Sur quelques applications des fonctions elliptiques

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Publié le : mercredi 8 décembre 2010
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The Project Gutenberg EBook of Sur quelques applications des fonctions elliptiques, by Charles Hermite This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Sur quelques applications des fonctions elliptiques Author: Charles Hermite Release Date: April 30, 2008 [EBook #25227] Language: French Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SUR QUELQUES APPLICATIONS *** Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http ://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections) SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, Par M. Ch. HERMITE. PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE ´ ´ DES COMPTES RENDUS DES SEANCES DE L’ACADEMIE DES SCIENCES, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai des Augustins, 55. 1885 ` ´ A LA MEMORIE DE C.-W. BORCHARDT. SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. La th´orie analytique de la chaleur donne pour l’importante question e de l’´quilibre des temp´ratures d’un corps solide homog`ne, soumis ` des e e e a sources calorifiques constantes, une ´quation aux diff´rences partielles dont e e l’int´gration, dans le cas de l’ellipso¨ e ıde, a ´t´ l’une des belles d´couvertes ee e auxquelles est attach´ le nom de Lam´. Les r´sultats obtenus par l’illustre e e e g´om`tre d´coulent principalement de l’´tude approfondie d’une ´quation e e e e e diff´rentielle lin´aire du second ordre, que j’´crirai avec les notations de la e e e th´orie des fonctions elliptiques, sous la forme suivante : e d2 y = n(n + 1)k 2 sn2 x + h y, dx2 k ´tant le module, n un nombre entier et h une constante. Lam´ a montr´ e e e que, pour des valeurs convenables de cette constante, on y satisfait par des polynˆmes entiers en sn x : o y = snn x + h1 snn−2 x + h2 snn−4 x + . . . , dont les termes sont de mˆme parit´, puis encore par ces expressions : e e y = (snn−1 x + h1 snn−3 x + h2 snn−5 x + . . .) cn x, y = (snn−1 x + h1 snn−3 x + h2 snn−5 x + . . .) dn x, y = (snn−2 x + h1 snn−4 x + h2 snn−6 x + . . .) cn x dn x. M. Liouville a ensuite introduit, dans la question physique, la consid´rae tion de la seconde solution de l’´quation diff´rentielle, d’o` il a tir´ des e e u e th´or`mes du plus grand int´rˆt (1 ). C’est ´galement cette seconde solution, e e ee e dont la nature et les propri´t´s ont ´t´ approfondies par M. Heine, qui a ee ee montr´ l’analogie de ces deux genres de fonctions de Lam´ avec les fonce e tions sph´riques, et leurs rapports avec la th´orie des fractions continues e e Comptes rendus, 1845, 1er semestre, p. 1386 et 1609 ; Journal de Math´matiques, t. XI, e p. 217 et 261. 1 2 alg´briques. On doit de plus ` l’´minent g´om`tre une extension de ses proe a e e e fondes recherches ` des ´quations diff´rentielles lin´aires du second ordre a e e e beaucoup plus g´n´rales, qui se rattachent aux int´grales ab´liennes, comme e e e e celle de Lam´ aux fonctions elliptiques (2 ). e Je me suis plac´ ` un autre point de vue en me proposant d’obtenir, quel ea que soit h, l’int´grale g´n´rale de cette ´quation, et c’est l’objet principal e e e e des recherches qu’on va lire. On verra que la solution est toujours, comme dans les cas particuliers consid´r´s par Lam´, une fonction uniforme de la ee e variable, mais qui n’est plus doublement p´riodique. Elle est, en effet, donn´e e e par la formule y = CF (x) + C F (−x), o` la