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A la découverte de l'émergence

De
198 pages

L'émergence garde encore un caractère un peu mystérieux. On la rencontre pourtant dans la plupart des sciences. Ce livre propose de l'explorer en partant de la logique mathématique. La première partie est une introduction à la logique mathématique. Elle présente la logique binaire, le calcul des prédicats, les démonstrations et la théorie des modèles. La seconde partie fait découvrir les structures filles et montre comment des lois émergentes peuvent être satisfaites sans être des conséquences logiques de lois fondamentales. Plusieurs exemples simples et concrets sont présentés. La troisième partie explore les modèles de la physique classique et de la mécanique quantique. On y découvre en particulier que la physique classique est une structure fille de la mécanique quantique.


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Cet ouvrage a été composé par Edilivre

175, boulevard Anatole France – 93200 Saint-Denis

Tél. : 01 41 62 14 40 – Fax : 01 41 62 14 50

Mail : client@edilivre.com

www.edilivre.com

 

Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction,

intégrale ou partielle réservés pour tous pays.

 

ISBN numérique : 978-2-332-71903-4

 

© Edilivre, 2014

Dédicaces

 

 

A la mémoire de mon père, qui n’a pas vu ce livre achevé,

A ma mère qui en sera sûrement très fière,

A ma femme qui m’a soutenu durant son écriture,

A ma fille qui le lira peut être un jour…

Avant-propos

L’histoire de ce livre a débuté lorsque j’ai commencé à m’intéresser aux liens entre la logique et la physique voilà bien une quinzaine d’année. Je n’avais pas alors pour objectif d’en faire un livre. Ce n’est qu’assez récemment que j’ai pris cette décision. J’ai estimé que j’avais suffisamment de choses à écrire, et qu’un livre serait le format idéal.

Le sujet est parfois difficile, mais ô combien je l’ai trouvé riche et passionnant ! J’espère être parvenu à exposer mes idées avec suffisamment de clarté et à transmettre un peu de ma passion à mes lecteurs.

Ce livre possède plusieurs niveaux de lecture. J’ai un instant pensé identifier le niveau de difficulté des paragraphes. J’y ai renoncé car la difficulté de tel ou tel paragraphe dépend des connaissances des lecteurs dans chaque domaine.

J’ai essayé d’écrire un livre que l’on peut lire à un premier niveau en le parcourant de façon superficielle, puis que l’on peut approfondir en revenant sur tel ou tel chapitre. Au lecteur qui pourrait être arrêté par la difficulté d’un paragraphe je donnerais le conseil de ne pas insister et de passer au chapitre suivant. Il pourra toujours revenir s’il le souhaite au chapitre qu’il a interrompu, éventuellement avec un nouvel éclairage donné par les chapitres suivants. A l’inverse, si pour certains j’énonce des évidences, je leur conseillerais de passer directement au chapitre suivant. Des références sont proposées pour ceux qui souhaitent aller plus loin que ce que j’ai pu aborder dans ces pages.

Vous pouvez rejoindre la page Facebook « A la découverte de l’émergence ». Vous pourrez ainsi faire part de vos commentaires sur le livre, ou signaler d’autres livres ou des publications dans lesquels des formules préservées dans les structures filles sont mises en évidence.

Introduction

On peut qu’être admiratif devant les philosophes de l’antiquité lorsque l’on considère leurs œuvres et que l’on constate qu’encore aujourd’hui on se base sur des approches qu’ils ont initiées. Le théorème de Thalès (625-547 avant JC) et le théorème de Pythagore (580 – 495 avant JC) ont créé des liens étroits entre la géométrie et le calcul mathématique. Loin d’être une discipline purement abstraite, la géométrie constituait une description de la nature. Elle permettait par exemple de tracer des cartes, de dessiner des plans pour des constructions ou des machines, de calculer l’aire de surfaces cultivées afin d’assurer une répartition équitable des surfaces agricoles et des taxes… Ainsi l’approche scientifique dans l’observation de la nature a commencé à se développer dès l’antiquité. Dès cette époque les hommes se sont aperçus que les mathématiques constituent un langage particulièrement efficace pour décrire la nature. Ce constat ne s’est jamais démenti, et a continué à se renforcer avec les progrès technologiques et théoriques. Les hommes ont continué à observer la nature avec des centres d’intérêt qui ont évolué et se sont diversifiés en suivant les priorités de l’époque. Les observations, les raisonnements, les réalisations se sont naturellement regroupées autour de ces centres d’intérêt. De nouveaux domaines scientifiques comme la physique, la chimie, la biologie, la médecine, l’ingénierie, les sciences du comportement ont émergé et se sont différenciés. Dans chacune de ces sciences, des phénomènes sont décrits par des équations mathématiques. Le traité mathématique et géométrique d’Euclide (325-265 avant JC) intitulé « Les Eléments » constitue le premier ouvrage connu dans lequel une théorie mathématique (en l’occurrence la géométrie euclidienne) est basée sur un nombre restreint d’axiomes, à partir desquels des théorèmes peuvent être démontrés. La formulation d’un domaine scientifique par des axiomes a surtout connu un grand succès en mathématiques. Elle est également présente de façon moins formelle dans des domaines comme la physique ou la biologie où l’on parle plutôt de « principes ». Dans la célèbre liste de problèmes que le mathématicien David Hilbert (1862-1943) a établie au début du vingtième siècle, figure en sixième position le problème suivant [Hil00] :

