Une tradition géométrique en Afrique, les dessins sur le sable

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Le patrimoine scientifique traditionnel de l'Afrique subsaharienne demeure encore peu connu et insuffisamment étudié. Une tradition géométrique en Afrique - les dessins sur le sable a, ainsi, pour ambition de contribuer à l'étude et à la mise en valeur de l'héritage mathématique africain animé par cette philosophie : le passé, inspirateur du présent, à la recherche d'un futur meilleur. Le premier tome de cet ouvrage propose une analyse et une reconstruction du savoir géométrique inhérent à la tradition, chez les Tchokwe du Nord-Est de l'Angola et chez les quelques peuples apparentés, des dessins sur le sable appelés sona - : patrons faits de lignes obéissant à des algorithmes géométriques. Les particularités de diverses classes de sona et les règles de leur enchaînement sont étudiées ici, à partir des valeurs culturelles qui caractérisent cette tradition. Le deuxième tome présente quelques suggestions pour une exploration éducative et mathématique des dessins sur le sable. Il vise, pour l'Afrique, la promotion d'une éducation mathématique qui permette la mise en valeur des racines scientifiques inhérentes à sa culture en utilisant ces dernières comme support pour un meilleur accès au patrimoine scientifique universel. L'étude des dessins sur le sable a conduit, également, à la recherche et à la réflexion sur d'autres traditions, dans une certaine mesure similaires à celle-ci d'un point de vue technique. En ce sens, le troisième tome du présent ouvrage décrit certaines de ces traditions appartenant à des époques et à des régions différentes d'Afrique et du monde : Ancienne Egypte, Ancienne Mésopotamie, Inde, Iles Vanuatu (Océanie), civilisations celtes (Iles Britanniques) et amérindiennes (Amérique du Nord).
Publié le : dimanche 1 janvier 1995
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EAN13 : 9782296308961
Nombre de pages : 160
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UNE TRADITION GÉOMÉTRIQUE EN AFRIQUE LES DESSINS SUR LE SABLE

Tome 3 Analyse comparative

OUVRAGES DU MEME AUTEUR *
* * * * * * Women and Geometry in Southern Africa, Université Pédagogique, Maputo, 1995, 200 p. Ethnomathematics and education in Africa, Université de Stockholm, 1995, 184 p. L'etll1lomathématique comme nouveau domaine de recherche en Afrique, Instituto Superior Pedag6gico (ISP), Maputo, 1993, 84 p. Etnomatematica: Cultura, Matemâtica, Educaçao, ISP, Maputo, 1992, 115 p. [préface de Ubiratan D'Ambrosio] CultUrel e 0 Despertar do Pensamento geométrico, ISP, Maputo, 1992, 146 p. Sobre 0 despertar do pensamento geométrico, Université Féderal de Parana, Curitiba, 1992, 105 p. [préface de Ubiratan D'Ambr6sio] Pitâgoms Africano: Um estudo em Cultum e EducaçÜo Matematica, ISP, Maputo, 1992, 103 p.; African Pythagoras: A study in Culture and Mathematics Education, ISP, Maputo, 1994, 103 p. Ethnogeometrie. Kulturanthropologische Beitriige zur Genese und Didaktik der Geometrie, Verlag Franzbecker, Hildesheim, 1991, 360 p. [préface de Peter Damerow] Lusona: Récréations géométriques d'Afrique, Union Mathématique Africaine & ISP, Maputo, 1991, 118 p. [préface de Aderemi Kuku] , Vivendo a matematica: desenhos da Africa, Editora Scipione, Sao Paulo, 1990, 68 p. Marx demysti;fies calculus, MEP-press (Université de Minnesota), Minneapolis, 1985, 129 p. (co-auteur Marcos Cherinda) Teoremas famosos da Geometria, ISP, Maputo, 1992, 120 p. (co-auteur Gildo Bulafo) Sipatsi: Technologie, art et géométrie à Inhambane, ISP, Maputo, 1994, 102 p. (coordination) A numeraçÜo em Moçambique, ISP, Maputo, 1993, 159 p. (coordination) Explorations in Ethnomathematics and Etluwscience in Mozambique, ISP, Maputo, 1994, 76 p. (co-directeurs C.Keitel, A.Bishop, P.Damerow), Mathematics, Education and Society, UNESCO, Paris, 1989, 193 p.

