Les Carrés DSCG 2 - Finance 2013-2014 - 2e édition

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Publié le : dimanche 1 septembre 2013
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EAN13 : 9782297038614
Nombre de pages : 232
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Les calculs financiers
FICHE12
Les calculs financiers permettent la prise de décisions en matière d’investissement, de choix de mode de financement, d’évaluation d’entreprises, etc. L’objet de cette fiche est de rappeler les principesde base relatifs aux calculs financiers indispensables dans la mise en œuvre des techniques d’actua-lisation et de capitalisation couramment utilisées en finance.
1DÉFINITIONS
A – Les intérêts simples Les intérêts simples sont calculés à chaque période sur la base du capital emprunté à l’origine et ne produisent pas eux-mêmes d’intérêts. En principe, les intérêts simples sont utilisés pour des périodes supérieures à un an. Les intérêts sont dits précomptés lorsqu’ils sont versés en début de période (cas de l’escompte). Ils sont dits post-comptés lorsqu’ils sont versés en fin de période (cas du découvert). Les intérêts post-comptés sont supérieurs aux intérêts précomptés.
B – Les intérêts composés À la fin de chaque période, les intérêts sont incorporés au capital et forment la base de calcul de la période suivante.
C – La capitalisation La capitalisation consiste à déterminer la valeur acquise d’un capital placé pendant n périodes à un taux d’intérêt (i).
G LESCARRÉSDUDSCG2– FINANCE 8 D – L’actualisation L’actualisation consiste à exprimer la valeur aujourd’hui d’un capital réglé dans le futur.
2 LES CALCULS
Terminologie C = capital emprunté n = nombre de périodes i = taux d’intérêt i et n doivent être exprimés dans la même unité de temps I = intérêts de la période VA = valeur acquise ou valeur future Va = valeur actuelle
A – Les calculs à intérêts simples
I = C×i×n / 360 (si n en jours) ou I = C×i×n / 12 (si n en mois) i = I / (C×n) n = I / (C×i) VA = C + I Va = C – I
B – Les calculs à intérêts composés
n VA = C (1 + i) I = VA – C –n Va = C (1 + i) 1/n i = (VA / C)– 1 n = ln (VA / C) / ln (1 + t)
VA par une suite d’annuités constantes (a) versées en fin de période : n VA = a×[(1 + i)– 1] / i
FICHE1Les calculs financiers
VA par une suite d’annuités constantes (a) versées en début de période : n VA = a×(1 + i)×[(1 + i)– 1] / i Va d’une suite d’annuités constantes (a) versées en fin de période : –n Va = a×] / i[1 – (1 + i) Va d’une suite d’annuités constantes (a) versées en début de période : –n Va = a×(1 + i)×] / i[1 – (1 + i) Va d’une suite d’annuités constantes (a) sur un horizon infini : Va = a / i Va d’une suite d’annuités (a) qui augmentent à un taux constant (g) sur un horizon infini : Va = a / (i – g)
G 9
C – Le taux d’intérêt proportionnel Le taux mensuel (im), trimestriel (it) ou semestriel (is), proportionnel au taux annuel (ia), est obtenu en divisant le taux annuel par le nombre de périodes dans l’année : im = ia / 12 : ia = im×12 it = ia / 4 : ia = it×4 is = ia / 2 : ia = is×2
D – Le taux d’intérêt équivalent Pour un même capital placé, deux taux sont équivalents si leurs valeurs acquises sont égales au terme de la période de placement. 1/12 12 im = (1 + ia) – 1 : ia = (1 + im) – 1 1/4 4 it = (1 + ia) – 1 : – ia = (1 + it) – 1 1/2 2 is = (1 + ia) – 1 : ia = (1 + is) – 1
L’évaluation d’une obligation
FICHE2
1 DÉFINITION D’UNE OBLIGATION Une obligation est un titre de créances négociables représentatif d’une fraction d’un emprunt émis par l’État ou par une entreprise. À l’émission, les titres sont cotés sur le marché primaire. Une fois émis, les titres en circulation peuvent être achetés et vendus librement et sont cotés en bourse sur le marché secondaire. On distingue différents types d’obligations : – les obligations à taux fixe ; – les obligations à taux variable ; – les obligations convertibles. Nous nous attacherons ici à l’étude desobligations à taux fixe.
