Econométrie des séries temporelles

De
Publié par

Ce livre se place essentiellement dans une optique pédagogique. Son objectif est de compléter le premier manuel Econométrie des modèles dynamiques en présentant les principaux outils des séries temporelles et en les accompagnant de leur usage pratique, à partir de données portant sur les pays africains, sans rien ôter au caractère universel des théories économétriques.
Publié le : vendredi 1 février 2008
Lecture(s) : 359
Tags :
EAN13 : 9782296191686
Nombre de pages : 392
Voir plus Voir moins
Cette publication est uniquement disponible à l'achat

ÉCONOMÉTRIE DES SÉRIES TEMPORELLES

Cours et exercices

Taladidia Thiombiano

ÉCONOMÉTRIE DES SÉRIES TEMPORELLES

Cours et exercices

L 'Hannattan

Du même auteur
Économie de l'environnement et des ressources naturelles, 2004. Économétrie des modèles dynamiques, 2002.

(Q L'HARMATTAN, 5-7, rue de l'École-Polytechnique,

2008 75005 Paris

http://www.librairieharmattan.com diffusion.harmattan@wanadoo.fr harmattan l@wanadoo.fr

ISBN: 978-2-296-05035-8 EAN : 9782296050358

TABLES

DES MA TIERES

Introduction
CHAPITRE I : ANALYSE DE LA SAISONNALlTE D'UNE CHRONIQUE

Pages 13 15 17

1.1 Définition
1.2 Quelques 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 problèmes posés par les séries chronologiques La prévision La tendance Le cycle La composante saisonnière La composante résiduelle Autres problèmes posés par les chroniques

18 18 19 19 20 21 22 23 23 23 26 26 48 49 51

1.3 Caractéristiques
1.3.1 Définition 1.3.2 Opérations
1.4 Modélisation 1.4.1 1.4.2 1.4.3 d'une Modèles Modèles Modèles

fonctionnelles

des modèles
déterministes

déterministes

sur les modèles
série chronologique

d'ajustement autorégressifs explicatifs

Exercices
CHAPITRE" 2.1 Présentation 2.2 Le lissage 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 : LE LISSAGE EXPONENTIEL générale exponentiel simple (LES) non saisonnier Présentation générale Caractéristiques de la méthode Choix optimal de la constante de lissage Choix de la valeur initiale de prévision Le lissage exponentiel simple basé sur les moindres carrés escomptés

53 56 60 60 63 67 72 73

7

2.3 Le lissage exponentiel simple saisonnier ou basé sur la forme ARIMA
2.4 Le lissage exponentiel double 2.4.1 La méthode de Brown 2.4.2 Présentation par la forme ARIMA 2.4.3 Avantages et inconvénients du double lissage

75
76 77 83 85

Exercices
CHAPITRE

87
III : LES PROCESSUS
STATIONNAIRES

89
91 91 93 94 94 95 96 99 99 100 102 103 104 113 113 119 126 127 128

3.1 Définition 3.1.1 Les processus strictement stationnaires 3.1.2 Les processus faiblement stationnaires ou du second rang 3.2 Caractéristiques d'une série temporelle 3.2.1 Moyenne et variance 3.2.2 Fonction d'autocovariance 3.2.3 Fonction d'autocorrélation 3.3 Le processus bruit blanc 3.3.1 Définition 3.3.2 Quelques formes de bruits blancs 3.3.3 Intérêt des bruits blancs 3.3.4 Test d'hypothèse d'absence d'autocorrélation 3.3.5 Modèles linéaires et bruit blanc

3.4 La classe des séries stationnaires
3.4.1 Le processus 3.4.2 Le processus ARMA AR

3.5 Caractéristiques du processus MA 3.5.1 Définition 3.5.2 Autocovariance et autocorrélation

Exercices

137

8

CHAPITRE

IV

: LES PROCESSUS NONSTATIONNAIRES

141

4.1 Présentation des processus TS et OS 4.1.1 Les processus TS 4.1.2 Les processus DS 4.1.3 Comparaison entre processus TS et DS

147 147 152 157
181 181 182

4.2 Les processus AR/MA
4.2.1 Définition 4.2.2 Les processus ARIMA saisonniers

Exercices
CHAPITRE

185
V : TEST DE RACINE UNITE

189 191 192 195 207 209 209 209 214 215 220 223 230 234 234 234

5.1 Test de Dickey et Fuller (OF) 5.1.1 Les modèles de base 5.1.2 Principe du test DF 5.1.3 Limites du test DF 5.2 Tests d'hypothèses jointes 5.2.1 Objet des tests d'hypothèses jointes 5.2.2 Démarche 5.3 Test de Dickey et Fuller augmenté (ADF) 5.3.1 Transformation des modèles de base 5.3.2 Spécification des modèles 5.3.3 Procédure de test 5.3.4 Tests d'hypothèses jointes 5.4 Le test de Philipps et Perron (1988) 5.4.1 Définition 5.4.2 Statistiques du test 5.5 Le test de Dickey et Pan tu/a 5.6 Le test de Perron (1989) 5.7 Le test de Kwiatkowski, Philipps, Schmidt et Shin

242 245 252

9

Exercices
CHAPITRE

256

VI : COINTEGRATION ET MODELES A CORRECTION

D'ERREUR (MCE)

259 261 262 262 265 269 269 270 275 287 288 288 296 296 298 307

6.1 Séries intégrées
6.1.1 Définition

6.1.2 Propriétés des séries intégrées 6.2 La notion de régression fallacieuse

6.3 La cointégration 6.3.1 Définition 6.3.2 Vecteurs cointégrants ou relation de long terme 6.3.3 Test de cointégration 6.4 Les modèles à correction d'erreur 6.4.1 Conditions de recours au MCE 6.4.2 Présentation du MCE 6.5 La cointégration entre n variables et MCE 6.5.1 La cointégration entre n variables 6.5.2 Estimation des MCE

