Les pratiques enseignantes en mathématiques

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Face aux contraintes, comment la liberté pédagogique s'exerce-t-elle? Eric Roditi a observé et comparé les cours de plusieurs professeurs sur une même notion, la multiplication des nombres décimaux. Son étude montre toutes les "bonnes raisons" qui conduisent les professeurs à élaborer une même organisation globale de leur enseignement, elle révèle aussi une diversité étonnante quant à la structuration des séances, au travail proposé aux élèves et aux interactions entre le professeur et sa classe.
Publié le : mardi 1 février 2005
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EAN13 : 9782336263229
Nombre de pages : 192
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Les pratiques enseignantes en mathématiques
Entre contraintes et liberté pédagogique

Savoir et Formation Collection dirigée par Jacky Bei//erot (1939-2004) et Michel Gault
A la croisée de l'économique, du social et du culturel, des acquis du passé et des investissements qui engagent l'avenir, la formation s'impose désormais comme passage obligé, tant pour la survie et le développement des sociétés, que pour l'accomplissement des individus. La formation articule savoir et savoir-faire, elle conjugue l'appropriation des connaissances et des pratiques à des fins professionnelles, sociales, personnelles et l'exploration des thèses et des valeurs qui les sous-tendent, du sens à leur assigner. La collection Savoir et Formation veut contribuer à l'information et à la réflexion sur ces aspects majeurs. Déjà parus

Christophe MARSOLLIER (Sous la direction de), Le conseil d'élèves: pour apprendre à vivre ensemble, 2004. Marielle BRUGVIN, Formations ouvertes et à distance, 2005, Martine BEISTEGUI (coord,), L'intervention éducative en milieu ouvert. Pour une rencontre entre théories et pratiques, 2004, Christine JOURDAIN, L'enseignement des valeurs à l'école, 2004, M, PAUL, L'accompagnement,' une posture professionnelle spécifique, 2004. Luc BRULIARD, Handicap mental et intégration scolaire, 2004, André CHAMBON, Villes et développement éducatif local,' les cas d'Evry, d'Amiens et de Calais, 2004. M.M. BERTUCCI et C. CORBLIN (dir.), Quel français à l'Ecole? Les programmes de français face à la diversité culturelle, 2004. Alain JAILLET, L'école à l'ère numérique, 2004 Cédric FRÉTIGNÉ, Uneformation à l'emploi ?, 2004. Dominique FABLET (coord.), Professionnel(le)s de la petite enfance et analyse de pratiques, 2004. Françoise CROS, L'innovation scolaire aux risques de son évaluation, 2004,

Éric RODITI

Les pratiques enseignantes en mathématiques
Entre contraintes et liberté pédagogique

Préface d'Aline ROBERT

L'Harmattan 5-7,rue de l'ÉcolePolytechnique 75005 Paris FRANCE

L'Harmattan Hongrie Kossuth L. u. 14-16 1053 Budapest HONGRIE

L'Harmattan Italia Via Degli Artisti, 15 10124 Torino IT ALlE

@ L'Hannattan, 2005 ISBN: 2-7475-7946-8 EAN : 9782747579469

Sommaire

PRÉFACE INTRODUCTION I. Genèse de la recherche Il. Présentation du sujet III. Organisation du livre 1. PROBLÉMATIQUE ET MÉTHODOLOGIE I. Une double approche des pratiques II. Vers une problématique d'analyse des pratiques III. Méthodologie 2. LES POSSIBLES ET LES CONTRAINTES I. Les enjeux de l'enseignement de la multiplication des décimaux II. La multiplication des décimaux, quelle transposition didactique? III. La transposition didactique à l'épreuve de l'exercice du métier 3. LES SCÉNARIOS DES PROFESSEURS 1. Analyse globale des scénarios Il. Convergence des choix au niveau global III. Les choix des professeurs au niveau local IV. Conclusions sur les scénarios 4. ACTIVITÉS DES ÉLÈVES, ADAPTATIONS DES PROFESSEURS I. Activités des élèves, cohérence avec le scénario Il. Les adaptations du professeur CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE

9 13 13 15 19 21 21 25 28 47 47 62 71 81 82 97 110 121 123 123 147 171 187

PRÉFACE
Les enseignants contribuent aux apprentissages de leurs élèves: oui mais comment? C'est la variété de ces contributions, en classe, qu'Éric Roditi commence à explorer dans ce livre. Il en étudie deux aspects essentiels, complémentaires, et encore peu précisés, les diversités (et leur ampleur) et les régularités, autrement dit les invariants inter-enseignants des pratiques en classe de mathématiques. Certes les interventions en classe diffèrent d'un enseignant à l'autre, même sur un contenu fixé et dans des classes analogues, et l'auteur dévoile une palette de différences dans les déroulements des séances, tout à fait frappantes; mais, en même temps, il montre que les contenus abordés en classe, et la gestion adoptée pour les transmettre présentent des points communs importants, relativement globaux, définissant une enveloppe au sein de laquelle s'inscrivent toutes ces interventions. Seulement ce travail révèle que les caractéristiques de cette enveloppe ne sont pas toujours transparentes et que des recherches spécifiques semblent nécessaires pour y avoir accès. Cela renforce l'idée que les pratiques proviennent de la combinaison de différents facteurs, éventuellement contradictoires, qui tiennent à la fois aux apprentissages visés et aux conditions d'exercice du métier d'enseignant. Dans la recherche qui nous est présentée ici, l'auteur a choisi de centrer ses démonstrations sur un chapitre bien circonscrit du programme de Inathématiques de la classe de Sixième, que tous les enseignants abordent assez tôt dans l'année et sur une durée relativement analogue, ce qui contribue à légitimer les comparaisons. Ce chapitre est en outre un peu spécial car il était nouveau dans le programme de Sixième l'année où l'auteur a fait ses observations: ainsi les enseignants devaient y réfléchir spécifiquement cette année-là, faire certains choix individuels, même si les manuels présentaient des propositions. Éric Roditi analyse ainsi quatre classes standard pendant toutes les séances consacrées à la multiplication des décimaux (entre 3 et 5 heures

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environ). Il a éliminé a posteriori de son corpus les classes difficiles, cherchant avant tout à dégager des invariants des pratiques ordinaires. De plus, le manuel de ces classes est le même, donc les choix des enseignants sont vraiment des choix individuels. L'auteur a adopté une des problématiques actuelles de l'analyse des pratiques des enseignants développées en didactique des mathématiques, à partir des déroulements en classe. II s'agit d'une double approche, qui s'appuie à la fois sur le didactique et sur l'ergonomique. Une double approche qui s'inspire du fait que pour comprendre des pratiques il est nécessaire de tenir compte à la fois des effets potentiels visés et des acteurs. L'emprunt à l'ergonomie consiste ici essentiellement à intégrer le point de vue du métier. Deux types d'analyses du déroulement des séances sont croisés. Les premières, très précises, sont descriptives; e)]es sont menées en utilisant des indicateurs didactiques liés aux activités potentielles des élèves provoquées par l'enseignant, utilisées comme critères décisifs d'évaluation des pratiques en classe. Ce sont les contenus mis en jeu, la gestion globale suivie, le travail en classe des élèves (tel qu'on peut le reconstituer) et tous les accompag~ements de l'enseignant qui sont questionnés. Les secondes analyses mettent en jeu des déterminants plus globaux des pratiques, pour tenir compte de l'exercice même du métier d'enseignant, et pas seulement des apprentissages potentiels qu'elIes pourraient provoquer. Il s'agit de comprendre mieux les contraintes et les marges de manœuvre et d'interpréter correctement les différences qui sont constatées dans les premières analyses. Sont recherchés ici des facteurs sociaux, liés à des habitudes collectives des enseignants, et des facteurs institutionnels, liés aux programmes de la classe de Sixième et aux instructions officielles. Éric Roditi développe une méthodologie en partie originale pour analyser les accompagnements de l'enseignant en classe, qui lui permet de ne pas transcrire intégralement les séances, ce qui aurait été démesuré. Il s'attache particulièrement aux incidents, c'est-à-dire à un des caractères essentiels de la classe, qui la distingue d'un environnement interactif sur ordinateur par exemple. Pour étudier les déterminants institutionnels et les choix de contenus, il tire un excellent parti des recherches déjà existantes en didactique. Ces analyses l'amènent à décrire alors les caractéristiques communes à tous les enseignants du corpus, liées aux contenus et à la gestion globale. Ce sont ces résultats qui lui permettent de dégager des invariants particuliers, qu'il appelle «règles» en référence à la psychologie du travail. Des recherches ultérieures devront tester la portée et les limites de ces invariants, et notamment leur résistance à d'autres formes d'enseignement éliminées de ce corpus (ZEP par exemple).

