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VARIATIONS SUR UNE LEÇON DE MATHEMATIQUES

De
384 pages
Que peuvent bien apprendre des élèves lorsqu'ils sont enseignés ? Apprennent-ils tous la même chose au même moment ? Comment la manière de l'enseignant intervient-elle dans l'apprentissage de tel ou tel élève ? Quels types de contraintes pèsent sur la pratique enseignante ? Suffit-il de " pousser la porte de la classe " pour pouvoir répondre ?
Pour aborder ces questions, une équipe de chercheurs d'horizons disciplinaires différents a mené un travail collectif sur une même leçon de mathématiques à l'école élémentaire.
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VARIA TIONS SUR UNE LEÇON DE MA TRÉMA TIQUES
Analyse d'une séquence: « L'écriture des grands nombres»

Collection Savoir et Formation dirigée par Jacky Beillerot et Michel Gault A la croisée de l'économique, du social et du culturel, des acquis du passé et des investissements qui engagent l'avenir, la formation s'impose désormais comme passage obligé, tant pour la survie et le développement des sociétés, que pour l'accomplissement des indi vidus. La formation articule savoir et savoir-faire, elle conjugue l'appropriation des connaissances et des pratiques à des fins professionnelles, sociales, personnelles et l'exploration des thèses et des valeurs qui les sous-tendent, du sens à leur assigner. La collection Savoir et Formation veut contribuer à l'information et à la réflexion sur ces aspects majeurs. Déjà parus: Gilles Ferry, Partance. Nicole Mosconi, Femmes et savoir. Elisabeth Handman ( ed.), Echec scolaire ou école en échec. Renée Simonet, Les techniques d'expression et de communication. Françoise Ropé (ed.), Savoirs universitaires, savoirs scolaires. Jean-Pierre Bigeault et Dominique Agostini, Violence et savoir, L'intervention éducative et les "savoirs indicateurs". Pascal Bouchard (textes rassemblés par), L'introuvable sujet de l'éducation. Janine Filloux, Du contrat pédagogique. Le discours inconscient de l'école. Geneviève Charbert-Ménager, Des élèves en difficulté. Claudine Blanchard-Laville et Dominique Fablet, L'analyse des pratiques professionnelles. Jacky Beillerot, Claudine Blanchard-Laville, Nicole Mosconi, Pour une clinique du rapport au savoir. Monique Linard, Des machines et des hommes. Luc Bruliard et Gérald Schlemminger, Des origines aux années quatre- vingt. Gilles Boudinet, Réussites, rock et échec scolaire. Daniel Gayet, Les peiformances scolaires, comment on les explique. Pascal Bouchard, La morale des enseignants. @ L'Harmattan, 1997 ISBN: 2-7384-5161-6

Sous le direction de Claudine BLANCHARD- LAVILLE

VARIATIONS SUR UNE LEÇON DE MA TRÉMA TIQUES
Analyse
«

d'une

séquence:
»

L'écriture

des grands nombres

Éditions L'Harmattan 5-7, rue de l'École-Polytechnique 75005 Paris

L 'Harmattan Inc. 55, rue Saint-Jacques Montréal (Qc) - CANADA H2Y IK9

LISTE DES AUTEURS Pierre BERDOT Maître de Conférences en Mathématiques, Université Paris VI, Psychologue clinicien, Laboratoire de Mathématiques Fondamentales, Université Paris VI. Claudine BLANCHARD-LA VILLE Professeure en Sciences de l'Éducation, Université Paris X-Nanterre, Centre de Recherche Éducation et Formation, Université Paris X-Nanterre, Équipe Savoirs et Rapport au savoir. Marcelo CAMARA Dos SANTOS Professeur-Formateur de Mathématiques, Recife, Brésil, Doctorant en Sciences de l'Éducation, Centre de Recherche Éducation et Formation, Université Paris X-Nanterre, Équipe Savoirs et Rapport au savoir. Françoise HA TCHUEL Professeure agrégée de mathématiques, Doctorante en Sciences de l'Éducation, Centre de Recherche Éducation et Formation, Université Paris X-Nanterre, Équipe Savoirs et Rapport au savoir. Alain MERCIER Maître de Conférences en Didactique des Mathématiques, École Nationale de Formation Agronomique de Toulouse, Formation doctorale «Apprentissage, Évaluation », Université de Provence. Nicole MOSCONI Professeure en Sciences de l'Éducation, Université Paris X-Nanterre, Centre de Recherche Éducation et Formation, Université Paris X-Nanterre, Équipe Savoirs et Rapport au savoir. Suzanne NADOT Maître de Conférences en Sciences de l'Éducation, Institut Universitaire de Formation des Maîtres de Bretagne, Centre de Recherche Éducation et Formation, Université Paris X-Nanterre, Équipe Savoirs et Rapport au savoir. Marie-Hélène SALIN Maître de Conférences en Didactique des Mathématiques, Institut Universitaire de Formation des Maîtres d'Aquitaine, Laboratoire aquitain de Didactique des Sciences et des Techniques, Université de Bordeaux I. Maria Luisa SCHUBAUER-LEONI Professeure en Didactique et Interactions sociales, Faculté de psychologie et des Sciences de l'Éducation, Université de Genève. Gérard SENSEVY Maître de conférences en Sciences de l'Éducation, Institut Universitaire de Formation des Maîtres de Bretagne, Formation doctorale « Apprentissage, Évaluation », Université de Provence.

Francia LEUTENEGGER Chercheuse en Didactique et Interactions sociales, Faculté de psychologie et des Sciences de l'Éducation, Université de Genève. Josette LOUDET-VERDIER Professeure d'Enseignement général des Collèges de Lettres-Allemand, Centre de Recherche Éducation et Formation, Université Paris X-Nanterre, Équipe Savoirs et Rapport au savoir.

A Jacky Beillerot qui est intervenu à plusieurs reprises pour stimuler notre avancée et accompagner notre élaboration et qui nous a incités à publier notre travail et l'a accueilli dans cette collection.

Nous remercions chaleureusement Guy Brousseau qui a imaginé etfait vivre une école pour l'observation dans le cadre du Centre pour l'Observation et la Recherche sur l' Enseignelnent des Mathématiques (CO REM). Il nous a permis d'accéder au matériau de cette
recherche et de le traiter à notre manière.

Nous tenons également à remercier Marie-Hélène Salin, actuellement responsable scientifique du COREJyf, et Denise Greslard, directrice de l'Ecole, qui ont facilité nos contacts avec le COREM. Nous adressons enfin nos plus vifs remerciements à l'enseignante de la classe observée qui nous a accueillis avec chaleur et qui s'est prêtée au jeu difficile de notre recherche.

SOMMAIRE

INTRODUCTION. ...

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7 Il

PRÉSENTATION DE LA LEÇON SuzanneNadot
LE TRAVAIL DE RECHE~CHE ~UR LA LEÇON: MISE EN PERSPECTIVE EPISTEMOLOGIQUE .. Maria Luisa Schubauer-Leoni Francia Leutenegger
CONTRAINTES DE LA SITUATION DIDACTIQUE ET DÉCISIONS DE L'ENSEIGNANTE Marie-Hélène Salin

15

31

OBSTACLES ET APPRENTISSAGES Suzanne Nadot L'ENSEIGNANTE CONSTRUCTRICE ET GESTIONNAIRE DE LA SÉQUENCE Maria Luisa Schubauer-Leoni Francia Leutenegger INÉGALITÉS DE TRAITEMENT ENTRE LES FILLES ET LES GARÇONS .......................... Nicole Mosconi Josette Loudet-Verdier
« DIS MAÎTRESSE, COMMENTTU ME VOIS? »

59

91

127

ASSIGNATION ET ÉTIQUETAGE EN SITUATION D'ENSEIGNEMENT COLLECTIF ... 151 Françoise Hatchuel

DÉSIRS, INSTITUTIONS, Gérard Sensevy

SAVOIR

195

LA CONSTRUCTION DE L'ESPACE PSYCHIQUE DANS LA CLASSE Pierre Berdot Claudine Blanchard-Laville Marcelo Camara Dos Santos LA RELATION DIDACTIQUE ET SES EFFETS Alain Mercier
ÉPILOGUE. ..............................................

