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manuel
Mathématiques financières
e 2édition L’essentiel du cours Exercices corrigés Sujet d’examen
Benjamin Legros
DANSLAMÊMECOLLECTION
Augé B., Naro G.,Mini Manuel de Contrôle de gestion, 2011 Augé B., Naro G., Vernhet A.,Mini Manuel de Comptabilité de gestion, 2013 Collain B., Déjean F., Le Theule M.A.,Mini Manuel de Comptabilité générale, e 2 ed., 2014 Legros B.,Mini Manuel de Mathématiques pour la gestion, 2011 e Legros B.,Mini Manuel de Mathématiques financièreséd., 2014, 2 e Kruger A, Ferrandi J.M., Carpentier L.,Mini Manuel de Marketingéd., 2016, 2 Védie H.L.,Mini Manuel d’Économie industrielle, 2012
© Dunod, Paris, 2016 ISBN 9782100745296
1
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Table des matières
Partie 1 Les modèles financiers
Études de suites 1.1Suites arithmétiques 1.2Suites géométriques 1.3Suites arithmético-géométriques Points clés Exercices Solutions
Intérêts simples et escompte 2.1Mode de calcul des intérêts simples 2.2Placements de courtes durées 2.3Versements constants 2.4Calcul du taux moyen 2.5Exemples de livrets d’épargne 2.6Effet de commerce et escompte 2.7Calcul de l’escompte 2.8Équivalence de capitaux 2.9Intérêts précomptés 2.10Contrat à terme d’achat ou de vente de devises Points clés Exercices Solutions
3 4 8 12 14 15 16
23 24 25 29 31 32 33 34 35 36 38 41 43 46
VI
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Intérêts composés
3.1Calcul des intérêts composés 3.2Taux proportionnels et taux équivalents 3.3Versements constants Points clés Exercices 72 Solutions 75
Emprunts indivis
4.1Principe général 4.2Modes de remboursement classiques 4.3Remboursements évolutifs Points clés Exercices 108 Solutions 110
Partie 2 Les projets d’investissement
Outils d’évaluation d’un investissement
Table des matières
5.1Éléments d’analyse d’un projet d’investissement 5.2Comparaison de deux projets d’investissement 5.3Prise de décision en avenir incertain Points clés Exercices 138 Solutions 140
Emprunts obligataires
6.1Principe de fonctionnement 6.2Tableaux d’amortissement pour les obligations à taux fixe 6.3Analyse du risque Points clés Exercices 165 Solutions 167
57
57 61 62 70
89
90 96 102 106
121
119 129 128 136
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Table des matières
Valeur des actions
7.1Mode d’évaluation 7.2Risque et rentabilité 7.3Gestion de la diversification Points clés Exercices Solutions
Sujet d’examen
Index
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
VII
179
180 185 189 193 195 197
201
213
Comment utiliser le Mini Manuel ?
La page d’entrée de chapitre
Elle donne le plan du cours, ainsi qu’un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre.
Le cours Le cours, concis et structuré, expose les notions importantes du programme.
Les rubriques
Une erreur à éviter
Un peu de méthode
Les points clés à retenir
Les exercices
Ils sont proposés en fin de chapitre, avec leur solution, pour se tester tout au long de l’année.
Le sujet d’examen Situé à la fin de l’ouvrage, il permet de s’entraîner dans les conditions de l’examen.
1 PARTIE
Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4
Les modèles financiers
Études de suites..............................................................3 Intérêts simples et l’escompte....................................23
Intérêts composés........................................................57
Emprunts indivis..........................................................89
Comment évaluer un placement financier ? Que représente un gain à venir dans le bilan d’une entreprise ? Que représente un taux d’intérêt ? Quels mécanismes déterminent un emprunt ? La première partie de cet ouvrage a vocation à modéliser les aspects essentiels du calcul financier. Les modèles présentés sont appliqués des différents points de vue du particulier, de l’entreprise ou de la banque. Le premier chapitre « Les suites » est le fondement mathématique nécessaire à la compréhension des formules de la finance. Ses résultats mathématiques vont se trouver dans l’ensemble du livre. Le second chapitre « Intérêts simples et Escompte » permet d’estimer les place-ments de durées courtes sur des comptes réglementés du type Livret A. Il permet aussi d’appréhender le fonctionnement de l’escompte pour les entreprises. Le troisième chapitre « Intérêts composés » présente le calcul des placements de longues durées et de l’actualisation. Une application essentielle de ce chapitre est le calcul des rentes qui permet de concevoir le fonctionnement d’une retraite par capitalisation. Le quatrième chapitre « Emprunts Indivis » modélise les échanges financiers entre le préteur et l’emprunteur avec une mise en place des aspects comptables de l’emprunt.
1 CHAPITRE
Études de suites
Savoir définir une suite arithmétique et une suite géométrique. Trouver la raison et le terme général d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique. Connaître la formule de la somme des termes d’une suite. Comprendre le fonctionnement des suites arithmético-géométriques. Utiliser le logarithme lors d’une recherche de durée. OBJECTIFS Modéliser un phénomène par une suite arithmétique ou une suite géo-métrique.
1.1Suites arithmétiques 1.2Suites géométriques PLAN 1.3Suites arithmético-géométriques
Considérons la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11... On devine assez simplement le terme suivant : 14. On a observé un ajout de 3 pour calculer un terme à partir du précédent et lon a conclu que le phénomène allait se poursuivre ensuite. Un autre exemple : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13... Le phénomène est moins simple ici. On remarque quun terme est égal à la somme des deux précédents. Ainsi le terme suivant sera 21 et il est possible de calculer lensemble des termes qui suivent.
Ces exemples peuvent sembler gratuits, mais ils démontrent tout linté rêt des suites : le caractère prédictif. Ce caractère prédictif est essentiel en finance. En effet, quil sagisse du remboursement dun emprunt ou de gains réalisés par un placement, limportant est de pouvoir chiffrer au mieux les mouvements de capitaux à venir. Les suites se trouvent donc dans lensemble des thèmes abordés dans cet ouvrage. Ce chapitre pré sente les résultats essentiels sur les suites les plus utilisées en finance : les suites arithmétiques et les suites géométriques.
4
Chapitre 1Études de suites
1.1SUITES ARITHMÉTIQUES a) Définition d’une suite arithmétique
Considérons la suite 2 ; 4 ; 6 ; 8... On observe un ajout de 2 pour calculer un terme à partir du précédent.
2
+ 2
4
+ 2
6
+ 2
8
+ 2
10
Ce nombre qui permet de calculer un terme à partir du précédent sap pelle laraison de la suite arithmétique. La notation dusage de la rai son dune suite arithmétique estr.
Formalisons le phénomène en notantu0le premier terme,u1le second, u2le troisième et ainsi de suite. On calcule un terme à partir du précé dent selon le schéma suivant :
u0
+r
u1
+r
u2
+r
u3
Ainsi, la définition dunesuite arithmétique relation : un+1=un+r
+r
u4
est donnée par la
Cette relation suffit complètement à définir une suite arithmétique si lon dispose dun des termes de la suite. Dans lexemple précédent, la connaissance de «u0=2» et de la relation «un+1=un+2» permet de calculer pas à pas lensemble des termes de la suite.
b) Comment calculer simplement un terme d’une suite arithmétique ?
La relation précédente ne permet pas de calculer rapidement un terme e dune suite arithmétique. Si lon souhaite calculer le 50 terme, il est e e nécessaire de connaître le 49 qui, luimême, se calcule à partir du 48 e et ainsi de suite. Ainsi, pour atteindre le 50 terme, il sera nécessaire
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