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Paulus GERDES

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UNE TRADITION GEOMETRIQUE EN AFRIQUE LES DESSINS SUR LE SABLE

Tome 3 Analyse comparative

Éditions L'Harmattan 5-7, rue de L'École-Polytechnique 75005 Paris

(Ç)L'Hannattan,

1995

ISBN: 2-7384-3654-4

INTRODUCTION AU TROISIEME TOME
Quand les Tchokwe du Nord-Est de l'Angola se réunissent au centre de leur village ou dans les campements de chasse, ils ont coutume de s'asseoir autour d'un feu ou à l'ombre des arbres feuillus, et de passer leur temps en conversations qu'ils illustrent par des dessins sur le sable, appelés sona (sing. lusona). La plupart de ces dessins sont issus d'une longue tradition. Ils se réfèrent à des proverbes, des fables, des jeux, des devinettes, des animaux, etc. et jouent un rôle important dans la transmission du savoir et de la sagesse, d'une génération à l'autre. Les dessins doivent être faits de façon lisse et continue car toute hésitation ou interruption de la part du dessinateur serait interprétée par le public comme une imperfection ou un manque de connaissance. Pour faciliter la mémorisation de leurs
pictogrammes ou idéogrammes, les akwa kuta sona

-

spécialistes en dessins ont inventé un procédé mnémotechnique intéressant: après avoir nettoyé et égalisé le sol, ils marquent avec le bout des doigts un réseau orthogonal de points équidistants; le nombre de rangées et de colonnes dépend du motif qui doit être représenté.
.

Dans le premier tome de Une tradition géométrique en Afrique - les dessins sur le sable, des connaissances et des savoir-faire mathématiques inhérents à la tradition des sona ont été analysés: patrons de lignes obéissant à des algorithmes géométriques, enserrant les points d'une grille de référence. Sur la base des valeurs culturelles prédominantes dans la tradition des sona, comme la symétrie et la préférence pour des patrons faits d'un seul trait (ou monolinéaires), les particularités des diverses classes de sona et les règles d'enchaînement, préservant certaines caractéristiques determinées, ont été étudiées. 451

Un des objectifs de la recherche ethnomathématique consiste à trouver des possibilités permettant de mieux cadrer l'enseignement des mathématiques dans le contexte culturel des étudiants et des professeurs. On vise une éducation mathématique qui réussisse la mise en valeur des racines scientifiques inhérentes à la culture, en les utilisant comme support pour accéder mieux et plus rapidement au patrimoine scientifique de toute l'humanité. C'est ainsi que dans le deuxième tome, nous présentons quelques suggestions pour une exploration éducative et mathématique des sana. L'étude et l'analyse des sana nous ont conduit à la recherche et à la réflexion sur d'autres traditions qui ressemblent dans une certaine mesure, et d'un point de vue technique, à celle des sana. Dans le troisième tome, nous présentons certaines de ces tradWons d'autres époques et de d'autres régions d'Afrique et du monde. Dans le chapitre 9, nous analysons certains algorithmes géométriques développés dans l'Ancienne Egypte. Les motifs mono linéaires et les patTons-de-bandetressée qui apparaissent sur les sceaux et sur d'autres produits manufacturés de l'Ancienne Mésopotamie sont présentés dans le chapitre 10. Le chapitre Il est consacré à l'analyse de dessins kolam de l'Inde, en ce qui concerne particulièrement la symétrie et la monolinéarité. Une brève excursion dans d'autres continents est realisée dans le chapitre 12. On y analyse, successivement, certains aspects des patrons-de-noeud des Celtes (îles Britanniques), de dessins sur le sable chez les habitants des îles Vanuatu (Océanie), de patrons utilisés par les indiens Navaho et par d'autres peuples d'Amérique du Nord. Dans le dernier chapitre nous revenons en Afrique, en présentant quelques patrons qui apparaissent brodés ou imprimés sur des vêtements, peints sur des murs, sculptés sur bois, etc.

