Théorie de la lune déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionelle aux quarrés des distances , par M. Clairaut,...

De
Publié par

impr. de l'Académie impériale des sciences (Saint-Pétersbourg). 1752. Lune -- Ouvrages avant 1800. 92 p. : fig. ; in-4.
Les Documents issus des collections de la BnF ne peuvent faire l’objet que d’une utilisation privée, toute autre réutilisation des Documents doit faire l’objet d’une licence contractée avec la BnF.
Publié le : samedi 1 janvier 1752
Lecture(s) : 3
Source : BnF/Gallica
Nombre de pages : 88
Voir plus Voir moins
Cette publication est uniquement disponible à l'achat

PIECE
QUI A REMPORTÉ
LE PRIX
DE L'ACADEMIE IMPERIALE
DES SCIENCES
En M. D C C L:^||
SUR LA QUESTION
Si toutes les inégalités qu' on a obfervées dans le mouve-
meyrt de. la Lune s9 accordent avec la Theorie New-
tonienne ou non ? & quelle Il la vraie Théorie de
toutes les inégalités dont on peut deduire exadtement
pour un inftant quelconque propofé le lieu de la Lune ?
A St. P E T E R S B O U R G
de l' Imprimerie de l' Acad. Imperiale des Sciences
1752.
THEORIE
DE LA LUNE
DEDUITE
DU SEUL PRINCIPE
DE L'ATTRACTION
RECIPROQUEMENT PROPORTIONELLE
AUX QUARRES DES DISTANCES.
Par M. CLAIRAUT,
(des Academies Roiales de France, d' Angleterre de Prufle»
de Suede & de 1' Inftitut de Bologne.
imprimatur
Cyrilhis Contes de Rafumowsky.
A3
THEORIE
D E L A L U N E.
Qua cauja argentra Phoebe
Pa/ftbui baud çcquis graditur car fabdita nulli
HaEfenus q/fronono numerorum fraena recufet:
Cur remeant nodi curque auges progmJiuntur.
Edm. Halley.
DISCOURS PRELIMINAIRE.
M Aigre la quantité de belles recher-
chés qui ont paru dans ces derniers
tems fur la caufe des irrégularités de la Lune,
il faut convenir que la Théorie de l' attra-
âion3 fur la quelle ces recherches font tou-
tes fondées, n'a pas encore reçu toute la lu-
miere qu' elle devoit tirer d' un fùjet auffi
important.. Un des points les plus eflèn-
et THEORIE DE LA LUNE]
tiels qu'il embrafle5 la revolution de l'Apo-
gée de la Lune, ,a caufë des difcufîions très
délicates & a donné h occasion de propofer
des fupplemens à la Loi générale des For>
ces. A la venté F un des Mathématicien
qui avoit eu recours à ces expédions s'.eft
retra&é & a annoncé qu' il avoit trouvé
le moien de tirer de fà Theorie le vrai
mouvement de l' Apogée fans employer.
d' autre force que celle qui fuit la propor-
tion. inverfe du quarré des (difkncesL. Mais
outre que fa folution ri' eft pas publique P
examen des autres difficultés que renferme
la Theorie de la Lune demande que toute
la Queftion fait reprise en entier fi P ou
veut repondre d'une. maniere fàtisfailânte
aux vuës qu' a eues l' Academie Impériale
de Ruffie, en propofant le fùjet qu'elle doit
delivrer l'année prochaine. Animé parle
defir de plaire à cette Sçavante Compagnie
j' ai traité la matiere auffi à fond qu? il m' a
été permis de le faire dans le tems qu' elle
a prefcrit. Il m'a paru que la-'feule manière
8 THEORIE DE LA LUNE
PREMIERE PARTIE.
Où l'on donne la-maniere de trouver le
lieu de la Lune dans fon Orbite.
i.
LEMME I.
Fig.i.
TANT pris fur une droite quelconque
deux parties infinement petites & égales
M m m n & tiré des points M m n
à un point donné T les droites TM,
Tm, Tn, je dis que T n fera egal à TM-h2d(TM)
H-TM(MTm)î^ quemTn– MTm-^P1,
PROBLEME I.
On demande l' équation d'une courbe M m f-n-
decrite par un corps jetté avec une vitcjfe & fui-
vant une diret'Hon quelconque en fuppofant ce corps joumis à
î aUion de deux forces t une 2 tendante vers un centre
T, autre II- perpendiculaire à cette direction.
M m étant un petit coté quelconque de la courbe cherchée,
mn la ligne egale à celle. 1:\ & placée for Ion prolongement
que le corps parcourreroit (lins les forces S & II on prendra
fur la droite n T tirée au centre des forces S la petite
par-
THEORIE DE LA LUNE
B
,partie n o pour exprimer l' effet de la force 5i vers ce
'centre, fur la perpendiculaire à n T la petite partie ojju
pour exprimer l'. effet de la force II par ce moyen
jx m fera le coté de la courbe cherchée fubfequent au co-
té M m.
Cela fait, on nommera rie rayon veaeur TM v
l' angle que ce rayon fait avec un axe TB donné.de po-
fition & dx le tems infinement petit employé à parcou-
rir chacun des cotés M», m fol. Par le Lemme prece-
dent on aura Tn-=r-2dr-rdv* & mTnzzdv–
~r^ & comme Tii.=zr-2dr-+-ddr & wT/jlzz</i;
ddv il eft clair que la petite droite no aura pour
expreffion rdv*–ddr de même T angle oTjjl fera ex-
primé par ddv-2^– & par confequcnt la droite o\k
par rddv-î-zdrdv. Or comme les etpaces parcourus
ont pour 'expreffions les .forces mêmes multipliées par les
quarrés des tems on 'aura "les equations rddv-2.drdi)
ILdx* & rdvt–ddrz='dx' pour determiner tant la
courbe M m que le tems employé à la parcourir.
