableau de correspondance horizontal est le plus fréquent dans les ouvrages de CM2. mk ~ ~ xl yI x2 y2 x3... y3... xn yn

fi est extrait de la précédentereprésentation. "Lorsque les quatre nombres sont connus, ils font apparaltre la propriété de l'égalité des produits en croix" (Descaves, 1993, p. Il).

- Le tableau à quatre nombres

~
yI I y2 22

- Le registre graphique Un tableau de proportionnalité représente une fonction. Celle-ci peut être mise en graphique sous forme de droite passant par l'origine. Le passage d'un registre (tableau) àun autre (graphique) représente, selon Descaves (op. cit.),une difficulté réelle pour l'élève. y3 y2 yI 0 xl x2 x3

1.b - Les situations de proportionnalité
Les problèmes de proportionnalité couvrent un vaste champ de situations. Vergnaud (op. cit.) donne deux illus.trations différentes qui montrent l'étendue des problèmes possibles. D'une part, il présente une situation multiplicative, de type de celles proposées au cours élémentaire: tlJosette achète 4 gâteaux à 6 francs. Combien doit-elle payer?" . D*autrepart, il présente un problème de décomposition de rapports, du niveau lycée: "Le gain de M. Dupont a été 1,8 fois plus élevé en octobre qu'en septembre. Il a augmenté son tarif horaire de 20%. A-t-il travaillé plus d'heures ou moins d'heures en octobre qu'en septembre? Dans quelle
proportion?"

De façon générale, la proportionnalité caractérise les situations dans lesquelles deux ou plusieurs grandeurs sont liées par des relations linéaires. La nature des grandeurs en jeu détermine plusieurs cas. 23

.

.différente Les deux nature
distances et les durées.

grandeurs

peuvent

être

de

Dans l'exemple qui suit, les deux grandeurs appartiennent à deux espaces de mesure différents: les
Marc met 45 minutes pour rejoindre son lieu de travail situé à 30 km Combien de temps mettra-t-il pour aller chez le médecin dont le cabinet se trouve à 12 km de chez lui (en supposant la vitesse constante)?

- Résolution

par rapports

internes

Les propriétés de la linéarité permettent de résoudre

ce problème. L'opérateur interne, encore appelé opérateur scalaire, établit la relation à l'intérieur d'un même espace,
dans notre exemple celui des distances. Un autre mode de résolution interne est le passage par l'unité, qui peut permettre, dans l'exemple donné, d'éviter la manipulation d'opérateurs décimaux. Notons que ce mode de résolution fut longtemps privilégié sous le nom de règle de trois. Le tableau est un registre de représentation adapté à mettre en évidence les propriétés de linéarité:

- L'opérateur scalaire
distance ~30km x 2/5 ou : 2,5 ~12km ? durée 45 min

24

- Le passage par l'unité
distance ~30 km : 30 x 12 ~~1 km ~12 km durée 45 min 1,5 min
?

Le rapport interne induit un raisonnement dans le cadre des grandeurs. Celles-ci sont souvent porteuses de signification pour les écoliers: on opère des distances, 30 km divisé par 30, et on obtient une nouvelle distance, 1 km. La décomposition du problème, par le passage à l'unité, est une pratique fréquente. Elle peut s'expliquer par le fait que cette procédure confère un sens plus concret à la résolution: ici, la signification de "1 km" peut être plus accessible à l'écolier. Remarquons que le passage par l'unité renvoie à la technique de la règle de trois, dont le nom indique qu'elle se déroule en trois temps:

. si 30 . alors kmkmsont parcourus en 45 min soit 1,5 min . donc 112 kmsera parcouru en 45/301,5x12 soit 18 m. seront parcourus en
- Résolution par rapport externe Pour résoudre le problème, il est également possible d'utiliser le rapport entre 30 et 45, encore appelé opérateur fonction. Mais la grande difficulté, pour les écoliers, tient au fait que ce rapport demeure souvent abstrait. Composer des mesures hétérogènes constitue un obstacle fort. Pour l'élève, il est difficile de comprendre que le produit de 30 (km) par 1,5 donne 45 (en min). La représentation sous forme de tableau (horizontal, vertical ou à quatre cases) est également utilisée mais les quantités ne sont plus
25

accompagnées de leur unité, afin de donner à l'opérateur fonction un statut de nombre mettant en relation d'autres nombres. distance (en km) durée (en min) 30 45 12
?