217

259
313

Claudine Blanchard-Laville TÉMOIGNAGE DE L'ENSEIGNANTE ANNEXES
IND EX ....................................................

343 345
379

- 6-

INTRODUCTION

Cet ouvrage est le fruit du travail mené par un groupe de chercheurs désireux d'échanger dans le cadre d'un projet commun et de se confronter à un même corpus de données relatif à des phénomènes d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques à l'école. Ce projet de recherche a été entr~pris sous l'égide de l'ex-Direction de la Recherche et des Etudes Doctorales (Dred) lors de son appel d'offre Recherches en éducation, et poursuivi avec le soutien scientifique et financier de l'Université Paris XNanterre. Deux sous-groupes de chercheurs se sont réunis en un seul groupe de travail avec l'intuition 1 que cet échange pluridisciplinaire pourrait être à l'origine d'un dispositif de production de s~voirs nouveaux. Le premier sous-groupe est rattaché à l'Equipe d'Accueil de Doctoran!s Savoirs et rapport au savoir du Centre de Recherche Education et Formation de Paris X-Nanterre (Jacky Beillerot, Pierre Berdot, Claudine Blanchard-Laville, Marcelo Camara Dos Santos, Françoise Hatchuel, Josette Loudet- Verdier, Nicole Mosconi) et poursuit des travaux dans la ligne de l'ouvrage collectif: Pour une clinique du rapport au savoir, (Beillerot, Blanchard-Laville, Mosconi, 1996). Le deuxième sous-groupe appartient à la communauté des
1 Cette intuition reposait essentiellement sur la confiance accordée par chacun à Claudine Blanchard-Laville qui, en prenant l'initiative du projet, conviait des chercheurs avec lesquels elle avait déjà collaboré par ailleurs et qu'elle estimait des interlocuteurs susceptibles d'interagir utilement et agréablement avec les autres dans le cadre de cette recherche.

-7-

chercheurs en didactique des mathématiques (Francia Leutenegger, Alain Mercier, Suzanne Nadot, Marie-Hélène Salin, Gérard Sensevy, Maria Luisa Schubauer-Leoni). Certains d'entre eux, avaient déjà interagi avec Claudine Blanchard-Laville à propos de l'articulation de plusieurs points de vue théoriques (didactique des mathématiques, psychologie sociale et psychologie clinique à orientation psychanalytique) dans le cadre du Groupement de Recherche Didactique du CNRS à partir de l'analyse d'un corpus constitué d'une séquence de cours de mathématiques enregistrée ( Blanchard-Laville, Chevallard, Schubauer-Leoni, 1996). L'objet d'étude était initialement désigné par les termes suivants: «Les composantes implicites des comportements et des discours des enseignants dans les classes de mathématiques, et leurs effets sur les apprentissages des élèves ». Cet objet, qu'il a fallu faire exister d'abord par un intitulé, s'est très vite révélé trop vaste et a été spécifié comme relevant de l'étude de phénomènes à l'oeuvre dans une leçon de mathématiques à l'école élémentaire. Plus précisément encore, le groupe s'est donné pour tâche d'étudier le corpus représenté par la retranscription d'une séquence de mathématiques ordinaire en CMI2. De telles expériences de recherche, regroupant des chercheurs qui relèvent de disciplines différentes, ont permis d'avancer dans des problématiques spécifiques en profitant de contextes d'interaction bien pensés. En effet, du côté des sciences du langage, à plusieurs reprises, des dispositifs d'interaction entre chercheurs sur un même matériel ont été construits pour favoriser l'avancement des problématiques et des instruments d'analyse3. En
2 Nous reviendrons dans un texte ultérieur sur les caractéristiques des corpus et sur leurs effets pour le travail du groupe. 3 L'ouvrage édité sous la direction de P. Bange (1987) est un excellent exemple de construction de savoirs nouveaux à partir des analyses conjointes et articulées de divers spécialistes des interactions verbales à propos du corpus d'une consultation (il s'agit en l'occurrence d'une dame qui consulte un représentant d'une association de défense de - 8-

didactique des mathématiques, des chercheurs ont aussi fait fonctionner leurs regards croisés sur des phénomènes didactiques4. Comparativement à ces situations, notre groupe de recherche actuel apparaît comme moins homogène; son identité n'a pas trouvé d'emblée une assise puisque les personnes qui le composent ne se définissent pas comme relevant d'une même communauté scientifique. Par conséquent le projet de travail en commun a nécessité une première mise en perspective des intérêts personnels et scientifiques de chacun de façon à ce que d'une part, tout le monde puisse trouver son compte dans l'investissement à effectuer et que, d'autre part, on puisse donner un statut épistémologique aux résultats de la recherche sans tomber dans les illusions des déclarations interdisciplinaires. Le volume ci-joint rassemble l'état du travail effectué par cette équipe. Après une brève présentation de la leçon (Suzanne Nadot), un texte à caractère méthodologique spécifie le contexte du travail de recherche et les conséquences épistémologiques du dispositif d'étude (Maria Luisa Schubauer-Leoni et Francia Leutenegger). Suivent les huit analyses de la leçon présentées dans l'ordre suivant: d'abord deux contributions qui permettent d'observer la fonction et le sort qui sont réservés au savoir mathématique dans le courant de la leçon (Marie-Hélène Salin et Suzanne Nadot), puis deux analyses qui mettent l'accent sur les interactions maître-élève et sur le rôle de certaines appartenances groupales comme le sexe, la classe sociale et la position scolaire, (Nicole Mosconi et Françoise
locataires en vue de rédiger une lettre). Un autre exemple intéressant est constitué par Larrue et al. 1986. 4 Une première illustration de ce travail figure sous forme d'un colloque épistolaire (Blanchard-Laville, Chevallard, Schubauer-Leoni, 1996) et une deuxième illustration est fournie par les actes des journées didactiques de La Fouly qui ont porté sur l'analyse de protocoles entre didactique des mathématiques et psychologie cognitive (Brun, Conne, 1994). -9-

Hatchuel). Dans le texte suivant (Maria Luisa SchubauerLeoni et Francia Leutenegger), il est question du rôle du savoir dans la gestion de la leçon, vue aussi bien dans sa préparation que dans sa réalisation. Le texte de Gérard Sensevy discute, à partir de la séquence, le problème des conditions susceptibles de permettre à l'élève de progresser conceptuellement dans le domaine mathématique. Selon une approche clinique d'inspiration psychanalytique, Pierre Berdot, Claudine Blanchard-Laville et Marcelo Camara dos Santos élaborent la manière dont l'enseignante construit l'espace psychique de la situation didactique. Cette partie se termine avec la contribution d'Alain Mercier qui développe une analyse de la transposition du savoir ainsi que des contraintes temporelles de la situation et qui relate des épisodes de la biographique didactique de quelques élèves de la classe. Le dernier texte de l'ouvrage n'est pas une conclusion au sens habituel du terme mais constitue une sorte d'épilogue du travail rédigé par Claudine BlanchardLaville. Enfin, le lecteur trouvera en fin d'ouvrage un témoignage de l'enseignante dont la leçon a fait l'objet des différentes analyses puis, en Annexes, la retranscription de l'enregistrement vidéo de la leçon ainsi qu'un tableau regroupant les informations dont disposait l'institution à propos des élèves de la classe observée et la fiche de préparation de la leçon rédigée par l'enseignante.