PROBLEME Il.
Suppofant que la premiere des deux forces ùcoéle*
ratrices celle qui pouffe vers le centre T foit cmpojée
Il' une partie M inverfement proportionelle au quarré de la
dijîance & d' une autre partie quelconque <|>. On de-
mande 10 d' exprime* la courbe Mm par une feule equa.
tion délivrée des d x. a.0 que cette equation foit compo-
fée d'une partie où l' on reconnoiffe là fe&ion conique
que la feule force feroit décrire à1 d' une autre partie
io THEORIE DE LA LUNE
feparée & fous une forme finie qui contienne la
qu' il faut faire pour les forces cp 11. 3. L' expreffion
du tems employé a parcourir une part'ie quelconque de
la. courbe.
Par le Probl. précedent on a les deux equations
Je multiplie les termes de la Iere & je les
divife ce qui me donne
donc l' integrale f etant une con-
ilante quelconque ajoutée en intégrant. Multipliant en
fuite les termes de cette equation par elle devient
donc l' i ntegrale
(il ne fiut point ici
de confiante)
lorsque la courbe fera connue le tems le fera
Reprenons maintenant l'equation
donnons lui cette forme
afin d' y pouvoir faire confiante celle des
qu' on voudra.
Choififfons pour & à la place
de leurs valeurs qui
en on aura par ces fubftitutions
M
,que j'écris iinfi -i-
ou en mettant à la place fa valeur
THEORIE DE. LA LUNE Il
B a
Tlr'dv. Je transforme en fuite cette nouvelle équation
JLdv2 £-ddr -+- 2 I tir + 5ri-r
en Mr Mr»" HM M Mdv on
«rr i ïlrdr_2(r
en
Faifant alors -z^i-s 1' equation fe réduit à f+ d'Ils
-HXl^ro que j' intègre de la manière fuivante.
§. 3. Je la multiplie d'abord par dv cof. v & elle
tegrale eft Ucof- v-V-sfm. v-fndvcof.vzzg. g étant
une conftante quelconque. Je multiplie en-fuite cette nou-
velle équation par -~p^ (qui eft la même chofe que
v (5j^
dont l' integrale eft •+* tang. vj£ldv cof. v-ftang. v
SX dvcof. v zzgtang. v-c, on s -ftn. v/Sl dvcof.v-cof.il
f£ldvfin.vzzgfin.v-hçof.v laquelle en remettant à
la place de s fa valeur devient ̃Çç.^ii–gfin. v-c cof v
-t-fin.vfÇldvcofv-cofvfSXdvfm-v, & exprime l'equa-
tion cherchée de la courbe decrite par les forces ^-H-^
§. 4. La premiere partie .^7 = i–gfm. v-c cof.v
de cette équation exprime la lésion conique qui feroit
decritC par la feule force & il eft aifé de voir par cet-
te équation en lui donnant cette forme jf^ =1– ~Vgg+cc
( g -TîH.0-4- ̃ b • cof.v) que le foyer doit être en T,
que |f. etl le paramètre de fon grand axe "Vgg~±-cc
le raport de fon excentricité au demigrand axe & que
"fon axe eft placé dans la ligne TC déterminée en fai-
fant l' angle CTB egal à celui dont le finus eil iifçtk*
X2 THEORIE DE LA LUNE
Quant a la féconde partie de cette equation fin. w
jSldvcof.v-cof.vjCldvfm.v qui exprime la correction qu'il
faut faire à la valeur i–gjîn.v–ccof.v de gr lorsqu'on
veut avoir égard aux forces II & <J> il eft évident qu'
elle donnera tout de fuite & fins rien negliger la corre-
ction cherchée lorsque cp & n feront exprimées de ma-
«rr i_Hr Ar rnr* dv
niere que il ou Kdvrnr*d'i f% ne dependra
que de l' angle v & qu' elle fournira Un moien de con-
noître cette correction par approximation de confiantes, &
quelles que foient les valeurs de Il & <|> pour vû qu'on
connoiffe d'abord à peu près l' orbite en fubilituant
dans i2 à la place de r fa valeur tirée de la fuppofitiooi
fiite pour la nature de cette orbite.
IV.
PROBLEME III.
Déterminer f, g, h par ces conditions que le corps parte d'un
lieu quelconque avec une vitejfe & fuivant une direction données.
Que r foit z=. b lorsque v eft •=. a & qu'
on ait en même tems q pour l' angle que fait le pe-
tit coté de la courbe avec le raïon la viteflè au même
lieu étant celle que le corps acquerroit en tombant de la
hauteur i pendant qu'il feroit follicité par la force confiante
jy que le corps éprouve au point de départ lorsqu' on n'a
point d' égard aux forces II & (J>.
^y^ fera ainfi la vitefle du cops au point de départ & par
conséquent ^r^fm.q fera la vitefle dans la couche circulaire
qui paflèroit par le même point, ou ce qui revient au mê-
THEORIE DE LA LUNE 13
B3
jne r-j£ fera ^r^fm.q ou qVzM.i. Pour déterminer
maintenant les deux lettres/ & g il faut faire en forte
que v étant a', r foit =b & ^r^zz cotarg. q c'eft à-
dire qu' il fiut fubftituer dans les equations 2 i r
-JS/!«. w-f i> & 2 (-^FchT dr–-g cof. v-1- c /«.' v
la. place de <z>, a;, à la place de r,b & à la place
de' rTv » cot.