2LES CARACTÉRISTIQUES D’UNE OBLIGATION Un titre obligataire est caractérisé par : sa valeur nominale (C): valeur comptable de l’obligation servant de référence au calcul des intérêts ; sa valeur d’émission (E): prix à payer pour acquérir une obligation à l’émission. Si elle est égale à la valeur nominale, on dit que l’émission est « au pair »;
1G2 LESCARRÉSDUDSCG2– FINANCE sa valeur de remboursement (R): montant perçu par l’investisseur pour les obligations qu’il conserve jusqu’à l’échéance. Si elle est égale à la valeur nominale, on dit que le remboursement est « au pair ». Si elle est supérieure, il existe une prime de remboursement ; son taux d’intérêt nominal ou facial (i): taux appliqué à la valeur nominale pour déterminer les coupons dus ; son coupon (c): c = C×i ; sa maturité (n);: durée de vie de l’emprunt obligataire sa date d’échéance: date de versement du coupon; son risque(rating;) associé à l’émetteur son TRAB (taux actuariel t): taux de rendement réellement procuré par l’obligation. S’il existe une prime de risque, son taux s’ajoute à t ; son amortissement (A): modalités de remboursement d’une obligation pouvant être réaliséinfine, par amortissements constants ou par annuités constantes.
3LA COTATION DES OBLIGATIONS Les obligations sont cotées en pourcentage de la valeur nominaleau pied du coupon, c’est-à-dire hors intérêts courus. Cette cotation facilite les comparaisons entre les obligations de montants différents.
La valeur d’une obligation est déterminée par les calculs suivants :
Cours de l’obligation au pied du coupon = Cotation en %×C / 100 Si le cours de l’obligation est donné, la cotation en % est la suivante :
Cotation en % = Cours de l’obligation×100 / C –n –n Cours de l’obligation à l’émission : E = c×] / t + R (1 + t)[1 – (1 + t) n = durée de vie de l’emprunt obligataire (à exprimer en années si le taux actuariel est annuel) Si l’émission a lieu à un jour J alors que l’échéance est prévue à une date ultérieure J’ :
Cours de l’obligation à l’émission : –n’ 365 –n –n’ 365 –n –n’ 365 / / / E = c (1 + t) + c×[1 – (1 + t) ] / t + R (1 + t) n’ = Nombre de jours entre la date d’échéance et la date à l’instant (α) + 3 jours
G FICHE2L’évaluation d’une obligation 13 –n –n Cours de l’obligation à une date d’échéance quelconque = c×[1 – (1 + t) ] / t + R (1 + t) n = durée de vie restante entre la date d’échéance concernée et la date de remboursement de l’emprunt (à exprimer en années si le taux actuariel est annuel)  Cours de l’obligation à l’instant(α) = Cours de l’obligation au pied du coupon à l’instant(α)+ Intérêts courus Le taux d’intérêt couru est calculé de la date du versement du dernier coupon à la date considérée (αmajorée de 3 jours ouvrés pour tenir compte de la livraison des titres à l’acheteur (prendre des), mois entiers) : Taux d’intérêt couru = i×n’ / 365 L’intérêt couru est exprimé en pourcentage de la valeur nominale de l’obligation : Intérêt couru = C×Taux d’intérêt couru Si le cours de l’obligation au pied du coupon à l’instant (α) n’est pas donné, on peut obtenir le cours de l’obligation (intérêts courus inclus) à l’instant (α) par la formule de calcul suivante : n Cours de l’obligation à l’instant (α) = Cours de l’obligation à la date d’échéance antérieure×(1 + t) ’ n’= Nombre de jours entre la date d’échéance et la date à l’instant (α) + 3 jours On en déduit le cours de l’obligation, au pied du coupon, à l’instant (α) : Cours de l’obligation, au pied du coupon à l’instant (α) = Cours de l’obligation à l’instant (α) intérêts courus inclus – Intérêts courus
Cotation = Cours de l’obligation à l’instant (α) au pied du coupon×100 / C Le cours de l’obligation à l’instant (α) peut être également obtenu par la formule suivante : –n1 –n2 –n3 Cours de l’obligation à l’instant (α) = (c×[(1 – (1 + t) ] / t)×] + R (1 + t)(1 + t) –n1 c×représente la valeur à l’échéance antérieure à l’instant ([(1 – (1 + t)] α) : n1 = nombre de périodes entre la date d’échéance antérieure à l’instant (α) et la fin de durée de vie de l’emprunt obligataire (à exprimer en années). Cette valeur doit être ramenée à l’instant (α) : n2 = nombre de jours ou de mois entre l’échéance antérieure et l’instant (α) / 365 ou 12. Le flux de remboursement est ensuite actualisé : n3 = durée de vie restante (à exprimer en années).
