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Mathematical Problems and Proofs: Combinatorics, Number Theory, and Geometry

De
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An introduction to the highly sophisticated world of discrete mathematics, Mathematical Problems and Proofs presents topics ranging from elementary definitions and theorems to advanced topics.

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Key to Symbols
1.
Contents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
Set Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Sets and Elementary Set Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Cartesian Product and Relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Functions and Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Cardinality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.5. Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Combinatorics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2.1. Four Enumeration Principles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Introductory Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Basic Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2.4. Generating Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
3 . Number Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. DivisibilityofNumbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Important Functions in Number Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Diophantine Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.5. Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiii
1 3 7 9 11 14
19 21 22 30 45 52
73 75 89 92 101 110
117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Geometry 4.1. Properties of Triangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
xi
xii
Contents
4.2. Analogies in Geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Two Geometric Tricks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appendixes
A. Mathematical Induction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1. Overview. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . A.2. Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Hints and Notes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Important Mathematical Constan.ts.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Great Mathematicians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
D. Greek Alphabet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
Index
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
140 142 145
165 167 167 177 180
189
199
207
211
215