Par ce moyen elles donneront = 1 –g fin. a'
-tfw/« & ~"(^)tC0M ou -*iSin'lC0^<M-^fm.2q'
~-g,cof. a-{-çfm.a.
tuant dans la première on aura
l'on tire cz=.cof.a- ^'cofia^i- ou
c=( 1 -5-) cof.a -H -3- cof.(2q-a) & remettant cette valeur
de c dans celle de g on aura
{*-T )cqfaJîn.a- -jcof.(2q+a)fm.a-$- fin.21
a ou
£= (ï-t)/».«+{/«-(^+«)
LEMME IL
La qllantité fin. vfa cof. vdv- cor. vfa fin. vdv
(que nous nommerons déformai? à pour abreger) eft egale à
ïTtS1- cof v- -WM| cof. m v lorsque cil le
tofinus d' un multiple m v de l' angle v.
»4 THEORIE DE LA LUNE
Cette propofition etl ficile à démontrer en emploiant
les valeurs G connues aujourd'hui et
du finus & du cofinus d' un angle z.
Mais on y peut parvenir beaucoup plus fimplement
par les Theoremes fuivans que tous lesGeometres connoiffent.
A & B etant deux angles quelconques.
Sin. Afin. B rr j c ol (A-B) § coj (A H- B)
Sin. A coj B \fin- (A4- B) 4- !>/• (A- B)
Cgf. Aw/. B = coj. (A-B) H- coj. ( A-f-B)
d{coj.A)^-dAfm.A\ d{fm.A)~dAcof.A
Le célébre Mr. Euler, à qui les Mathématiques font
redevables de tant d'artifices de calcul, eft le premier que
je fâche qui foit pane des valeurs des finus fous k for-
me imaginaire & qui ait penfé à avoir recours aux Thé-
oremes que je viens de citer.
VI.
Il eft aile de voir par le Lemme que je viens de
donner combien le calcul peut être fimplifié dans l'ufàge
de la folution précédente, car fi l'on réduit, ainfi que
cela eft toujours ftifàble dans la recherche des mouvements
des «Planètes, la valeur de a à une fuite de termes
Acof jfw-i-Bcoj «#4- &c la quantités à dans la quelle
confifte Ia partie inconnue de 1' équation de l' orbite fera
auflitôt déterminée & fera une fuite de même efpece;
Delà il. filit que rorsque l' on aura fixé le nombre de
termes de la valeur dé il qui dans certains cas peut
être affez confiderable on n' aura point a craindre que
l' équation de l' orbite en acquiere un plus grand &
THEORIE DE LA LUNE 15
d' une autre nature, ce qui ne manqueroit gueres d'
arriver en fuivaut d' autres méthodes. Chaque efpece
<|e termes de la valeur de SI n'introduira jamais
dans l' équation de l' orbite qu'un. terme fèm-
blable dont le coefficient fera très facile à déterminer
& de plus un terme affecté de cof. v qui fe joindra à ce-
lui de même efpece que contient la première partie de 11
équation de l' orbite celle qui exprime la Section coni-
que que l' on auroit eu fans les forces perturbatrices.
Pour rendre plus fenfible ce que je viens de dire &
pour avoir une formule à la quelle puiffent fe reduire
tous les calculs de la même nature dont nous pourrons
avoir befoin par la fuite, nous fuppofèrons que Acqf.mv
-teBcof. nv -H&c repréfente la valeur de il & nous re-
prendrons l' équation de l' orbite déterminée Art. III.
§.3. dans la quelle 10. nous mettrons p à la place de
ou du demi-paramètre de F ellipfe qui auroit été dé-
crite fins les forces perturbatrices. a°. Nous ferons gzzio
ce qui revient au même que de fuppofèr l' orbite per-
pendiculaire à fon raion vecteur à fon origine, fuppofition
très 'permife, puisqu'on peut faire commencer le mouve-
ment de quel point l'on veut.
Par ce moien l' équation générale de l' orbite, qui
eft alors \.zz. cof.v–^â,. deviendra dans cette fnppo-
fition -de
Si la valeur de H renfermoit des termes tels que:
eof,v on ne pôurrnir pas trouver par le Lemme précè-
dent ceux qui en tefulteroient dans la quantité .a,, parce¡;
i<î THEORIE DE LA LUNE
que la formule ne donne rien dans le cas due
tnrzi. Mais en reprenant les quantités f£lcof.vdv &
fQftn.vdv qui font en ce cas ,f[cof.w)%dv> & //«. i>.
caf vdv, ou /(-'i H- ï m/ « ) </<y & f î /î«. 2 o> vf-y ou i 1; •+-
zfîn.zv, & ~li.cof.zv- on trouvera alors que. o a
pour
\cof.% qui fe réduit à ïVjîn.v.
On voit par là .jue lorsque Il renfermera ides ter-
mes de. cette efpece, l'équation de l' orbite contiendra des
angles v & quelques petits que foient les termes où ils
entrent, ils peuvent donner les plus grandes corrosions
à la valeur de r lorsqu* ou fuppoCera 1' angle v d' dfn
grand nombre de révolutions. Ainfi fi l' on n' a rien
negligé en déterminant £1 on fera fur que 1' orbite s*
écartera à la fin fort confiderablement d' une Ellipfë &
changera entièrement de forme. Si on a negligé quel-
ques quantités on ne pourra pas former la même affèrtion,
mais il faudra au contraire ne compter fur l'exactitude de
la folution précedente que pendant un petit nombre de
révolutions. Heureusement dans la Theorie des Planètes
on peut toûjours fe paner de tels termes, ainfi que l' on
le verra par la fuite de ce mémoire.
VIII.
Lorsqu' il entrera dans £1 quelque cofinus d* un
multiple de v très peu différent de l'unité, il en refulte-
ra dans l' equation de l'orbite un terme dont le coef-
ficient fera beaucoup plus confiderable à caufe du divifeur
m-i il faudra donc avoir grande attention à tous les termes
de cette nature & y porter bien plus de fcrupule que dans
les autres par rapport aux fractions qu'on, négligera.
IX.
THEORIE DE LA LUNE eT
c
IX.
Les Cofinus de multiples de v exprimés par des
nombres fort differens de il unité permettront au contraire
de negliger beaucoup de fractions dans les calculs,
X.
