Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen

De
Publié par

¨ The Project Gutenberg EBook of Uber Integralinvarianten und Differentialgleichungen, by Sophus Lie This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org
Title: ¨ber Integralinvarianten und Differentialgleichungen U Author: Sophus Lie Release Date: April 24, 2008 [EBook #25157] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1
*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
¨ Uber Integralinvarianten
und
Differentialgleichungen
von
Sophus Lie
Videnskabsselskabets Skrifter. 1. Mathematisk-naturv. Klasse 1902. No. 1
Udgivet for Fridtjof Nansens Fond
Christiania In Kommission bei Jacob Dybwad
A. W. Brøggers Buchdruckerei 1902
Produced by K.F. Greiner, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections)
Anmerkungen zur Transkription
Die inkonsistente Schreibweise mehrerer W¨rter im Original wurde unver¨ndert o a ubernommen. Vom Verlag nachtr¨glich angegebene Berichtigungen wurden in a ¨ den Text eingearbeitet und mit einem Pluszeichen als Anmerkung markiert.
Fremlagt i Vid. Selsk. math. naturv. Kl. den 27de Septbr. 1901.
Vorwort.
Die Gesellschaft der ...
Publié le : mercredi 8 décembre 2010
Lecture(s) : 39
Nombre de pages : 90
Voir plus Voir moins

TheProjectGutenbergEBookofU¨berIntegralinvariantenund
Differentialgleichungen,bySophusLie

ThiseBookisfortheuseofanyoneanywhereatnocostandwith
almostnorestrictionswhatsoever.Youmaycopyit,giveitawayor
re-useitunderthetermsoftheProjectGutenbergLicenseincluded
withthiseBookoronlineatwww.gutenberg.org

Title:U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen

Author:SophusLie

ReleaseDate:April24,2008[EBook#25157]

Language:German

Charactersetencoding:ISO-8859-1

***TSRATFOHTSIRPJOCETUGETBNREGBEOOKNIETRGLANIAVIRNAETNNUDIDFFRENEITLALGIEHCNUEGN***

U¨berIntegralinvarianten

dnuDifferentialgleichungen

vno

SophusLie

VidenskabsselskabetsSkrifter.1.Mathematisk-naturv.Klasse1902.No.1

UdgivetforFridtjofNansensFond

Christiania
InKommissionbeiJacobDybwad
A.W.BrøggersBuchdruckerei
2091

ProducedbyK.F.Greiner,RalfStephan,JoshuaHutchinsonandthe
OnlineDistributedProofreadingTeamathttp://www.pgdp.net(Thisfile
wasproducedfromimagesgenerouslymadeavailablebyCornellUniversity
DigitalCollections)

AnmerkungenzurTranskription
DieinkonsistenteSchreibweisemehrererWo¨rterimOriginalwurdeunvera¨ndert
u¨bernommen.VomVerlagnachtra¨glichangegebene

Berichtigungen

wurdenin
denTexteingearbeitetundmiteinemPluszeichenalsAnmerkungmarkiert.

FremlagtiVid.Selsk.math.naturv.Kl.den27deSeptbr.1901.