~

~

x 1,5

L'opérateur externe, ou cœfficient de proportionnalité, induit alors un raisonnement dans un cadre numérique qui peut être abstrait. Dans l'exemple donné, la signification concrète nfest cependant pas perdue puisque les opérations s'effectuent sur des grandeurs
identifiées comme étant la vitesse.

Le traitement d'une situation de proportionnalité pour des grandeurs de nature différente, selon que la démarche de résolution relève d'une procédure interne ou externe, ne met donc pas en jeu le même type de raisonnement: travail sur des grandeurs concrètes dans le premier cas, travail sur des nombres abstraits dans le second. L'IREM de Rennes constate, à propos des collégiens, que certains d'entre eux "éprouvent de sérieuses difficultés à s'abstraire des grandeurs pour raisonner uniquement sur les nombres" (1997, p. 13). Cette observation est renforcée par le constat de Boisnard et ali~ pour qui, lorsque le problème s'y prête, les collégiens utilisent plus spontanément l'opérateur scalaire que l'opérateur fonction (op. cit., 48). Nous proposerons, à des classes de CM2, des problèmes de ces deux types afm d'observer la démarche de résolution d'écoliers, novices en matière de proportionnalité. nature

. Les deux grandeurs

peuvent être de même

Dans ce type de problèmes, deux nouveaux cas sont à considérer: les unités sont différentes ou il s'agit de la même unité.

26

- Les unités sont différentes La situation paradigmatique est celle du calcul d'échelle. Dans le cas d'une carte au 1/500 000, le rapport fractionnaire (1/500 (00) est d'une utilisation compliquée. En revanche, le cœfficient de proportionnalité, "multiplié par 5", est plus simple à déterminer.
distance(en cm) distance (en km)

"x 5 5... ~
1...

Dans cette situation, la difficulté principale réside dans la gestion, par l'élève, de la conversion entre unités.

Parmi les situations les plus courantes, celles d'agrandissement et celles de pourcentage relèvent de ce cas:
On donne un rectangle de 8 cm de longueur et 6 cm rectangle pour que la longueuKle . mesure 10 cm.

- n s'agit de la même unité

Le tableau peut prendre la forme suivante:

L (cm)
rectangle modèle rectangle agrandi 8 10

I (cm) 6
?

Dans une telle situation, le choix d'un opérateur, interne ou externe, n'est pas immédiat. Sa recherche s'avère délicate. Cependant, avant même que soit effectué le choix de l'opérateur, une telle situation représente un obstacle plus important pour l'écolier qui, le plus souvent, utilise prioritairement une relation additive pour agrandir la figure (Brousseau, 1998). 27

La simplicité des situations présentées, et notamment le dernier problème où les grandeurs s'inscrivent dans un même espace de mesure et où les mesures ont la même unité, n'est qu'apparente. Les situationsde proportionnalitésimple recèlent, pour l'élève, de nombreux obstacles qui nécessitent la conduite d'une étude des problèmes proposés, au préalable à tout enseignement. Nous prendrons en compte l'analyse relationnelle présentée ici dans nos propositions de problèmes aux élèves. Avant cela, nous étudierons,dans un prochain chapitre, les ouvrages de mathématiquesde CM2 afm d'observer les problèmes donnés habituellement aux élèves, leurs structures et les valeurs numériques contenues.

28

Chapitre 2 PSYCHOGENESE DE LA PROPORTIONNALITE

Les travaux de Piaget ont marqué l'étude de la
construction

de la proportionnalité chez l'enfant, insistant

sur l'importance des étapes du développement. Cenains aspeets de ces recherches furent prolongés, d'autres furent mis en question. C'est ainsi que Vergnaud a montré que l'appropriation de la proportionnalité est principalement liée à la structure des problèmes, pour lesquels il a établi une typologie de référence.