Quant auxCofinus d' un très petit multiple de v ils
ne changeront presque pas en partant de £1 dans à
mais ils demanderont cependant autant d'attention que
ceux qui different peu de 1* unité à caufe que quand on
paffera de la valeur de à celle du tems, ces termes qui
On produiront toujours de même .efpece qu' eux ti1biront
dans l' intégration une divifion par la même petite fra-
ction du multiple de v & ainfi ils y pourront encore
donner des termes confiderables dans l' expreflîon du tems.
La plus grande difficulté de la Theorie de la Lune roulo
fur l' examen de ces fortes de termes & en ce point ello
me paroit furpaffer celle de Saturne.
XI.
Nous avons vû article III. $ j que lorsque la va-
leur de il fera donnée exactement par une tension de
v on aura auffjtôt la vraie équation de l' orbite cherchée.
Nous ajouterons ici que dans plufienrs cas où £1 feroit com-
pofée d' autres quantités on pourroit encore trouver cette
équation fans rien negliger pourvu qu' on fbupçonnat feu-
lement la forme de ces termes.
Pour en donner un exemple bien fimple nous pren.
drons le cas où la force jointe à celle qui agit vers le
centre en raifon renversée du quarré des diflances eft ex-
j$ THEORIE DE LA LUNE
primée par -Jx & où in force m=zo ce qui, comme V
on fait, doit nous faire arriver à la même concluGon que
M.r. Newton a trouvée dans la Prop. 4-5. du pr. liv. de
fes principes, en traitant du mouvement des Apfides.
Dans cette fùppofkion il fe réduira fimplement à
j7p: & fera partant qu'il faut donc fubftituer dans la*
quantité A. Suppofons maintenant que la valeur cherchée
de;: foit* £• cof. m v qui renferme une généralifution
de 1* équation j~h–ccof.v par la quelle l' orbite fe-
roit exprimée fans l'addition de la force p,. Et cher-
chons à déterminer les quantités k e ni par le moyen
de ce qui a été enfeigné dans T Art VI. €1 ou £- étant
alors | *-£̃ m v. On n'aura qu' à faire e-£ =: A
B zz £- n zz 0 & 1' équation générale de cet article devien-
dra mc°-*r
fkU^T) cof. m v.
Préfcntement il eft clair que la fuppofition .de rr
k T cy. m v fera juftifiée & que l' orbite cherchée fera
déterminée exactement fi l' on peut identifier cette équa-
tion ,avec celle qu'on vient de trouver; or c' eft ce qui ne
demande autre chofe que de faire £ ( 1 -f- k ) :lk
o> pffeô^F» ou ce qui revient
au même »" = x-| k=~-p-h
l'on voit que 1' effet de la force ajoutée à r eft de
changer la fedion conique exprimée par cof. v
en une courbe dont les raions vecteurs r font les mêmes
que ceux d' une fe&ion conique exprimée par £. m p^
-{p b) b cof v pendant que ces angles v font aug-
THEORIE DE LA LUNE 19
C 2
mentes dans la raifon de in oii.V(i £) à. 1 ou ce qui
revient au même qtio- la force ç~3 outre le changement
de paramètre & de l'excentricité de la fection conique
indiqués par les équations précédentes, donne l' apfide
un mouvement qui eft à celui de la Planète comme
XII.
Au refte il ûut avouer qu'on trouvera peu de cas
où l'on parvient avec la même facilité à déterminer la
vraie Equation de' l'orbite & que l'on en eft bien éloi-
gné pour celle des Planètes. Mais la methode précéden-
te n'en fera pas d'un uCige moins réel en donnant une
conftruction de ces orbites par une approximation auflî ex-
acte qu'on voudra. Car cette méthode eft non feulement
applicable lorsqu'on a la forme des termes de l' équation,
mais elle eft propre à determiner cette forme elle même.
En fàifânt uftge de cette méthode comme on n'a .befoin
d' abord que de connoître à peu près l'orbite pour de-
terminer la quantités fi il fembleroit qu' il fuffiroit de
prendre pour fon Equation zr cof. v qui eft celle
de l'Ellipfe, qu' on auroit fans les forces perturbatrices ^>&IÏ.
Mais il eft aifé de voir que cette fuppofition eft trop. éloignée
de la vérité puisqu' elle exprime une Ellipfe immobile fort
differente de l'orbite réelle qui fè meut & qui après une demie
révolution de l' apfide s'ecarteroit afiès de l'orbite immo-
bile pour rendre le raion vecteur trop grand ou trop pe-
tit d'une quantité égale au double de l'excentricité.
Afin donc d' approcher du but autant qu'il eft
pôflible du premier coup il faudra en determinant SX
prendre pour une quantité comme i f cnf. m v qui
ào THEORIE DE LA LUNE
feroit fà valeur dans une ellipfe mobile telle que font à
peu près toutes les orbites des Planètes. Nous nous con-
duirons de. la même maniere que dans l' Art. précèdent
pour identifier une fèmblable équation avec l' équation gé-
nérale 1 cof. v -4- à. Nous rendrons les inde-
terminées de l' équation fuppoCee telles que cette équation
s'accorde avec l'équation générale dans .tous les termes
qui pourront s' y rapporter. Quant il ceux qui fè rencon-
treront de plus & qui prouvent que la fuppofition faite
n' eft pas exactement la vraie ils fervent à faire connoî
tre lorsqu'ils font affectés de plus petits coëfiiciens que les
premiers quelle eft la nature des termes qu'on auroit dû
ajouter à \cof.miu pour exprimer
Introduifant alors ces termes avec des coëfiiciens in-
determinés dans la valeur de £1 on formera une feconde
équation qui après l' identification de fès premiers termes
avec ceux de l' Equation fuppofée approchera infinement
plus de la vraie que la première & pourra même en te-
nir lieu absolument, fi les nouveaux termes introduits par
cette- féconde equation ont des coeniciens affés petits pour
être négligés & fi l'on a fait entrer dans la détermination
des forces (J) & Il toutes les confideratiuns qui doivent
introduire les efpeces de termes effentiels à confiderer.