Vorwort.
DieGesellschaftderWissenschaftenhatunsmitdemAuftragbeehrt,Pro-
fessorSophusLieshinterlasseneManuscriptedurchzusehen,dasich
daruntermo¨glicherweiseAbhandlungenbefindenkonnten,diesichzurBear-
beitungoderVero¨ffentlichungeigneten.
VondensehrzahlreichenhinterlassenenManuscripten,derenVerzeichniss
spa¨tervero¨ffentlichtwerdensoll,sindnurwenigesoweitausgearbeitet,dass
sieohneweiteresgedrucktwerdenko¨nnten.
DagegenfindensichzahlreicheEntwu¨rfemitskizzirtenArbeitenundhin-
geworfenenIdeen,diebeieingehendererBearbeitungwohlinteressanteRe-
sultateliefernko¨nnen.
WirpublicierenhiermitdieerstedernachgelassenenAbhandlungen:
U¨ber
IntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
.DiesebildeteineFortset-
zungzweierfru¨hererAbhandlungenu¨berIntegralinvarianten,dieindenBe-
richtenderkgl.Sa¨ch.GesellschaftderWiss.zuLeipzig1897publicirtsind,
undwarvonLieurspru¨nglich,wieauseinerAufschriftaufdemManuscript
hervorgeht,bestimmt,ebendazuerscheinen.
DieAbhandlungistimGrossenundGanzenziemlichinsReinegeschrie-
benundhierunddasindCorrecturenu¨bergeklebt.Daherdu¨rftesievonLie
bereitsfu¨rdenDruckbestimmtgewesensein.Zwarfehltderangeku¨ndigte
zweiteTheil(sieheS.6,Note7)unddieEinleitungscheintnochnicht
endgu¨ltigredigiertgewesenzusein;aberdieAbhandlungbildettrotzdemein
soabgeschlossenesGanzes,dasswirkeinBedenkentragensiezuvero¨ffent-
lichen.
WirhabendasStudiumdieserAbhandlungdurchAnmerkungenansol-
chenStellenzuerleichterngesucht,woeinCitatodereineErla¨uterungwu¨n-
schenswerthscheinenkonnte.HierunddahabenwirauchkleinereSchreib-
oderRechenfehlerrichtiggestellt,woraufwirstetsinAnmerkungenaufmerk-
sammachen.
WirsprechenhiermitHr.ProfessorH.GoldschmidtinChristianiaund
Hr.ProfessorFriedrichEngelinLeipzigunserenbestenDankfu¨rihre
Mithu¨lfebeimCorrecturenlesenaus.DemLetztgenanntenverdankenwir
auchmehrerewerthvolleAufkla¨rungenu¨bergewissePunkteinderEinlei-
.gnut

AlfGuldberg.

CarlStørmer.

U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen

.
novSophusLie.
InzweiAbhandlungen,dieindenLeipzigerBerichten

erschienensind,
habeichwichtigeBeitr¨agezuderschonfru¨hervonmirgestreiftenallge-
meinenTheoriederIntegralinvariantengeliefert.IndererstenArbeit,die
zuna¨chstdemallgemeinenBegriffederIntegralinvariantenunddemZusam-
menhangdiesesBegriffesmitmeinerTheoriedercontinuierlichenGruppen
undderDifferentialinvariantengewidmetwar,sahichmichdazuveranlasst,
dasAbha¨ngigkeitsverha¨ltnisszubetonen,indemdieArbeitenandererMa-
thematikeru¨berdiesenGegenstandzumeinena¨lterenArbeitenstehen.In
derzweitenAbhandlungbescha¨ftigteichmichmitder
Verwerthungbekann-
terIntegralinvariantenfu¨rdieIntegrationvorgelegterDifferentialgleichungen
undinsbesonderefu¨rdieReductioneinergegebenencontinuirlichenGruppe
aufihreNormalform.
IndieserdrittenAbhandlungbescha¨ftigeichmichwiederummitderBe-
deutungderIntegralinvariantenfu¨rdieallgemeineTheoriederDifferential-
gleichungen,undzwarzerfa¨lltdieseArbeitinmehrereAbschnitte
1
),indenen
einlehrreiches
Beispiel
vonsehrallgemeinemCharakterimEinzelnendurch-
gefu¨hrtwird;gelegentlichgebeichauchtheoretischeEntwicklungen,welche
die
allgemeineTheorie
derIntegralinvariantenfo¨rdernsollen.
DerZweckdieserUntersuchungenisteigentlicheindoppelter.Einerseits
bietetdieTheoriederIntegralinvariantenansicheinsogrossesInteresse,
dasseineausfu¨hrlicheDarstellungdieserLehrealszweckma¨ssig,janotwen-
digbetrachtetwerdenmuss.Anderseitsistwohlzubeachten,dassdieTheorie
derIntegralinvariantenimho¨chstenMassedazugeeignetist,besonderslehr-
reicheIllustrationenzumeinenallgemeinenIntegrationstheorienzuliefern.
SeitdemAnfangedersiebzigerJahrenhabeicheineReihefundamentaler
Integrationstheorienentwickelt,indenenausgedehnteCategorienvonDif-
ferentialgleichungendurchrationellegruppentheoretischeMethodenerledigt
werden,diemit
Lagrange’s
,
Abel’s
und
Galois’
Behandlungderalgebraischen
GleichungendurchgreifendeAnalogiendarbieten.
Diesemeineallgemeinen
Untersuchungen,indenenvielespecielleResultatemeinerNachfolgeranti-
cipirtwordensind,habennochnichtdieallgemeineBeachtunggefunden,die

DieTheoriendieserAbhandlungentwickelteichimSommersemester1897inmeinen
Seminar-VorlesungenanderUniversita¨tLeipzig.S.Lie.