Exercices
CHAPITRE VII

: VeCTEURS AUTOREGRESSIFS

309

7.1 Définition 7.2 Représentation générale

314 315 316 316 317
des VAR(p)

7.3 Etude de la stationnarité 7.3.1 Définition 7.3.2 Proposition

7.4 Estimation et spécification 7.4.1 Estimation 7.4.2 Spécification

318 318 320

10

7.5 VAR et prévision 7.6 Modèle VAR et analyse économique 7.6.1 Les processus VARMA 7.6.2 Représentation canonique et processus des innovations 7.6.3 Analyse de réponse impulsionnelle 7.6.4 VAR structurel 7.6.5 Orthogonalisation des chocs 7.6.6 La causalité 7.7 Modèle VAR et cointégration 7.7.1 Représentation VECM 7.7.2 Généralisation du VECM 7.7.3 Cointégration et MCE: l'approche de Johansen

321 325 326 327 329 329 334 337 350 350 351 357 367 371 381

Exercices Bibliographie Index

INTRODUCTION

Ce livre se place dans une optique essentiellement pédagogique. Son objectif est de compléter le premier manuel « Econométrie des modèles dynamiques» en exposant les principaux outils des séries temporelles en les accompagnant de leur usage pratique. Nous essayerons à la lumière de notre expérience pédagogique dans le domaine depuis plus d'une dizaine d'années de présenter les différents thèmes de façon à ce que le lecteur, notamment les étudiants, évitent d'employer les outils sans avoir compris dans quel contexte ils doivent l'être.

Dans la mesure où ce manuel se veut plus pratique que notre premier ouvrage, il est évident qu'il y aura moins de démonstrations au profit des

applications. Dans ce domaine, l'accent sera mis sur les données des pays africains et accessoirement sur celles des pays développés lorsque le recours à ces données nous conduit à donner des explications pertinentes pour illustrer parfaitement les théories sous-jacentes.

Le manuel est centré exclusivement de tous les développements

sur les séries temporelles

au regard de cela, il y

qui ont cours. Indépendamment

a aussi que l'économie

se fonde sur le temps;

et les nouveaux

développements de l'économétrie des chroniques permettent de mettre davantage les théories économiques à l'épreuve des faits. Même s'il est

vrai que, comme le dit K. Popper, cette confrontationthéorie - fait n'est
qu'une nécessité relative.

13

Cet ouvrage en se voulant pédagogique,

essaIe d'expliquer

les

différentes formules mathématiques et statistiques afin que les étudiants ne soient pas rebutés dès le départ par des formules « balancées» sans applications. Le second point fort de l'ouvrage, c'est l'effort

d'illustrations des différents chapitres voire de chaque section. Enfin, de manière à permettre à l'étudiant comme au chercheur de pouvoir tester ses capacités d'assimilation, chaque chapitre. Nous voudrions remercier Noël Thiombiano, chercheur au Laboratoire d'Economie de l'Environnement et de Socioéconométrie (LEESE) du CEDRES pour avoir procédé à la saisie du manuscrit et aussi pour ses observations et remarques précieuses tout au long de l'élaboration du
manuel. Ce travail a aussi bénéficié des questions pertinentes des de

des exercices sont annexés à la fin de

étudiants de DEA de l'UFRJSEG

de l'université

de Ouagadougou,

DESS de la faculté des sciences économiques de l'université de Lomé, de maîtrise des universités de Kara (Togo) et de Parakou (Bénin) et enfin
de certains chercheurs gestion de l'université L'ouvrage 1. 2. de la faculté des sciences d'Antananarivo (Madagascar). économiques et de

se présente en sept chapitres:

Analyse de la saisonnalité d'une chronique Le lissage exponentiel

3. 4. 5. 6. 7.

Les processus stationnaires Les processus non stationnaires Les tests de racine unité La cointégration et les modèles à correction d'erreur (MCE) Les vecteurs autorégressifs (VAR) 14

CHAPITRE I ANAL YSE DE LA SAISONNALITE D'UNE CHRONIQUE

INTRODUCTION La compréhension supposent des mécanismes économiques et la prise de décision observations, de

que l'on soit en possession

de plusieurs

variables importantes de manière à étudier les liaisons qui existent entre elles. Le fait que l'économie se prête rarement à l'expérience contrôlée

conduit à obtenir les observations à l'aide d'enquêtes. Les données obtenues sont souvent répétées, correspondant à des dates différentes. 1.1. Définition

La suite des observations d'une variable (I:, tE T) est appelée série temporelle ou série chronologique - Ch. Gouriéroux et Alain Monfort (1990).
Une chronique se caractérise par les dates d'observations qui sont en

général équidistantes les unes des autres: c'est le cas des séries mensuelles, trimestrielles... L'année contient dans ce cas un nombre entier d'intervalles:

s = 12 pour une série mensuelle, s = 4 pour une distribution trimestrielle. Les dates équidistantes sont généralement indexées par des entiers;
t = l,. . ., T où T traduit le nombre d'observations. Dans ce premier cas

nous avons affaire à des variables discontinues. Bien que cette partie ne soit pas analysée, il convient de signaler que dans des domaines autres qu'économiques, certains caractères (température, hygrométrie...) sont

observés de manière continue dans le temps à l'aide d'appareils physiques.

T est un intervalle de R.

Une infinité d'observations

existe;

ce qUI

présente une situation différente des observations économiques.

17

1.2. 1.2.1.

Quelques problèmes posés par les séries chronologiques La prévision

L'objet est l'évaluation des valeurs futures Yl'+h' (h 2: 1) d'une variable à partir de l'observation de ses valeurs passées ~"'" Y7~(h) tirée de ces observations Yl' . La prévision notée

sera généralement différente de la valeur

que prendra la variable à l'instant T+h qui est la variable observée à cet instant T+h. Souvent, il est proposé un intervalle de prévision
[~~ l'(h)' Y2~l'(h)] susceptible de contenir la valeur inconnue Yl' +h .