- 10-

PRÉSENTATION

DE LA LEÇON
Suzanne Nadot

La séquence que nous présentons est une leçon de mathématiques de 63 minutes qui se déroule dans une classe de CMl composée de 15 garçons et Il filles. Conduite par une enseignante qui travaille avec le centre Michelet de Talence, cette séquence s'inscrit dans un dispositif permettant à différents chercheurs en didactique des mathématiques d'assister à des leçons faites à l'école élémentaire.
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Tableau noir Configuration de la salle de classe

L'enseignante s'est déplacée avec ses élèves pour faire classe dans une salle spécialement aménagée; des observateurs (obs) sont présents et un matériel vidéo permet l'enregistrement intégral de la leçon. C'est d'ailleurs, en grande partie, à partir de ce document vidéo que notre équipe de chercheurs a travaillé et produit les analyses que nous exposons dans les pages suivantes. - Il -

La séquence étudiée s'insère dans une série de leçons sur les «grands nombres ». Distribuée aux élèves en début de séance, la feuille ronéotée reproduite cidessous précise les consignes et organise l'activité des élèves autour de plusieurs exercices d'écriture.
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La leçon vise à apprendre aux enfants à transformer des écritures en lettres en écritures en chiffres pour des nombres de l'ordre des millions, intention annoncée par l'enseignante dès la première minute: « ... on va continuer à travailler sur les grands nombres écrire en chiffres un nombre écrit en lettres ». La leçon prend appui sur les activités proposées dans la feuille ronéotée. En fait, seules les écritures de cinq des nombres donnés sont discutées durant la séquence: les deux nombres indiqués dans la première partie et les trois premiers nombres mentionnés dans la deuxième partie. Dans ce qui suit, nous ferons référence aux cinq exercices, chaque exercice correspondant à un des nombres traités. Pour tracer les grandes lignes d'une chronique de cette leçon, nous distinguons un temps de présentation de la leçon (Pré), et les cinq exercices (Ex l, Ex2, ..., Ex5), pour chacun desquels un même scénario est observé. Le texte de l'exercice est lu à haute voix, puis la consigne est reformulée, complétée, et l'enseignante tente, en questionnant les élèves d'en contrôler la juste compréhension; ce premier temps consacré à l'exposé du travail à réaliser est suivi d'un temps de recherche individuel où les élèves résolvent l'exercice; nous notons (Pl) cette partie du scénario. Puis, après un court moment où l'enseignante désigne l'élève qui va passer au tableau, nous assistons à une phase d'échanges intenses où l'élève au tableau et les autres énoncent, en les formulant, leurs solutions et leurs démarches, nous notons (P2) cette deuxième partie du scénario. Suivent alors un temps où l'enseignante conclut le débat mené à propos de la correction de l'exercice, en insistant sur les savoirs jugés essentiels (P3), puis un temps où l'enseignante évalue la réussite de la classe en interrogeant les enfants pour s'informer des différentes erreurs produites (P4). Ce découpage, très net lors des premiers exercices, l'est moins au cours du troisième exercice pour disparaître complètement au cours des deux derniers pour lesquels les - 13 -

temps de présentation et d'évaluation sont très brefs, et le temps de conclusion confondu avec celui de la formulation. Par contre, au cours du deuxième exercice, un incident casse la routine du scénario; en effet, à l'issue de la correction de l'exercice, un élève, Louis, propose une question imprévue qui introduit un traitement supplémentaire de l'exercice en cours, voire une remise en question de l'exercice précédemment résolu. Dans la mesure où cet incident va fortement bouleverser les prévisions de l'enseignante et remettre en questions, pour certains élèves, le savoir enseigné, nous l'appelons critique. Nous donnons ci-dessous la chronologie du déroulement de la leçon, en indiquant pour chaque exercice, et pour chacune des phases du scénario précédemment décrites, le temps écoulé. Nous signalons en grisé la partie de la leçon qui correspond à l'incident critique.
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Chronologie du déroulement de la leçon découpée selon le temps de présentation et ceux de la réalisation des cinq exercices. Ex 1 : deux millions trois cent quarante mille cent cinq Ex2 : dix sept millions deux mille cinquante huit Ex3 : 4 millions 316 mille 24 Ex4 : 13 millions Ex5 : 203 millions 21 mille 5

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LE TRA VAIL DE RECHERCHE SUR LA LEÇON: MISE EN PERSPECTIVE ÉPISTÉMOLOGIQUE
Maria Luisa Schubauer-Leoni Francia Leutenegger
« (...) si tout savant procède à lafabrication de ses objets, cette construction ne peut néanmoins s'appeler « science» que si elle témoigne d'une orientation vers la réalité des choses, une réalité qu'elle veut représenter pour pouvoir la penser dans ses formes. Bien qu'un objet de science ne soit évidemment pas le réel luimême, il se présente comme un modèle de ce qui est (...). L'objectivité ou la «pureté» d'une description est affaire de degré et son rapport au processus interprétatif qui est la source de toute formation d'objet et de toute visée d'explication dépend du genre de discipline et des normes de travail qui y règnent, de son histoire, de l'état des connaissances et du programme de recherche

qui en précise l'usage et la portée.

»

J.M. Adam, M.J. Borel, C. Calame, M. Kilani Le discours anthropologique, Payot, 1995. Dans ce chapitre nous avions prévu de donner une description objective et impartiale des conditions de travail du groupe de recherche qui produit ce livre; or il apparaît - 15-

qu'un tel pari est difficilement tenable. En effet, les catégories-mêmes à travers lesquelles le dispositif de travail est décrit sont déjà le produit d'une certaine analyse qui problématise tels éléments aux dépens d'autres devant rendre compte de la réalité. Pour la clarté de ce chapitre, il convient de préciser que les auteures se positionnent en tant que didacticiennes et que par conséquent la présentation qui est faite du travail de l'ensemble du groupe sera marquée par ce point de vue, sorte d'observatoire depuis lequel elles cherchent à comprendre à quelles conditions un savoir est produit. Cette compréhension concerne aussi les savoirs qui seront produits par ce groupe de chercheurs. LES CONDITIONS D'ÉMERGENCE TRA VAIL DE RECHERCHE DU

Avant d'entrer dans le détail des matériaux de recherche, arrêtons-nous un instant sur les conditions que le groupe s'est données pour travailler ce projet. Les deux sous-groupes de chercheurs qui sont à l'origine de cette recherche ne constituent pas des entités homogènes puisque, à l'intérieur de chaque sous-groupe, les travaux de chacun sont marqués par des références privilégiées à diverses disciplines: la sociologie, la psychologie cognitive et sociale, la psychologie clinique d'inspiration psychanalytique, les mathématiques. Or ces disciplines viennent prendre une position spécifique dans la réflexion selon qu'elles sont censées concourir ensemble à une compréhension des différentes composantes de l'acte d'enseignement au sens large ou selon qu'elles sont pensées comme des disciplines de référence du champ didactique qui les interprète pour comprendre, à travers des concepts ad hoc fabriqués par la théorie didactique, les pratiques de production et de transmission des savoirs scolaires. De cette façon et en se donnant un projet scientifique original, la didactique travaille son autonomisation scientifique en produisant ses propres catégories conceptuelles de compréhension des réalités d'enseignement et d'apprentissage. - 16-

