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Notion de probabilité
1
Si on veut formaliser un problème dans lequel le hasard intervient, on doit construire un modèle probabiliste, choisi en fonction du but que l’on poursuit. Ce modèle est constitué d’un ensemble fondamental, d’une tribu d’événements et d’une probabilité. Le choix de l’ensemble fondamental est très important pour le calcul ultérieur des probabilités des événements. Nous introduirons aussi les notions de probabilité conditionnelle et d’indépendance. La formule de Bayes est souvent très utile pour le calcul de probabilités conditionnelles.
1.Ensemble fondamental
Le résultat d’une expérience aléatoire s’appelle unévénement élémentaire. L’en semble des résultats possibles s’appelleensemble fondamental(ou univers) et est noté traditionnellementΩ. Chaque élémentωdeΩreprésente donc un événement élémentaire, et toute partieAΩ(ouAP(Ω)) sera un événement. Parfois on dit queΩest l’ensemble deséventualités possibleset les événements élémentaires sont alors les singletons, c’estàdire les ensembles réduits à un seul élément{ω}, qui sont effectivement en toute rigueur des événements, puisqu’appartenant àP(Ω), ce qui n’est pas le cas du pointω.
2.Algèbre et tribu d’événements   Le coupleΩ,P(Ω)s’appelle unespace probabilisable. Même siΩest fini, le cardinal deP(Ω)peut être un nombre très grand et dans ce cas on est amené alors à ne considérer qu’une famille restreinteAde parties deΩ,AP(Ω). Pour que le résultat des opérations ensemblistes (union, intersection, complémentaire) soit encore un événement, il est nécessaire que la famille d’événements qui a été retenue © Dunosdo.iLtafpehrotmocéoep,ieonounsatutaobrilseé,e evsitsunàdvéliist.de ces opérations, c’estàdire qu’il soit bien un
2
TD Statistique et probabilités
élément de la famille. De plus, les événements « certain »,Ω, et « impossible »,, doivent également appartenir à cet ensemble. Ainsi, on associera à une épreuve aléatoire un ensemble non vide de parties deΩ, notéA, qui vérifiera : ¯ C1pour toutAA, alorsAA;
C2pour toutAAet toutBA, alorsABA. Il y a fermeture pour le complémentaire et l’union. Cet ensembleAs’appelle une algèbrede parties deΩ. Bien entendu, grâce aux lois de Morgan, on a une définition équivalente en remplaçant la conditionC2par :
C 2
pour toutAAet toutBA, alorsABA.
Propriétés d’une algèbre
P1
P2
La famille étant non vide, on en conclut que :
∅ ∈A
et
ΩA
SiAjApour 1jn, on démontre par récurrence que :
n AjA j=1
P3SiAjApour 1jn, on démontre également par passage au complé mentaire que :
n AjA j=1
Cependant, certaines expériences peuvent se dérouler indéfiniment et on a donc besoin de renforcer la propriétéP2de fermeture pour l’union finie par une condition de fermeture pour l’union dénombrable, soit :
C3
SiAnApour toutnN, alors :
AnA n=0
st encore s’appelle
Cette condition exprime que toute union dénombrable d’événements e un événement. L’ensembleAauquel on impose les conditionsC1etC3 alors uneσalgèbreoutribud’événements.
Le couple formé de l’ensemble fondamentalΩet de la tribu d’événements associée As’appelle unespace probabilisable.
TD 1 • Notion de probabilité
3.Probabilité
3
Définition.On appelle probabilitéPsur (Ω,A) une applicationP:A[0, 1] telle que : (i)P(Ω)=1; (ii) pour toute suiteAnd’événements incompatibles, soitAnAavecAmAn= ∅ pourm=n:   ∞ ∞   P An=P(An) n=0n=0
propriété dite deσadditivité. Une probabilité est donc une application qui à un événement va associer un nombre compris entre 0 et 1. Le triplet(Ω,A,P)s’appelle unespace probabilisé.
Propriétés P1L’événement impossible est de probabilité nulle :
P()=0
P2La probabilité de l’événement complémentaire d’un événement quelconque As’obtient par :
P3
¯ P(A)=1P(A)
Si un événement en implique un autre, sa probabilité est plus petite :
ABP(A)P(B)
P4La probabilité de l’union de deux événements s’obtient par la formule de Poincaré :
4.Probabilités
P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)
conditionnelles
On considère l’espace probabilisé(Ω,A,P)et un événement particulierBdeA tel queP(B) >0. La connaissance de la réalisation deBmodifie la probabilité de réalisation d’un événement élémentaire, puisque l’ensemble des résultats possibles est devenuBet non plusΩ. Cette nouvelle probabilité, notéeP(.|B), est définie sur la tribu conditionnelle :
A|B= {AB/AA} © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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