La qualité de la prévision est fonction de l'état d'évolution de la chronique. Plus la chronique est une fonction "régulière" du temps, c'est-à-dire stable,

plus la prévision sera facile. Cette qualité dépend aussi de l'horizon temporel h et est généralement meilleure lorsque h est petit. Les méthodes recourant à la prévision peuvent aussi être utilisées pour évaluer une valeur passée de la variable. Dans un tel cas, on parle de valeur
ajustée au lieu de prévision. Ce genre de technique est utilisé pour

compléter des données manquantes d'une distribution temporelle. De telles

grandeurs ajustées peuvent également servir pour déterminer l'effet d'un phénomène accidentel (grève, sécheresse, ...) ; la valeur ajustée donne une idée de la valeur qu'aurait dû prendre la variable, si ce phénomène n'était pas intervenu.

18

1.2.2.

La tendance

(1;)

Il a été constaté que dans une période de croissance, nombre de variables ont des évolutions à long terme (appelées tendance ou trend) analogues. Le
mouvement est souvent représenté par des formes analytiques simples:

polynomiales, exponentielles, logarithmiques, logistiques ou cycliques. Le résultat est la forte assimilation toutefois cette corrélation de ces variables entre elles sans que liaison à caractère

traduise une quelconque

explicatif entre ces variables. Afin d'examiner l'existence de telles liaisons, il peut être nécessaire d'enlever ce trend (c'est-à-dire, éliminer l'effet du temps). Aujourd'hui, cela se fait grâce aux techniques d'analyse de la

racine unitaire lorsque la tendance est stochastique. Par ailleurs, comme

nous le verrons, l'existence de cette tendance permet de voir si les séries évoluent dans le même sens, c'est-à-dire si elles sont cointégrées. 1.2.3. Le cycle (c)

C'est un mouvement conjoncturel qui regroupe des variations autour de la tendance avec des alternances d'époques caractérisées par des phases
d'expansion et de récession.

Il existe des cycles court (Shiskin, 5 ans), moyen (Juglar, 10 ans) et long (Kondratieff, 50 ans). On ajoute aujourd'hui le Kuznets (20 ans). De façon générale, dans les travaux relatifs aux chroniques, on regroupe le trend et le cycle en une composante unique désignée par la notion d'extra-saisonnier notée ~.

19

1.2.4.

La composante saisonnière (sJ

Dans les séries chronologiques, on observe des fluctuations régulières des données dues à une multitude de phénomènes (climat, mode, coutumes...) qui viennent perturber l'évolution normale du mouvement. Afin d'obtenir des distributions qui se prêtent à l'interprétation économique, on procède à la correction des données brutes. C'est la désaisonnalisation de la série. On appelle série désaisonnalisée Y/, la série obtenue en retranchant de la série brute ou initiale l'effet saisonnier.
De nombreuses raisons expliquent la nécessité de recourir à une correction de la série. Elles sont entre autres dues:

y

aux situations particulières

qui peuvent agir sur les données

économiques;

y

aux préoccupations de chercher les liaisons explicatives pouvant

exister entre les variables tel que nous l'avons vu au point 1.2.2. Concernant le premier cas, considérons une dévaluation du F CFA avec comme un des objectifs une relance de la production agricole. Si au cours
de la campagne effectivement agricole qui suit cette dévaluation, on constate

une augmentation

de la production, peut-on en déduire un

effet de cette mesure? L'examen de la production agricole montre que chaque fois qu'il y a une bonne pluviométrie, la production augmente. Or, tel a été le cas pour cette

campagne qui a suivi. Maintenant, il s'agit de savoir si l'accroissement a été

20

plus fort que d'habitude ou non. L'observation des valeurs prises par la chronique désaisonnalisée permet directement de répondre à cette question.
D'une manière générale, les variations saisonnières sont de nature de la

périodique avec un délai égal à l'année. On peut citer l'augmentation consommation

d'eau chaque année entre le mois de mars et mai (période montre également une

chaude) dans les pays du Sahel. L'observation

baisse des prix des produits agricoles céréaliers chaque année dans les pays africains sahéliens après les récoltes. Ces mouvements entraînent des comportements atypiques chez les paysans (ce qui nous a fait développer toute une réflexion économique sur les élasticités à pente négative),
motivés par le revenu objectif. 1.2.5. La composante résiduelle (E:)

Il s'agit de l'ensemble des phénomènes perturbateurs qui n'ont pas été pris en compte dans le cadre de l'observation. nombreuses catastrophes fluctuations naturelles, Cette composante contient de (grèves,' du .

qui sont en général conflits...). Etant donné

accidentelles

l'imprévisibilité

phénomène, le résidu a un caractère aléatoire plus ou moins stable autour de la tendance centrale.

21

1.2.6.

Autres problèmes posés par les chroniques

- Des changements de politiques économiques ou des modifications importantes des relations structurelles entre variables, conduisent les séries à présenter des rythmes soit de niveau soit de perte. Il faut tenter de prévoir ces dates de rupture ou à défaut, d'identifier leur existence assez tôt. - L'observation simultanée dans le temps de plusieurs variables peut permettre de répondre à des questions liées à la causalité: ainsi, peuton se poser la question de savoir si la formation des prix des noix de karité est une conséquence des prix observés du cacao? Est-ce inversement ces pnx qui suivent ceux des noix de karité? Après avoir déterminé si

possible, le sens de la causalité, il faut connaître avec quel délai et pendant combien de temps (détermination du décalage temporel), la variable

exogène influe sur la variable endogène.

- Les ajustements qui permettent de distinguer le court terme du long terme. - L'étude des chroniques permet également de comprendre de quelle façon les agents économiques font des anticipations en fonction du
temps.