Comme ces confiderations font en grand nombres &
qu' elles compliqueroient trop l' attention du Lecteur fi 1*
on y avoit égard à. la fois nous allons commencer parle
cas le plus fimple celui où les deux orbites du Soleil
& de* la Lune font dans le mlme plan, & où l' on fup-
pofe celle du Soleil fans excentricité. Nous n'aurons pas
même attention d'abord à la parallaxe du Soleil.
THEORIE DE LA LUNE it
C 3
XIII.
PROBLEME IV.
On demande l'orbite CL décrite par la Lune L autour t\.z. »,
de la Terre T en juppojant que le Soleil foit dans le
vième plan de cette orbite à1 que ion orbe apparent autour
de la Terre foit un cercle S y dont le centre fil T &
dont la defcription ejî uniforme.
i Suppofôns qu' au commencement du mouvement
les deux aftres foient dans la ligne TCy & qu'après un tem$
quelconque le Soleil fe trouve en S & la Lune en L nom-
mons en fuite M la fomme des malles de la Terre & de
la Lune N celle du Soleil le raion fuppofé confiant
de l'orbite du Soleil, r le raoin variable T L de l'or^
bite de la Lune t .1' angle. S T.L, ou la diftance de la
Lune au Soleil v l' angle C T L z l'angle y T S. La
Théorie des forces fera voir affés facilement que la Lune,
qui feroit pouffée vers la Terre par la feule force fans
1* action du Soleil reçoit de plus à caufè de cette action
une force vers S pendant que la Terre eft pouffée
vers le même point par une force ^p & que 1* action
refultante de ces .deux forces pour troubler les mouvemens
de la Lune fè réduit à une première force N ( fp <k*)
qui pouffe la Lune de L vers H dans la parallèle LH à
T S & à une féconde, qui la pouffe vers T. On
verra en fuite en. prenant S L pour la, droite SK com-
prife entre S & la perpendiculaire L K à S T & en ne*
gligeant les fécondes puifiances de |^ qu1 au lieu de
N Si' STî ) on peut fe contenter de ^–rr&de même
qu'au lieu de ^fr on peut fubftituer Nspr..
$>i THEORIE DE LA LUNE
Par ce moien les deux forces précédentes fê redui-
peut decompofer en –^& xcof.t ou *jjï (i il + coj. zt)
rivant L T & en 'j^ x fin. on fuivant
Ja perpendiculaire à L T.
Retranchant donc la de jt il en: évident qu' on
aura la force totale par la quelle le
Soleil tire la Lune vers T & que il ou la force fuivant
la perpend. L O à cette direction fera •*̃?•̃
§. 2. Cela pofe, il eft clair que les quantités tp zn
f.Z££-v & a z=z de la folution généra
i + îf
le deviendront, ou zz. /Jv fin. a.t. d v SI =r
in-' '-?£ cof a/- ^f/«- tf 2 g en fuppofant
que était été mis à la place de ^y*.
§. 3. Il ne s' agit donc plus que de chaffer r & t
de ces expreffions & de reduire XI à une fuite de cofi-
nus de multiple de v afin d' emploier le Lemme.
A F égard de r rien ne fera plus facile fi l' on prend
comme nous l' avons indiqué Article XII. \cof
car 1' on tirera aisément de cette valeur en faifint
-+-3;o1-4-4e>«/.m'u-+-j<'eco/.î7n'y, ^2 J ce coj. 2mv)
§. 4. Quant à t il fera un peu plus dimcile à fai-
re évanouir parce qu'il eft la différence des &
v dont il faut trouver la relation pour un même inftant*
THEORJE DE LA LUNE ajt
Or cette relation (èmbleroit d'abord exiger. qu'on connût;
l' orbite & l'expremon du tems employé parcourir, un
de fes arcs quelconques c* eft à dire la folution du Problème
même qu'on cherche;, mais fi l'on fait attention a cq
que nous pouvons negliger en vertu de la petiteffe :.des
termes de il & de ç, nous verrons que dans cette de-
termination du tems il 'fuffira de prendre la formule
5$ au lieu de/J| qu' elle efl réellement &
que dans cette même formule Jjj^ il fuffira de' fairé r
Par ce moyen on aura pour l' expreffion du tems
par l' arc C L en négligeant les troifiemes puiffances.de e
v"^ (v-t- fin. m v ̃+• Hr P> *«̃«>) Mais le tems par
l' arc yL decrit par le même tems par le Soleil: feroit
f*z f'(v-t)
ou ~y~Tj Egalant. donc ces deux, quantités &
nommant pour abréger i-jj la conftante
autre chofe que le rapport du mouvement du Soleil au
mouvement moyen de la Lune, on aura l' équation ( i -£̃)'*
tire t ̃=. g fin. mv- $ f n. 2 m v, en faifant S z^
§. 5. Pour tirer maintenant de cette valeur de /cel-
le de fin. 2 t & de caf. z qui entrent dans les valeurs
•de & de SI que nous venons de trouver, nous regar-
derons la valeur 2 %fin. m v 2 fin -2 mv de z t
comme la fomme d'un angle & d' un autre
2 (C fin. na v -t- ^y;«. n v ) & alors la formule générale du
(mus de la fomme de deux angles donnés nous donnera
ts4 THEORIE DE LA LUNE
fin., fin. m v fin. Mais vû la petitcuc
de e & de et & les termes que nous pouvons nous per·
mettre de négliger dans cette premiere approximation cet-
te expreffion réduira à fil,.
fin.; c' eft à dire que l' on aura frn. 2.