2.a - L'école de Genève
Les travaux de Piaget et de ses collaborateurs eurent une influence déterminante dans la compréhension de la manière dont le sujet construit une connaissance. La construction de la proportionnalité est l'un des grands domaines qui furent étudiés par l'Ecole de Genève. Dans la théorie piagetienne, l'appropriation par l'enfant de la proportion, sa compréhension et sa maîtrise sont des indicateurs de la pensée formelle. Selon Inhelder et Piaget, "la notion de proportion n'apparaît qu'au stade formel IlIA." (1955, p. 144). Le stade indiqué correspond à l'âge de 12-13 ans, environ. Les auteurs fondent leur constat sur l'observation de réactions d'enfants à l'épreuve dite "l'équilibre de la balancefl. Deux poids P et P sont suspendus à des distances L et L' sur les bras d'une balance. L'idée est que l'enfant découvre que la variation de poids est liée à la variation de distance: une augmentation de P est compensée

29

par une diminution de L. Enoncer et comprendre la loi
suppose que l'enfant construise le rapport proportionnel:

p P'

L'

=

L

- A un premier niveau concret (stade nA, 8-9 ans en moyenne), confronté à deux poids qui ne sont pas en équilibre, l'enfant constate l'inégalité et parvient à réaliser l'égalisation ttmais exceptionnellement et par tâtonnements" (op. cit., p. 149),
- A un second niveau concret (stade lIB, environ 10-11 ans) l'enfant cherche à rétablir l'équilibre par un déplacement orienté, justifiant son action par le fait que l'objet pèse plus quand il l'éloigne de l'axe et pèse moins quand il l'en approche.

- Au niveau formel mA (12-13 ans, en moyenne), l'enfant commence à déterminer par calcul la distance de compensation pour établir l'équilibre. La disposition d'une métrique (IllB: 13-14 ans, environ) permet d'étendre la maitrise des situations par le calcul adéquat.
Pour Inhelder et Piaget, la compréhension de la loi et sa mise en œuvre suppose la construction d'un système opératoire, le groupe INRC. fi s'agit d'un système qui réorganise les schèmes opératoires de l'enfant qui devient capable de manipuler des propositions et de leur faire subir quatre modifications: les transformations identique (I), inverse (N), réciproque (R) et corrélative (C). A ce stade, le sujet peut, virtuellement, résoudre toutes les situations puisqu'il dispose de la capacité d'analyser qualitativement et quantitativement tous les rapports en jeu. Cependant, un double constat met en intetTogation l'architecture piagetienne: il stavère que les sujets, lorsqu'ils sont arrivés au niveau IllB indiqué, ne disposent pas tous de la compétence proportionnelle et, qu'à l'inver30

se, des compétences précoces apparaissent, dès le stade II, pour certaines situations de proportionnalité. Ce double constat invite à reconsidérer le problème à partir de nouvelles questions.

2.b - Les tienne

prolongements

de

l'approche

piage-

Deux sortes de critiques se sont développées. Les unes remettent en cause les stades définis par Piaget, les autres mettent en avant l'importance de facteurs comme les différences inter et intra-individuelles ou la nécessité d'analyser la structure du problème auquel l'enfant est confronté. On trouve un état de la question, présentant les différents modèles post-piagetiens, chez de Ribaupierre (1997) et Levain (1997). Nous en présentons ci-dessous les éléments relatifs à notre recherche. - Pour Case (1992), le développement du sujet s'effectue en stades qu'il nomme structures conceptuelles centrales. En introduisant cette idée, Case met l'accent sur le fait que la structure constitue un réseau de concepts; un noyau central sur lequel repose tout le fonctionnement pour un domaine considéré. Ces structures s'organisent en quatre stades: sensori-moteur (jusqu'à 18 mois), relationnel (jusqu'à 5-6 ans), dimensionnel (jusqu'à 11-12 ans) et vectoriel (à partir de 11-12 ans). Dans le cas d'une structure centrale numérique, la première étape, vers quatre ans, est défmie par deux composantes: la compétence de l'enfant à nommer verbalement les suites numériques et le schème de la comparaison, permettant de savoir parmi deux collections données laquelle est la plus grande. Ces composantes se développent durant le stade que Case défmit comme "relationnel". Lors d'une deuxième étape, à partir de six ans, se coordonnent les deux premières structures autour du schème de relation qui permet les comparaisons de nom31

bres. Vers onze ans, le système de relations continue à
s'affiner et pennet de construire la notion de proportion. Sans remettre fondamentalement en cause les stades piagetiens, le modèle de Case prend en compte le fait que le mécanisme d'apprentissage est directement dépendant de la spécificité de chaque contenu de connaissance.