« Traiter de la même façon que la géométrie, par des axiomes, les sciences dans lesquelles les mathématiques jouent un rôle important » (voir l’énoncé complet en annexe).

Hilbert ciblait de façon plus précise la mécanique et le calcul des probabilités. La question sur la mécanique portait sur la façon d’englober dans la même théorie la mécanique classique des milieux continus et une description microscopique discontinue de la matière. La découverte de la mécanique quantique, qui constitue une description des milieux microscopiques bien plus adéquate que la mécanique classique, a rendu caduque cette partie de la question. Quant au point qui concerne de la théorie des probabilités, il a été résolu par l’axiomatisation de Kolmogorov [Kol33]. Cet aspect du sixième problème est donc clos.

Il n’en reste pas moins que le sixième problème de Hilbert possède un aspect plus général, qui est de traiter les descriptions de la nature avec les outils de la logique mathématique [Cor06]. Il s’agira d’une question ouverte à chaque fois que l’on envisagera une nouvelle théorie ou une nouvelle branche de la science. Ce sera le cas pour la physique, mais aussi la chimie, la biologie, la médecine, l’ingénierie, les sciences du comportement ou n’importe quelle autre science.

Emergence

La découverte de la relativité puis celle de la mécanique quantique ont montré que la mécanique classique n’est pas la théorie unique de description de la nature. Il existe d’autres théories qui sont pertinentes dans des domaines où la mécanique classique ne l’est pas. Par exemple la relativité est plus pertinente que la mécanique classique lorsque l’on a affaire à des objets dont la vitesse se rapproche de celle de la lumière. La mécanique quantique est plus pertinente que la mécanique classique lorsque l’on considère des phénomènes à l’échelle des atomes. On peut ainsi classer les lois et les théories physiques en fonction de leur domaine d’application : une théorie qui décrit de façon adéquate un plus grand nombre de systèmes physiques peut être qualifiée de « plus complète » [Fey65].

Les représentations de la nature sont classées suivant la précision avec laquelle elles correspondent aux expériences. Avec les progrès de la science, les descriptions de la nature sont de plus en plus précises et le nombre de phénomènes décrits de façon adéquate augmente. Les anciennes descriptions, moins précises, apparaissent comme des approximations des descriptions plus récentes.

Selon notre compréhension actuelle, tout système physique est constitué de particules élémentaires dont on peut, en principe, calculer le comportement. Si le comportement d’un système naturel peut être totalement décrit par les particules élémentaires qui le composent, alors il suffit de connaitre ces lois pour être – en principe – à même de calculer les lois qui gouvernent le système global. C’est pourquoi une théorie des particules élémentaires qui inclurait tous les types d’interactions est parfois appelée « théorie du tout ».

Cependant la cartographie des sciences qui résulte de ce tableau ne traduit pas toute la réalité. En effet nous ne décrivons pas notre environnement quotidien à l’aide des équations de la physique des particules. La science ne se réduit pas à un domaine unique. Bien au contraire, les sciences se ramifient avec des branches qui se spécialisent. Des méthodes et des techniques souvent propres à chaque branche se développent. De nouveaux domaines scientifiques naissent. Le bourgeonnement est intense et permanent. Pourtant toute cette activité n’a pas vraiment de lien avec les progrès de la physique des particules. Par exemple, Stephen Wolfram, créateur du logiciel Mathematica, accorde une grande importance au fait que des automates cellulaires permettent de faire émerger des comportements complexes [Wol02]. Leur étude est devenue un champ d’investigations à part entière. On est obligé de faire le constat que la créativité des nouvelles sciences leur est propre et n’est pas subordonnée à la physique des particules.