fonction F (x), qui satisfait ` ces deux conditions u a F (x + 2K) = µF (x), F (x + 2iK ) = µ F (x), dans lesquelles les facteurs µ et µ sont des constantes, s’exprime comme il suit. Soit, pour un moment, Φ(x) = nous aurons n−1 n−3 n−5 F (x) = Dx Φ(x) − A1 Dx Φ(x) + A2 Dx Φ(x) − . . . ; H(x + ω) e Θ(x) h i Θ (ω) λ− Θ(ω) x , les quantit´s sn2 ω et λ2 sont des fonctions rationnelles du module et de h, e et les coefficients A1 , A2 , . . . , des fonctions enti`res. On a, par exemple, e A1 = A2 = (n−1)(n−2) 2(2n−1) h+ n(n+1)(1+k2 ) 3 , (n−1)(n−2)(n−3)(n−4) 8(2n−1)(2n−3) 2n(n+1)(1+k2 ) h 3 × h2 + + n2 (n+1)2 (1 9 + k 2 )2 − 2n(n+1)(2n−1) (1 15 − k2 + k4 ) , .................................. Journal de Crelle (Beitrag zur Theorie der Anziehung und der W¨rme, t. 29) ; Journal a de M. Borchardt (Ueber die Lam´schen Functionen ; Einige Eigenschaften der Lam´schen e e Functionen, dans le t. 56, et Die Lam´schen Functionen verschiedener Ordnungen, t. 57). e Le premier de ces M´moires, paru en 1845, mais dat´ du 19 avril 1844, contient une applie e cation de la seconde solution de l’´quation de Lam´, qui a ´t´ par cons´quent d´couverte e e e e e e par M. Heine, ind´pendamment des travaux de M. Liouville, et ` la mˆme ´poque. e a e e 2 3 Je m’occuperai, avant de traiter le cas g´n´ral o` le nombre n est quele e u conque, des cas particuliers de n = 1 et n = 2. Le premier s’applique ` a la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe, lorsqu’il n’y a point de forces acc´l´ratrices, et nous conduira aux formules donn´es par Jacobi dans ee e son admirable M´moire sur cette question (Œuvres compl`tes, t. II, p. 139, e e et Comptes rendus, 30 juillet 1849). J’y rattacherai encore la d´termination e de la figure d’´quilibre d’un ressort, qui a ´t´ le sujet de travaux de Binet e ee et de Wantzel (Comptes rendus, 1844, 1er semestre, p. 1115 et 1197). Le second se rapportant au pendule sph´rique, j’aurai ainsi r´uni quelques-unes e e des plus importantes applications qui aient ´t´ faites jusqu’ici de la th´orie ee e des fonctions elliptiques. I. La m´thode que je vais exposer, pour int´grer l’´quation de Lam´, repose e e e e principalement sur des expressions, par les quantit´s Θ(x), H(x), . . . , des e fonctions F (x) satisfaisant aux conditions ´nonc´es tout ` l’heure e e a F (x + 2K) = µ F (x), F (x + 2iK ) = µ F (x), qui s’obtiennent ainsi : Soit, en d´signant par A un facteur constant, e f (x) = A les relations fondamentales H(x + 2K) = −H(x), H(x + 2iK ) = −H(x)e− K (x+iK ) donneront celles-ci : f (x + 2K) = f (x)e2λK , f (x + 2iK ) = f (x)e− iπω +2iλK K iπ H(x + ω)eλx ; H(x) . 4 Disposant donc de ω et λ de mani`re ` avoir e a µ = e2λK , µ = e− iπω +2iλK K , (x) on voit que le quotient F (x) est ramen´ aux fonctions doublement p´riodie e f ques, d’o` cette premi`re forme g´n´rale et dont il sera souvent fait usage : u e e e F (x) = f (x)Φ(x), la fonction Φ(x) n’´tant assujettie qu’aux conditions e Φ(x + 2K) = Φ(x), Φ(x + 2iK ) = Φ(x). En voici une seconde, qui est fondamentale pour notre objet. Je remarque que les relations f (x + 2K) = µ f (x), f (x + 2iK ) = µ f (x), ont pour cons´quence celles-ci : e f (x − 2K) = f (x − 2iK ) = de sorte que le produit Φ(z) = F (z)f (x − z) sera, quel que soit x, une fonction doublement p´riodique de z. Cela ´tant, e e nous allons calculer les r´sidus de Φ(z), pour les diverses valeurs de l’argue ment qui la rendent infinie, dans l’int´rieur du rectangle des p´riodes ; et, e e en ´galant leur somme ` z´ro, nous obtiendrons imm´diatement l’expression e a e