- Nœlting (1982) a mené, auprès de jeunes enfants une expérience dite des concentrations, en faisant varier la teneur en jus d'orange de boissons mélangeant eau et jus. L'enfant compare les boissons en notant les rapports pour désigner la plus concentrée des deux comparées. Selon Levain, Nœlting "défmitune stratégie de résolution comme étant l'ensemble des transformations permettant de résoudre les items d'un stade considéré" (1997, p.35). Nœlting, qui identifie trois stades principaux marquant le type de résolutions pour le problème posé (préopératoire, opémtoire concret et opératoire formel) est ensuite conduit à différencier l'origine des erreurs commises, en lien avec ltexistence des stades. Certaines relèvent d'une incapacité de l'enfant à développer une procédure nouvelle, adaptée au problème proposé. D'autres erreurs indiquent que l'enfant a régressé vers l'utilisation d'une procédure antérieurement valide à un stade précédent. Les constats le conduisent à confIrmer l'architecture en stades de la théorie piagetienne. Il ajoute, cependant, l'idée que les stratégies de résolution mises en œuvre, si elles dépendent du stade dans lequel se trouve l'enfant, sont également liées à la structure du problème posé.
une situation connue sous le nom de Mr Short et Mr TalL Le premier est un bonhomme dont la mesure cotTespond à six trombones ou quatre jetons. Le second est un bonhomme qui mesure six jetons et dont il faut déterminer le nombre de trombones pour le mesurer. Pour les auteurs (Karplus et Karplus, 1972), quatre types de procédures
apparaissent:

- Karplus

a interrogé des enfants en mettant en scène

32

- une mauvaise utilisation des données qui entraîne l'erreur, - l'utilisation d'une procédure additive qui entraîne l'erreur, - des tâtonnements qui permettent d'approcher la réponse, - une utilisation correcte de l'égalité de rapports qui conduit à la réussite. Cette dernière procédure est plus fréquente à partir de douze ans. Les travaux de Karplus ont montré que les procédures que l'enfant met en œuvre, dans la résolution d'une situation de proportionnalité, sont davantage liées à son degré de compréhension de la tâche qu'au stade de développement auquel il appartient. Dans le cadre de cette expérience, Karplus note une différence dtutilisation des procédures selon la classe sociale d'appartenance du sujet. Vers douze ans, les sujets des classes moyennes utilisent des procédures résultant de tâtonnements permettant d'arriver au résultat ainsi que des procédures en référence avec l'égalité de deux rapports. En revanche, des sujets de seize ans appartenant à des classes sociales défavorisées, ne parviennent pas à utiliser ce type de procédures. La question de rimportance de la variable sociale sur la résolution de situation de proportionnalité est ouverte. - D'autres tTavaux sur la proportionnalité ont confumé certains des points mis en évidence et ont ouvert de nouvelles pistes de recherche. Tourniaire (cité par Levain, 1997) a montré que les élèves, confontés à des problèmes de quatrième proportionnelle, ont une réussite précoce, fondée sur la maîtrise de l'itération additive leur permettant de résoudre nombre de problèmes. Hart (cité par Levain, 1997) a montré la difficulté pour ['élève de passer du schème additif au schème multiplicatij Ce passage est compliqué par le cas de nombres décimaux inférieurs à l'unité, lorsque la multiplication ne correspond plus à la représentation commune d'accroissement, le produit obtenu étant inférieur au multiplicande d'origine. Pour Soto et Rouche (1994), les enfants privilégient des procédures qui, 33

pour eux, ont une signification concrète. Ils remarquent que la résolution de la proportionnalité par le passage à ltunité, qui relève de ce type de conduites, est un mode de résolution fréquemment employé.

