Programação Linear

De

A Programação Linear numa abordagem pedagógica mais próxima das necessidades dos alunos.


O uso de programas informáticos, para a resolução de problemas com muitas variáveis, é imprescindível. Contudo, os utilizadores têm de compreender o que está em causa, como modelizar os problemas, como interpretar os resultados, que análises se podem fazer depois de atingirmos uma otimização.


A Programação Linear permite resolver problemas nas áreas da Gestão de Produção, da Logística, das Finanças, do Marketing, etc.

Este livro, com muitos exemplos e exercícios, ajuda a formatar os raciocínios que estão na base do equacionamento matemático de problemas dos mais variados tipos, facilitando e conferindo uma base científica à tomada de decisões.


Público Alvo:
Para alunos e professores de Investigação Operacional, e para gestores e empresários com necessidade de resolver problemas em que a Programação Linear seja aplicável.

Estrutura da obra:

- Introdução

- Programação Linear

- Modelo de Transporte

- Modelo de Afetação

- Exercícios

- Soluções

- Apêndice 1 – Álgebra Matricial

- Apêndice 2 – Formulário


Publié le : mardi 30 septembre 2014
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EAN13 : 9789897680328
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João M. S. Carvalho
PROGRAMAÇÃO LINEAR
João M. S. Carvalho
Professor e Investigador do Instituto Universitário da Maia
PROGRAMAÇÃO
LINEAR
PROGRAMAÇÃO
Outras obras do Autor: A Programação Linear numa abordagem pedagógica mais próxima das
necessidades dos alunos.
CARVALHO, João M. S. (2013) Planeamento
Estratégico – O seu guia para o sucesso. 2ª O uso de programas informáticos, para a resolução de problemas com JOÃO M. S. CARVALHO é professor e
ined. revista e atualizada. Porto: Grupo Editorial LINEARmuitas variáveis, é imprescindível. Contudo, os utilizadores têm de com- vestigador do Instituto Universitário da Maia
Vida Económica. ISBN: 978-972-788-724-8. preender o que está em causa, como modelizar os problemas, como inter- (ISMAI). Doutorado em Ciências Empresariais
pretar os resultados, que análises se podem fazer depois de atingirmos e Mestre em Economia Industrial e da Em-CARVALHO, João M. S. (2012) Planeamen- Algoritmos simplex primal, dual,
presa pela Faculdade de Economia do Porto, uma otimização.to Estratégico – O seu guia para o sucesso.
tem larga experiência de gestão em diferen-Porto: Grupo Editorial Vida Económica. ISBN: transporte e afetação
A Programação Linear permite resolver problemas nas áreas da Gestão de tes contextos, tanto no setor lucrativo como 978-972-788-451-3.
Produção, da Logística, das Finanças, do Marketing, etc. no setor social, tendo procurado estudar e
CARVALHO, João M. S. (2010) Estatísti- aperfeiçoar ao longo dos anos as técnicas
peEste livro, com muitos exemplos e exercícios, ajuda a formatar os raciocí-ca. Série manuais escolares. Edições ISMAI. dagógicas mais adequadas à lecionação das
nios que estão na base do equacionamento matemático de problemas dos ISBN: 978-972-788-9048-52-4. temáticas da Investigação Operacional, como
mais variados tipos, facilitando e conferindo uma base científca à tomada é o caso da Programação Linear.CARVALHO, João M. S. (2009) Gestão e de decisões.
Marketing. Lisboa: Edições Sílabo. ISBN:
978-972-618-524-6. Para alunos e professores de Investigação Operacional, e para gestores e
empresários com necessidade de resolver problemas em que a
ProgramaCARVALHO, João M. S. (2005) Organizações
ção Linear seja aplicável.
Não Lucrativas - Aprendizagem
Organizacional, Orientação de Mercado, Planeamento
Estratégico e Desempenho. Lisboa: Edições
Sílabo. ISBN: 972-618-366-9. ISBN 978-989-768-030-4
www.vidaeconomica.pt
ISBN: 978-989-768-030-4
Para contactar o autor, colocando novas ideias, dúvidas
Visite-nos em ou pedidos de esclarecimento, utilize por favor o seu
9 789897 680304livraria.vidaeconomica.pt e-mail: jcarvalho@ismai.ptÍNDICE
1. Introdução ..........................................................................9
Definição ..................................................................................9
Metodologia da investigação operacional ...............................12
Exemplo ...... ............... .............................................................14
Exercício .................................................................................17
2. Programação Linear ......................................................... 19
O Modelo PL ..........................................................................19
Hipóteses e Propriedades Fundamentais ................................21
Noções sobre Conjuntos Convexos .......................................22
O Método Simplex .................................................................23
Fundamentos Teóricos do Método Simplex ...........................24
Representação Matricial ..................... .....................................27
Algoritmo Simplex Primal ......................................28
Solução Degenerada ................................................................34
Z Ilimitado ..............................................................................35
Conversão de Problemas e Otimização ..................................35
Obtenção de uma Base Inicial .................................................35
Inconsistência e Redundância .....37
Solução pelo Método do Grande M ........................................38
5programação linear
Solução pelo Método das Duas Fases ......................................42
Exercício .................................................................................44
Algoritmo Simplex para Variáveis Limitadas .........................49
