Exercices de statistique et probabilités

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Cet ouvrage s'intègre à une nouvelle série EXPRESS EXOS. Complément indispensable aux deux ouvrages de cette collection du même auteur, l'étudiant y trouvera de brefs rappels de cours et de nombreux exercices originaux pour un entraînement efficace à ces disciplines : statistique et probabililités.

Publié le : mercredi 9 septembre 2009
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EAN13 : 9782100542123
Nombre de pages : 160
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Généralités et représentations graphiques des séries à un caractère
1 FICHE
I Rappels de cours Population: en statistique descriptive c’est un ensemble d’individus. Chaque individu est décrit selon une ou plusieurs caractéristiques désignées parvariable oucaractère. Unité statistique: c’est une autre façon de désigner un individu. Modalités: ce sont les différentes caractéristiques d’une variable. Chaque indivi-du présente une et une seule modalité à la fois (exhaustivité et disjonctivité). Variable quantitative: les modalités sont mesurables ou repérables. Lorsque ces modalités sont des nombres isolés, cette variable est quantitativediscrète, sinon cette variable est quantitativecontinue. Variable qualitative: les différentes modalités ne sont pas mesurables ou repé-rables. Variable qualitative ordinale: on peut établir une hiérarchie entre les modalités. Sondage: l’information est recueillie sur une partie de la population qui constitue unéchantillon. Série statistique: suite de données (ou variables) recueillies concernant des indi-vidus. Sur une population ou un échantillon denindividus, chaque individu présente l’une despmodalités de la variable. Ces modalités sont notéesM1,M2,...Mi,...,Mp. n1,n2,...,ni,...npsont les effectifs ou fréquences absolues des différentes modalités. n i fi=,f1,f2,...,fi,...fp, sont les fréquences relatives des diverses modalités. n Les fréquences peuvent être exprimées en pourcentage. unodLaLadpihstotroicbouptiieonnonsatuattoirsitsiéequeset udnduénlite.variable selon ses modalités est présentée dans un © Dtableau.
F I C H E 1r e p r é s e n t a t i o n s e t é n é r a l i t é s – G g r a p h i q u e s …
1
2
Modalités M1 M2
M1
Mp
Total
Effectifsni n1 n2
ni
np
n
Fréquencesfi f1 f2
fi
fp
1
Fréquences en % f1×100 f2×100
fi×100
fp×100
100
Pour une variable quantitative continue, les données sont regroupées en classes. L’amplitudeou longueur de la classe est la différence entre l’origine et l’extrémité de la classe. Fonction de répartition(variable quantitative). F(x)est la fréquence relative (ou les effectifs) des individus dont la valeur de la variable est inférieure ou égale àx. G(x)=1F(x)est la fréquence relative (ou les effectifs) des individus dont la valeur de la variable est supérieure àx. La courbe des fréquences cumulées croissantesest le graphe de la fonctionF. La courbe des fréquences cumulées décroissantesest le graphe de la fonctionG. Diagramme en bâtons: c’est la représentation graphique de la distribution d’une variable quantitative discrète. Histogramme: c’est la représentation graphique sous forme de rectangles de la distribution d’une variable quantitative continue après regroupement des données en classes.
II Exercices 1. Représentations graphiques d’une variable qualitative
Le tableau suivant donne la répartition des 500 salariés d’une entreprise selon le mode de transport utilisé pour se rendre du domicile au lieu de travail. Si un salarié utilise plusieurs modes de transport, celui retenu dans la classification est celui de la distance parcourue la plus longue. 1. Les modalités d’une variable sont disjonctives et exhaustives, expliquez ce que cela signifie.
E x e r c i c e s d e s t a t i s t i q u e e t p r o b a b i l i t é s
Mode de transport Voiture RER Métro Autobus Bicyclette Total
Symbole V R M A B
Effectifs 60 120 160 80 80 500
Fréquences 0,12 0,24 0,32 0,16 0,16 1
Fréquences en % 12 24 32 16 16 100
2. Indiquer les difficultés à réaliser une classification pertinente pour les moda-lités de la variable utilisée dans cet exercice. e e e 3. Indiquer comment on obtient les 4 et 5 colonnes à partir de la 3 colonne. 4. Indiquer le principe essentiel pour faire un diagramme ou une représentation graphique d’une distribution statistique d’une variable qualitative. Représenter les données du tableau à l’aide d’un diagramme circulaire. 5. Indiquer d’autres modes de représentations graphiques pour des variables qualitatives.
2. Représentation graphique d’une variable quantitative discrète
Le tableau suivant donne la distribution de 200 familles selon le nombre d’enfants.
Nombre d’enfants
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
Effectifs
30 40 60 30 16 10 6 4 4 200
Fréquences relatives 0,15 0,20 0,30 0,15 0,08 0,05 0,03 0,02 0,02
Fréquences relatives en% 15 20 30 15 8 5 3 2 2
Fréquences cumulées croissantes en % 15 35 65 80 88 93 96 98 100
1. Faire le diagramme en bâtons de cette distribution. 2. Comment obtenir la dernière colonne du tableau à partir de la précédente ? 3. Indiquer les propriétés de la fonction de répartitionF. 4. Déterminer la fonction de répartition de cette distribution. 5. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes, c’est-à-dire le graphe unod – La photocopie non autorisée est un délit. deF. © D
F I C H E 1e t é n é r a l i t é s – G g r a p h i q u e s …r e p r é s e n t a t i o n s
1
3
4
3. Variable continue : graphiques
Une enquête a été réalisée auprès de 500 salariés d’une entreprise pour étudier la dis-tribution des salaires nets mensuels en euros. fectifsnices Effectifs cumulés Fréquences Fré Salaire mensuel Ef Fréquen quences Fréquences (milliers d’euros) relativesfdé-cumulées cumulées croissants cumulées i croissantes croissantes en % croissantes en % [1,2 à 1,6[ 100 0,20 [1,6 à 2,0[ 150 0,30 [2,0 à 2,8[ 100 0,20 [2,8 à 3,6[ 80 0,16 [3,6 à 4,4[ 50 0,10 [4,4 à 6,0[ 20 0,04 Total 500
1. Compléter le tableau précédent. 2. Indiquer comment on construit un histogramme et tracer l’histogramme de cette distribution. 3. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes (en %) et la courbe des fréquences cumulées décroissantes (en %).
III Solutions S o l u t i o n 1 1.Disjonctives signifie que les modalités ne se recouvrent pas afin qu’un même indi-vidu ne puisse pas être classé dans plusieurs modalités. Exhaustives signifie que chaque individu peut être classé selon les modalités exis-tantes. En résumé chaque individu est classé selon une et une seule modalité de la variable, ce qui explique que le total des individus répertoriés dans les diverses modalités fasse 500. 2.Cet exercice montre qu’il est difficile avec les données précédentes de trouver une classification pertinente. En effet, les individus qui vont à pied à leur travail ou en deux roues motorisées ne sont pas pris en compte dans cette classification. Des salariés uti-lisent plusieurs modes de transport et la classification qui s’appuie sur la distance par-courue la plus longue n’est pas forcement la plus pertinente. Ceci n’est qu’un exerci-ce, avant de recueillir des données, il faut penser à la façon de les traiter. n160 120 3.f1== = 0,12f2= =0,24…… n500 500 4.Le principe de base d’un diagramme représentant des données qualitatives est que les différentes aires du diagramme sont proportionnelles aux effectifs ou fréquences.
E x e r c i c e s d e s t a t i s t i q u e e t p r o b a b i l i t é s
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