G LESCARRÉSDUDSCG2– FINANCE 14 4L’ÉVOLUTION DU COURS D’UNE OBLIGATION Le cours d’une obligation dépend principalement de deux facteurs.
A – Le taux d’intérêt Le cours des obligations évolue en sens inverse des taux d’intérêt du marché obligataire. Lorsque le taux augmente, la valeur de l’obligation diminue. À l’inverse, si le taux diminue, la valeur de l’obligation augmente. L’explication est simple : soit les taux d’intérêt augmentent. Les nouvelles obligations émises sur le marché appa-raissent plus attractives car elles offrent un taux de rendement plus élevé que les obligations anciennes, ce qui provoque une baisse du cours des obligations anciennes ; soit les taux d’intérêt baissent. Les nouvelles obligations sont émises à un rendement moindre que les anciennes, ce qui provoque une hausse du cours des obligations anciennes.
B – Le risque de défaillance Si le risque de défaillance augmente, la valeur de l’obligation diminue. À l’inverse, si le risque de défaillance diminue, la valeur de l’obligation augmente. Le cours de l’obligation peut être inférieur à la valeur nominale suite à la hausse des taux sur le marché obligataire ou à la dégradation de la structure financière de la société.
5 LE TAUX DE RENDEMENT ACTUARIEL BRUT (TRAB) Afin de comparer différentes obligations, l’investisseur dispose du TRAB (t) ouYield to Matury(YTM) qui permet de refléter la valeur actuelle des paiements futurs. Il correspond à la moyenne des taux actuariels bruts des emprunts obligataires émis sur une période donnée. Le taux de rendement actuariel brut peut être déterminé à l’émission de l’emprunt obligataire : –n –n E = c×] / t + R (1 + t)[1 – (1 + t) n = durée de vie de l’emprunt obligataire (à exprimer en années pour obtenir un taux actuariel annuel) On trouve (t) par interpolation. Le taux de revient actuariel brut concerne le prêteur et tient compte des frais d’émission. La for-mule de calcul est alors la suivante : –n –n E – frais d’émission = c×[1 – (1 + t) ] / t + R (1 + t)
G FICHE2L’évaluation d’une obligation 15 Pour choisir entre plusieurs obligations, l’investisseur retiendra l’emprunt obligataire qui a le taux de rendement le plus élevé. En principe, des emprunts obligataires de maturité et de niveau de risque identiques doivent avoir le même taux de rendement à l’échéance. L’investisseur doit alors choisir l’obligation lui permet-tant de réaliser le gain le plus élevé à l’échéance : Gain à l’échéance = [(c + R) – Co] Co = Cours de l’obligation à la date de l’opération Le plus souvent, le gain le plus élevé concerne l’obligation qui a un coupon, mais aussi une cotation à l’achat, supérieurs à ceux de l’autre obligation. La différence de décaissement (D) entre les obli-gations peut alors être réinvestie au taux de rendement. Le gain réalisé est alors le suivant : Gain réalisé pour cette obligation = [(c + R) – Co] + (D×t) Le gain à l’échéance est identique pour des emprunts obligataires de maturité, de niveau de risque et de taux de rendement à l’échéance identiques. Application La SA OB a émis un emprunt obligataire le 01/02/N – 1 dont les caractéristiques sont les suivantes : Valeur d’émission = 99 €; Valeur nominale = 100 €; Valeur de remboursement = 102 €; Remboursement in fine le 01/02/N + 3; Taux nominal = 6 %. 1) Calculer le taux actuariel à l’émission. re 2) Calculer le cours de l’obligation à la date de la 1 échéance, en retenant un taux actuariel de 7 %. 3) Calculer le cours de l’obligation le 01/08/N.