Préface

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Les cohérences des quatre pratiques individuelles sont aussi mises en évidence, et permettent d'intégrer la gestion des incidents au reste de la gestion. En conclusion, ces recherches nous semblent extrêmement intéressantes à au moins trois titres. D'abord cela montre que pour les enseignants tous les choix a priori raisonnables, notamment en termes d'apprentissages, ne sont pas possibles: certaines ingénieries didactiques par exemple, pourtant très bien conçues, ne seront pas adoptées par les enseignants parce qu'elles ne peuvent pas rentrer dans cette enveloppe liée aux programmes, aux instructions, et à des habitudes profondes du milieu. Ensuite pour un enseignant tous les choix possibles ne peuvent pas être adoptés: chaque enseignant développe, dans la marge de manœuvre qui lui reste, des pratiques originales, marquées par une cohérence certaine, et cela entraîne des décisions non aléatoires pour gérer le détail de la séance et l'imprévu. Ces décisions à différents niveaux se renvoient les unes aux autres, et ne permettent pas toujours d'inscrire le déroulement d'une séance dans certaines progressions possibles. Ainsi l'auteur montre qu'aussi bien la gestion des incidents, les réponses aux questions qu'il pose ou que les élèves lui posent, la gestion des phases de travail relèvent d'une logique bien déterminée qu'on peut mettre en évidence, qui peut rendre impossibles certains types de travail d'élèves. Des recherches sur les déroulements de plusieurs séances, dans plusieurs classes devront confirmer en les précisant ces résultats pour chaque enseignant (recherches des invariants individuels). Enfin ses travaux se placent à l'échelle du quotidien, et traitent de cas singuliers d'enseignants en classe (recherche clinique). À ce titre ils nous semblent intéresser particulièrement le formateur d'enseignants, parce que la transposition nécessaire à la transmission de ces résultats n'est pas trop importante. Et il nous paraît essentiel de travailler en formation professionnelle cette double réalité de l'invariance des pratiques. On peut en effet en inférer des conséquences qui ne sont pas toujours ni connues, ni respectées: d'une part pour modifier des pratiques il pourrait être nécessaire de bien définir cette enveloppe relative à chaque contenu scolaire, et, au moins dans un premier temps, il peut paraître important de la respecter, avec les enseignants débutants, en tenant compte des habitudes du milieu et des réponses collectives aux contraintes; si on pense nécessaire de modifier davantage les pratiques, on peut supposer qu'il faudra mettre en œuvre autre chose que des formations individuelles; enfin la mise à jour des cohérences individuelles et leur prise en compte par un travail d'adaptation individuelle semblent fondamentales. Aline Robert

INTRODUCTION Mieux comprendre l'enseignement d'une notion, répondre aux besoins des professeurs en formation initiale ou continue, et finalement contribuer à l'amélioration des apprentissages des élèves, tels sont les objectifs généraux que je poursuis et que je partage avec les enseignants, les formateurs et les chercheurs confrontés aux difficultés relatives à la transmission des savoirs. En focalisant mon attention sur un enseignement particulier, j'ai tenté de comprendre comment des travaux de recherche peuvent avoir finalement un impact très faible sur ce qui se fait dans les classes, alors qu'ils pouvaient apparaître comme une force de proposition pour des pratiques d'enseignement renouvelées. Le travail qui a conduit à ce livre, interroge les pratiques ordinaires pour mettre à j our les « bonnes raisons }) qui conduisent les professeurs à faire comme ils font, mais aussi les différences de pratiques qui témoignent de l'existence de marges de manœuvre. Les analyses portent à la fois sur la préparation des cours par les professeurs et sur l'animation, en classe, avec les élèves, du projet qu'ils avaient construit. L'enseignement qui est analysé est celui de la multiplication des nombres décimaux: elle pose des difficultés aux élèves, donc aussi à leurs professeurs, et pourtant de nombreuses recherches et publications destinées aux enseignants semblent avoir apporté des réponses à ces difficultés. 1. GENÈSE DE LA RECHERCHE