452

En présentant ces traditions de différentes époques et d'autres régions d'Afrique et du monde, nous ne voulons pas suggérer une origine commune ou une liaison historique entre la tradition des sona et celles-ci. Par sa présentation au public, et à la lumière des deux premiers tomes de Une tradition géométrique en Afrique - les dessins sur le sable,' nous désirons motiver une recherche plus profonde de ces traditions et une exploration éducative et mathématique de celles-ci. Ainsi que nous l'avons fait dans les deux premiers tomes
de Une tradition géométrique en Afrique

sable, nous recommandons au lecteur de dessiner les figures ici présentées afin de pouvoir comprendre et apprécier le troisième volume.

-

les dessins sur le

Paulus Gerdes * 3 avril 1994

*

Universidade Pedag6gica, C.P.3276, Maputo, Mozambique 453

CHAPITRE 9 QUELQUES ALGORITHMES GEOMETRIQUES DANS L'ANCIENNE EGYPTE
Dans ce chapitre, nous présenterons quelques algorithmes géométriques utilisés dans la construction de patrons qui apparaissent gravés sur des scarabées et peints sur des murs et des vases de l'Egypte Ancienne. Nous avons sélectionné ceux qui forment des patrons composés d'une ou plusieurs lignes continues.

vu du bas a

vu de haut vu de profil c b [Ward, 1978, pl. XV: n° 370] exemple d'un scarabée fi gure 1

9.1

Scarabées

Le "scarabée" est un sceau typique égyptien, de la forme de ce coléoptère, du type "Scarabaeus saeer". La figure 1 en est un exemple. Les scarabées étaient faits en pierre

455

(particulièrement en stéatite), en faïence et parfois même en argent ou en pierres semi-précieuses. Ils étaient déjà utilisés comme amulettes dans l'Ancien Empire (environ 2686 2181 avant J.e.). La face plane des scarabées a commencé à être décorée à partir de la Première Période Intermédiaire (environ 2181 - 2040 avant J.C.), avec des hiéroglyphes et d'autres dessins gravés, surtout des spirales. Déjà pendant la XIIe dynastie (1991 - 1782 avant J.C.) apparaissent des ornements géométriques qui seront largement répandus au cours de la période des Hyksos (environ 1663 - 1555 avant J.C.). Pendant le Nouvel Empire (environ 1570 - 1070 avant J.e.) un grand nombre de scarabées ont été produits portant le nom de rois (cf. Bianchi, 1984). La principale idée exprimée par les ornements géométriques et, en particulier, par les spirales, était, suivant Petrie (1925, p.12), celle de nefer, c'està-dire, la puissance physique ou mentale, ou la beauté. Parmi les milliers de scarabées que nous avons eu l'opportunité de voir dans les livres et au Musée Egyptien du Caire, quelques dizaines d'entre-eux représentent des figures géométriques composées d'une ou plusieurs lignes continues qui d'une certaine façon, ressemblent aux patrons des sona de l'Afrique sub-équatoriale.

