Les Carrés DCG 6 - Finance d'entreprise 2014-2015 - 4e édition

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• Étudiants des licences économie-gestion et des licences professionnelles
Publié le : lundi 1 septembre 2014
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EAN13 : 9782297044264
Nombre de pages : 208
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La valeur et le temps
FICHE1
La notion de valeur est présentée sous un angle financier et mathématique. Son lien avec le temps est lié à sa mesure : elle peut être déterminée aussi bien lors de l’émission d’un flux que plus tard, lors du règlement de ce flux.
1LES INTÉRÊTS SIMPLES
L’intérêt simple correspond au revenu procuré par un capital placé à un taux donné pour une durée convenue entre les parties. Il est notamment utilisé lors des opérations d’escompte d’effets de commerce ou dans le suivi des comptes courants bancaires.
Terminologie : C = capital n = durée du prêt ou du placement (exprimée en jours). La durée (n) doit être calculée en nombre de jours exacts en incluant le premier jour de l’opération et en excluant le dernier. L’année est décomptée à 360 jours. ia = taux d’intérêt annuel
A – Le calcul de l’intérêt (I)
I = C×ia×n / 360
B – Le calcul de la valeur acquise (VA) ou valeur future d’un capital Il s’agit de déterminer la valeur future d’un capital placé à un certain taux d’intérêt. VA = C + I
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C – Le calcul de la valeur actuelle (Va) d’un capital Il s’agit de déterminer la valeur aujourd’hui d’un capital futur. Va = C – I
D – Le calcul des taux d’intérêt proportionnels au taux annuel Lorsque les placements sont rémunérés à un taux d’intérêt semestriel, trimestriel ou mensuel, ce taux peut être déterminé de façon proportionnelle à partir du taux d’intérêt annuel. Taux d’intérêt semestriel proportionnel :ia / 2is = Taux d’intérêt trimestriel proportionnel :it = ia / 4Taux d’intérêt mensuel proportionnel :im = ia / 12
Applications On place à intérêt simple un capital pendant 6 mois au taux annuel de 5 %. Sa valeur acquise est de 4 612,50.Calculer le capital. I = C×5 %×6 / 12 = 0,025 C VA = C + I d’où : 4 612,50 = C + 0,025 C = 1,025 C et C = 4 612,50 / 1,025 =4 500On place à intérêt simple un capital de 5 000pendant 3 mois au taux de 6 %.Calculer la valeur acquise. I = 5 000×6 %×3 / 12 = 75VA = 5 000 + 75 =5 075
E – L’escompte des effets de commerce
Pour faire face à des difficultés de trésorerie, le bénéficiaire d’un effet de commerce peut se pro-curer des fonds auprès de sa banque en négociant sa traite avant la date d’échéance. Une telle opération génère des agios prélevés par la banque.
Terminologie : C = valeur nominale de l’effet de commerce ia = taux d’escompte annuel n = nombre de jours entre la date de la négociation et la date d’échéance de la traite Les agios sont calculés sur une base de 360 jours. Ils sont décomptés en retenant la date d’échéance et en excluant la date de négociation, majorée en principe d’un ou plusieurs jour(s) de banque selon les établissements bancaires (cette notion sera abordée de façon plus approfondie à la Fiche 31).
FICHE1La valeur et le temps
Escompte commercial (Ec) = C×ia×n / 360 Escompte rationnel (Er) = (C×ia×n / 360) / [1 + (ia×n / 360)] = Ec / [ 1 + (ia×n / 360)]
Application Désirant faire face à un besoin de trésorerie de 10 000, une entreprise décide de remettre à l’escompte une traite de valeur nominale 10 050, 28 jours avant son échéance. La banque prélève un escompte au taux de 5 % et tient compte de 2 jours de banque.Calculer l’escompte. Nominal Durée Escompte 10 05010 050n = 28 + 2 = 30 jours ×5 %×30 / 360 =41,87
2LES INTÉRÊTS COMPOSÉS
Un placement est à intérêts composés, lorsqu’à la fin de chaque période, l’intérêt simple de la période est ajouté au capital pour produire à nouveau un intérêt simple pendant la période sui-vante. L’intérêt composé est utilisé dans le cadre d’opérations financières à long et moyen terme.