Les programmes de novembre 1995 ont modifié l'enseignement de la multiplication: il s'effectuait auparavant à l'école élémentaire; depuis, le cas où les deux facteurs sont décimaux se traite seulement au collège. Pour accompagner ce changement, des stages de formation ont été proposés qui regroupaient des enseignants des classes de CM2 et de Sixième. C'est précisément dans ces stages que j'ai entendu le besoin de changement des pratiques, et donc l'utilité des travaux menés sur ce sujet, mais j'y ai entendu aussi les arguments qui justifient le travail des professeurs, et les raisons qu'ils ont de ne pas changer leurs pratiques.

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Les professeurs sont confrontés à des erreurs de leurs élèves L'enseignement de la multiplication des décimaux pose problème car les élèves commettent des erreurs persistantes. Ces erreurs concernent, d'une part la reconnaissance du modèle multiplicatif d'une situation lorsque les valeurs numériques ne sont pas entières, et d'autre part la mise en œuvre de la technique opératoire. En outre, il subsiste des problèmes liés à la multiplication des entiers et à l'écriture des nombres décimaux. Les professeurs rencontrés dans les stages comprennent finalement assez malles difficultés de leurs élèves. La technique opératoire, comparée à celle de la division, ne leur paraît pas difficile. Le fait que les valeurs soient entières ou décimales ne leur semble pas modifier la difficulté de la reconnaissance du modèle multiplicatif. Pourtant, la réaction de nombreux élèves montre le contraire, et les enseignants restent démunis devant leurs difficultés. Faire appel, en formation, à la didactique des mathématiques Dans la mesure où les analyses des professeurs ne permettaient pas d'expliquer les difficultés constatées ni a fortiori de les résoudre, il m'a semblé légitime d'utiliser, en formation, les outils développés en didactique des mathématiques. Plusieurs recherches sur la multiplication et sur les décimaux ont été menées, je pense notamment aux ingénieries de Nadine Brousseau & Guy Brousseau (1987) et de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin (1986), aux articles de Guy Brousseau (1998) sur les décimaux, aux travaux de Gérard Vergnaud (1981 et 1983) sur la multiplication ainsi qu'à la thèse de Janine Rogalski (1985). L'efficacité de la formation dépendrait alors de la perméabilité des enseignants aux travaux des didacticiens. Jeanne Bolon (1996) a proposé d'évaluer l'impact de la recherche en didactique sur l'enseignement ordinaire, précisément pour l'enseignement des nombres décimaux à l'école élémentaire et au collège. L'auteur conclut (pp. 321 à 328) que les enseignants des classes ordinaires manquent de points d'ancrage pour utiliser ces travaux. En outre, les enseignants de collège seraient enclins à aboutir au plus vite à des algorithmes de calculs. Ces conclusions concernent aussi les professeurs qui disposent de connaissances en didactique, cela conduit à poser autrement la condition de perméabilité des enseignants aux travaux des didacticiens. Les scénarios conçus pour la recherche sont-ils adaptés à l'enseignement ordinaire? Les enseignants sont-ils soumis à des contraintes qui ne sont pas suffisamment prises en compte dans ces scénarios? Ces questions ont orienté ma recherche vers les pratiques ordinaires. 2.

