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L'essentiel des statistiques inférentielles

De
162 pages
L'essentiel des statistiques inférentielles (1re éd.) est une synthèse rigoureuse, pratique et à jour de l'ensemble des connaissances que le lecteur doit avoir sur cette matière. 8 Chapitres.



- Étudiants des cursus universitaires de gestion et des IAE

- Étudiants des écoles de commerce et d'ingénieurs

- Étudiants en expertise comptable (DCG, DSCG, DEC)



Armelle Mathé est enseignante en mathématiques appliquées à l'université Paris 1 Sorbonne, au Conservatoire national des arts et métiers et pour des apprentis ingénieurs. Elle assure également des cours de contrôle de gestion à l'Intec et à l'Enoes.
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PRÉSENTATION
Le formidable développement des outils informatiques et de leur puissance de calcul permet de traiter de très grands nombres de données, d’obtenir rapidement des résultats et des inter prétationset il est peu de domaines aujourd’hui qui ne fassent appel aux statistiques comme sources d’informations. Que l’on s’intéresse à la physique, fondamentale ou appliquée, que l’on travaille dans la finance, le commerce, l’assurance, la biologie, dans le monde de la recherche comme dans celui de l’entreprise, les données sont relevées, analysées et exploitées.
La première tâche de la statistique consiste àdécrire de façon précise et rigoureuse les ensemblesqu’elle étudie sous l’angle particulier qui l’intéresse mais la tâche ne s’arrête pas là. Audelà des observations qu’elle peut effectuer, la statistique cherche àconstruire des modèles, àélaborer des hypothèses plus ou moins probablesconcernant certains événements échappant à son observation directe ; soit parce que ces événements concernent des ensembles plus vastes que ceux qui ont été observés, soit qu’il s’agisse d’événements à venir.
Cette deuxième phase de l’étude statistique, appelée statistique inductive ou statistique inférentielle part des résultats obtenus sur les échantillons observés et, connaissant les différents modèles déve loppés par la théorie des probabilités, permet d’élaborer des hypothèses valables avec de fortes probabilités portant sur la population alors même que celleci n’aura pas été observée de façon exhaustive.
Un premier ouvrage reprendles bases de la théorie des probabilités et les lois de probabilités permettant la modélisation de situations concrètes. Dans ce deuxième ouvrage, lesméthodes de la statistique inférentiellesont étudiées, d’une part, avec la résolution de problèmes d’esti mations de paramètres et, d’autre part, avec des problèmes portant sur le contrôle des normes à partir de l’observation d’échantillons ou enfin le contrôle de la validité des modèles formulés.
SOMMAIRE
Chapitre1 -Distributions d’échantillonnage
1 - Distribution d’échantillonnage de la moyenne d’échantillon  Fluctuations de la moyenne observée dans un échantillon de taille n  Caractéristiques de la moyenne d’échantillon X Distribution d’échantillonnage de la statistique X. Théorème central limite a) Cas où la variable parenteXest distribuée normalement dans la population b) Cas où la distribution de la variable parenteXest inconnue mais on prélève un « grand échantillon » c) Cas où la variable parenteXest distribuée normalement dans la population, mais on ne connaît pas l’écarttypeσde la variableXdans la population 2 - Fluctuations de la variance et de l’écart-type de X dans un échantillon gaussien  Cas oùm=E(X), moyenne de X dans la population est connue 2 a) Caractéristiques de la variableS2 b) Distribution d’échantillonnage de la variableS’dans le cas d’une population d’origine normale  Cas où m=E (X), moyenne de X dans la population est inconnue 2 a) Caractéristiques de la variable S b) Distribution d’échantillonnage de la variableS² dans le cas d’une population d’origine normale 2 3 - Fluctuations de la moyenne d’échantillonXdans le cas oùσest inconnue, si la loi deXest normale
11
12 12 14 14 14 15 15 16 16 16 17 17 17 17 19
4 - Fluctuations de la fréquence d’échantillons
Chapitre 2 -Estimation des paramètres