Selon les projets scientifiques de chacun, selon les institutions à l'intérieur desquelles (et pour lesquelles) est pensé l'essentiel des travaux des chercheurs en présence, l'objet d'étude subira des variations dont l'amplitude mérite toute notre attention épistémologique. Il convient d'ailleurs de remarquer que les différentes acceptions du terme de « variation» font toutes intervenir l'idée de modification dans la durée. Sans s'en tenir au sens musical, tout en utilisant la métaphore, nous pouvons dire que si le thème de départ est le même il va subir diverses modifications dont il faudra discuter la compatibilité -éventuellement dissonante!en raison des procédés d'analyse différents propres à chacune des disciplines de référence. Il faut encore ajouter que les regards disciplinaires convoqués pour ce travail ne prétendent pas atteindre une quelconque exhaustivité d'analyse, de même que le groupe n'a pas choisi d'éluder telle approche a priori: c'est davantage une affaire de conjoncture caractérisée par la disponibilité de personnes prêtes à faire fonctionner lees) regardes) disciplinaire(s) qui les caractérise(nt). Une institution et un dispositif de recherche Il est apparu d'emblée qu'il ne suffit pas de s'intéresser au même terrain, de recourir aux mêmes signifiants, y compris ceux d'allure savante, pour que l'objet d'étude nous soit commun. Face à l'objet empirique représenté par le protocole de la leçon, le débat au sein du groupe a donc porté sur les différents objets d'étude découpés par les éclairages et les problématiques de chacun. Ainsi, les regards théoriques qui nous distinguent ont révélé, au fil des échanges, des attributions de significations et des fonctions distinctes aux composantes de la leçon. Dans ces conditions, le travail de nomination des faits par des appellations que les membres du groupe reconnaissent dans leurs cultures de référence ou le recours à des notions à première vue partagées, peuvent constituer un obstacle à l'avancement d'une théorisation collective si le groupe n'assure pas constamment une forme de vigilance épistémologique à l'égard du travail en train de se faire. Pour prendre un exemple, le recours à la notion - 17 -

d'institution peut laisser croire à un consensus quant à la fonction théorique de cette référence. Pourtant nous savons bien5 que l'institution et surtout les effets d'institution ne sont pas les mêmes s'ils sont décrits sociologiquement ou anthropologiquement, en termes d'assujettissements, de contraintes, de routines, de normes et de valeurs qui pèsent sur les individus (et/ou que les individus négocient) tout en leur permettant de fonctionner conventionnellement en interaction avec d'autres ou s'il s'agit de prendre appui sur des références psychanalytiques pour montrer ce que fait l'institution à l'organisation de la vie psychique. Dans ce cas l'accent serait davantage mis sur les blessures mais aussi sur les bénéfices pour le sujet qui négocie, à travers son rapport à l'institution, des composantes de son identité personnelle et professionnelle. En ce qui concerne notre travail, nous allons toutefois considérer le dispositif représenté par la réunion des deux sous-groupes comme une institution dans la mesure où le groupe nouvellement constitué6 crée, le temps d'un projet de recherche, un espace de pensée supposé légitime et fécond grâce notamment aux différences entre les chercheurs en présence. Le but d'ordre supérieur que représente le projet commun ne vise donc pas à gommer les différences des regards scientifiques en présence, il s'agit au contraire de profiter d'un tel dispositif pour obliger chacun à se positionner en clarifiant et en délimitant la nature de son questionnement et de sa problématique propre par rapport à celle des autres. Epistémologiquement parlant, le but d'un tel dispositif n'est pas d'inventer un savoir qui transcenderait les savoirs déjà-là dans une optique inter- ou transdisciplinaire mais de fabriquer, dans un échange serré et sans complaisance, une meilleure compréhension
5 Voir à ce propos la revue des textes français contemporains sur l'Institution organisée et commentée par J. Beillerot (1995) qui souligne par la même occasion le côté équivoque, polysémique et problématique du terme sinon de la notion. 6 Cette constitution fait que les personnes concernées sont censées se reconnaître dans le projet du groupe par comparaison avec d'autres projets conduits avec d'autres groupes dans lesquels les chercheurs de ce groupe-ci sont impliqués. - 18 -

commune de ce que permettent ou ne permettent pas nos analyses actuelles inhérentes à des problématiques qui parfois convergent et éventuellement s'excluent à certains égards. En d'autres termes, il s'agit essentiellement d'éprouver la pertinence d'aborq, et la validité ensuite des différents systèmes de questionnement en jeu en montrant ce que tel regard permet de saisir et ce que tel autre exclut ou ignore. Nous retrouvons dans ce fonctionnement et dans ces finalités, une des préoccupations majeures qui avaient déjà motivé certains d'entre nous au sein du Colloque épistolaire tenu entre 1988 et 1990 (Blanchard-Laville, Chevallard, Schubauer-Leoni (Eds.), 1996). Dans cette perspective, une discussion fort éclairante, à nos yeux, de l'articulation entre «systèmes d'interaction, systèmes de questionnements, systèmes d'explication et systèmes de validation» a été développée dans ce colloque par Y. Chevallard (1996, lettre du 1er mai 1989). La mise en perspective épistémologique de cette question a donné lieu à des débats très controversés au sein du Colloque épistolaire qui s'est terminé sans aboutir à un consensus sur cette question cruciale. La problématique reste pour nous fondamentale et le groupe qui fait vivre aujourd'hui cet ouvrage a remis en scène, de fait, ce type de préoccupations sans reposer explicitement le débat en termes épistémologiques. Pensé comme un dispositif de recherche le groupe s'est doté de certaines contraintes de fonctionnement pouvant assurer à la fois la formulation et la circulation des idées tout en garantissant l'existence d'un premier lieu de validation de ce qui est avancé par les chercheurs7. Nous
7« Les effets de la collaboration inter-disciplinaire fréquemment présentée comme une panacée scientifique, écrivaient Bourdieu, Chambordon et Passeron il y a pratiquement 30 ans, ne sauraient non plus être dissociés des caractéristiques sociales et intellectuelles de la communauté savante. De même que les contacts entre sociétés de traditions différentes sont une des occasions où les présupposés inconscients sont en quelque sorte provoqués à s'expliciter, de même les discussions entre spécialistes de disciplines différentes peuvent constituer la meilleure mesure du traditionalisme d'un corps savant, - 19 -

voulions ainsi résister à la tentation8 de trop vite lisser nos éventuelles divergences au profit d'un produit fini donnant l'impression d'un parfait ajustement de l'ensemble des apports. Nous pensons toutefois que le dispositif que nous nous sommes donné peut utilement permettre d'observer des phénomènes de redondance ou de recoupement partiels de certaines analyses, ce qui devrait nous conduire à avancer dans la mise en évidence de possibles articulations entre problématiques autour d'un objet empirique d'étude que nous partageons. De telles articulations n'excluent pas, a priori, qu'on aboutisse au constat de l'actuelle difficulté à rendre compatibles des paradigmes théoriques encore inconciliables9. Afin de faire fonctionner ce dispositif, l'ensemble du groupe a commencé par réagir à chaud et collectivement face à un premier visionnement de la bande vidéo de la leçon, c'est ainsi qu'il est apparu nécessaire de solliciter, auprès des didacticiens-mathématiciens, une première analyse a priori des pratiques de savoir en jeu dans la leçon (la contribution épistémologique de Alain Mercier est la résultante écrite des questionnements du groupe sur les questions épistémologiques et mathématiques inhérentes à l'écriture des nombres). Cette entrée par le savoir a d'ailleurs été prolongée prioritairement par des échanges sur des compréhensions didactiques des phénomènes en jeu, phénomènes qui étaient peu familiers aux non-didacticiens. Les analyses autres que didactiques ont émergé
c'est-à-dire du degré auquel il exclut inconsciemment de la discussion coutumière les présupposés qui rendent possible cette discussion. » (3ème éd., 1980, p. 105). 8Cette tentation est fortement sollicitée par les demandes en provenance du terrain scolaire pour que les chercheurs fournissent des solutions ou du moins des cadres de pensée susceptibles d'être mis bout à bout pour répondre aux nombreuses difficultés des praticiens. 9 Ecrit dans un but de clarification épistémologique, ce chapitre ne cherche toutefois pas à donner une image des interactions entre chercheurs plus angéliques et désintéressées qu'elles ne le sont. Les acteurs impliqués dans les débats du groupe ont engagé des intérêts qui ont produit des gains personnels et symboliques dont la portée reste à apprécier. - 20-