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Une direction de recherche qui se heurte à deux obstacles Étudier les pratiques nécessite d'observer des enseignants dans leur classe. J'ai rencontré de nombreuses réticences. Mon intérêt pour l'enseignement ordinaire semblait suspect, et mes conclusions apparaissaient comme connues d'avance: un bilan négatif au regard de ce qui pouITait être fait, assorti de propositions irréalisables pour améliorer l'enseignement. Les professeurs se méfient des travaux menés par les chercheurs qui idéaliseraient la classe du quotidien. Mieux connaître les spécificités de l'enseignement ordinaire est devenu l'un de mes objectifs, cela demande d'étudier les pratiques du point de vue des enseignants euxmêmes. J'ai senti alors peser un autre soupçon: il y aurait un paradoxe à concilier le point de vue du professeur et celui du chercheur. L'acquisition de savoir étant une préoccupation première en didactique, les outils théoriques permettent-ils de considérer l'enseignant sans référence aux apprentissages? Une recherche qui imbrique d~ux approches Pour étudier les pratiques enseignantes en tenant compte à la fois du quotidien du professeur en situation d'enseignement et de l'apprentissage des élèves, j'ai utilisé une approche double,. dans la lignée des travaux d'Aline Robert & Janine Rogalski (2002) : - l'une où les activités du professeur sont analysées en fonction des apprentissages potentiels, et pour laquelle j'utilise le cadre général de la didactique des mathématiques; - l'autre où le professeur est considéré comme un individu en situation de travail, et pour laquelle j'emprunte un cadre théorique à la psychologie ergonomique. L'enseignement de la multiplication des décimaux dans des classes ordinaires est une question qui mérite de conjuguer ces deux points de vue: les résultats des recherches sur ce thème sont déjà nombreux, pourtant des travaux récents montrent que les professeurs n'en tirent pas parti. II. PRÉSENTATION DU SUJET 4.

Les premières interrogations et les premiers choix d'étude ont abouti à une recherche dont je vais préciser le contexte général, les limites, la problématique globale et quelques premiers éléments méthodologiques. Le contexte de la recherche, des conséquences sur le sujet Le contexte de cette recherche est particulier. Deux ingénieries didactiques publiées depuis une quinzaine d'années proposent un enseignement des nombres décimaux. Une recherche récente a défendu la thèse que les 1.

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professeurs n'utilisent, ni à l'école élémentaire ni au collège, les résultats de ces ingénieries dans leur enseignement. À la suite de ces travaux, je propose de mieux comprendre l'enseignement ordinaire de la multiplication des nombres décimaux en Sixième. La compréhension que je recherche est particulière: elle est centrée sur les contenus mathématiques et sur leur enseignement en classe. Il s'agit de comparer ce qui est fait (par le professeur et par les élèves), ce qui est prescrit (par l'institution scolaire au professeur, et par le professeur aux élèves), ce qui est contraint (par les horaires, les programmes, le manuel utilisé...) et ce qui pourrait être fait. Autrement dit, entre contraintes et liberté pédagogique, il s'agit de comprendre ce que font effectivement les professeurs dans leurs classes avec leurs élèves et ce qui pourrait éventuellement changer. Les modalités de ma présence dans les classes ont été discutées avec les professeurs. L'observation de situations ordinaires d'enseignement se rencontre, en dehors de la recherche, dans le contexte de la formation ou de l'inspection. Certains professeurs rejettent les interprétations effectuées après la visite d'un inspecteur, il~ avancent souvent le peu de représentativité d'une séance isolée pour décrire et critiquer leur enseignement. Même si l'on peut entrevoir ici des mécanismes de défense mobilisés par ces personnes, il m'a semblé que la fréquence de l'argument indiquait qu'il méritait d'être pris en compte, quitte à le questionner. Ainsi, j'ai choisi d'observer « tout l'enseignement» de la multiplication des nombres décimaux, c'est-à-dire la séquence complète de chaque professeur dans sa classe de Sixième. Pour analyser les pratiques, je coordonne deux approches validées par deux cadres théoriques. La première est celle de l'apprentissage des élèves pour laquelle je retiens une dimension liée au contenu, à son organisation, et aux activités des élèves ainsi qu'une dimension liée aux interactions entre le professeur et les élèves. La seconde approche est celle de l'exercice du métier pour laquelle je retiens une dimension institutionnelle et sociale, du fait de l'intégration de J'activité professionnelle dans un système comprenant différents acteurs (la hiérarchie, les collègues, les élèves et leurs parents...), ainsi qu'une dimension personnelle où l'enseignant est considéré comme un individu impliqué dans une situation de travail. 2. Quelques limitations du sujet L'activité du professeur. ne saurait représenter le seul facteur qui détermine l'apprentissage d'un élève. L'hétérogénéité d'une classe en témoigne. Le riche travail de Bernard Charlot, Élisabeth Bautier et JeanYves Rochex (1992) contribue à expliquer, par une approche sociologique, que les élèves ne reçoivent pas de la même manière le même ensei-