De la même maniere on trouvera
Par ces valeurs & par celles des de
on vient de trouver 3 on aura facilement
x
fant a-
La p a a été ajoutée en intégrant & prire
telle que la foit nulle à l'origine des v où l'on
fuppofe qu' a commencé tout le mouvement. Quant aux.
termes d'autres multiples de v tels que
&c. on les a négligés qu' ils font fort
petits & que dans le pa'ifage de à A ils diminueroient
encore.
THEORIE DE LA LUNE 25
D
7. Faifant de même
on aura (*)acof. £
(c) -^mv) (d) acoj.(~ amv)
8. Or toutes ces valeurs étant introduites dans 1*
expreffion générale de il, ou fimplement dans celle de fbn
numérateur, auquel on peut réduire cette quantité pour
la rere aproximation à caufe de la petitefle de aj auprès
de l' unité & fusant de plus
A =a a -H [a] H- (a), B=ab-[b] + (b), C=ftc+[c]+(c)
Drz:adH-[d]-(d), Ez=li
Nous aurons
a =z-A a coj. -Bacof.(~- -wv)-rCaw/.(-î-+wv)-H
La fubftitution de cette quantité faite dans la valeur géné-
raIe de A donnée Art. VI. changera l' équation générale
de 1' orbite en
va THEOREME DE LA LUNE
qui en fuppofànt que fc,p, c, <?, m» aient entr' elles la
relation que demandent les equations
en
reduira à r
COJ.
dont les premiers termes font les mêmes que ceux de f
équation & dont les autres feront affez petis.
que le calcul va le prouver, pour convain-
cre de la bonté de la folution précedente & pour mon-
trer ce qu'on peut efperer féconde approximation
dans la quelle on feroit entrer ces mêmes termes dans la
à r.
XIV.
la Solution du
Il en maintenant de aux nom.
bres. Dans cette vuë foit fait ce qui eit
l'excentricité moienne qué les Agronomes fuppofent à l'
orbite de la Lune foit mis en fuite à la place
de i qui exprime le raport du mouvement moien du
Soleil à celui de la Lune.
A de a qui ne peut. pas écarter
beaucoup du raport qui eft entre le quarré du tems péri-
THEOREME DE LA LUNE S?
D z
odique moien de la Lune & celui du SQleil nous le fup-
poferons d' aboisd égal à ce raport même, c' eft-à-dirc
de 0,005595. Ces élemens que les obfervations donnent
& qui font des conditions du Probleme vont nous fuffire
pour determiner tout le reile.
§. 2. On voit d' abord que l' equation c-
"-&C.ZTO qui donneroit la relation entre. c & e eft inutile
à emploier parce que la valeur de c n'influe fur aucune
des autres quantités du Probleme & qu' il n' importe pas
de favoir la difference de 1' excentricité réelle de l'orbite
actuelle de laLune à celle quelle auroit eu fans les forces
perturbatrices du Soleil.
§. 3. Quant à l' equation i-J-Pairr-J- dont l'ufàge
feroit de determiner le rapport de k à p ou du paramètre
de l' Fllipfe primitive qu' auroit été l' orbite da la Lune
à celui de l' orbite réelle, elle ne feroit pas plus utile
fous ce point de vue que la 1er6 mais comme le raport
̃J- entre dans toutes les valeurs, dont nous avons befoin, il
nous faudra de toute neceflité faire ufige de cette équation.
ment bien important de la Theorie de la Lune, la deter-
mination du mouvement de fon apogée qui depend de la
coniioiflance de ? puisque ,i m a le même rapport à 1
que le mouvement de l' apogée à celui de la Lune, mais
il s' en faut bien que cette détermination fe puiffe tirer
ainfi d' une première opération; car quoique cette opera-
tion n' écarte pas beaucoup du vrai pour les valeurs des
lettres (3, y &c. elle conduit à peine à la moitié de ce
qu'on devroit trouver pour le raport cherché i-/«, heu-
reufement étant par elle même très Feu differente de 1'
28 THEORIE DE LA LUNE
unité nous ne nous embarafleroiis pas d'abord de la con-
noître exactement & nous nous contentAons de la ftire
i dans la détermination de (3, y &c. remettant à cor-
riger en fuite les valeurs de ces quantités quand nous la
connofrrons mieux.
§. 5. De cette fuppofîtion & des valeurs qu'on vient
et. nous tirerons
a 1, 0091, à–i, 0151, ézz. o, 0555, é=o, 0557,
2g(i-î) ou €= ou
$–.O, OOO.Ï'7
§ <î. Quant aux coefficïens a, b, c, d, de la valeur due
p comme ils renferment J- qui ne peut être connu qù'
après la refolution de 1' équation i-f-Pazz^- dans laquelle
P depend lui même de j- nous ne pourrons les trouver
qu'en profitant (ainfi que ? on a fait pour m) de ce que
•p- efl peu différent de .f unité & nous le lûppoferons
d'abord zri. Par ce :moien nous -aurons
a =oa 8 2 29
p ou :a-f-b-+-'c– d=i,'ooi & par confequent
A=3, 1595, Brro., 5172, Çno, 2^27, D~ o,
P.– 1, 4975. Cette valeur de P étant iubtïituée dans
i-HP«– f- donnera -f- 1,00838 & par confequent
p 99ll\ corri g eant donc a, b, c, d, dans la raifon
de i à o, 9917 nous aurons plus exactement ces quanti-
tés & appliquant le double de leur correction à A, B &c.
nous aurons pour leurs fécondes valeurs
A 3,1.557.) B=zo}5i6a^Czzo26^) Dz=o,i7oS
THERIE DE LA LUNE s*
& par conséquent
j|3no: 00722,71=0,01035,^2=0,000205, ^=0,00097
parmi les quelles y & £ feront celles o4 la fubititution de 1
pour ? au lieu de Ta vraie valeur produit la plus grande
erreur à caiifè que les .divifeurs 2m- -n de d, & i -( 1;-
de J3 en fout le plus altérés, vû leur petiteflè.