22

1.3. Caractéristiques 1.3.1. Définition

fonctionnelles des modèles déterministes

Une tendance est dite déterministe lorsqu'elle se présente sous une forme analytique rigide pour l'ensemble de la distribution de la chronique. Elle

peut être linéaire ou non. Dans le cas d'un modèle linéaire tel
que Yt

= at

+ b + Et , on recourt aux MCa pour estimer les paramètres a

et b . Généralement, ces paramètres sont constants dans le temps et pour la prévision, on procède à une extrapolation de la série du fait de cette

constance des coefficients. 1.3.2. Opérations sur les modèles déterministes

Soit le modèle suivant:
l"t

=ip(t,

l"t-l ,l"t-2

) + E:t
(0,

où les Et suivent une loi normale

(72), caractérisant un terme aléatoire,

et cpune régression de

~

sur son passé.

Une série chronologique

~

est déterministe si la fonction
vérifie

ip = ipt, définie, E(Yt - ipt) 2 = 0

Dans le cas particulier où cp est linéaire, on dit que linéaire déterministe.

~

est une chronique

23

Considérons la fonction polynomiale
linéaire déterministe. En effet:

1';

= at + b

. Elle est dite série

YI - YI-l = a = YI-l- Y/-2

d'où l'on tire que YI = 2 YI-l - Y/-2 Soit la chronique polynomiale du second degré suivante: YI = ao + al t + a2 t2 On dit que cette fonction est aussi une série linéaire détenl1iniste puisqu'il ressort : YI - YI-l - (a2 t2 + al t + ao) - [ao + adt -I) + adt2-2t + I)]

= 2a2t + al - a2 Par ailleurs,
(YI - YI-l) - (Yt-l - YI-2) = 2 a2 = (YI-l - YI-2) - (YI-2 - YI-3)

d'où
YI = 3 YI-l - 3 YI-2 + YI-3

De façon générale, toute chronique polynomiale de degré k est une série linéaire déterministe, dans la mesure où elle est solution de l'équation de récurrence homogène.
~q+IYI = 0

~ est un opérateur des différences premières. Considérons le modèle exponentiel de croissance sans saturation de la

forme suivante: YI
e alch

24

On peut écrire que:

~ =eG

~-1

Si le paramètre est connu, la fonction ci-dessus est aussi un processus linéaire déterministe. Souvent a n'est pas connu et on l'estime par une fonction a* des valeurs observées.
Si ea*n'est pas linéaire, le processus ne sera plus dans ce cas linéaire.

Un modèle est dit déterministe, si la valeur
est approximativement observée

~

de la chronique à la date t

déterminée par une fonction. L'écart entre la valeur

r; et

la valeur calculée <p (t) (si on connaît la fonction <p) est

considéré comme une valeur assez faible, et noté et le résidu. Le modèle d'ajustement s'écrira:
YI = rp(t) + el t E T

Finalement, ce qui est défini comme le processus déterministe est XI = rp(t)

Dans le cadre des séries temporelles, cette partie déterministe est constituée d'un mouvement de longue période, appelée trend ou tendance et

représentée par jet), et de variations saisonnières qui se répètent régulièrement dans le temps, définies par une composante périodique set). Principalement, il existe deux types de décompositions ou de modèles:

- le modèle additif, où les deux composantes sont indépendantes
rp(t) = I(t) +s(t) + CI

25

- le modèle
la tendance.

multiplicatif, où la composante saisonnière évolue avec

rp(t) = J;StE:t

1.4. Modélisation d'une série chronologique Pour résoudre les problèmes précédemment évoqués, il faut s'appuyer sur

les modèles expliquant la manière dont la série évolue. C.Gouriéroux et A. Monfort (1990) distinguent trois types de modèles: les modèles

d'ajustements, les modèles autorégressifs et les modèles explicatifs.

1.4.1.

Les modèles d'ajustement

Nous partons de l'hypothèse que les traitements linéaires des séries sont connus; aussi allons-nous, nous intéresser au modèle de Buys-Ballot qui a
l'avantage d'être un modèle de prévision analytique.

Exemple 1 : Soit à considérer la série temporelle suivante représentant la masse monétaire trimestrielle de la CEMAC1 1993 à 2004.

1

CEMAC : Communauté Economique et Monétaire de l'Afrique Centrale 26

0
,.....,

0\
"'T \Ci \Ci "'T "'T N

,.....,

N

>

r--,....., "'T CO ,.....,

0\ CO CO CO "'T N

r--M
If) If) CO

\Ci
N N If) 0

r--0
N M

M
M

0\
N If) ,....., If) ,....., "'T

0
M 0 "'T N If) "'T

0\
M
,.....,

\Ci
If)
If)

r--If)
,.....,

r--If)

r--N

N
M

r--N
M

N
M

"'T

0\ If) 0 If)

CO 0\ 0\ "'T

\Ci 0\ "'T If)

~ ~

~
I])

u
'"'d r/J ~
...... ......

o

,....., ,....., ,.....,

r--M r--0 0\

\Ci If) M 0\

0 If) If) 0 \Ci "'T N

CO \Ci CO 0\ "'T N

r---

r--N N

:-g ~ I])
"'T o o N ,C'j M 0\ 0\
,....., I])

,.....,

r---

0 M N 0\ ,....., ,....., M

0 M If) CO CO N M

N M \Ci \Ci ,....., M M

CO CO \Ci CO 0\ CO M

0 CO "'T N

If) N M

,.....,

CO

r--"'T "'T

r--N 0\

0\ 0\ If) 0 If)

r--\Ci CO M N M If)

"'T

M If) "'T If)
.........

0\ If) "'T \Ci

'"'d

U

.........