Violação das Regras Canónicas ...............................................56
Dualidade ................................................................................57
Algoritmo Simplex Dual ........................................................65
Cálculo Matricial das Soluções Primal e Dual ........................68
Análise de Pós-Otimização .....................................................73
Novas variáveis ou restrições ..................................73
Análise de Sensibilidade ..........................................................74
Análise de Variação ................................................................76
Exemplo Global ..................... .................................................76
Programação Inteira ...............................................................98
Exemplo ...... ............... .............................................................99
3. Modelo de Transporte .................................................... 101
Conceitos gerais .................................................................... 101
Exemplo ...... ............... ........................................................... 102
Algoritmo Simplex de Transporte ........................................ 103
4. Modelo de Afetação ........................................................ 109
Conceitos gerais .................................................................... 109
Exemplo ...... ............... ........................................................... 111
Outros Casos ........................................................................ 116
Exercício ............................................................................... 116
5. Exercícios ....................................................................... 125
6índice geral
6. Soluções .......................................................................... 135
7. Apêndice 1 – Álgebra Matricial ...................................... 143
Representação matricial de equações .................................... 143
Operações com matrizes ....................................................... 145
Matriz transposta e matriz inversa ....................................... 146
Resolução de equações com matrizes ..................... 149
8. Apêndice 2 – Formulário ................................................ 151
Bibliografia ......................................................................... 153
71. INTRODUÇÃO
DEFINIÇÃO
A Investigação Operacional (IO) tem como objeto o estudo e
a investigação de operações e sistemas mais ou menos complexos,
que combinam simultaneamente elementos humanos e materiais,
procurando através de técnicas quantitativas apoiar a tomada de
decisões aos níveis macro e microeconómico. O analista ou
técnico de IO trabalha os dados, obtendo elementos quantitativos que
fundamentam a tomada de decisões. No entanto, são os gestores (ou
outros agentes de decisão) que definem os objetivos e que tomam
as decisões.
Os problemas, que a IO procura ajudar a resolver, podem ser
estruturados e não estruturados, e de nível estratégico, tático ou
operacional. Os problemas estruturados resolvem-se de forma
conhecida, estando tipificados e tendo mais a ver com elementos materiais.
Ao nível estratégico, temos as grandes decisões tomadas, por
exemplo, pelo Conselho de Administração, envolvendo a estrutura
como um todo, e todos os elementos materiais e humanos.
Ao nível tático, por exemplo nos departamentos de uma empresa,
colocam-se as questões que envolvem mais o elemento humano do
que o elemento material, existindo mais problemas não estruturados
do que a nível operacional.
9programação linear
Ao nível operacional, por exemplo, dos funcionários, existe
mais o controlo de tarefas e procedimentos, tendo mais a ver com
elementos materiais do que humanos, predominando os problemas
estruturados.
A gestão da produção é talvez o domínio em que as aplicações
de programação linear (PL) são mais numerosas. Contudo, tanto
em marketing (determinação de políticas de preços, de afetação da
força de vendas e de distribuição) como nas finanças (escolha de
programas de investimento), na logística (gestão dos transportes),
ou nos recursos humanos (afetação de pessoal), a IO é um auxiliar
precioso para a determinação eficaz de soluções que melhor
satisfaçam os objetivos definidos inicialmente.
Leonid Kantorovitch, em 1939, foi um dos pioneiros da
programação linear, tendo sido agraciado com o prémio Nobel da
Economia em 1975. Com a 2ª Guerra Mundial, e nos anos subsequentes,
deu-se um grande desenvolvimento da IO e da PL, devido ao facto
de ser necessário investigar a melhor forma de tomar decisões no
que diz respeito à gestão dos recursos logísticos e às operações das
forças armadas. Assim, entre 1939 e 1951 são conseguidos
desenvolvimentos teóricos no âmbito da Programação Linear (PL) por Von
Neumann, Harold Kuhn e A. W. Tucker, é formulado o algoritmo
Simplex por George B. Dantzig e aparecem formulações aplicadas
da PL por T. C. Koopmans, A. Charnes e W. W. Cooper.
A partir de 1951, data do primeiro simpósio sobre PL, surgiram
inúmeros trabalhos procurando completar as suas bases teóricas,
melhorar a eficiência computacional dos seus algoritmos e
aperfeiçoar o grau de realismo das suas formulações.
A programação linear faz parte de uma área da IO, denominada
programação matemática, que também inclui a programação não
linear.
10Modelo de Transporte
3. Modelo de Transporte 
  3. MODELO DE TRANSPORTE
Conceitos gerais 
CONCEITOS GERAIS 
Estrutura geral dum problema de transportes com m origens e
Estrutura geral dum problema de transportes com m origens e n destinos: n destinos:
 ? ? ? ?
? @5
? T L=  ? ?
? T L> F L s?t? ? ? J  ? ?
? = L ? >  
? @5
 