XV.
mouvement de F Apogée..
Voions maintenant ce que la 3bme Equation e zz
de m, E étant parce que nous avons vùmi^ ou 0,0832
ou o, 00555, nous tirerons
de cette équation 1- m «2=0,0083 8 & ou x -m~o
00418^ c'eft- à-dire que Je mouvement de l' apogée qui
doit être à celui de la Lune comme 0,008455 à ne
:feroit que .comme 0,004186 -à 1. Donc ou l'attraction
Wewtoniene ne donne point ce vrai mouvement ou la fo-
lution précedente n'eu: pas propre à la déterminer. Or
un peu de reflexion fur les attentions que nous avons re-
commandées .Art VIII. nous va montrer que.!) on ne doit
,pas compter fur f exactitude de P opération précedente
pour cet élement de la theorie de la Lune & nous mon.
trera qu'elle peut ,.être corrigée très facilement par f ope-
ration fùbfèquente.
Car il eft évident, que fi la -valeur de 1- fubftituée
,me elle le doit outre 1 e coj. m v les termes (3 caf.
"V £of' (- -.mw-jScc. dont Nous venons d' apprendre qu*
jo THEORIE DE LA LUNE
elle eft compofée le produit des termes de cette efpece,'
fur tout ceux qui font des multiples de cof (2--mv) ren-
fermés dans o > H avec les fm- n v & cof. ï &-autres
termes de fin. 2 t & cof. 2 t auroit introduit d'autres termes
que é dans la valeur de E.
Pour en donner une idée ne prenons que le terme
ycqf. (n -mv) de r qui eft celui dont l' effet eft fans
comparaifon le plus fenfible. Ce terme ajoutant à peu
près 4 y cof. (n -mv) à nous aurons pour le produit de
F* Par Ts p fin- 2 t & par. confequent pour accroiffe-
ment à g le terme yjj y cof. m v dont le double pris en
devra être joint à il par cette correction. On aura
de la même maniere f y a cof. m v pour la correction
de \r* a cof. 2 due à la même attention, & | y
(£ -w)a pour celle de 'rra2dj£n' lf en forte que il
recevra par ces trois corrections le terme ( ?i •+̃?-'
x 2- m ) a y cof. m v ou ce qui revient au même E lbuffi-
la le changement -4- ( j m )) y qui en
nombres, fera à peu près 0,0784 fort approchant de
o, o83p qu'il avoit pour unique valeur dans le calcul pré-
cedent.
Subftituant donc maintenant la nouvelle valeur de E
dans l'équation i-w*0– ^fc on en tirera 1 m =
o, 00836. qui eftafles proche de la vraie valeur pour une
détermination dans la quelle on a négligé tant de petites
quantités. On verra plus loin que ce rapport i w, ou
le mouvement de l'apogée fera conforme à ce que les
obfenations nous apprennent lors qu'on aura eû égard à
9
THEORIE DE LA LUNE 3*
toutes les circonftances que demande la queflion & qu'
on aura mis l' exactitude neceflaire dans les calculs c' eft
à-dire lorsqu'on aura fait entrer l' inclinaifon réciproque
des orbites de la Lune & du Soleil, l'excentricité de
l' orbite du Soleil que l' on aura introduit dans la valeur
de SI le divifeur i -|- a £ qui y doit être que l' on
aura fubftitué dans r tous les principaux termes qui com-
pofènt fi valeur & mis à la place de t la valeur qui re-
fulte de l' exprcffion du tems corrigée par la connoiffance
exacte de r & de e.
XVI.
CorreEïion aux objerva-
tion far la valeur qu'on doit donner à m.
Comme nous connoiffons actuellement beaucoup mieux
la vraie valeur de m il eft à propos de faire une cor-
rection aux quantités précédentes y & £ qui fuivant ce
que nous avons vu Art. XIV. §. 6, font les plus alté-
rées par la fuppofition de w=i i que nous avons faite
d' abord.
Mais pour ne pas revenir trop de fois au même cal-
cul, & pour ne pas compliquer inutilement des opérations
'ânes penibles nous obferverons ici & dans la fuite de
prendre tout d'un coup pour ns fa vraie valeur
o, 991545 donnée par les obfervations. Il eft clair qu'on
en peut ufèr ainfi même pour quand l'on ne fe feroit
pas convaincu comme moi que c' eft auffi la valeur don-
née par la Théorie puisque fi l' on parvient en fuite
dans la refolution de l' equation i-mm~ y~ à retrouver
cette même valeur de m la fuppoûtion fera juilifice
32 THEORIE DE LA LUNE
v
que dans le cas ou elle ne le feroit pas, il auroit toujours
fallu là faire pour trouver la correction que demanderoient
les forces acceleratrices. Afin de trouver la correction de
y due à celle qu'on fait à m en mettant o 991545
fi place au lieu de i, qu'on avoit fuppofé d' abord être
fa valeur on commencera par corriger celle de b qui fe-
ra diminuée d'environ T'3Ç en rectifiant fon dénominateur
ni ) ce qui changera B en o, 5122 au lieu de
0,5162 qu' il étoit auparavant & donnera le nouveau –£*̃
0,00284.27. On divifera en fuite cette valeur par
0,2624 à quoi eft égal 1 ni )* lorsque m a fa
vraie valeur & l' on aura 0,01083 pour le nouveau y.
Corrigeant de même d dans la raifon de fon divifeur
m £• que l' on avoit fuppofè de o 1 496 an lieu de
0,1327 qu'il eft par la vraie valeur de m il deviendra
°jO97P7 & D par confequent 0,01791 qui étant mul.
tiplié par y = 0,00555 & divifé par 0,982 valeur de
i-(27»-^ )' donnera 0,00101 pour le nouveau <£.
XVII.