e cherch´e. Remarquons ` cet effet que f (x) ne devient infinie qu’une fois pour e a x = 0, et que, son r´sidu ayant pour valeur e AH(ω) , H (0) on peut disposer de A, de mani`re ` le faire ´gal ` l’unit´. Posant donc, en e a e a e adoptant cette d´termination, e f (x) = H (0)H(x + ω)eλx , H(ω)H(x) 1 µ 1 µ f (x), f (x), 5 on voit que le r´sidu correspondant ` la valeur z = x de Φ(z) sera −F (x). e a Ceux qui proviennent des pˆles de F (z) s’obtiennent ensuite sous la forme o suivante. Soit z = a l’un d’eux, et posons en cons´quence, pour ε infiniment e petit, 2 α F (a + ε) = Aε−1 + A1 Dε ε−1 + A2 Dε ε−1 + . . . + Aα Dε ε−1 + a0 + a1 ε + a2 ε2 + . . . , ε f (x − a − ε) = f (x − a) − Dx f (x − a) 1 (−1)α εα α ε2 2 + Dx f (x − a) − . . . + D f (x − a) + . . . , 1.2 1 . 2...α x le coefficient du terme en 1 dans le produit des seconds membres, qui est la ε quantit´ cherch´e, se trouve imm´diatement, en remarquant que e e e n Dε ε−1 = (−1)n 1 . 2...n , εn+1 et a pour expression 2 α Af (x − a) + A1 Dx f (x − a) + A2 Dx f (x − a) + . . . + Aα Dx f (x − a). La somme des r´sidus de la fonction Φ(z), ´gal´e ` z´ro, nous conduit ainsi e e e a e ` la relation a F (x) = α [Af (x − a) + A1 Dx f (x − a) + . . . + Aα Dx f (x − a)] , o` le signe u se rapporte, comme il a ´t´ dit, ` tous les pˆles de F (z) qui ee a o sont ` l’int´rieur du rectangle des p´riodes. a e e II. La fonction F (x) comprend les fonctions doublement p´riodiques ; en e supposant ´gaux ` l’unit´ les multiplicateurs µ et µ , je vais imm´diatement e a e e rechercher ce que l’on tire, dans cette hypoth`se, du r´sultat auquel nous e e venons de parvenir. Tout d’abord les relations µ = e2λK , µ = e− iπω +2iλK K 6 donnant n´cessairement λ = 0 et ω = 2mK, ou, ce qui revient au mˆme, e e H (0)H(x+ω) λx ω = 0, le nombre m ´tant entier, la quantit´ f (x) = H(ω)H(x) e devient e e infinie et la formule semble inapplicable. Mais il arrive seulement qu’elle subit un changement de forme analytique, qui s’obtient de la mani`re la e plus facile, comme on va voir. Supposons, en effet, λ = 0 et ω infiniment petit, on aura, en d´veloppant suivant les puissances croissantes de ω, e 1 1 + k2 J H (0) = + − ω + ..., H(ω) ω 6 2K H(x + ω) H (x) =1+ ω + ...; H(x) H(x) d’o` u 1 H (x) 1 + k2 J + + − ω + .... ω H(x) 6 2K D’autre part, observons que les coefficients A, A1 , . . . doivent ˆtre cone sid´r´s comme d´pendants de ω, et qu’on aura en particulier ee e f (x) = A = a + a ω + ..., a, a , . . . d´signant les valeurs de A et de ses d´riv´es par rapport ` ω pour e e e a ω = 0. Nous obtenons donc, en n’´crivant point les termes qui contiennent e ω en facteur, a H (x − a) Af (x − a) = + a + a + ... ω H(x − a) et, par cons´quent, e Af (x − a) = 1 ω a+ a + a H (x − a) + .... H(x − a) 1 Or on voit que le coefficient de ω disparaˆ les quantit´s a ayant une ıt, e somme nulle comme r´sidus d’une fonction doublement p´riodique, et la e e diff´rentiation donnant imm´diatement, pour ω = 0, e e Dx f (x) = Dx H (x) , H(x) 2 2 Dx f (x) = Dx H (x) , H(x) ..., nous parvenons ` l’expression suivante, o` a, a1 , . . . , aα sont les valeurs de a u A, A1 , . . . , Aα pour ω = 0 : F (x) = a + α a H (x−a) + a1 Dx H (x−a) + . . . + aα Dx H (x−a) . H(x−a) H(x−a) H(x−a) C’est la formule que j’ai ´tablie directement, pour les fonctions doublee ment p´riodiques, dans une Note sur la th´orie des fonctions elliptiques, e e ajout´e ` la sixi`me ´dition du Trait´ de Calcul diff´rentiel et de Calcul e a e e e e int´gral de Lacroix. e
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