Terminologie : xo = capital initial ia = taux d’intérêt annuel n = durée de placement
A – Le calcul de la valeur acquise (ou valeur future) (xn)
n xn = xo (1 + ia)
B – Le calcul de la valeur actuelle (xo) -n xo = xn (1 + i)
C – Le calcul des taux d’intérêt équivalents au taux d’intérêt annuel (1/2) is = (1 + ia) – 1 (1/4) it = (1 + ia) – 1 (1/12) im = (1 + ia) – 1
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Application On place à intérêts composés un capital de 30 000au taux mensuel de 0,2 %.Quelle est sa valeur acquise dans 5 ans ? Calcul du taux annuel équivalent au taux mensuel : (1/12) im = 0,002 = (1 + ia) – 1 On trouve un taux annuel (ia) approximatif de 2,426 %. Calcul de la valeur acquise : 5 xn = 30 000 (1,02426) =33 820
3LES INTÉRÊTS POST-COMPTÉS ET LES INTÉRÊTS PRÉCOMPTÉS
Intérêts post-comptés L’intérêt est perçu ou versé à la fin de l’opération (cas des découverts bancaires).
4L’ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX
Équivalence de deux effets
Équivalence d’un effet et d’un ensemble de plusieurs autres effets
Équivalence de deux groupes deffets
Intérêts précomptés L’intérêt est perçu ou versé au début de l’opération (cas des escomptes de traites et des billets de trésorerie).
Deux effets sont équivalents s’ils ont la même valeur actuelle. Un effet est équivalent à un ensemble de plusieurs autres effets si la valeur actuelle de l’effet unique est égale à la somme des valeurs actuelles des autres effets. Deux groupes d’effets sont équivalents si la somme des valeurs actuelles du premier groupe d’effets est égale à la somme des valeurs actuelles des effets du second groupe.
L’époque n’influence pas l’équivalence. Ainsi, si deux effets sont équivalents à une date quel-conque, ils le sont à n’importe quelle autre date.
Application (équivalence à intérêts simples) Une entreprise a tiré deux traites sur un client : – 2 000échéance 16/10 ; – 2 500, échéance le 20/11. Son client ayant une rentrée de trésorerie le 30/12, préférerait régler ses deux traites à cette date. Le taux d’intérêt annuel est de 10 %. L’entreprise annule le 01/10 les deux traites et en crée une nouvelle.
FICHE1La valeur et le temps
Quel est le montant de cette nouvelle traite ? Si la nouvelle traite a pour montant 4 500, quelle est sa nouvelle échéance ? Arrondir les montants à l’euro le plus proche. Calcul de la valeur nominale de la nouvelle traite (C) :
2 000 2 500 X
Nominal
16/10/N 20/11/N 30/12/N
Échéance
n 16 – 1 =15 j (31 – 1) + 20= 50 j (31 – 1) + 30 + 30 = 90 j
La valeur actuelle de la nouvelle traite est égale à la somme des valeurs actuelles des anciennes traites : Va des anciennes traites = [(2 000 – (2 000×10 %×15 / 360)] + [2 500 – (2 500×10 %×50 / 360)] = 4 457Va de la nouvelle traite = C – (C×10 %×90 / 360) = 0,975 C, d’où : C =4 571Calcul de l’échéance de la nouvelle traite : Va des anciennes traites = 4 457Va de la nouvelle traite = 4 500 – (4 500×10 %×500 – 1,25 nn / 360) = 4 4 457 = 4 500 – 1,25 n d’où : n = 34 jours, soit 34 jours à compter du 01/10, c’est-à-dire le04/11.