- Les recherches les plus déterminantes sur la proportionnalité, ont été conduites, en France, par Vergnaud. Avant de présenter, plus bas, sa théorie des champs conceptuels, relevons quelques-uns des constats effectués par des chercheurs, s'appuyant sur ses tIavaux.
. Levain (1994, 1997) a proposé à trois classes de CM2, trois problèmes: un énoncé favorisant le rapport scalaire, un énoncé favorisant le rapport fonction, le troisième ne favorisant ni l'un ni l'autre. Les résultats montrent une disparité de réussite selon le type de problèmes (respectivementun taux de réussite de .59; .54 et .22) et font surtout apparaître une grande hétérogénéité de
conduites entre: - les élèves qui réussissent; - les élèves qui ne donnent aucune réponse;
..

ceux qui commettent une erreur de calcul;

. Bernard (1994) a étudié le concept de rapport
auprès d'une population de sujets âgés de 10 à 20 ans. Les entretiens individuels qu'il a conduits avec les plus jeunes, alors en CM, mettent en évidence des conduites fondées sur certaines réussites précoces qui ne se confirment pas lorsque des éléments de la structure du problème sont modifiés. TIcaractérise ainsi la conduite de l'un des écoliers interrogés: "dès que les numérateurs ou les dénominateurs sont constants, DEL parvient à ordonner les fractions mais dans les autres cas c'est l'échec" (op. cit, p. 178). . Ces conduites variées et paradoxales, par rapport au modèle de résolution que l'on suppose, semblent se 34

- ceux qui effectuent une seule opération; - ceux qui procèdent autrement.

- ceux qui emploient une stIatégie additive;

prolonger tout au long de l'apprentissage de la proportionnalité. Ainsi, Merri (1995) a cherché à établir un répertoire des compétences sur la résolution de problèmes multiplicatifs chez des stagiaires en formation professionnelle. Elle aboutit à un constat analogue, mettant en évi-dence, pour un ensemble de situations d'engrenages, cinq groupes de sujets: - celui qui maîtrise les compétences et dispose d'un panel permettant de résoudre, avec aisance, les situations proposées (ce groupe est restreint à 1 sujet sur les 25 observés); - celui des sujets qui contournent l'obstacle

- celui des sujets qui évitent la relation fractionnaire
en utilisant des relations scalaires et la décomposition linéaire. Leursréponses sont souvent approximatives; - celui des sujets qui utilisent une relation fonction uniquement avec un entier; celui des sujets qui n'anivent pas à construire un modèle de la situation.

"fractionnaire

tt;

-

Les recherches présentées montrent qu'il ne suffit pas de vérifier l'appartenance de l'enfant à un stade, ni d'observer l'opération qu'il a effectuée en vue de résoudre le problème, pour déterminer son degré d'appropriation de la proportionnalité. La structure du problème, les procédures utilisées, le mode de passage d'une procédures additive à une procédure multiplicative, le nombre d'espaces de mesure, sont autant de paramètres qui interviennent dans la compréhension des procédures mises en place pour la résolution des problèmes de proportionnalité et dans la conceptualisation des relations entre quantités. Les travaux de Ver-

gnaud ont permis de prendre en compte ces différentes composantes.

2.c - La théorie des champs conceptuels

35

Comprendre une situation ne se réduit pas à l'analyse d'un seul concept, pas plus qu'un concept ne renvoie à une situation unique. En outre, un même concept
peut lui-même s'alimenter à plusieurs origines. Ces constats ont conduit Vergnaud à définir le concept de champ conceptuel Pour lui, "un champ conceptuel est un ensemble relativement large de situations, d'invariants et de signifiants, dans lequel plusieurs concepts de nature différente sont en interaction, plusieurs compétences, plusieurs systèmes symboliques:' (1987, p. 841). C'est ainsi que la proportionnalité renvoie au concept de multiplication mais aussi à ceux de fonction linéaire, d'espace de mesure ou de représentation symbolique. Cette théorie des concepts est envisagée sous trois aspects complémentaires: l'étude des différentes classes de problèmes dans lesquelles se situe le concept étudié, l'étude des différents schèmes utilisés par l'élève, l*étudedes différents registres représentatifs permettant de représenter les schèmes et procédures utilisés. Vergnaud a défini une typologie des problèmes de proportionnalité, "la seule qui soit véritablement exhaustive" selon Levain (1997, p. 43), en distinguant les critères de structure, de valeurs numériques et de domaines de référence de l'énoncé. A partir de ces critères, il distingue quatre types de problèmes.