Total das ofertas nas origens = total das procuras nos destinos
Total das ofertas nas origens = total das procuras nos destinos 
C – custo unitário
ij
C  – custo unitário ij
Pretende-se minimizar o custo total.
Pretende‐se minimizar o custo total. 
 
101
É um caso particular de PL, porque todas as restrições são equações, os coeficientes de 
todas as variáveis são = 1 e as restrições são constituídas pelas somas das quantidades 
????LTI???s??t?????E
que saem de cada origem para todos os destinos, e que afluem a cada destino de 
todas as origens. 
 
100
@5 ?
@5 ?
@5 ?
@5 ?
? ? ? L < /EJprogramação linear
É um caso particular de PL, porque todas as restrições são
equações, os coeficientes de todas as variáveis são = 1 e as restrições
são constituídas pelas somas das quantidades que saem de cada
origem para todos os destinos, e que afluem a cada destino de todas
as origens.
EXEMPLO
i = fábrica ; j = armazém
Necessidades diárias do armazém 1 = x + x = 1000
11 21
Necessidades diárias do armazém 2 = x + x = 1500
12 22
Necessidades diárias do armazém 3 = x + x = 2500
13 23
Produção da fábrica A = x + x + x = 2000
11 12 13B = x + x + x = 3000
21 22 23
Custos unitários de transporte:
Armazéns
Fábricas
1 2 3
A 2 1 0,5
B 1 0,5 2
Função objetivo:
Mín Z = 2x + x + 0,5x + x + 0,5x + 2x
11 12 13 21 22 23
Estabelece-se o maior valor possível para uma variável com custos
mínimos:
x = 2000 ⇒ x = 500 ⇒ x = 0
13 23 11
x = 1500 ⇒ x = 0 ⇒ x = 1000
22 12 21
1025. EXERCÍCIOS
Exercício 1: calcular a solução ótima.
Máx Z = 3x + 5x
1 2
x ≤ 4
1
2x ≤ 12
2
3x + 2x ≤ 18
1 2
x , x ≥ 0
1 2
Exercício 2: Numa empresa, o produto x gasta 2 unidades do
1
recurso A e uma unidade do recurso B, tendo um lucro unitário de
1 euro, enquanto o produto x gasta 5 unidades de A e uma unidade
2
de B, tendo um lucro unitário de 2 euros. Existe disponibilidade de
20 unidades do recurso A e 8 unidades do recurso B, por minuto.
Formule o problema e resolva-o pelo método Simplex.
Exercício 3: calcular a solução ótima.
Máx Z = 4x + 5x
1 2
0,5x ≤ 4
1
2x ≤ 12
2
3x + 2x ≤ 18
1 2
x , x ≥ 0
1 2
125programação linear
Exercício 4: calcular a solução ótima.
Mín Z = x + 1,5x
1 2
0,5x + x ≤ 7,5
1 2
2x + x ≥ 15
1 2
x , x ≥ 0
1 2
Exercício 5: calcular a solução ótima.
Mín Z = 2x + 4x + x
1 2 3
x + 2x – x ≤ 5
1 2 3
2x – x + 2x = 2
1 2 3
- x + 2x + 2x ³ 1
1 2 3
x , x , x ³ 0
1 2 3
Exercício 6: calcular a solução ótima.
Mín Z = 80x + 60x
1 2
0,2x + 0,32x ≤ 0,25
1 2
x + x = 1
1 2
x , x ³ 0
1 2
Exercício 7: fazer a formulação do problema.