1 - La variable estimateur ou statistique  L’estimateur du maximum de vraisemblance  Le principe de la méthode du maximum de vraisemblance 2 - Estimation ponctuelle d’un paramètre  Estimation de l’espérance E (X)=m  Estimation de la variance deσ(X)  Estimation de la proportion psatisfaisant un critère A dans une population SOMEstimMationAde lIa mRoyennEe m de la population, au seuil de confianceα 3 - Estimation par intervalle de confiance d’un paramètre a) Cas oùσ, écarttype deXdans la population est connu b) Cas oùσ, écarttype deXdans la population est inconnu c) Commandes Excel (fx : catégorie statistique) 2  Estimation de la varianceσd’une variable X dans la population, au seuil de confianceα, dans le cas d’échantillons gaussiens a) Cas où m : valeur moyenne de X dans la population est connue b) Cas oùm, valeur moyenne deXdans la population est inconnue  Estimation de la proportion d’individus satisfaisant un critère dans la population, au seuil de confianceα
Chapitre 3 -Tests d’hypothèses. Le contrôle des normes
1 - Généralités. Les principes du test d’hypothèses  Les hypothèses  Le choix des hypothèses  Les risques de première et de deuxième espèce  La variable de décision  Le seuil de signification, la région critique  Le seuil descriptif, la probabilité critique
2
0
23
23 23 24 27 27 27 27 28 28 28 31 33
33 33 34
36
41
41 44 44 44 45 45 46
 La latéralité du test  L’énoncé de la règle de décision. La prise de décision 2 - La construction d’un test d’hypothèses  Avec la région critique  Avec la probabilité critique 3 - Risque de deuxième espèce. Puissance d’un test  Le risque de deuxième espèceβ  La courbe d’efficacité du test
Chapitre 4 -Tests usuels de comparaison d’un paramètre à une norme
1 - Tests portant sur la moyenne d’une population  La construction du test a) La formulation des hypothèses b) Le choix de la variable de décision c) La détermination de la région critique, au seuil de significationα. d) L’énoncé de la règle de décision : test de comparaison d’une moyenne à une norme L’utilisation du tableur 2 - Tests portant sur la variance d’une loi normale, sous condition queX1(m;σ), quelle que soit la taille de l’échantillon a) Formulation des hypothèses b) Variable de décision, sous condition queXest distribuée normalement c) Région critique 3 - Test portant sur la proportion d’individus satisfaisant un critère dans une population a) Formulation des hypothèses b) Variable de décision c) Détermination de la région critique d) Énoncé de la règle de décision
46 47 48 48 48 52 52 53
57
57 57 57 57 59 59 65
66 66 66 67
69 69 69 70 70
S
OM
M
A
I
R
E
Chapitre 5 -Tests de comparaison des paramètres de deux populations
1 - Tests portant sur la comparaison de deux variances et de deux moyennes  Dans le cas de petits échantillons gaussiens a) Test de l’égalité des variances de Fisher Snédécor 2 b) Test de l’égalité des moyennes, à condition queσ=σ=σ1 2 grandset n : n  Cas d’échantillons non gaussiens 1 2 a) Test de l’égalité des variances b) Test de l’égalité des moyennes 2 - Tests portant sur la comparaison de proportions d’individus SOsMatisfaiMsantAun cIritèRre dEans deux sous-populations
Chapitre 6 -Les tests de la régression simple
73
73 73 74 75 81 81 81
8
1
877
1 - Les résultats de la méthode des moindres carrés 87 88 Indice de la qualité d’un ajustement linéaire, le coefficient de détermination R² a) Formule de décomposition 88 b) Le coefficient de détermination R² 89 2 - Le modèle de régression linéaire et son estimation 90 90 Le modèle  Les hypothèses de Gauss Markov 91 91 Les estimateurs des moindres carrés 93 La variance résiduelle 93 Tests d’hypothèses portant sur la validité du modèle a) Test sur la nullité du coefficient de détermination 93  Analyse de variance de la régression 105 a) Le test 105 b) Présentation des résultats : table d’analyse de la variance 106 c) La régression linéaire sur Excel 107  Jugement par intervalle de confiance d’une valeur prédite Y 109
 Étude des résidus et des observations influentes a) Le graphe des résidus b) La normalité des résidus c) Indicateurs construits à partir des résidus
Chapitre 7 -Le test d’ajustement du khi-deux. Modélisation
1 - Détermination de la loi d’ajustement 22 - Le test d’ajustement duχ  Le principe du test  La procédure
Chapitre 8 -Test d’hypothèses d’indépendance du khi-deux
1 - Les données 2 - Le test d’indépendance  La construction du test et la prise de décision  L’utilisation du tableur
Annexes -Quelques densités utilisées en échantillonnage
Quelques densités utilisées en échantillonnage Les tables de lois des probabilités Exercices récapitulatifs
112 112 114 114
115
115 116 116 116
129
129 130 130 134
137
137 143 149
S
OM
M
A
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R
E