1. TRAB (t) Coupon (c) = 100×6 % = 6 € –4 –4 99 = 6×: on trouve t =] / t + 102 (1 + t) [1 – (1 + t) 6,75 % er 2. Cours de l’obligation après le versement du 1 coupon –3 –3 Cours de l’obligation = 6×=[1 – (1,07) ] / 0,07 + 102 (1,07) 99 % 3. Cours de l’obligation au pied du coupon au 01/08/N Nombre de jours du 01/02/N au 01/08/N : 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 3 = 184 jours 184/365 Cours de l’obligation intérêts courus inclus = 99 (1,07) =102,43 € Taux d'intérêt couru = 6 % × (184 / 365) = 3,02 % Intérêt couru = 100 × 3,02 % = 3,02 € Cours de l'obligation au pied du coupon au 01/08/N = 102,43 – 3,02 = 99,41 €, soit une cotation de 99,41 %
1G6 LESCARRÉSDUDSCG2– FINANCE 6LES OBLIGATIONS ZÉRO COUPON L’émetteur ne verse aucun coupon pendant la durée de vie de l’obligation jusqu’à son échéance. C’est pourquoi l’obligation zéro coupon est généralement moins onéreuse qu’une obligationclassique. L’investisseur exige, le plus souvent, une rémunération plus élevée qui est assurée par une prime de remboursement plus importante.
n Valeur de remboursement (R) = E (1 + t) 1/n TRAB (t) = (R / E)– 1
7 LES RISQUES LIÉS AUX OBLIGATIONS Les obligations constituent en principe un placement plus sûr que les actions en offrant à l’inves-tisseur une connaissance du rendement de son investissement lors de l’achat. Le détenteur d’une obligation doit cependant faire face à un certain nombre de risques.
A – Le risque de taux Les obligations à taux fixe supportent le risque de hausse des taux, provoquant une baisse de la valeur de l’obligation. Ce risque est éliminé pour les obligations zéro coupon, car le taux auquel sont réinvestis les coupons est connu à l’avance (TRAB).
B – Le risque de liquidité Il représente le risque de ne pas pouvoir acheter ou vendre l’obligation par manque de vendeurs ou d’acheteurs.
C – Le risque de défaut Il représente pour l’investisseur le risque de non-remboursement du capital et du non-paiement des intérêts qui lui sont dus. Il est mesuré par la solvabilité de l’émetteur, ce dernier pouvant rencontrer des difficultés pour faire face à ses échéances.
Des agences de notationévaluent, à la demande de l’émetteur, le risque lié au remboursement d’un emprunt émis sur le marché financier. Les principales agences sont anglo-saxonnes. Les plus renom-mées sont Standard & Poor’s, Moody’s et Fitch. Elles évaluent la solidité financière des sociétés et attribuent des notes aux émetteurs en fonction de leur capacité de remboursement (remboursement du principal et paiement des coupons). La note attribuée est déterminante dans la mesure où elle caractérise le niveau de risque associé à l’obligation. Elle évolue jusqu’à la fin de la vie de l’obligation.
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