Num infantário pretende-se servir um lanche barato, mas que
respeite as necessidades nutricionais das crianças. Cada criança deve
receber entre 400 e 600 calorias, sendo, no máximo, 30% com origem
em gorduras, pelo menos 60 mg de vitamina C e 12 g de proteína.
Para cada sanduíche são precisas duas fatias de pão e pelo menos
o dobro da pasta de amendoim em relação à geleia. Devem tomar
pelo menos um copo de bebida, que pode ser de leite e/ou de sumo.
1266. SOLUÇÕES
Exercício 1: O plano ótimo de produção é de 2 unidades de x
1
e 6 unidades de x .
2
Utilizam-se totalmente as 12 unidades de recurso B e as 18 do
recurso C.
Sobram 2 unidades do recurso A, que é utilizado parcialmente
(= 2).
Sendo a margem de contribuição de 3 unidades monetárias para
x e 5 para x , então o lucro é de 36 unidades monetárias.
1 2
Exercício 2: x = 20/3 ; x = 4/3
1 2
Os recursos A e B são totalmente utilizados (s e s = 0) . O lucro
1 2
total é de 28/3.
Exercício 3: Z = 38 ; x = 2 ; x = 6
1 2
s = 3 (recurso A não totalmente utilizado)
1
s = 0 (recurso B totalmente utilizado)
2
s = 0 (recurso C totalmente utilizado)
3
135programação linear
Exercício 4: x =7,5 ; x =0 ; s =3,75 ; s =0 ; Z=7,5
1 2 1 2
Exercício 5: x =0 ; x =0 ; x =1 ; s =6 ; s =1 ; Z=1
1 2 3 1 2
Exercício 6: x =0,583 ; x =0,416 ; s =0 ; Z=71,666
1 2 1
Exercício 7:
Mín Z = 10x + 4x + 7x + 8x + 15x + 35x
1 2 3 4 5 6
20x + 75x + 20x + 70x ≤ 0,3 (140x + 100x + 50x + 60x
1 2 4 5 1 2 3 4
+ 150x + 100x ) ⇔
5 6
-22x + 45x – 15x + 2x + 25x – 30x ≤ 0
1 2 3 4 5 6
140x + 100x + 50x + 60x + 150x + 100x ≤ 600
1 2 3 4 5 6
140x + 100x + 50x + 60x + 150x + 100x ≥ 400
1 2 3 4 5 6
3x + 2x + 120x ≥ 60
3 5 6
6x + 4x + x + 8x + x ≥ 12
1 2 4 5 6
x ≥ 2x ⇔ x – 2x ≥ 0
2 3 2 3
x + x ≥ 1
5 6
x ,x , x , x , x , x ≥ 0
1 2 3 4 5 6
0 0Exercício 8: c ∈ [0 ; 7,5] ; c ∈ [2 ; + ∞]
1 2
0 0 0b ∈ [2 ; + ∞] ; b ∈ [6 ;18] ; b ∈ [12 ; 24]
1 2 3
• x =4 ; x =3 ; s =0 ; s =6 ; s =0 ; Z= 55
1 2 1 2 3
• x =0 ; x =9 ; s =4 ; s =2 ; s45
1 2 1 2 3
136Álgebra Matricial
Álgebra Matricial
7. Apêndice 1 – Álgebra Matricial 
 7.  1 – Álgebra Matricial 
  7. APÊNDICE 1 Representação matricial de equações 
ÁLGEBRA MATRICIAL matricial de equações  
 Matriz: conjunto retangular de elementos dispostos em linha e coluna. 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL
DE EQUAÇÕESMatriz  : conjunto retangular de elementos dispostos em linha e coluna. 
Matriz: conjunto retangular de elementos dispostos em linha e E= E= L> 
coluna. E= E= L>  
E= E= L>
E= E= L>  
  E= E= L>
 
# L  
# L  
                    (3 × 3)             ×            (3 × 1)     =           (3 × 1) 
                    (3 × 3)             ×            (3 × 1)     =           (3 × 1)  
Tipos especiais de matrizes:
 Tipos especiais de matrizes: 
• Matriz ou vetor linha
 Matriz ou vetor linha Tipos especiais de matrizes: 
• Matriz ou vetor coluna
 Matriz ou vetor coluna 
  ou  linha 
• Matriz significativa: pelo menos um elemento diferente de
 Matriz significativa: pelo menos um elemento diferente de zero 
  ou vetor coluna zero
 Matriz nula: todos os elementos iguais a zero 
   pelo menos um elemento diferente de zero • Matriz nula: todos os elementos iguais a zero
  Matriz nula: todos os elementos iguais a zero 
143N  as matrizes quadradas temos: 
 Diagonal principal:   a  , a  , a  11 22 33Nas matrizes quadradas temos: 
i>=667>6TT57]e=5T=T5e5T66T76e>:65T7T$76e=5===77T=5=L=55=T=6=T===T=7i$H:LeT5T6T7iLLeL5>T>6>=iT=T=7=]=7iTH6L=TTTTT5i7= Termo principal:       a    a    a  11 22 33 Diagonal principal:   a  , a  , a  11 22 33
 Traço principal:     a  + a  + a  11 22 33 Termo principal:       a    a    a  11 22 33
 Diagonal secundária:   a  , a  , a  31 22 13 Traço principal:     a  + a  + a  11 22 33
 Termo secundário:   a    a    a  31 22 13 Diagonal secundária:   a  , a  , a  31 22 13
139 Termo secundário:   a    a    a  31 22 13
139
77 76 75
67 66 65
77 57 76 56 75 55
67 66 65
57 56 55
77 76 75
67 66 65
77 76 7557 56 55
67 66 65
57 56 55programação linear
Nas matrizes quadradas temos:
• Diagonal principal: a , a , a
11 22 33
• Termo principal: a × a × a
11 22 33
• Traço principal: a + a + a
11 22 33
• Diagonal secundária: a , a , a
31 22 13
• Termo secundário: a × a × a
31 22 13
• Traço secundário: a + a + a
31 22 13
• Elementos opostos: a ; a
12 21
Matriz vazia: todos os elementos da diagonal
principal = 0
• Matriz triangular superior: a , a , a
12 13 23
• ngular inferior: a , a , a
21 31 32
• Matriz identidade I: diagonal principal = 1;
todos os outros = 0
144
•8. APÊNDICE 2 – FORMULÁRIO
Análise de sensibilidade
0 0 coeficientes das variáveis básicas: CW = S × C – C ≥ 0
T NBT BT NBT
0 0 coeficientes de variáveis de não básicas: C = A × C – C ≥ 0
T T BT T
0• termos independentes das restrições: B = S 0 × B ≥ 0
B
0 0• coeficientes técnicos: C = A × W – C ≥ 0
T T T T
Análise de variação
0 0 0 0D c básico ⇒ C = A × C – C ; W = S × C ;
j T T BT T T T BT
0 Z = C × X
0 0 0D c não básico ⇒ C = A × C – C
j T T BT T
0 0 0D b ⇒ B = S 0 × B ; Z = C × X
i B
0 0 0 0D a ⇒ C = A × W – C ; A = A × S 0
ij T T T T T T B T
Método Húngaro
1) Subtrair o menor elemento de cada coluna a todos os elementos
dessa coluna.
2) Subtrair o menor elemento de cada linha a todos os elementos
dessa linha.
151
••programação linear
3) Escolher linhas, começando com a de menor número de
zeros e prosseguindo por ordem crescente de zeros. Marcar um
zero na linha e eliminar os zeros existentes na mesma linha e
coluna. Proceder do mesmo modo até já não haver zeros para
marcar ou cortar.
4) Marcar todas as linhas que não tenham um zero marcado.
5) Marcar, nas linhas antes marcadas, todas as colunas que tenham
pelo menos um zero cortado.
6) Marcar, nas colunas antes marcadas, todas as linhas que tenham
zeros marcados.
7) Repetir os passos 5 e 6 até não haver mais linhas ou colunas
para marcar.
8) Assinalar todas as linhas não marcadas e todas as colunas
marcadas.
9) Considerar o menor elemento da submatriz dos elementos não