Application (équivalence à intérêts composés) Une entreprise doit s’acquitter de 4 dettes : 25 000payables dans 1 an, 15 000dans 2 ans, 30 000dans 3 ans et 40 000dans 4 ans. Elle obtient de son créancier la possibilité de se libérer par un paiement unique dans 5 ans. Le taux d’intérêt annuel est de 6 %. Quelle est la valeur de ce paiement unique ?Arrondir les montants à l’le plus proche. –1 –2 –3 –4 Valeur actuelle (Va) des anciennes dettes = 25 000 (1,06) + 15 000 (1,06) + 30 000 (1,06) + 40 000 (1,06)  = 93 807–5 Va de la nouvelle dette = C (1,06) –5 93 807 = C (1,06) d’où : C = 125 535
5LES ANNUITÉS Une suite d’annuités est une suite de paiements périodiques constants permettant soit de consti-tuer un capital, soit de rembourser un emprunt.
A – Le calcul de la valeur acquise (Vn) par une suite d’annuités constantes (a)
n (1 + i) – 1 Vn = a  i
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B – Le calcul de la valeur actuelle (Vo) d’une suite d’annuités constantes (a)
–n 1 – (1 + i) Vo = a  i Application Une entreprise place chaque mois 1 000à partir du 01/09/N (inclus) jusqu’au 01/04/N+1 (inclus). Le taux de rémunération annuel est de 3,5 % à intérêts composés. Calculer la valeur dont elle disposera juste après le dernier versement. Si elle ne procède à aucun autre versement, de quel montant disposeratelle le 01/07/N+1 ?
Calcul du taux mensuel équivalent : (1/12) im = (1,035) – 1 = 0,287 % Calcul de la valeur acquise au 01/04/N+1 : 8 (1,002 87) – 1 Vn = 1 000 = 8 0810,002 87 Calcul de la valeur acquise au 01/07/N+1 : 3 xn = 8 081 (1,00287) = 8 151
La valeur et le risque
La notion de valeur est liée au risque, compte tenu de l’incertitude face à l’avenir.
FICHE2
1LA RENTABILITÉ ESPÉRÉE D’UNE ACTION ET LE RISQUE D’UN PORTEFEUILLE DE TITRES Les investisseurs arbitrent entre rentabilité et risque.Ils acceptent de prendre des risques uni-quement si ces derniers sont compensés par une rentabilité accrue. À taux de rentabilité identique, ils préféreront le portefeuille le moins risqué.
A – La rentabilité espérée d’une action La rentabilité d’une action (Ri) dépend de la plus-value espérée sur le cours de l’action (C) et des dividendes distribués (D) ; le cours de l’action résulte, à un instant donné, de l’offre et de la demande sur le marché financier ; les investisseurs anticipent une rentabilité en fonction des résul-tats publiés par les sociétés et des perspectives économiques : Taux de rentabilité d’une action = [Plus-value + D] / Co Plus-value = Cn – Co Cn = Cours de l’action à une date n Co = Cours de l’action à une date antérieure à n Cours de l’action (Cn) = (Ri×Co) + Co – D Le rendement d’une action (Rc) peut être évalué selon le modèle de Gordon-Shapiro (voir fiche 27) : Rc = D / Cours de l’action
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La rentabilité d’une action est mesurée par son espérance mathématique E(Ri). Le risque est mesuré par son écart-typeδ(Ri). E(Ri) =Ri / n VAR(Ri)Ri² / n – [E(Ri)]² δ(Ri) =VAR(Ri) L’objectif de l’investisseur est de maximiser l’espérance mathématique du titre et de minimiser son risque. Son choix se portera sur le titre pour lequel le ratio E(Ri) /(Ri) est maximal. Application Les prévisions suivantes relatives à la rentabilité de l’action X et à l’indice de marché au titre des 4 derniers mois sont les suivantes :
Mois Cours de l’action X Septembre 130 Octobre 135 Novembre 140 Décembre 145 Déterminer la rentabilité et le risque associé à l’action X.