LeipzigerBerichteMaiundJuli1897.

2

SophusLie.

M.N.Kl.

sieentschiedenverdienen.
EsberuhtdieswahrscheinlicherweiseinersterLi-
niedarauf,dassmeineTheorienfastimmerin
abstracter
Formentwickelt
wordensind

.Darumversucheichjetztwieauchinfru¨herenPublicationen,
lehrreiche
und
interessanteBeispiele
zumeinenallgemeinenTheorienim
Einzelnendurchzufu¨hren.Schliesslichwirdesmirwohleinmalgelingen,
der
mathematischenWeltklarzumachen,dassgeradedieDifferentialgleichun-
gendasjenigeGebietliefern,innerhalbdessendiecapitaleBedeutungmeiner
Gruppentheoriesichamsta¨rkstengeltendmacht
.Esistebeneincharakteri-
stischesMerkmalderGruppentheorie,dasssieeinerseitsschwierigeProbleme
erledigt,unddasssieanderseits
genaufeststellt,wasuntergegebenenVor-
aussetzungengeleistetwerdenkann
.
Vielleichtkannesnu¨tzlichsein,eheichdenspeciellenGegenstanddieser
AbhandlunginAngriffnehme,aufeinigeuntermeinenallgemeinenIntegra-
tionstheorienhinzuweisen.
DieIntegrationeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n

q
)
ter
Ord-
nungindenVera¨nderlichen
x
und
y
kannbekanntlichimmeraufdieErledi-
gungeines
q
-gliedrigenvollsta¨ndigenSystems:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(1)
in
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,x
2
,...x
n
zuru¨ckgefu¨hrtwerden,und
dabeila¨sstsichimmererreichen,dassdieKlammerausdru¨cke
X
i
X
k
f

X
k
X
i
f
sa¨mtlichidentischverschwinden.
Manweissandererseits,dassdieIntegrationeines
q
-gliedrigenvollsta¨n-
digenSystems(1)mit
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,...x
n
,sichauf
dieErledigungeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n

q
)
ter
Ordnung
zuru¨ckfu¨hrenla¨sst;unddabeiliegtesinderNaturderSache,dassdiese
Hu¨lfsgleichung(
n

q
)
ter
OrdnungimAllgemeinenkeinespecielleEigenschaf-
tenbesitzt,ausdenensicheineVereinfachungihrerIntegrationherleitenlies-
.esGanzanderskanndieSachestehen,wenneinvollsta¨ndigesSystem:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(
x
1
,x
2
,...x
n
)

EinigeuntermeinenSchu¨lernfindeneszweckma¨ssig,diejenigenuntermeinenInte-
grationstheorien,dievondenJahren1870–1882herru¨hren,einfachzuignorieren.Esist
aberundbleibteingeschichtlichesFaktum,dassnichtalleindieBegru¨ndungderTheorie
dercontinuierlichenGruppen,sondernauchdieallgemeineVerwerthungdieserTheoriefu¨r
Differentialgleichungenvonmirherru¨hrt.

1902No.1u¨berintegralinvariantenunddifferentialgl.
3

zuIntegrationvorgelegtist,und
manvonvornehereingewissespecielleEi-
genschaftendiesesvollsta¨ndigenSystemsschonkennt
.
Ganzbesonderseingehendhabeichmich

indenJahren1872und1874
mitderAnnahmebescha¨ftigt,dass
gewisseinfinitesimaleTransformationen
:
Y
1
f,Y
2
f,...Y
p
f
,diedasvollsta¨ndigeSysteminvariantlassen,undander-
seits
gewisseLo¨sungen
desvollsta¨ndigenSystemsvonvornehereinbekannt
sind.IndenobencitiertenArbeitenausdenJahren1874und1882gabich
diedefinitiveErledigungdesebenformuliertenProblems,und
zudieserweit-
tragendenTheoriekonntenspa¨tereArbeitenandererMathematikernachder
NaturderSachekeineneuenundwesentlichenBeitra¨gehinzufu¨hren

.
Wirko¨nnenfernerannehmen,dass
r
unabha¨ngigeinfinitesimaleTrans-
formationen
X
1
f,X
2
f,...X
r
f
vorgelegtsind,dieRelationenvonderForm
XX
i
X
k
f