progressivement et presque par contraste à l'égard des premières. Des textes ont été rédigés et ont circulé, diverses modifications ont été apportées au fil des discussions du groupe mais surtout les principales modifications sont intervenues à la suite d'un travail ciblé: chaque texte d'analyse était soumis à deux lecteurs (un didacticien et un non didacticien) qui, sans complaisance, devaient fournir une critique en vue de la version définitive à paraître sous forme de chapitre. Ce travail qui ressemble à celui qui a cours dans n'importe quelle revue avec comité de lecture, comportait dans notre cas un enjeu supplémentaire, à la fois pour les auteur(e)s et les critiques: la mise en jeu de l'ensemble du projet commun. Cet ouvrage représente donc une étape dans l'évolution de la réflexion du groupe. En cours de travail, nos interactions ont notamment permis de constater que nous tendions à nous distinguer par des accès différents aux phénomènes qui se produisent dans une classe. En particulier nous avons constaté que nous nous distinguions soit par une entrée du côté des sujets (enseignants ou élèves) soit par une entrée du côté du savoirl0 Or ces deux entrées ne garantissent pas que, à la sortie, ceux qui ont privilégié les contenus de savoir ont rencontré les sujets et que ceux qui ont mis en avant des phénomènes intra et/ou interpersonnels ont eu besoin de prendre en compte les savoirs pour «boucler» leur analyse. La place du savoir dans les analyses apparaît ainsi comme un élément clef et vraisemblablement distinctif des apports de chacun: bien que la plupart des chercheurs se réclame d'une analyse en termes de rapport au savoir, un

tel rapport peut renvoyer au « fait de savoir» par contraste
avec un état d'ignorance, mais dans ce cas le savoir est essentiellement lié à la valeur symbolique qu'il représente pour soi, pour autrui, pour les groupes d'appartenance et de
10 La ligne de démarcation entre les deux entrées n'est peut-être pas toujours aussi nette, mais la frontière que nous venons de tracer a le mérite de clarifier momentanément des centrations de recherche et d'aider le lecteur à se repérer plus aisément dans les textes et les analyses.

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référence voire pour les institutions qui décernent des « prix» et des systèmes de places en conséquence. Le contenu du savoir, en tant qu'organisation logique, conceptuelle et culturelle peut dans ce cas ne pas être pris en compte. Au sein de la relation ternaire réunissant l'enseignant, l'enseigné et le savoir, ce dernier pourrait alors être un savoir générique pour ne pas dire un savoir prétexte à la réalisation d'un certain jeu et de certains enjeux. En revanche la spécificité de tel contenu de savoir, les mécanismes de pensées auxquels il fait appel, les marques ostensives qu'il prend au fil de la leçon, les gestes, y compris mentaux, qu'il mobilise selon la nature des tâches et des exercices, ces éléments apparaissent décisifs pour rendre compte de la modification des rapports à ce savoir-là. Dans cette optique, la relation interpersonnelle entre l'enseignant et l'élève ne peut se passer de la prise en compte du rapport que ces deux partenaires entretiennent, depuis leur place respective, avec les modifications que subit dans le temps le contenu de la leçon. UNE CLASSE COMME OBJET D'ÉTUDE Ayant choisi de travailler sur la retranscription d'une leçon de mathématiques dans une classe d'école primaire, nous avons été amenés à collaborer avec le Centre pour l'observation et la recherche sur l'enseignement des mathématiques (COREM) Jules Michelet à Talence (Bordeaux). Ce centre a été créé par Guy Brousseau en 1973 qui en assure la direction. Marie-Hélène Salin, membre de notre groupe en est la responsable scientifique. Le COREM est un dispositif qui intègre un groupe scolaire (maternelle et élémentaire) dans un centre de recherche. Marie-Hélène Salin (à paraître) décrit ainsi les objectifs et le fonctionnement actuels du COREM :
«

Le COREM est un « projet» conjoint:

-de l' IREM (Institut de recherche sur l'Enseignement des Mathématiques) et du LADIST (Laboratoire Aquitain de Didactique des Sciences et des Techniques) dans le cadre de l'Université de Bordeaux I -de l'Inspection Académique de la Gironde, sous l'égide du Rectorat d'Aquitaine.

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Il est conçu pour: -mener à bien les recherches indispensables à l'avancement de la connaissance des phénomènes d'enseignement des mathématiques, -concevoir et étudier des situations d'enseignement nouvelles qui permettent une meilleure appropriation de cette discipline par les élèves, -développer ainsi la constitution d'un corps de connaissances nécessaires à la formation des enseignants. Collaborent à son fonctionnement : -les enseignants chercheurs du LADIST, la plupart en poste à l'IUFM, -les directeurs(trices) des écoles, les enseignants et la psychologue scolaire en poste à Michelet, -des formateurs IUFM du premier degré en tant qu'experts, -les étudiants en didactique des mathématiques (DEA, thèse). Les enseignants de l'école Michelet sont des enseignants ordinaires et volontaires et à qui il n'est demandé aucune formation antérieure particulière. Sans être chercheurs, ils ont choisi de s'impliquer dans le processus de recherche et doivent travailler en équipe (l'école dispose, en général, de trois enseignants pour deux classes). La particularité du COREM, c'est donc l'existence de cette école et la collaboration chercheurs-enseignants du terrain qui s'exerce prioritairement sur l'axe: comprendre les phénomènes d'enseignement. Le COREM permet la constitution de deux sources de données: a) le recueil d'informations qualitatives et quantitatives systématiques sur l'enseignement des mathématiques à l'école primaire sur une longue durée: progressions sui vies, fiches de préparation des séquences, travaux d'élèves, épreuves d'évaluation et résultats (bruts et
(00')

pour certains ayant subi une certaine analyse )'('00) b) L'observation de classes avec deux modalités: -d'une part des observations destinées à dégager et expliquer des phénomènes de didactique, concernant l'enseignement « tel qu'il se pratique». Dans ce cas le chercheur n'assume aucune responsabilité dans le choix et la gestion des activités didactiques, -d'autre part, des observations qui constituent un moment essentiel des recherches utilisant l'ingénierie didactique comme méthodologie.

Dans le cadre de notre travail de recherche et dans un premier temps, nous nous sommes limités au visionnement et à la retranscription de la cassette vidéo d'une leçon prise au hasard parmi les vidéos réalisées au COREM lors de l'observation d'une séquence « ordinaire» organisée dans le cadre de la première modalité d'observation indiquée cidessus. Ce n'est que dans une deuxième temps et au fur et
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à mesure de l'avancement du travail et des problématisations au sein du groupe, que nous avons pu mesurer l'importance du dispositif d'observation de l'école Michelet: un observatoire unique dans son genre et qui représente un capital culturel des plus précieux pour tout chercheur intéressé aux phénomènes de l'enseignement et

de l'apprentissageà l'école primaireIl.
Le lecteur aura d'ailleurs l'occasion de se rendre compte, au fil des analyses, à la fois de la richesse et de la rareté12 des traces auxquelles nous avons pu accéder. En effet, si les chercheurs de notre groupe ont pu disséquer avec précision de nombreux faits pour les traduire en phénomènes, c'est parce que les conditions de la recherche avaient été façonnées par les multiples travaux du COREM et que nous bénéficiions d'un dispositif de réflexion, préalable à notre étude, qui nous autorisait non seulement à penser scientifiquement mais aussi à répercuter les résultats de nos analyses auprès des personnes directement impliquées et en particulier auprès de l'enseignante de la

classe de CM1 que nous avons mise « sous la loupe»
dans cette étude de cas. Nous nous sommes ainsi insérés dans le fonctionnement usuel du COREM de restitution aux enseignants des résultats de la recherche. Au moment de l'enregistrement, la leçon étudiée ne s'inscrivait pas dans un projet d'expérimentation didactique au sens strict tout en relevant d'un dispositif de recherche et de formation des enseignants au sens large. Des chercheurs-observateurs du COREM (d'autres enseignants de l'école et des didacticiens des mathématiques) se trouvaient d'ailleurs dans la salle de classe lors de la leçon et prenaient des notes. L'observation proprement dite a été suivie d'une discussion, qui constitue, selon les habitudes