Mois Septembre Octobre Novembre Décembre Total
(1) (135 – 130) / 130 = 0,024
Cours de l’action X 130 135 140 145
E(Rt) = 0,111 / 3 = 0,037 =3,7 % VAR(Rt) = (0,00411 / 3) – (0,037)² =0,0001 % (Rt) =0,0001% =0,1 %
Rt
(1) 0,038 0,037 0,036 0,111
Rt²
0,00144 0,00137 0,00130 0,00411
B – La rentabilité aléatoire d’une action Une rentabilité aléatoire est caractérisée par : – sonespérance mathématique;E(Ri) qui caractérise l’importance de la rentabilité
FICHE2La valeur et le risque
– savarianceV(Ri) et sonécarttype(Ri) qui caractérisent la dispersion (ou volatilité) de la ren-tabilité, c’est-à-dire le risque auquel la rentabilité est exposée. Plus l’écart-type est élevé, plus le risque est important. E(Ri) =piRi V(Ri) =pi(Ri)² – [E(Ri)]² (Ri) =V(Ri)
Application Soient deux actions A et B. Action A Rentabilité Ri – 10 % + 10 % + 25 %
Probabilité pi 20 % 60 % 20 %
Quelle est l’action la plus rentable et la moins risquée ? Action A Rentabilité Ri Probabilité pi – 10 % 20 % + 10 % 60 % + 25 % 20 %
Rentabilité Ri – 40 % + 15 % + 40 %
Pi×Ri – 2 % + 6 % + 5 % 9 %
Action B
Probabilité pi 20 % 60 % 20 %
Pi×(Ri)² 0,2 % 0,6 % 1,25 % 2,05 %
E(Ri) = 0,09 VAR(Ri) = 0,0205 – (0,09)² = 0,0124 (Ri) = 11,14 % Action B Rentabilité Ri Probabilité pi Pi×Ri Pi×(Ri)² – 40 % 20 % – 8 % 3,2 % + 15 % 60 % + 9 % 1,35 % + 40 % 20 % + 8 % 3,2 % 9 % 7,75 % E(Ri) = 0,09 VAR(Ri) = 0,0775 – (0,09)² = 0,0694 (Ri) = 26,34 % L’action A est aussi rentable que l’action B puisque les espérances mathématiques sont identiques ; toutefois, l’action B est plus dispersée et donc plus risquée que l’action A puisque son écart type est plus élevé.
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C – Le risque de marché et le risque spécifique Le risque d’une action peut être analysé enrisque de marchéet enrisque spécifique.
Risque systématique ou risque de marché
Il est lié à la conjoncture. Ce risque n’est pas éliminable car il est fonction de paramètres ne pouvant pas être maîtrisés par l’investisseur (risque non diversifiable).
Risque spécifique Il est lié à l’entreprise et dépend de la stratégie des diri-geants (politique d'investissement, mauvaise gestion…). Il est fonction de la qualité des produits, des hommes, de la gestion… Il peut être maîtrisé par l’investisseur, grâce à une diversification des actions (risque diversifiable).
D – Le coefficient de corrélation des taux de rentabilité des titres Le risque d’un portefeuille dépend du coefficient de corrélation des taux de rentabilité des titres. Soient deux actions A et B :
Coefficient de corrélation positif Les rentabilités des titres A et B évo-luent dans le même sens.
Coefficient de corrélation négatif Les rentabilités des titres A et B évo-luent en sens contraire.
Coefficient de corrélation nul
L’évolution de la rentabilité du titre A est indépendante de l’évolution de la rentabilité du titre B.
2LA DIVERSIFICATION La diversification consiste à répartir les investissements entre plusieurs actions plutôt que de les concentrer sur une seule action. Elle permet d’éliminer le risque spécifique des titres mais ne sup-prime pas le risque de marché. Lorsque les taux de rentabilité des titres sont corrélés négativement, la diversification permet de réduire le risque sans diminuer la rentabilité. En revanche, si les taux de rentabilité des titres sont corrélés positivement, la diversification n’apporte rien ; elle ne modifie pas le risque. 3LES PORTEFEUILLES EFFICIENTS Quel que soit le choix de l’investisseur, les portefeuilles, qui offrent pour un risque donné une ren-tabilité espérée maximale ou, pour un niveau de rentabilité donné un risque minimal, sont qualifiés de « portefeuilles efficients ». L’ensemble des portefeuilles efficients est qualifié de «frontière efficiente».
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