La notion d’émergence s’est déployée dans divers domaines scientifiques au cours du vingtième siècle. Cette notion traduit le fait que les propriétés d’un système ne peuvent pas être réduites aux propriétés de l’ensemble de ses constituants. On peut le résumer par la phrase « le tout est plus que la somme de ses parties ». Remy Lestienne présente dans son livre [Les12] les caractéristiques de l’émergence ainsi que les débats qu’elle suscite dans la communauté scientifique. R.B. Laughlin, prix Nobel de Physique en 1998, fait le constat que certaines lois de la nature ne sont pas des conséquences des lois qui gouvernent le comportement des constituants microscopiques. Dans son livre « Un univers différent », il appelle au développement d’une théorie de l’émergence [Lau05].

Dans ce livre nous allons aborder la notion d’émergence à partir de la logique mathématique et montrer qu’une classification des descriptions de la nature est compatible avec la nouveauté et la créativité de chaque domaine scientifique. Chaque description de la nature peut donner naissance à des sciences qui possèdent leurs méthodes, leurs lois et leur domaine de pertinence propres.

Structure du livre

Ce livre est constitué de trois parties. La première partie est un exposé introductif à la logique mathématique et à la théorie des modèles. Une attention particulière a été portée à la rendre accessible aux lecteurs qui ne sont pas spécialistes de la logique mathématique, tout en restant le plus rigoureux possible. Les lecteurs qui souhaitent un exposé plus complet pourront se référer à un ouvrage spécialisé [RC03, Kle52, Kle71, Fra67, DNR01].

La deuxième partie explore les liens entre la logique mathématique et les descriptions de la nature dans les sciences. On y voit comment des lois nouvelles émergent dans des structures qui satisfont des lois préexistantes. On montre que l’on peut classer les descriptions de la nature : certaines descriptions sont « filles » de certaines autres. Enfin on étudie quelques propriétés de ce classement à partir de la logique mathématique. En particulier la forme de certaines formules leur permet, si elles sont satisfaites dans une description, d’être également satisfaites dans toute description fille. On dit de ces formules qu’elles sont préservées dans les structures filles.

La troisième partie est une mise en pratique de la seconde partie. Elle traite dans un premier temps de la physique classique. La mécanique classique est basée sur la loi de minimisation de l’action. Cette loi est satisfaite dans toute description fille de la mécanique classique. La description thermodynamique de la nature est obtenue comme une description fille de la mécanique classique. La description relativiste de la nature est également basée sur une loi de minimisation de l’action et la mécanique classique en est une structure fille. Les formules préservées dans les structures filles sont ainsi omniprésentes en physique classique. La mécanique quantique est abordée dans un second temps. La description des phénomènes quantiques est basée sur les observations issues des expériences. Elle permet de construire une structure de la logique qui satisfait les lois de la mécanique quantique. Le mécanisme de décohérence, mis en évidence à la fin du vingtième siècle, permet d’expliquer la transition de la mécanique quantique à la mécanique classique. L’utilisation de formules préservées dans les structures filles permet de déduire naturellement la loi classique de minimisation de l’action. La physique classique apparait alors comme une description fille de la mécanique quantique.

Première partie

Préparation

Les expéditions en terre inconnue nécessitent toujours une préparation qui s’étale sur une période plus ou moins longue qui précède le départ. L’attention que l’on porte à la préparation est déterminante pour le succès ou l’échec de l’expédition à venir.

Chapitre 1
Le langage des sciences

Une approche scientifique, que ce soit en mathématiques, en physique, en chimie, en biologie, en médecine, en ingénierie ou dans les sciences du comportement, repose nécessairement sur la logique. Les bases de la logique classique sont connues depuis l’antiquité et nous en avons tous une certaine connaissance : nous savons tenir des raisonnements logiques. Au 19e siècle, Georges Boole (1815-1864) développa une approche mathématique de la logique. Au début du 20e siècle, le programme de Hilbert, qui avait pour objectif de fonder les mathématiques sur une base axiomatique, a ouvert des questions nouvelles. Elles ont abouti au cours du 20e siècle au théorème de Gödel [Goe31], au modèle de calcul basé sur les machines de Turing, et finalement à l’informatique. L’informatique, à son tour, a ouvert de nouvelles questions et la logique a continué à s’enrichir. La logique est aujourd’hui une branche des mathématiques, avec son langage, ses méthodes, ses questions ouvertes…