de ce dispositif d'observation, une analyse « à chaud» de
ce qui s'est passé. Au cours de ces discussions, le point de
Il «Le COREM, rappelle Marie-Hélène Salin (à paraître), propose depuis plus de dix ans aux chercheurs en didactique des mathématiques de travailler sur des enregistrements de séquences. » 12 Ce sont l~s traces qui sont rares, parce que rarement stockées et organisées par les institutions en vue d'un travail de recherche, et non les phénomènes qu'elles permettent de mettre en évidence. - 24-

vue de l'enseignant et celui des différents observateurs, s'appuyant sur des informations recueillies par l'observation des élèves, sont généralement confrontés pour aboutir au pointage de divers phénomènes pouvant porter tant sur la conception de la leçon que sur sa mise en oeuvre par l'enseignant. Dans l'esprit du COREM, il ne s'agit pas de mettre en cause le fonctionnement personnel de l'enseignant, mais de dégager les facteurs liés à la situation didactique qui déterminent pour une part ce fonctionnement. L'équipe enseignante peut d'ailleurs utiliser les résultats de ce travail pour prévoir une amélioration de la situation didactique pour une année suivante. Dans le cadre de notre groupe, bien que nous ayons eu la possibilité d'accéder à l'enregistrement de l'analyse

« à chaud» qui s'était engagée entre les didacticiens et les

enseignants, nous avons choisi de ne pas prendre connaissance de ce travail post-séquence afin d'éviter toute superposition possible avec d'autres projets de recherche du COREM et parce que nous n'avons pas souhaité opérer un déplacement du niveau d'analyse en passant de l'analyse d'une leçon à l'analyse de l'analyse de la leçon de la part des didacticiens et collaborateurs du Centre. Par ce choix le groupe s'est privé de faits établis au cours des échanges entre les différents observateurs et l'enseignant à propos des observations. L'enseignante qui donne la leçon est de fait présente à un double titre: en tant que gestionnaire de la relation didactique avec ses élèves et en tant que membre de l'équipe d'enseignement et de recherche du COREM. Elle apparaît ainsi partie prenante d'un double contrat puisqu'elle se trouve en même temps assujettie à l'institution « recherche/observation» et à celle relative au système didactique qu'elle gère auprès des élèves. Dans le dispositif de notre groupe, l'enseignante intervient à un troisième niveau en tant que partenaire des chercheurs de notre groupe. C'est à ce titre que nous l'avons rencontrée à trois reprises. Dans un premier temps il s'agissait d'accompagner le processus de recherche et de préciser certains points concernant les décisions et interventions qu'elle avait prises lors de la leçon; c'est pourquoi, deux - 25 -

représentantes du groupe l'ont rencontrée dans le cadre de l'école. Dans un deuxième temps, il ne pouvait être question pour le groupe, d'utiliser les matériaux de cette leçon, sans soumettre les résultats de l'étude à l'enseignante concernée. Le problème est ici à la fois éthique et scientifique: en effet, nous sommes typiquement dans le cas où l' « objet d'étude» s'intéresse aux questions qui lui sont posées et, comme dirait Stengers (1993), va « pouvoir interpréter de son point de vue le sens du dispositif qui l'interroge »13.La restitution aux enseignants constitue un aspect de la recherche en soi, puisqu'il nécessite des interactions spécifiques afin de comprendre et de gérer les conséquences d'une éventuelle conscience nouvelle sur des phénomènes inhérents aux composantes implicites des comportements et des discours14. Pour ces raisons, l'enseignante a eu l'occasion de visionner la cassette vidéo, de s'exprimer à son propos en se remémorant le cas particulier de cette leçon; elle a également pris connaissance des textes provisoires des chercheurs qu'elle a ensuite rencontrés à Paris. C'est à la suite de ces échanges que l'enseignante a décidé d'apporter son concours public en donnant sa position écrite à l'égard de cette recherche. Il nous importe encore d'insister ici sur la nécessité de prendre en compte, dans l'analyse des conditions d'émergence du travail de notre groupe, le rôle majeur du COREM, en tant qu'institution ayant fait exister certains rapports aux processus de recherche de la part des acteurs et
13 I. Stengers développe une analyse du rapport entre le « sujet» et l' « objet» dans les sciences modernes: «L'être interrogé, mis au service du savoir, ne se laisse pas mettre en question sans que, incontrôlablement, la question scientifique prenne également sens pour lui. L'« objet », ici, regarde, écoute et réinterprète le «sujet». »(1993). 14 Pour une analyse des phénomènes contractuels que l'enseignante a été amenée à gérer du côté des chercheurs ainsi que du côté des élèves, voir la contribution de Maria Luisa Schubauer-Leoni et Francia Leutenegger dans cet ouvrage. Pour un approfondissement des aspects éthiques relatifs aux interactions de recherche, se référer au chapitre de Pierre Berdot, Claudine Blanchard-Laville et Marcelo Camara dos Santos.

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en particulier des enseignants impliqués dans le COREM. En particulier, le rôle médiateur de Marie-Hélène Salin a été décisif et ceci à plusieurs niveaux: elle a non seulement assuré les contacts interinstitutionnels et interpersonnels, mais elle s'est portée garante auprès de l'enseignante et du COREM, que les analyses produites par le groupe feraient une large place aux analyses didactiques qui sont la raison d'être du COREM. UNE LEÇON MISE EN CORPUS Afin de comprendre la nature du travail d'analyse entrepris, il est nécessaire de prendre connaissance de quelques opérations techniques qui fondent ces analyses. Ce détour est une fois encore nécessaire pour donner un statut clair aux résultats de chaque analyse. Pour commencer, la séquence filmée a été transformée en séquence écrite, sous forme de protocole de la leçon. Lors de cette retranscription ont été indiqués les interventions de l'enseignante ainsi que les propos des élèves. Ces derniers, chaque fois que le cadrage de la caméra nous permettait de repérer l'émetteur, ont été identifiés et un nom fictif leur a été attribué. Cette retranscription (en Annexes) se présente comme un texte quasi ordinaire puisque en regard de chaque intervenant apparaît son discours avec les signes de ponctuation habituels. Les pauses sont indiquées par des points de suspension sans que ceux-ci ne modulent précisément la temporalité de la pause. Apparaissent également des indications entre parenthèses qui sont dues à la sensibilité du transcripteur pour rendre compte de ce qui se passe dans la classe: il est ainsi possible de savoir que telle partie de la phrase a été prononcée «en chuchotant» ou «en articulant », ou encore qu'à tel moment de la leçon
« l'enseignante passe entre les rangs ». Par ailleurs la

retranscription fait état du temps qui passe puisque le discours est subdivisé par tranches de 60 secondes. Les chercheurs ont donc commencé par travailler sur la base d'un corpus qll'ils n'ont pas construit eux-mêmes
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pour les besoins de leur propre analyse. Selon les problématiques et les objets d'étude de chacun il a parfois été nécessaire de remonter à la bande vidéo pour en extraire d'autres traces, absentes de la transcription initiale, et nécessaires à telle analyse. Dans d'autres cas, des informations «en trop» ont été momentanément supprimées des corpus et parfois encore les chercheurs se sont procurés, auprès du COREM, d'autres corpus jugés complémentaires à celui de la leçon afin de faire fonctionner un système de traces15.Notamment les notes de préparation de l'enseignante et d'autres informations sur la classe ont paru nécessaires à certains. En revanche, comme nous l'avons précisé dans la section précédente, le groupe a choisi de ne pas prendre connaissance de l'analyse « à chaud» de la séquence (habituelle dans le cadre du COREM), dont le statut est différent. Nous pouvons donc affirmer qu'il y a, pratiquement, autant de corpus qu'il y a d'analyses puisque l'objet leçon a pris des « formes» susceptibles de permettre la réponse aux questions théoriques que se sont posées les chercheurs du groupe. A tel point que la reconstitution de certaines écritures au tableau comporte parfois des différences tenant à la sélection et à l'interprétation des traces elles-mêmes par le chercheur qui n'en fait pas un usage photographique mais théorique. Suzanne Nadot a, par exemple, ressenti la nécessité de reconstituer pas à pas les marques inscrites au tableau par l'enseignante et par les élèves; marques effacées, corrigées, déplacées au fur et à mesure de l'avancement de la leçon; toujours Suzanne Nadot, aux fins de son analyse, a défalqué le protocole de toute trace autre que le discours mathématique. Marie-Hélène Salin a pris en compte à la fois le texte écrit par l'enseignante pour préparer la séquence et les types d'erreurs effectuées par les élèves dans leurs copies individuelles. Elle a également tenu compte d'informations sur les positions respectives des élèves dans la classe du point de vue de leur réussite. Maria
15 P. Tavignot désigne ceci en termes de « système de protocoles» (1994) - 28 -