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gnement: non seulement ils ne rentrent pas en classe avec les mêmes attentes et les mêmes projets, mais encore ils ne donnent pas le même sens au discours de l'enseignant et à ses consignes ni même aux tâches qu'ils réalisent en classe ou à la maison. Néanmoins, je fais l'hypothèse que ce qui se passe dans une classe reste un facteur essentiel des apprentissages des élèves. C'est une première limite de mon travail: je ne prends pas en compte la dimension sociale des élèves. Pour cette raison, j'ai préféré restreindre l'étude proprement dite à l'enseignement dans des classes ordinaires de Sixième, du point de vue de leur composition sociale comme de leur niveau. J'avais parallèlement mené des observations dans des classes dites difficiles situées en Zone d'Éducation Prioritaire, mais leur analyse aurait nécessité une méthodologie particulière. Dans une situation d'enseignement, le professeur s'engage personnellement. Des logiques inconscientes s'y manifestent nécessairement. J'ai pu percevoir quelques-unes de leurs manifestations lors de certaines observations, mais j'ai préféré ne pas en tenir compte dans le cadre de cette étude. Cela suppose, j'en fais l'hypothèse, que la compréhension à laquelle je pourrai parvenir reste cependant pertinente pour expliquer, suffisamment même si ce n'est pas totalement, les activités du professeur en fonction de ce qu'elles induisent sur les apprentissages des élèves. Dans une classe de Sixième, les interactions entre le professeur et les élèves comportent nécessairement une dimension affective qui n'est pas négligeable. Le ton du professeur change suivant la situation ou suivant les élèves, ses accompagnements du discours purement mathématique (verbaux ou non) sont nombreux pour souligner son égard pour ses élèves, sa position dans la salle comme ses déplacements témoignent aussi de la dimension affective du jeu qui se déroule en classe. Pour des raisons d'ordre méthodologique, j'ai décidé de ne pas prendre en compte la dimension affective des situations d'enseignement observées. Les exemples que je viens de citer montrent que la prise en compte de cette dimension demande d'adopter un point de vue très local sur les situations, point de vue qui vient se heurter au choix de considérer l'ensemble complet de la séquence de chaque professeur. L'excellent livre dirigé par Claudine Blanchard-Laville (2003) intitulé « une séance de cours ordinaire» montre la richesse d'un travail co-disciplinaire mené avec des références théoriques plurielles (psychologie sociale, socio-psychanalyse, psychologie clinique, sociologie, didactique des mathématiques). Le travail porte sur le passage au tableau de deux élèves de la minute 32 à la minute 49 d'une séance d'enseignement des tractions, il montre aussi la difficulté de prendre en compte une longue durée d'enseignement lorsque le grain de l'étude est très fin.

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La problématique générale La question globale posée en abordant cette étude est donc celle de « l'enseignement ordinaire» de la multiplication des décimaux dans des classes moyennes de Sixième. L'expression est au singulier alors que vraisemblablement, la réalité recouvre une certaine diversité. Par des comparaisons, je propose justement de déceler et d'interpréter les similitudes et les divergences entre les séquences observées.