L’objectif de cette partie est de présenter les éléments de la logique qui sont utilisées dans les parties suivantes. Elle n’a donc pas vocation à présenter un panorama complet de la logique. J’ai tenté de rendre cette partie accessible à des lecteurs qui ne sont pas des spécialistes de la logique mathématique. Il s’agit donc d’un voyage de découverte, qui part des bases fondamentales pour explorer plus avant le pays de la logique. J’espère être parvenu à rendre le voyage agréable tout en le gardant assez riche. L’objectif est notamment d’emmener le lecteur jusqu’aux portes de la théorie des modèles, qui est essentielle pour la seconde partie du livre. Ceux qui souhaitent aller plus loin se reporteront avantageusement à un ouvrage de référence, par exemple [RC03].

Le premier chapitre constitue cette introduction.

Le second chapitre présente la logique binaire. On y aborde les notions de propositions et de connecteurs logiques. On démontre que toutes les propositions peuvent être écrites sous une forme standard assez simple.

Le troisième chapitre présente les formules. On y découvre les fonctions, les relations, les variables et les quantificateurs. On démontre que toutes les formules peuvent à leur tour être écrites sous une forme standard.

Le quatrième chapitre introduit la théorie des modèles. On y découvre les structures mathématiques et pourquoi il est important de distinguer une structure et les formules qui la décrivent. On y découvre également un théorème qui sera utile dans la seconde partie du livre.

Le cinquième chapitre explore les démonstrations mathématiques à partir d’axiomes et de règles de déduction. Il fait découvrir les théorèmes de complétude et d’incomplétude.

Chapitre 2
Le calcul propositionnel

1. Propositions et connecteurs

Image 5 Georges Boole publia en 1847 un livre intitulé “Mathematical Analysis of Logic”. Dans ce livre, Boole associe des valeurs, zéro ou un, à des propositions logiques et il montre que l’on peut effectuer des calculsmathématiques à partir de ces propositions. Les travaux de Boole sont aujourd’hui universellement reconnus. La logique binaire sur laquelle s’appuie l’informatique, appelée « logique de Boole », lui doit son nom.

Dans tout domaine scientifique, il est possible d’exprimer des affirmations que l’on appelle « propositions ». Ces propositions peuvent être textuelles, elles peuvent prendre la forme d’une équation mathématique ou relever d’un formalisme spécifique. Le tableau 1 donne quelques exemples de propositions. Elles ont toutes en commun d’être des propositions écrites (dans un certain langage, avec des caractères d’un certain alphabet), d’être de longueur finie et de pouvoir être qualifiées de « correcte » ou « erronée ».

domaine scientifique

exemple

Mathématiques

(a + b)2= a2+ 2.a.b + b2

Physique

E = m.c2

Chimie

2H2+ O2→ 2H2O

Biologie

L’organisme a été en contact avec le virus H1N1

Médecine

Le patient a la grippe

Ingénierie

Image 30

Sciences du
comportement

La peur prédispose aux comportements d’attaque et de fuite

 

Tableau 1 :exemples de propositions dans différents langages.

On associe la valeur « 1 » à toute proposition correcte et la valeur « 0 « à toute proposition erronée. Si on dispose de deux propositions, « P1 » et « P2 », alors on peut construire la suite de symboles « P1 ou P2 ». Il s’agit d’une nouvelle proposition. On peut lui associer une valeur « 0 » ou « 1 ». Il est ainsi possible d’associer deux propositions entre elles pour en construire de nouvelles. On dit que « ou » est un connecteur propositionnel. « et » est également un connecteur propositionnel. Si « P1 » est une proposition alors « non (P1) » est également une proposition. On peut donc dire que la négation « non » est un connecteur agissant sur une seule proposition.

La valeur associée à une proposition comportant un connecteur peut être représentée dans un tableau appelé table de vérité. Elle dépend uniquement du connecteur et des valeurs associées aux propositions assemblées par le connecteur. Ainsi un connecteur propositionnel est entièrement défini par sa table de vérité. Les tableaux 2, 3 et 4 présentent la table de vérité des connecteurs « et », « ou », et « non ». Ces tables constituent un outil simple qui permet de déterminer la valeur associée à des propositions composées.

Considérons la proposition « P ou (non P) ». On lui associe toujours la valeur « 1 » quelle que soit la valeur associée à la proposition P. Une proposition dont la valeur associée dans...