. Définition

. L'étude

des classes de problèmes

- La structure de proportion simple. Les quatre quantités peuvent appartenir à deux espaces de mesure différents. Ml
X xt

M2 f(x) f(xt)

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C'est un type de problèmes, fréquemment rencontré au CM2 avec, parfois, le cas particulier où x = 1 comme dans la situation de calcul du prix de cinq objets connaissant le prix d'un objet. Le traitement peut s'effectuer par déterminationde la fonction y = f(x) ou par l'utilisation de l'opérateur scalaire a tel que x' = ax.

- La structure de proportion simple composée. Cette structure comporte trois espaces de mesure Ml, M2, M3 dans lequels une fonction f permet de passer de Ml à M2 et une fonction f de passer de M2 à M3. Cette structure correspond, par exemple, au calcul du prix de boites de crayons sachant le prix d'un crayon et le nombre de cmyons par boîte.
composition cartésienne de deux espaces Ml et M2 en un troisième M3, comme dans les calculs d'aires.

-

La structure du produit de mesure est une

La structure de proportion double'. M3 est proportionnel à Ml et M2 indépendants comme dans l'exemple du calcul du prix d'un séjour en fonction du nombre de participants et de la durée, en jours, de ce séjour. . L'étude des différents schèmes utilisés Le schème est un concept clé pour l'étude du fonctionnementcognitif du sujet. Défini par Piaget, il fut précédemmentutilisé par Kant. L'épistémologue genevois nomme schèmes les ensembles organisés d'actions ou
d'opérations, susceptibles d'être répétés pour une classe de situations. fi différencie les schèmes moteurs (prendre, pousser, jeter...), construits lors des premiers stades, et les schèmes opératoires (combiner, inclure, comparer...) des étapes concrètes et fonnelles, ne nécessitant pas obligatoirement une action motrice. Pour Piaget (1955), le schème de la proportionnalité est un schème opératoire formel présentant une structure de groupe INRC. Dans l'épreuve de la balance, le sujet fait appel à un raisonnement proportionnel 37

-

quantifiable pour comprendre qu'il peut inverser l'opémtion (passer de plus de poids à moins de poids) à condition d'effectuer une compensation (en modifiant la distance sur le bras de la balance). Vergnaud reprend et amplifie la notion de schème qu'il définit comme "l'organisation invariante de la conduite pour [une] classe de situations" (1990, p. 145). Les schèmes constituent les mécanismes qui permettent aux structures cognitives du sujet de s'adapter aux situations: ils sont non seulement les mécanismes mais aussi le résultat de ces mécanismes. Ils se composent de quatre sortes d'éléments: le but, les règles d'action, les invariants opératoires et les inférences. - Le but se décline en attentes et en anticipations permettant au sujet de planifier et de contrôler son action. - Les règles d'actions concernent les prises d'information effectuées par le sujet et lui permettent d'organiser son activité. - Les invariants opératoires sont des structures génératrices dont le sujet dispose et qui soustendent son action. Pour Vergnaud, ces invariants sont surtout de deux sortes. Les concepts-en-acte sont des catégories que le sujet construit pour prélever de l'information. Les théorèmes-en-acte sont des invariants relationnels qui se manifestent par des invariants procéduraux. Par exemple, pour un élève de CM, la connaissance du fait que, pour trois objets identiques, le prix est trois fois plus grand que le prix unitaire, constitue un théorèmeen-acte. - Les inférences sont des calculs conduits à partir des théorèmes-en-acte.

L'étude des schèmes mobilisés par l'écolier en situationpennet de comprendrela manière dont il résoud le problème. Dans le cas d'une situation d'application ou d'exécution (Richard, 1990), les schèmes sont disponibles et la procédure de résolution est immédiatement mise en
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