[Petrie, 1925, pl. VIII: n° 171] figure 2

9.2

Zigzags entrelacés

La figure 2 montre un scarabée (largeur 9 mm) sur lequel est gravé un zigzag vertical entrelacé à chaque sommet. On peut joindre deux de ces zigzags ouverts de façon à former un patron monolinéaire fermé, comme le montre la figure 3a. On trouve sur plusieurs scarabées ce genre de 456

décoration autour des hiéroglyphes gravés au centre (voir l'exemple de la figure 3b) (cf. Fraser, 1900, p. 15: n° 112; Newberry, 1906, pl. XVII: n° 13; Steindorff, 1936, pl. V, n° 160). Le nombre d'entrelacs est variable: 6 (Fraser; Martin, 1971, pl. 16, na 31), 7 et 6 (Newberry), 11 et 9 (Steindorft).

a

[Fraser, 1900, p.lS: n° 112] b figure 3

Comme variante, on peut trouver un zigzag continu autour des inscriptions, comme le montre schématiquement la figure 4. On a trouvé un scarabée orné de cette façon datant de la période comprise entre la XIIIe et la XVIIe dynastie (voir Newberry, 1907a, pl. V: n~9 et reproduite dans Martin, 1971, p. 96 et pl. 16: n° 32).
Des serpents peints sur des tombeaux

Sur les murs des tombeaux des pharaons de la XIxe dynastie (environ 1293 - 1185 avant J.C.) et de la xxe dynastie (environ 1185 - 1070 avant) .C.) apparaissent différentes représentations de serpents. A la figure 5 nous montrons, schématiquement, cinq de ces serpents conçus selon le même algorithme géométrique. La variation se trouve dans le nombre de colonnes d'entrelacs et -dans le nombre de paires d'entrelacs dans chaque colonne (voir tableau 1). 457

figure 4 Tableau I nombre de colonnes nombre de paires d'entrelacs par colonne 3 6 et 4 8 3 6 cf. photographies ou dessins publiés, entre autres, dans les livres sui vanls Magi, 1992,p. 62 Magi, 1992,p. 62 Bessy, 1964, n° 249 Diop, 1981, p. 417 Pfouma, 1993, p. 141

a b c d e

2 2 1 4 4

458

tombeau de Ramsés I (1293-1291 avant J.e.) a

~

tombeau de Ramsès I b

tombeau de Séthi I (1291-1278 avant J.e.) c

tombeau de Séthi I d

tombeau de Ramsès III (1182-1151 avant .I.e.) e tïgure 5 459

Les figures 6 et 7 illustrent d'autres algorithmes utilisés dans la représentation de serpents, à savoir sur le tombeau de Séthi II (1199-1193) et sur celui de Ramsès IX (1126-1108), respecti vement.

tombeau de Séthi II [Simpkins, 1992a, p. 14] tigure 6 9.3

tombeau de Ramsès IX [Magi, 1992, p. 48] figure 7

Trois classes de patrons reliés Première classe: /ln entrelacs plus grand

Le signe égyptien (figure 8a), snI (sentit), signifiant "plat" ou "fondation" (Rowe, 1936, p.lO), est très semblable au lusona qui représente une chauve-souris avec les ailes repliées (voir figure 8b; cf. chap.1, fig.76). Le dessin tchokwe apparaît inversé, cela veut dire qu'il tourne sur un angle de 1800 et pour l'exécuter on a utilisé une grille de six points de référence. L'hiéroglyphe est un patron mOllolinéaire, composé de trois petits entrelacs - deux entrelacs parallèles du côté inférieur et un troisième opposé verticalement entre les deux premiers - 'et un entrelacs plus grand du côté supérieur, extérieur par rapport au petit entrelacs du milieu. Inversé le signal constitue le plus petit élément d'une classe de patrons mono linéaires. La figure 9 présente les cinq premiers éléments de cette classe. Nous avons trouvé trois exemplaires du troisième élément, sur des scarabées, dont deux avaient été datés par Petrie (1889, pl. XVIII; 1895, p.28) (voir figure 10) et Matouk (1971, p.185), dans la XVIIIe dynastie, sous le règne de Thoutmôsis III (environ 1504 - 1450 avant J.e.). 460

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