0\
CO
,.....,

If)
N N

N M \Ci 0\ If) "'T N

\Ci M CO

,....., CO If) N

0 "'T N
,.....,
,.....,

N 0\ \Ci
,.....,

N 0

\Ci

\Ci

r--0\
If)

,....., N CO

If) "'T CO
,.....,

"'T N 0
,....., "'T

M CO CO N M

~
u
C'j ...... I])

~

r--N

r--0
M

M
M

r--N
M

CO
M

r--"'T M
"'T

N

r--"'T

0
If)

M
If)

~

'"'d I])

v

......

...... .Çj r/J I])

,....., N 0 ......... ,....., 0\ "'T ,.....,

S
'C +->

0 \Ci 0\ ,....., N 0 N

,....., M

r--0 If) "'T N

"'T 0 CO 0\ M \Ci N

0 \Ci M \Ci 0\ "'T N

0\ If) CO N ,....., M M

\Ci If) ,....., 0\ \Ci N M

M ,....., "'T 0\ CO \Ci M

0 If) N

,....., N

r--0\ N
"'T

r--N
"'T \Ci "'T

If) M 0 0\ N 0 If)

M M 0 \Ci 0\ 0 If)

~ ......
C'j +-> 'I])

o

~

S

~
I])

I]) r/J r/J C'j

r/J I]) 'I])

~0\ ~0\
I-< +-> r/J I]) ...... I-<

M

If)

,.....,

~~,.....,
S

0\ 0\ "'T 0\ 0\ ,....., ,.....,

\Ci

0\ 0\

,.....,

r--0\ 0\

CO

,.....,

0\ 0\

0\

,.....,

0\ 0\

0

,.....,

,.....,

0 0
N

0 0
N

N 0 0
N

M 0 0
N

"'T 0
0 N

U

u < ~ ~

êJ

:g t-<

t-<

JI

La tendance générale du mouvement et les variations saisonnières sont les éléments que le statisticien veut saisir afin de pouvoir ultérieurement faire

des prévisions à partir des données lisséesl. Le modèle de Buys-Ballot qui se présente contrairement sous la forme d'un tableau de contingence aux méthodes classiques de traitement a l'avantage

des données, de

donner la fonction d'ajustement, les coefficients saisonniers, la fonction de lissage des données et la prévision. Le modèle présente aussi les caractéristiques de se prêter à tous les calculs possibles notamment méthode d'ajustement linéaire, exponentiel etc. Nous retiendrons particulièrement la distribution.
1.4.1.1. Présentation

ces deux types d'ajustement selon la forme de

Le modèle de Buys-Ballot se présente sous la forme d'un tableau à double entrée, c'est-à-dire qu'il comporte nécessairement deux caractères. Dans le cas de séries chronologiques, ces deux caractères seront identifiés par:

- la date d'observation de base qui sera présentée en lignes avec comme code i ; - l'unité de référence qui sera placée en colonnes avec le code j.

1

On appelle série lissée, une série corrigée des variations saisonnières. Il existe le lissage par

moyennes mobiles et le lissage exponentiel.

28

.'1:;:

::::

~V:J

"!::!

~~0-

~~0...

è:; Il '- -~8

~'~ ::: ::: C " h~~\I ,,;;-

()j ~-c.o " ~?-. -'" Il>., ~'"

'-4 .,:, C ~~&.;; :E: ~h' ~Eo-. :E:

S ~~~:

:E: '"

~'-'

:"" h

~'"

'" \I I~--'

G"

~ o -(1j ~ I r/J 5~ <l) '"d <l) ~ E-< 01 ê <l) ~ E-<

~IV)

~....,

...., <

....

:::

~." ~~~E--; ~~.s

::: :::

~'-' ~o ~~....~~~~::: ~,~ a

.... ::: ~::: .~ ~~~~G"

n

T.j= total de chaque colonne suivant les lignes soit

IYi;
[°1

Ii. = total de chaque ligne suivant les colonnes soit
m

l

m Yi]

FI

y;

= rI

I

Yij
-

m
n

moyenne de l'année i

Y=~

,

IYi;

n

= moyenne des mois n° j

iIi = produit du total de la ligne par le numéro de la ligne. Exemple: pour i = 2 on a iIi. = 2T2.
n m n

T = IT;.
[0

-

1

,~I

IT.,

et

S

I

iT;.

; 1

1.4.1.2. Les équations du modèle

Les différents paramètres sont obtenus à partir de la méthode des Moindres Carrés Ordinaires. Par ailleurs, quel que soit le type de modèle, additif ou

multiplicatif à trend exponentiel ou non, les paramètres sont les mêmes et les formules sont identiques. D'une manière générale, il y a 3 équations correspondant au calcul de 3 paramètres.

30

1- Le coefficient angulaire a: a = 12
nm(n2-1}
n


m

_

n+1. Tl 2m

(1)

avec: S

= I iT;
i~I

2- La constante b : b = I- _ a nm nm + 1 2

(2)

3- Les coefficients Cj:

CJ =

T.j

T

n

nm

aO--)

.

m+1

2

(3)

Les Cj sont les coefficients saisonniers du modèle. Ils sont supposés être stables durant toute la période. Cette hypothèse n'est pas toujours vérifiée dans la réalité.