De F expreffton du tems dans V orbite
précédente»
Après avoir ainfi determiné la valeur de il faut paf
rer à celle du tems non feulement par ce que c' eft la
confideration la plus importante de la Théorie de la Lu-
ne, mais par ce qu' elle eft necefifaire pour rectifier la
valeur de a qui n'eft pas exactement égal comme nous
l'avons fuppofé dans le calcul précèdent, au quarré du
rapport
THEORIE DE LA LUNE 33
E
rapport qui efl: entre le tems périodique moien de la Lu-
ne & celui du Soleil. Car il ctt évident que l' expreflioa
générale du tems emploié par la Lune à parcourir un an-
gle v feroit au tems emploie par le Soleil pour par-
courir le même angle comme ffû fiUtt+'iT) à "vTT &
par confèquent que fi T eft le coefficient de l' angle v,
après avoir integré Jû^t^ k2 fera. comme
le tems periodique moien de la Lime efl: à celui du Soleil
ou ce qui revient au même que la fcattion jrp jf ou
"̃^p1 & non pas fimplement a fera ce raport
Afiu d'integrer plus commodément k fervr( X- *!>) nous nous con-
tenterons d écrire à fà place 1-jp- (1– ç) en négligeant les
fécondes puifïiinces de C. Nous mettrons en fuite à la
place de £- la quantité 1 -e cof. mv-{-3 dans la quelle
H eft pris pour répréfenter les termes tels que fiçof.
y coj. (~ m a?)&c. qui entrent dans la valeur de
Par ce moien en négligeant les fecondes puiffances
de e & en gardant les mêmes denominations a, âôc é
que ci-deflùs & en faifantdeplusë– M-?' nous aurons.
k â-zë coj. mv-
6éH cof. m v & partant
-+-leecof. s-mv
-{-e* cof. 3w;i>
Il ne faudra donc plus que fubftituer dans cette quan-
tité pour S et g leurs valeurs
W- T-ycoç-{ï-Mv)+$cof.(^ -+-mv)- %cof.(s- -zmv) &
zeteoj.
34 THEORIE DE LA LUNE
multiplier en fuite le tout par d v & intégrer afin d'avoir
la valeur dc la quantité cherchée (i (?) qui fera par
conséquent )fin.
Ainfi a -apa. eft le coefficient T dont nous ve.
nons de voir que nous avions befoin pour determiner la
valeur de a & l' equation qui la determinera fera {â-i-apa. *x
p b 005595, dans la quelle fàilant a zz i,oo+5<>
p–o, 9879, £-–0,9917, on trouvera 01=^0,00553
qui ferv ira à corriger les valeurs précédentes de £ de
qui lui font prôportionelles & donneroot par confequent
a a o, 004.551 tt^mo, 001156, a c n:o, 000301
»d–zo:t 000542 ap^po oo5-f6<), (3ir:o, oo7i3<î,
y o, 010704 $ zn O 000203 z=. o, 00998;
fubltituant en fuite ces valears dans l' exprctlion qu' on
vient de trouver du tems, elle fe changera enfin en
THEORIE DE LA LUNE 35
E a
qui pourroit bien fubir encore quelques corrections en
emploiant la nouvelle valeur de et. qu' on vient de trou-
ver à rectifier | & par confequent a b c d & de
même A B C D (3 y &c. mais comme toutes
ces corrections feraient inférieures celles que fournit l'
o peration par la quelle on fubftitue dans XX à la place de
f- i–e cqf. mv-& (au lieu de prendre fimplement
comme nous avons fait i-r-ccof.mv) nous ne nous atta-
cherons pas à pouffer plus loin \T exactitude de ;cette fo-
lution & nous pafferons à l'examen des -autres; circpnj
fiances que doit embrafTer.la vraie determi|ia,tion:de l' çrr
bite de la Lune.
De la
la, folution du, Probleme
découvre hifennent deux points fur lesquels
de F excentricité du Soleil doit apporter du change-
ment termes dans l'équation
de l'orbite dé Lune, l'une en: la delà
S T égale à une l' autre l'uniformi-
té de la description de par le Soleil,
noit pour du. tems Ces' deux
tions n'étant plus on a égard à l'
ccntricité, il faut donner la maniere de les corriger.
On commencera par remettre fous le .(igné f de la
valeur de, la lettre f qui en: comprime dans 'la valeur de
a on, écrira ainfi cette valeur
"ig. 2.
7g THEORIE DE LA LUNE
Mais pour fimplifier Également cette expreffion & nous
rapprocher autant que nous pourrons du calcul précèdent,
nous garderons la confiante pour exprimer le demi pa-
ramètre de l' ellipfe fuppofèe décrite par le Soleil alors
nommant, 1 la diflance variable S T & fuppofant toujours
Suppofant en fuite que if foit l' excentricité de l'orbite
du Soleil, la valeur de fera 3, d'où}' on tirera,
en n'exigeant pas d' abord plus d'exactitude dans le cal.
cul que 1' on n' en a mis dans la folution du Problème
= cqf. T Tems pars
Vn" {«-+- zifin.z). De la l'équation qui donne la
valeur de t au lieu d'être comme dans le §.4 du Pro'
blême précèdent ( 1 i ) x ( v v
Cm.
znv–t-t- 2.jfm. v-t) ou fimplement ~<u–t-2.ÏJÎn.
en mettant dans le terme 2 fin. v-t en con-
fequence de ce que la petiteflè de i permet de négliger
(i-^v à la place de z qui en differe peu.
Par ce moien en gardant les mêmes dénominations
que ci-deflus on aura
tzzv- %fin. mv- Sjtn. 2mv-2.iJîn(i
fin. atzzifm. v &/«•
cof *t~cof ¥-&o/(J+ tnvyScofft+2mv)-2icof ( -K)u
H- -1 )v.
Se contentant de même dans les termes ziçof.z &

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.