X
k
X
i
f
=
c
iks
X
s
f
(
c
iks
=Const.)
serfu¨llen,unddassmanalleLo¨sungendesGleichungs-Systems
X
1
f
=0
,...X
r
f
=0(2)
andersausgesprochen,alleInvarianten
U
(
x
1
,x
2
,...x
n
)der
r
-gliedrigen
Gruppe
X
1
f...X
r
f
bestimmenwill.FindensichunterdenGleichungen(2)
etwa
q
unabha¨ngige,sobildendiese
q
Gleichungen
X
1
f
=0
,...X
q
f
=0
einvollsta¨ndigesSystem,dessen
n

q
Lo¨sungengeradediegesuchtenInva-
riantenliefern.WillmannundieIntegrationdiesesvollsta¨ndigenSystemsin
rationeller,dasheisst,ineinfachstmo¨glicherWeisedurchfu¨hren,somussman
inersterLinieuntersuchen,obinfinitesimaleTransformationen
Yf
vorhan-
densind,diemitallen
r
Transformationen
X
1
f,...X
r
f
vertauschbarsind.
GiebteskeinederartigeTransformationen
Yf
,sokanndieIntegrationdes
vollsta¨ndigenSystems
X
1
f
=0
,...X
q
f
=0durchausfu¨hrbareOperationen

Verh.d.Ges.d.Wiss.zuChristiania1872und1874.Math.Ann.Bd.IX.Verh.d.
Ges.d.Wiss.zuChristiania1882.EinResume´dieserTheorienfindetsichinMath.Ann.
Bd.XXV.

MeineNachfolgerundSchu¨lerhabeneinigeneue
Anwendungen
meinerIntegrations-
theoriengeliefert.EsscheintaberihrerAufmerksamkeitentgangenzusein,wieminimal
dieverbindendeBru¨ckeist.

4

SophusLie.

M.N.Kl.

geleistetwerden.SinddagegeninfinitesimaleTransformationen
Yf
vorhan-
den,diemitallen
X
k
f
vertauschbarsind,sobildenalle
Yf
ihrerseitseine
continuirlicheendlicheoderunendlicheGruppe,undesistdie
Zusammenset-
zungdieserGruppe
Yf
,diedasvorliegendeIntegrationsproblembeherrscht
2
).
Eskannvielleichtnu¨tzlichsein,dasswirinallerKu¨rzedaranerinnern,
wiewirdiesesProblemaufdaszuerstbesprocheneProblemzuru¨ckgefu¨hrt
haben.Sind
X
1
f,...X
r
f
,
r
unabha¨ngigeinfinitesimaleTransformationender
vorgelegtenGruppe,soko¨nnenwirimmerannehmen,dasswireinekanoni-
scheFormdieserGruppe
f∂XX
k
0
f
=
ξ
ki
(
x
0
1
,...x
0
n
)
0
x∂iundgleichzeitigdiereciprokeGruppe
f∂XY
k
0
f
=
η
0
ki
(
x
0
1
,...x
0
n
)
0
x∂iiderletztenGruppekennen.
UnserProblemdecktsichsodannmitderReduktiondervorgelegten
Gruppe
X
1
f,...X
r
f
aufihrekanonischeFormundfindetdaherseinenana-
lytischenAusdruckinden
r
Gleichungen
0X
k
f
=
X
k
f
odereigentlichinden
r

n
Gleichungen,diehervorgehen,wennfu¨r
f
nach
undnach
x
0
1
,x
0
2
,...x
0
n
gesetztwird.HiermiterhaltenwireinSystempartieller
Differentialgleichungen
0x∂Ω
k
(
x
1
,x
2
,...x
n
,x
0
1
...x
0
n
,
1
,...
)=0
x∂1k
=1
,
2
,
3
,...
derenallgemeinsteLo¨sungen
y
0
1
,y
0
2
,...y
0
n
auseinemspeciellenLo¨sungssys-
tem
x
0
1
,...x
0
n
durch
bekannte
Gleichungen
y
i
0
=
ϕ
i
(
x
1
,...x
0
n
,b
1
,...
)
hervorgehen,dieeineGruppeundzwargeradediekanonischereciprokeGrup-
pebilden.NachdemwiraberunserProblemaufdieseGestaltgebrachthaben,

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi