TD Analyse - 4ème édition

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Cet ouvrage couvre l'enseignement dispensé en première année de sciences économiques et d'AES. Il aborde l'analyse en 7 chapitres qui suivent tous la forme suivante : des rappels de cours ; des QCM ; des questions de réflexion ; des exercices avec une analyse de l'énoncé et des conseils méthodologiques. Il offre ainsi 170 questions et exercices corrigés. Cette nouvelle édition comprend un chapitre supplémentaire consacré aux fonctions de plusieurs variables et à l'optimisation. Le huitième chapitre, mis à jour, est consacré à des sujets d'examen corrigés des 3 dernières années. .

Publié le : mercredi 13 août 2008
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EAN13 : 9782100544325
Nombre de pages : 304
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Dérivées 2 et différentielles
La dérivée d’une fonction est définie à partir du taux d’accroissement de celleci, divisé par le taux d’accroissementΔx de la variable. Si ce rapport admet une limite quandΔxtend vers zéro, alors la dérivée existe. Cette limite bien sûr n’existe que si la fonction est continue. L’existence d’une dérivée prouve donc une certaine régularité de cette fonction, traduite par une direction privi légiée du graphe au voisinage d’un point. La constance du signe de cette dérivée sur un certain intervalle correspond à la monotonie de cette fonction sur cet intervalle. C’est donc un outil essentiel de l’étude d’une fonction. La dérivation est une opération linéaire sur l’ensemble des fonctions dérivables, c’estàdire que la dérivée d’une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire des dérivées de ces fonctions. La dérivée des fonctions usuelles permet d’obtenir celle de fonctions plus complexes, à partir des for mules indispensables de dérivation d’un produit, d’un rapport ou d’une composition de fonctions. La dérivée logarithmique peut être utile notamment pour le calcul de la dérivée d’un produit ou d’une forme exponentielle. Elle permet aussi de calculer l’élasticité d’une fonction, notion utile en économie.
1 Notion de dérivée Définition.Une fonction numériquef, définie au voisinage d’un pointxde 0 \, est dérivable enxsi le rapport : 0 f(x)f(x) 0 xx 0 xest différent dex, admet une limite quandxtend versx. Cette limite, 0 0 quand elle existe, est appeléedérivée defpoint au x et notéef(x) ou 00 df(x). [ ] dxx=x0
TD 2
Dérivées et différentielles
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Notons que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point mais que la réciproque est fausse. Définition.Si une fonctionfest dérivable en tout point d’un intervalle ouvert, ′ ′ la fonctionfqui associe à tout pointxde cet intervalle le nombref(x) est lafonction dérivéedef, définie sur cet intervalle. Dérivées à droite et à gauche.dit que On f est dérivable à droite (resp. gauche) enx, si le rapport : 0 f(x)f(x) 0 xx 0 xest différent dex, admet une limite à droite (resp. gauche) quandxtend 0 + − versx0(resp.x0). Cette limite, quand elle existe, est notée ′ ′ 0p..fg(x0)) . fd(x))(resUne fonction est dérivable sur un intervalle fermé[a,b]si elle est déri vable en tout point de l’ouvert]a,b[, si elle est dérivable à droite enaet à gauche enb. Dérivées successives.la fonction dérivée Si fdérivable à son tour en est ′ ′ tout point d’un intervalle ouvert, la fonction dérivée (f)définie sur le est ′′ même intervalle, notéef′′. Elle se nomme dérivée seconde def. On peut ainsi définir de proche en proche, quand elle existe, la dérivéenième, ou d’ordren, n df (n) qui se notefou . n dx 2 Calcul des dérivées
Siuetvsont deux fonctions définies sur un intervalle ouvert et dérivables u en un pointxde cet intervalle, alors les fonctionsu+v,λu,uvetsont déri 0 v vables enxavec : 0
(u+v)(x0)=u(x0)+v(x0) (λu)(x0)=λu(x0),λ\ (uv)(x0)=u(x0)v(x0)+u(x0)v(x0) uu(x0)v(x0)u(x0)v(x0) (x)= ,siv(x)0 ( )2 0 0 vv(x0) Dérivée d’une fonction composée.Siuest une fonction définie sur un inter valle ouvertIcontenantx, dérivable enx, et sifest une fonction définie sur 0 0 un intervalle ouvert contenantu(I), dérivable enu(x), alors la fonction com 0 poséefDuest dérivable enx, de dérivée : 0 ′ ′ (fDu)(x0)=f[[u(x0)]]u(x0)
COURS
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TD Analyse
Formule de Leibniz.Siuetvsont deux fonctionsnfois dérivables sur un intervalle ouvertI, alors la fonctionuvestnfois dérivable surI, avec : (n) (n) 1 (n1)p(np) (p) (n) (uv)=u v+C u v+"+vC u +"+uv n n Dérivée d’une fonction réciproque.Soitfune fonction strictement mono tone et dérivable sur un intervalle ouvertI. En tout pointydeJ=f(I) tel 0 1 quef(x) est différent de zéro, oùy0=f(x0) , la fonction réciproqueg=f 0 est dérivable, avec : 1 1 g(y)= = 0′ ′ f(x)fg(y) 0[0] Dérivée logarithmique.Sifest une fonction réelle, définie et dérivable sur un intervalle ouvertI, non nulle surI, on appelle dérivée logarithmique def fl’expression , qui n’est autre que la dérivée de ln|f|. f Élasticité.Sifest une fonction réelle définie sur un intervalle ouvertI, déri vable en un pointxdeI, l’élasticitéde la fonctionfau pointx, par rapport à 0 0 la variablex, est le nombre : dy/y0x0dyx0f(x0) = = == ey/x(x0)f(x0)x0 ( ) dx/x0y0dxx=x0y0f(x0)
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Dérivées et différentielles
1.Une fonction peut être continue mais non déri vable en un point. 2.Si deux fonctions ont la même dérivée sur un intervalle ouvert, elles sont égales. 3.Si les dérivées à gauche et à droite en un point sont égales, la fonction est dérivable en ce point.
4.Si une fonction est deux fois dérivable en un point, elle est indéfiniment dérivable en ce point.
5.Une fonction à élasticité constante est une fonc tion puissance.
6.L’élasticité d’une somme de deux fonctions est la somme de leurs élasticités. 7.Si une fonction paire est dérivable, sa fonction dérivée est impaire.
Vrai
{
{
{
{
{
{
{
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Faux
{
{
{
{
{
{
{
8.En utilisant la propriété suivante de la fonction logarithme : ln(1+u) lim=1 u0 u retrouver l’expression de la dérivée de cette fonction. 3 9.Calculer la dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = |x– 3x|. 10.Montrer comment on peut déterminer par récurrence les dérivées succes 2 x/2 sives de la fonctionfdéfinie parf(x)=e .
EXERCICES
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