Plus précisément, parmi toutes les composantes d'une situation d'enseignement, celle qui retient ici l'attention est le professeur: ses activités en classe, ainsi que ses activités en dehors de la classe qui ont une incidence sur ce qu'il fera en présence de ses élèves. Le terme de «pratiques enseignantes» désigne toutes ces activités. Les pratiques enseignantes seront questionnées pour repérer, d'une part les objectifs pédagogiques des professeurs, leurs activités... et d'autre part les
contraintes professionnelles qui les déterminent et les caractérisent. En analysant les pratiques enseignantes avec ce double point de vue, je tenterai de préciser, dans le contexte de l'enseignement de la multiplication des décimaux, ce que recouvre, entre contraintes et liberté pédagogique, une pratique ordinaire d'enseignement. Premiers éléments méthodologiques Les pratiques enseignantes regroupent les activités du professeur en classe ainsi que celles qui lui permettent de préparer sa séquence. La recherche portera donc à la fois sur l'élaboration du projet par chaque professeur et sur son déroulement en présence des élèves. Pour répondre à la problématique, la méthodologie conjugue deux points de vue: l'apprentissage des élèves et l'exercice du métier. D'une manière classique en didactique, j'ai déterminé a priori les contraintes et les possibles en tenant compte à la fois de considérations épistémologiques, des programmes et des acquis des élèves. Les manuels scolaires, qui constituent les principales sources des professeurs pour préparer leurs cours, ont été analysés. J'ai rencontré des professeurs qui m'ont présenté leur projet et m'ont invité dans leur classe pour assister à leur enseignement. Une analyse a posteriori a permis, d'une part de situer les séances observées par rapport à celles qui étaient envisageables, et d'autre part de prendre en compte J'activité en classe du professeur pour favoriser l'apprentissage de ses élèves. L'objectif est donc l'étude du professeur et la méthode générale est de procéder à des comparaisons. Pour cette raison, j'ai étudié les séquences d'enseignement de plusieurs professeurs, toutes choses égales par ailleurs: autant que possible, j'ai fixé les variables des enseignements observés, sauf celles qui concernent personnellement le professeur. Ainsi ont été fixés: la date des observations, la notion enseignée, le niveau 4.

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global des élèves, les moyens d'enseignement disponibles (effectif des classes, horaire, manuel scolaire), et une certaine expérience professionnelle des enseignants. Pour chaque professeur, toutes les séances de son enseignement de la multiplication des nombres décimaux ont été prises en compte. Ces séances ont été enregistrées à l'aide d'un petit magnétophone portable qui pennettait au professeur de conserver sa mobilité habituelle dans la salle. Des notes rédigées pendant le déroulement décrivent ses déplacements et l'utilisation du tableau, elles comprennent les énoncés des exercices. L'observation des pratiques d'élaboration du projet s'est heurtée à un important problème méthodologique. L'accès direct à cette activité professionnelle est très difficile car, dans des conditions normales, elle est complètement privée. Or je souhaitais précisément analyser des pratiques ordinaires. J'ai finalement opté pour une reconstitution du projet, à partir du déroulement observé et d'entretiens avec les professeurs. III. ORGANISA TION DU LIVRE

La présentation du sujet de la recherche montre que la problématique s'est enrichie de premiers travaux d'analyse menés parfois de façon empirique. Le cadrage théorique a été précisé au fur et à mesure de la recherche et la méthodologie a été adaptée aux besoins de la problématique. Lors de la rédaction du livre, par souci de rigueur et de clarté, les hésitations de la recherche ont été gommées. Après avoir développé la problématique, précisé les cadres théoriques utilisés, et détaillé la méthodologie (chapitre 1), je présenterai globalement l'analyse a priori qui repose sur l'utilisation d'outils développés en didactique des mathématiques (chapitre 2). L'enseignement de la multiplication des décimaux en classe de Sixième repose sur deux notions étudiées antérieurement à l'école élémentaire: le nombre décimal et la multiplication. Je commencerai donc par un bilan des travaux des recherches en didactique concernant ces notions et je préciserai les choix de l'institution scolaire par une lecture des programmes et de leur évolution. En fonction des apprentissages potentiels des élèves, j'étudierai les diverses propositions d'enseignement qui figurent dans les publications que les professeurs peuvent utiliser pour préparer leurs cours. Je proposerai enfin de déterminer les projets possibles compte tenu des programmes et des connaissances des élèves quand ils entrent en Sixième. La suite du livre est consacrée à l'étude des séquences observées. En procédant par comparaison, je recherche la régularité et la variabilité des pratiques enseignantes. Les pratiques sont étudiées, d'une part en fonction des objectifs d'apprentissage des élèves, et d'autre part en replaçant le professeur dans la position d'un individu en situation de travail. Le cadre

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