Il ressort deux situations compte tenu de la nature de la distribution:
1- Modèle linéaire à trend additif 2- Modèle multiplicatif à trend exponentiel

31

A) Le modèle à trend additif
a) Définition

Dans l'hypothèse d'un modèle additif, la fonction d'ajustement se présente sous la forme suivante:

;;

= b + at

(t = temps)

(4) qui est la tendance, tandis que

la fonction de lissage sera:
1';

= al

+ a2t + Ci

(5)

Rappelons que la série brute est la somme de deux composantes
déterministes (la tendance

;; et

la saisonnalité s{) et d'une composante

aléatoire (la perturbation &t): Yt = ;; + St + Bt Sur (6)

la période

considérée,

la

croissance

de

long

terme

est

approximativement une forme linéaire;;

linéaire. Dans ce cas, la tendance sera approchée par = al +a2t. La composante St peut être sous la forme

d'une fonction périodique de période quatre. Soit quatre valeurs appelées coefficients saisonniers Cj (j = 1,...4). Finalement St = Cj si la date t

correspond au trimestre j. Dès lors,
* St = SI,tCI * * * + S2,tC2 + S3,tC3 + S4,tC4 où Sit fonction

indicatrice

du

trimestre j, prend la valeur 1 si la date t correspond à ce trimestre, la valeur o dans le cas contraire. En résumé, en première approximation, le modèle s'écrit dans le cas trimestriel: 32

y, = al

+ azt + SI"CI + SZ,tCz+ S3"C3 + S4,tC4 + &,

(7)

b} Le principe de conservation des aires

L'analyse de la saisonnalité vise une nouvelle répartition du profil « intra annuel» de l'historique (R. Bourbonnais-M. Terraza 2004) sans changer le seuil atteint en cumul annuel. En d'autres termes, les moyennes annuelles de la distribution brute et de la distribution corrigée
des variations cette contrainte saisonnières doivent être identiques. les coefficients C'est l'existence de

qui se fait sur

saisonniers que l'on.

appelle principe de la conservation des aires. Dans le cas d'un modèle multiplicatif, la moyenne des coefficients doit être égale à 1 tandis que
dans le cas d'un modèle additif, la somme des coefficients doit être nulle. Ainsi, dans le cas de l'exemple précédent on aura: 4
2:: c.=cl+c2+c,.,+c4=O } ~ . }= I

(8)

Le modèle composé des équations (7) et (8) est appelé modèle trimestriel de Buys-Ballot. Il peut se présenter sous une autre forme, notamment, la

forme mensuelle. A titre illustratif, si on se reporte aux données du Tableau 1 relatives à la masse monétaire de la CEMAC et en supposant que celles-ci suivent une évolution additive, il ressort les résultats ci-après:

33

~-

h.-

00 on 0 N '<T ~00 ..0'\ 00 '<T 00 ~..- 0 0'\ ..'<T t-

'<T ~0 00
..-

-

00 00 on '.0

0 r'>

'<T '.0

tr'>

0'\ '.0 ..-

t..-

..0'\ t-

'.0 ..0 on

..0'\ '<T N

0

0'\ N
0'\

00

0 on N 0'\

'.0 '<T ttt- 00 t'<T on N ..- ..-

0'\

0'\

on

0'\ r'> o ..r'> 0'\ ..-

'.0 00 '.0

on

..N N

00 N t-

on

00
0'\

tt-

'<T 00 on N N ..... \D -.:::t 01~ 00 -.:::t :;;: -.:::t
If) ~If)

\0

<l) <l)

0 ::8

» a:; ::s

c C

<l)

ê o;j

~on N 0 00 '<T 0

'.0 00

'.0 0 ....on
N N

on N

on
0'\ 0'\ 0 N
on

on N ..on on N
r'> t-

..-

on N 0'\" '<T 00 on 00 o r'>

on 0'\ N on r'> '<T 0 '.0 00 0'\ 0 N
r'> N r'>

0'\ 00

N '.0 on '.0 t0'\

on N on 00 '<T 0
..'<T

00 0'\ 0'\" on ttr'> 00

0'\ N r.. 00 r'> on
N 0

0'\ 0 on r'> N N
..r'> on

hl
Il

r'>

r'>

'<T '<T on

M

II~
'<TOO "on 0..'Tr'> 0'\00 00_ '<To Nt-

Il

~~f.;!.,

u
f.;!., C) ""0 [/J

,-.,

h"-" C;; +-' 0 f-<

0

'<T N 0'\ '<T '<T '<T 0 '<T 0 t0'\

..N

on 0 00 0'\ M 0 0

......-

~0

-

VI '<T 0 N '<T 0'\ 0

..- ..-

t0'\ r'> r'> '<T r'> N

'.0 r'> 00 on 00 ..M

..-

r'> ..N r'> 00 N r'> ..-

on N '.0 0 0'\ 0'\ on on ..-

..'<T 0'\ ..'<T '.0 t..-

0'\ 0'\" r'> 0 ..on r.. 0'\ ..-

N r'> r'> on ..0 ..0
N

Ni

f-< 0'\ '<T 0'\" on "0'\ ont'.0

s

~C)

u
'-'

> >-<

00 '<T - '.0 00 00 '<T'T '<T N N

..t-

0'\ '<T

'.0

N 0'\ 00

tM

tM t0 0'\

on on 00

tN

N on 0

'.0 N

t0

N
M

N r<) t-

N

ton N

r'> r'>

r<)

on '<T ..- on M
'<T

N on ..-

0 ..'<T 0'\ on N

0 M

0'\ M

'.0 on

0

'<T

on

on 00 0'\ 0'\
'<T

00 M t-" '.0 00

t-

on

'.0 0'\ '<T on

M r.. " ..0'\ ..'.0
'<T'.O r..

'.0 0'\ r<) r<)

..on

..'<T ..-

~~~U ro ..C) '.0 on M 0'\ t0 on 0 '.0

on

....C)
[/J C)

""0 C)

>-< >-< >-<

00 '.0 00 0'\ '<T

.H ......
S .H ......
C) H .ro ...... 'C)
>-<

ton 'T on 0'\ 00
r<)

N
N
0'\ on

'<T N

tN

0'\

0 r'> N

0 r'> on 00

M

00 N
r<)

-

N r'> '.0 '.0

00 00 '.0 00
r<)

r'> r<)

0'\ '<T 00 t'<T

0 '<T 00 N

N 0'\ on N r<)

tN
0'\

00 ..0'\ 0'\ on

0 on

'<T

r<) N r.. on

00 t'.0 on N on '<T r..

r'> 0'\ N "..'<T on" on 0'\ N t-

>-<

N 0

N 0

N M '<T '.0 '.0 0'\ on '<T on N

N

'.0 r'> 00 '.0 '.0 tN

00 on N to M

-

0 N '<T 0'\ N '.0

.....,

r<)

r<)

N

..t-

N 0 t0'\ on

'<T on N OO 00 t'<T M N t-

r'>

00 r<)

--- '.0 '<T N 0
r'> 00 00 N
r<)

N M N '<T

-

"ltt0
0

OO
'<T r<) M
r<)

'<T .....,

r<)

.... ~

= S;

'<T '<T 0 on

on

'T on N '<T r'>

0 'T N

, '<T

.... fi] '" '0 fi] .... ~ .... -=ï fi] ~'"

S

~0
'" :ë

S
~C) [/J [/J

.s
'" ~'0

Eo-<

ro
M ;:j ro C) ..E-<

- - - 0 0'\ '.0 0'\.
N 0
N

-

M t-

~on

'<T0 0 '.0 r<)
oo

00

0'\ on
N

'.0 on
'.0 N

r<)

.....,

'<T 0'\

'<T on

N

r<) '.0
N

'.0
N

'<T 0'\

....., r<)
r<)

0'\

0 on '<T N ..0'\ t00
'.0 r<) 0'\ N

N tN

-

r<)

'<T '<T on

'<T '.0

r'> o 0'\ N
0

on r<) r<)
0 '.0
0'\ 0

r'> tt0 N" '.0 tN
'<T N

on

..... <.,j

'T '<T r'>

= 0

- -, M '<T
'-.;)-

- on

'<T
JI

=:I .... "fi]

= 0 U
,-., <.,j

.g

,_ s

U1 <l) ..... U1 +-' <l)
U1

.;
<l)

== 0 fi] fi]

f-< c

..... '<l)

C



0\ 0\ .....

~.". 0\ 0\ .....

111 0\ 0\ .....

\0 0\ 0\ .....

t0\ 0\ .....

oo 0\ 0\ .....

0\ 0\ 0\ .....

0 0 0 N

..... 0 0 N

N 0 0 N

0 0 N

~.". 0 -., 0 N h'

»
0

....

~0 U

'"

Remarque: d'observation

Il est indispensable pour la commodité des calculs que la date de base soit entière. Dans le cas présent, nous avons 12

années entières avec comme unité de référence le trimestre.
d) Détermination des paramètres:

a=

12 48(144-1)

1286337 [
4

373

-~170 183158
8

]

=78 7355099 ' = 1 616 462,47

b = 3 545 482,46 -78 735,5099
CI

49 2

= 3452 172,75 - 3 545 482,46 -78 735,51 (1- 2,5) = -4532723,75
= 3533348,1= 3557295,19 3545482,46
-

C2 C3

78 735,51 (2 - 2,5) = -4433694,41

3545482,46 -78 735,51 (3 - 2,5) = -4348972,12 545 482,46-78 735,51(4-2,5)=-4 249781,96

C4

= 3 639113,79-3

En vertu du principe de la conservation des aires, c'est-à-dire du principe de compensation des mouvements en hausse et en baisse, la moyenne des coefficients saisonniers doit être nulle puisque le modèle est additif. Lorsque cette hypothèse n'est pas vérifiée, on procède à une correction.
~(-4532723,75-4433 4 694,41-4348972,12-4 249781,96) = -4391293,06

Dans le cas présent,

~l m

Cj

=F

O. La correction se fait en soustrayant la

moyenne des Cjde chaque coefficient Cj pour obtenir les C'j.

C;

= - 4 532 723,75 + 4 391293,06 = 141 430,692
= -4433694,41+4 391293,06==-42401,3451

c;

35

c~

= - 4 348 972,12 + 4 391293,06 = 42320,9385 249781,96+4 391293,06=141511,098

c~ = -4

Pour des raisons pratiques, il est bon d'arrondir les coefficients de façon à avoir une somme égale à O.
CI = -141431

c]= c:; =

-42401 141511 0

cj = 42 321 1 ~~c' J = -(-141431-42401+42321+141511)= m 4
e) Fonction de lissage

y; =

I 616 462,47+78735,5099t+<

avec <=1,2,3,4ett=1,2...,48

Il faut noter que cette fonction de lissage se distingue de la fonction d'ajustement linéaire

1î =

b + at qui, dans le cas de l'exemple de la masse monétaire de la

CEMAC est:

y; = 1 212 433t - 41 267 028 qui est le trend.
avec () a = 523 210,4

et (}b= 43 725 389

36

Tableau 4 : Données corrigées des variations saisonnières
Trimestre Années 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 I 1553766,97 1868709,01 2183651,05 2498593,09 2813535,13 3128477,17 3443419,21 3758361,25 4073303,29 4388245,33 4703187,37 5018129,41 II 1731532,48 2046474,52 2361416,56 2676358,6 2991300,64 3306242,68 3621184,72 3936126,76 4251068,8 4566010,84 4880952,88 5195894,92 III 1894989,99 2209932,03 2524874,07 2839816,11 3154758,15 3469700,19 3784642,23 4099584,27 4414526,31 4729468,35 5044410,39 5359352,43 IV 2072915,5 2387857,54 2702799,58 3017741,62 3332683,66 3647625,7 3962567,74 4277509,78 4592451,82 4907393,86 5222335,9 5537277,94

Source: Résultats d'estimation

FÏ!rure1 : Courbe des données brutes et lissées du modèle additif de la masse monétaire de la CEMAC

6000000

5000000

4000000

~ c
~

e

~ 3000000
2000000

~

1000000

o 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47

T"mo."os

37

La figure 1 montre que la série ajustée épouse parfaitement la série brute. La conclusion qui s'impose a priori est que l'évolution de la masse monétaire de la CEMAC suit un modèle additif. Cette concordance permet d'avoir la plus petite variance résiduelle entre les données brutes et les
données lissées.

Exemple 2 :

Considérons l'évolution

des prix agricoles mensuels de sorgho blanc de

2000 à 2005 au Burkina Faso.

38

.-

N

h-

',~ 0 0 ;::J "'d 0

.". N' M 00

0

.".

.". '0 N N 0 0'

.N' <.". .". N N .".' N

0

V)

N M 'n ..". M V) 'D' 00 .M 00 M 0 .00 .".
V)'
V)

N

.".

V) 0\

'0 0' V) V) .".

00' '0 .....M '0 'D' .". .-

'D' .00 <N

>.

0 N

~....(\) ~Ü ~;::J

<M 0\'

.". 00 V)

'0

~~.-...N 0 N M .-

V) V)

<-

.'0 ~M .'0 00 .M

.-

'+-< ....... .... .......

0

ri)

"'d 0 I-< ~A

«I ,-.. . ~h-

.... ----

..". N M 00

0 <0 0\ .". .V)

0' .0\
N

N .M' V) .". <N

"'d
(\)
.---< ,(\)

~g
~=
(/J

"'d 0 .". 0
0\

~N N 0\ 0\ ....
M V) 0'

:s
=

Q)
;::J (/J (\)

<~.<N' <-

0\ M .". M 0-,

v)' 0

<-

.-

00 M .."ç .0 0 ..0\
'0

N .".' M 'n '0 00 N V)
0-,'

S
;::J

<V) N' (\)~

00 .-

...

=

S
~(/J (\)

.... ....

0\ '0 N 0 ..". .". N' N .<N 0\' M .M

M
V)

N 00 0 .-

0' '0

00' 0\

.-

M

00' 00 '0 0 M 0 ...'D' ...".
.".

N 00 .-

ê
ro
.---<



,.Q
0 ,.Q el)

0 =

=

S
A
(/J
(\)

0

0 ....

0\ ~0 0 ~V) M <-' .<- .N 00 0 '0
M

'-0 00 '0 .". N
V)

.n

.M

M .-

.". 'D' "" 0\ .00 .". r-:00
0

M M 00' .'0 .". '0 0' 0\ '0 .".
'0

"'d ~~~(\) ....

<M N'

(\) "'d

...
ri)

:>< ....... I-< 0\

0 <-

N .0\ .M
M

0

M .M

<0

<<N'

00 00

"'d Of) (\) I-<

8

"'d
.......