assinalados por aquelas linhas e colunas. Subtrair esse valor a
todos os elementos dessa submatriz, e somá-lo aos elementos
da interseção entre as linhas e colunas assinaladas.
10) Recomeçar no passo 3.
152BIBLIOGRAFIA
TAVARES, Luís Valadares, OLIVEIRA, Rui Carvalho, THEMIDO,
Isabel Hall, CORREIA, Francisco Nunes (1996), Investigação
Operacional. Editora McGraw-Hill de Portugal, Ldª.
HILL, Manuela Magalhães, SANTOS, Mariana Marques dos (1999),
Investigação Operacional - Vol. 1 – Programação Linear. Edições Sílabo.
HILL, Mariana Marques dos (2008),
Investigação Operacional - Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização
de Redes. Edições Sílabo.
HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald, J. (2006), Introdução à
Pesquisa Operacional, 8ª ed., McGraw-Hill Interamericana do Brasil,
Ldª.
thTAHA, Hamdy A. (2007), Operations Research: An Introduction, 8 Ed.,
Pearson Prentice Hall.
153João M. S. Carvalho
PROGRAMAÇÃO LINEAR
João M. S. Carvalho
Professor e Investigador do Instituto Universitário da Maia
PROGRAMAÇÃO
LINEAR
PROGRAMAÇÃO
Outras obras do Autor: A Programação Linear numa abordagem pedagógica mais próxima das
necessidades dos alunos.
CARVALHO, João M. S. (2013) Planeamento
Estratégico – O seu guia para o sucesso. 2ª O uso de programas informáticos, para a resolução de problemas com JOÃO M. S. CARVALHO é professor e
ined. revista e atualizada. Porto: Grupo Editorial LINEARmuitas variáveis, é imprescindível. Contudo, os utilizadores têm de com- vestigador do Instituto Universitário da Maia
Vida Económica. ISBN: 978-972-788-724-8. preender o que está em causa, como modelizar os problemas, como inter- (ISMAI). Doutorado em Ciências Empresariais
pretar os resultados, que análises se podem fazer depois de atingirmos e Mestre em Economia Industrial e da Em-CARVALHO, João M. S. (2012) Planeamen- Algoritmos simplex primal, dual,
presa pela Faculdade de Economia do Porto, uma otimização.to Estratégico – O seu guia para o sucesso.
tem larga experiência de gestão em diferen-Porto: Grupo Editorial Vida Económica. ISBN: transporte e afetação
A Programação Linear permite resolver problemas nas áreas da Gestão de tes contextos, tanto no setor lucrativo como 978-972-788-451-3.
Produção, da Logística, das Finanças, do Marketing, etc. no setor social, tendo procurado estudar e
CARVALHO, João M. S. (2010) Estatísti- aperfeiçoar ao longo dos anos as técnicas
peEste livro, com muitos exemplos e exercícios, ajuda a formatar os raciocí-ca. Série manuais escolares. Edições ISMAI. dagógicas mais adequadas à lecionação das
nios que estão na base do equacionamento matemático de problemas dos ISBN: 978-972-788-9048-52-4. temáticas da Investigação Operacional, como
mais variados tipos, facilitando e conferindo uma base científca à tomada é o caso da Programação Linear.CARVALHO, João M. S. (2009) Gestão e de decisões.
Marketing. Lisboa: Edições Sílabo. ISBN:
978-972-618-524-6. Para alunos e professores de Investigação Operacional, e para gestores e
empresários com necessidade de resolver problemas em que a
ProgramaCARVALHO, João M. S. (2005) Organizações
ção Linear seja aplicável.
Não Lucrativas - Aprendizagem
Organizacional, Orientação de Mercado, Planeamento
Estratégico e Desempenho. Lisboa: Edições
Sílabo. ISBN: 972-618-366-9. ISBN 978-989-768-030-4
www.vidaeconomica.pt
ISBN: 978-989-768-030-4
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