Luisa Schubauer-Leoni et Francia Leutenegger ont refait des extraits de retranscription de façon à indiquer, par exemple, les superpositions des tours de parole entre enseignante et élèves ainsi que pour montrer, dans un autre but que Suzanne Nadot, la fonction de certaines écritures au tableau dont la taille et l'emplacement se sont révélés nécessaires pour le type d'analyse didactique qu'elles se sont proposé de conduire. Par ailleurs, elles ont aussi mis en relation le travail de préparation de l'enseignante et sa gestion des décisions en cours de séquence. Alain Mercier, dans son analyse épistémologique et mathématique, a notamment pris appui sur des traces historiques relatives à des pratiques d'écriture des nombres; cette référence historique lui permet de mettre en évidence l'origine technologique et culturelle des règles énoncées par l'enseignante au cours de la leçon. Gérard Sensevy s'est appuyé sur le protocole de départ, tout en faisant appel à d'autres traces, issues d'autres recherches dans des classes d'école élémentaire, pour proposer un scénario fictif d'une leçon répondant à d'autres impératifs épistémologiques que ceux mis en oeuvre dans cette leçon. Sur un autre registre, Pierre Berdot, Claudine Blanchard-Laville et Marcelo Camara dos Santos ont procédé à des visionnements au ralenti, quelque fois sans le son, en travaillant parfois sur des arrêts d'image pour construire certaines hypothèses inhérentes à des phénomènes psychiques en jeu. Ils ont par ailleurs fait appel à des données comparatives avec d'autres protocoles de leçons de mathématiques en ce qui concerne l'analyse de discours d'enseignants. Nicole Mosconi et Françoise Hatchuel, pour leurs analyses des interactions enseignante-élève(s), ont eu besoin de revenir à l'enregistrement vidéo, afin de déterminer précisément à qui l'enseignante s'adresse, notamment lors de certaines interactions à voix basse. Pour Nicole Mosconi, son détour par l' étho-psychologie l'oblige à revenir aux traces auditives et visuelles pour mettre en évidence ce qui relève des indices paraverbaux, des expressifs (indices de perplexité, curiosité etc.). Françoise Hatchuel a eu besoin de connaître l'origine sociologique des différents élèves, ainsi que leur ni veau scolaire, afin d'articuler ses
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observations avec ces variables. Les traces, issues des différents protocoles reconstruits pour les analyses, ont chaque fois été organisées en un système de traces révélateur des centrations spécifiques. Ceci montre bien que la réalité reconstruite par un protocole d'observation, même minutieusement retranscrit, engage déjà des choix quant à la nature des indicateurs supposés utiles pour l'analyse. De fait, chaque découpage analytique est amené à reposer la question des traces constitutives du corpus utile pour tel type d'analyse concourant à une théorisation spécifique. Il n'est toutefois pas exclu que certaines analyses qui s'appuient sur des faits du même ordre aboutissent à la mise en évidence de phénomènes différents ou du moins différemment interprétables par les cadres théoriques qui les soutiennent; de même que nous n'excluons pas que des analyses qui, à première vue, ne s'appuient pas sur les mêmes traces empiriques aboutissent à des mises en rapport conceptuelles et donc à des articulations de problématiques nées dans des théories distinctes. C'est là que le travail de co-présence disciplinaire devrait permettre de requestionner

les différents regards et d'en apprécier les « variations ».

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Beillerot J. (1995) L' Ins tit uti 0 n, Textes français sontemporains de base, Centre de Recherche Education et Formation, Université Paris X-Nanterre. Bourdieu P., Chamboredon J.-C., Passeron J.-C. (1980) Le métier de sociologue, Mouton Ed. Chevallard Y. (1996) Lettre du 1er mai 1989, in C. Blanchard-Laville, Y. Chevallard, M.L. SchubauerLeoni (Eds) Regards croisés sur le didactique, Un colloque épistolaire, Grenoble, La pensée sauvage. Salin M.-H (à paraître) Actes des 11èmes journées didactiques de la Fouly, 18-21 avril 1996, Interactions didactiques, Université de Genève et Neuchâtel. Stengers I. (1993) L'invention des sciences modernes, Paris, Ed La découverte. Tavignot P. (1994) Comptes rendus des 1ères journées didactiques de la Fouly, 14-16 avril 1994, Cahier du GCR n029, Recherches 94-102, été 1994. - 30-

CONTRAINTES DE LA SITUA TION DIDACTIQUE ET DÉCISIONS DE L'ENSEIGNANTE
Marie-Hélène Salin

« Nous avons vu que le maître est une sorte d'acteur. Il agit en fonction d'un texte qui a été écrit ailleurs et d'une tradition. On peut l'imaginer comme un acteur de la commedia del arte : il invente son jeu sur le

champ enfonction d'un canevas. »
G. Brousseau, 1987 L'analyse présentée est d'ordre didactique. Elle s'attache à rechercher, parmi les raisons pouvant expliquer le comportement de l'enseignante, tout au long de la séance, celles qui relèvent de son objectif didactique: permettre l'appropriation par l'ensemble des élèves, des règles de la numération orale. Certaines de ses décisions sont explicitement prévues dans la fiche didactique (fiche de préparation de la leçon rédigée par l'enseignante), d'autres sont implicites, mais auraient pu être explicitées si elle avait dû décrire de manière plus précise sa préparation. Toutefois, un bon nombre d'entre elles sont prises dans l'instant, en réponse à des événements créés par certains comportements des élèves, événements qu'elle n1a pas prévus mais auxquels elle doit faire face. Dans l'analyse du protocole, je tenterai de repérer les - 31 -

décisions de l'enseignante, de différencier celles prévues par la fiche didactique de celles prises sur le coup, et de rechercher si ces dernières peuvent être considérées comme des réponses adaptées aux contraintes de la situation didactique. La réalisation de ce projet nécessite de confronter fiche didactique, protocole et résultats des élèves aux exercices de cette séquence. En effet, si la fiche fixe les grandes lignes du déroulement de la leçon en fournissant la liste des exercices, et en évoquant les règles ou les outils que les enfants devraient pouvoir maîtriser à son issue, elle laisse ouvert tout ce qui constitue «l'exploitation» par l'enseignante des réponses des élèves. ANALYSE A PRIORI FICHE DIDACTIQUE SUCCINCTE DE LA