~~~0 CO

~ri)

0

CO ~QO
.".'

= 6-

-S
"0 ;;..(\) .---<

.n M
.-

'-0

N' .". .N N M .". .<V)

0
<-'

00
v)'

g

<-

00 N

<-' .-

N' N

0' N

.".
.".

<CO ..".' M

.-

N'

< Z
rJJ ,-,

.(\)

-

~~ri)

8

,ro

<-

00 CO <V) 'D' ..". .-

<-

0\ 0 N 0 <-' CO <-'

0 M 00 0

0

;::J
....... 0"'

<V)

N

'0 M N' N

.0\

.---< A

<V) V)

.-

..V)
0'

..... 00
~'-' CI) Q)

.... (/J
(\)

=
ri)

....... '+-<

=

8
~i>< .... ... Q.
ri)

~Q) I-< .... 0 .---< c;j

'FJ

N 0\' ~'0 <-

.-

0 CO

M' ..<N CO' 0 .-

N' M .0 0\ 0\' N .0 '0 'D' N

.'-0

0

'-0 00

'0 <-

.0 .-

.".' '0 N N N' '0 <M N'

0' 0 N
V)

N' CO '0
V)

M ..<<v)' 0 .<.". .".' 0

-=
(':j "'"

.---< ~....... 1..0 (\) .---<

ç:q
~~(/J
I

<0\
lrJ

'0

M 0 M 0 .M <.".' 0

.". .'0 ..<N' V)

'0 .".' M '0 0 CO '-0' N

.". CO 0',

-:..

CI) Q)

g

CI)

:::

= 0 ....
0

ç:q
(\)

~5'
(\j
....... ..:.:::

.....

> ,~ ;;.. ,~
= 0 .... .....
.... Q. Q. <

-=

"'d

g (\)

"""

'0

00 N <'0 .-' CO' .-

.". '0

0 .... (':j

= .... g

-

.-

.0 V)

.M

'0
N N

.V)

'0

.-

~'7
<-

S

!;j ç:q

<0
!")

V) V)

M M' 0

.---<

~g
ü .---<

0 .."ç <-' .'0
V)

V) v)'

.N N' 0

N ""

.-

.-

CO' V)

<M 0
0

'-0

."""
M M <-' N .M .". 0' ..-

'0
0 CO, .V) V) .". N 0\' .V)

.<0\, .0\

N ,
V) 0 , .".'

f-<
\(")

ê

~g

..D

M

If)
0 0 N

(\) .---< f-<

~0 Of) ~I-< 0 (/J

'0 'D' '0 <<00 '0

""" <- 'D' ..".' .CO V) CO M <~M CO V)' 0 .-

V)

'0 M

"0 Q) S Q)
.... >. rJJ

= "'" oS

15 (\)

!;j

~tP
(\) bJ) (\j (/J (/J ....... .---< . .~

bJ)

0
0 .-

.N 'D' V)

..... 0\

+

'-.J

....

.". 00 M 0 .-

.V) 'D' V)

.g
0\ .V) ,

1..0
O~
+ '7 '7 00 t'-Il .* >--.

.". V) '-0' 00

JI

(/J 'FJ .... ;3 (/J .(\) I-< [JJ (\) ....:1

'" '0

.. '" ~.~ 0 0 = 0 N <

.0 0 N

N 0 0 N

M 0 0 N

.". 0 0 N

V) 0..... '@-:::: h' ~~'-'

~g g .;:2 6' ;:;2 u B1

.

G-

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.