L'analyse a priori de la séquence, basée sur l'étude de la fiche didactique doit permettre de préciser ce canevas dont parle Brousseau et doit aider à dégager, dans l'analyse de la pièce qui s'est réellement «jouée », ce qui relève de décisions anticipées et ce qui relève d'adaptations quasiinstantanées à la situation. Un bref rappel sur le savoir mathématique à enseigner est nécessaire pour situer les choix faits par l'enseignante au moment de sa préparation. Numération orale et écriture chiffrée des nombres Il existe deux systèmes de désignation des entiers. Le système «écrit », système de position de base dix, utilisant un ensemble de 10 signes, les chiffres, et fonctionnant de manière entièrement algorithmisée et le système oral, qui, pour des raisons historiques, n'est pas basé sur les mêmes règles de fonctionnement et qui n'est pas « régulier». Pour décrire succinctement le problème de la lecture des grands nombres, rappelons que les trois premières puissances de dix ont un nom différent: dix, cent, mille, à
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l'aide desquels on peut fabriquer les noms de tous les nombres jusqu'à 9 999. Si la même «logique» était appliquée aux nombres à partir du successeur de 9 999, il faudrait un nom pour 10 000, un pour 100 000 etc. Ce n'est pas la solution retenue par notre numération orale, qui utilise pour les nombres compris entre 10 000 et 1 000 000 la décomposition en base mille du nombre dont le nom est recherché: « abcdef» décomposé en base mille a pour nombre des unités «def» et pour nombre de mille « abc ». Son nom est donc donné par la suite: «nom de abc (exprimé en base dix) mille nom de def ». L'existence d'espaces dans l'écriture chiffrée des nombres est la conséquence de cette règle de dénomination, c'est une aide apportée au lecteur qui peut ainsi repérer plus rapidement les puissances de mille. Remarquons que ni les calculatrices ni les ordinateurs ne prennent en compte cette contrainte. Un des premiers objectifs du CM! : étendre le domaine des nombres connus des élèves En arrivant au CM1, les élèves sont supposés avoir une bonne connaissance des nombres jusqu'à 10 000, nom, ordre, décqmpositions diverses suivant les puissances de 10. Etendre ce domaine, c'est donner du sens à des écritures de nombres de plus de 4 chiffres en utilisant les opérations et les règles de la numération, indépendamment de leur désignation orale. Poser alors le problème du nom de ces grands

nombres aux élèves, c'est leur annoncer: « Vous savez
donner une signification à une écriture chiffrée comme 32156416, c'est-à-dire comment associer à cette écriture

une collection17 ayant ce nombre d'éléments. Maintenant
nous allons apprendre à leur donner un nom, comme « cent cinq» est le nom du nombre qui s'écrit « 105 ». Si la plupart des élèves n'avaient pas de connaissance
16 Le nom n'est pas prononcé, l'écriture est donnée au tableau.' 17 Il ne s'agit pas bien sûr de construire effectivement la collection mais d'être capable d'envisager des moyens pennettant de se représenter la quan tité.

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culturelle des grands nombres et avaient une bonne connaissance des rapports entre numération orale et écrite jusqu'à 9999, ils devraient demander à l'enseignant: «Comment dit-on 10 000, 100 000, 1 000 000 ? ». Celui-ci pourrait alors présenter les règles de formation du nom en montrant la rupture avec les règles antérieures, relier numération écrite et numération orale en faisant rechercher par exemple combien le nombre 92456 contient de paquets de 1000 (ce qui correspond à des décompositions connues des élèves du type 92 456=92xlOOO+456 ) et introduire la désignation orale correspondante. La présence d'espaces dans les écritures apparaîtrait alors comme une aide apportée au lecteur pour déterminer les tranches de trois chiffres nécessaires à l'énonciation du nombre. La correspondance inverse, associer à un nom de nombre son écriture chiffrée, passe dans un premier temps par l'utilisation de la relation: «quatre-vingt-neuf mille vingt-cinq, c'est 89xlOOO+25» le résultat du calcul fournit l'écriture recherchée. Des procédures plus économiques peuvent être peu à peu construites par les élèves. Cette démarche peut être aussi adaptée à des élèves sachant lire les grands nombres les plus simples (c'est-àdire, pour les nombres inférieurs à un million, quand le chiffre des centaines est différent de 0), elle consiste à articuler d'emblée les propriétés de la numération orale, de la numération écrite et de la multiplication par une puissance de 10. Le traitement didactique choisi par l'enseignante observée - Au plan du savoir visé Les élèves de la classe ont déjà une connaissance implicite des rapports numération orale (en lettres) numération écrite (en chiffres), il s'agit de travailler explicitement ces rapports, en particulier dans les cas difficiles, ceux où les écritures chiffrées nécessitent des O. La lecture de la fiche montre que: * la rupture entre le nom des nombres inférieurs à - 34-

9999 et celui des autres n'est pas problématisée ni même évoquée. * l'enseignante commence par faire travailler les élèves sur la correspondance écriture en lettres vers écriture en chiffres. * elle choisit de s'appuyer sur les connaissances antérieures des élèves concernant cette correspondance. Elle s'attend à ce que certains sachent réutiliser les règles évoquées dans les séances précédentes, ce qui lui permettra de les rappeler. Ces règles ne sont pas référées à la connaissance de la numération écrite mais « déduites» de l'observation comparée des écritures chiffrées ou en lettres ( « ce que l'on retrouve et ce que l'on ne retrouve plus»). Une grande importance est attribuée aux espaces « qui remplacent mille et million ». * Le choix des nombres de la première série d'exercices semble avoir été fait pour introduire progressivement l'explicitation de deux règles: RI : La lecture de mille et million se traduit par un espace R2 : Trois chiffres doivent être inscrits entre les espaces - Le premier nombre ne comporte pas de piège, RI suffit pour réussir. Peut-être l'enseignante a-t-elle prévu que certains enfants introduisent des zéros pour traduire le « million» et le «mille ». Ce serait l'indice d'une compréhension de la numération défectueuse car les enfants de CMl maîtrisent depuis longtemps l'écriture chiffrée de «mille cent trente cinq », par exemple: la réponse 100010035 n'apparaît plus. Toutefois, elle s'attend peutêtre à une régression pour certains confrontés à un domaine de nombres nouveau pour eux. - Des erreurs peuvent apparaître lors du deuxième nombre puisque son écriture chiffrée comporte des zéros intermédiaires. La maîtrise de R2 est donc nécessaire pour réussir. On peut penser que l'enseignante prévoit des erreurs qui lui fourniront l'occasion d'expliciter R2 (classes et rangs) ou de faire appel au « tableau de numération », outil traditionnel à l'école primaire qui permet d'associer au nom d'un nombre son écriture chiffrée en faisant là aussi - 35 -

l'économie de la construction du rapport numération écrite / numération orale. * La deuxième série d'exercices introduit des écritures hors normes (13 millions18) que les élèves doivent transformer en écritures chiffrées. Ce choix n'est pas la conséquence d'une recherche d'économie de temps dans l'écriture, (316 est plus vite écrit que trois cent seize),

il y a une intention didactique ( « les élèves devront se
rendre compte que je ne tiens pas compte des rangs»). L'utilisation des outils rappelés lors de la première série (rangs, classes, tableau de numération) doit permettre aux élèves, selon l'enseignante, de « prouver» leurs résultats. - Au plan de l'organisation du travail des élèves et de la gestion des savoirs dans les phases de correction des exerCIces * Il ne semble pas prévu par l'enseignante de formuler elle-même les règles de la numération à appliquer par la suite; lors de la correction de la première série d'exercices, le savoir-faire est montré à partir de

productions d'élèves, c'est à eux de le formuler (<<pour la
correction, ne pas choisir un élève trop en difficulté, le but étant de comparer l'écriture en lettres et en chiffres»). * On peut penser que la deuxième série constitue, pour l'enseignante, une phase d'application et de mise à l'épreuve des règles rappelées précédemment. Des problèmes sont posés aux élèves. Elle a choisi la valeur de la variable didactique « nombre» pour provoquer des erreurs, puisqu'il faut savoir où intercaler les zéros. Les interactions entre enfants au moment de la correction, (qu'elle encourage par ses exigences de preuve) doivent permettre une validation des bonnes productions. Hypothèses sur les raisons de ces choix * L'hypothèse première porte sur la représentation qu'a l'enseignante du savoir à enseigner: à l'école primaire, la numération orale est conçue comme un savoir
18 Ce type d'exercices peut être relevé dans des manuels dont les auteurs sont des enseignants de mathématiques en IUFM. - 36-