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Théorie et pratique de l’assurance vie
Théorie et pratique de l’assurance vie
Cours et problèmes corrigés
Pierre Petauton
Ancien professeur au Cnam
avec la collaboration de Michel Fromenteau
Professeur au Cnam
Préface de Thomas Béhar, président de l’Institut des actuaires
e 4 édition
Pierre Petauton, ancien élève de l’École polytechnique et membre agrégé de l’Institut des actuaires, est entré en 1961 au service de contrôle des assu-rances du ministère des Finances ; il l’a quitté en 1989 alors qu’il était com-missaire contrôleur général, pour devenir contrôleur d’État, puis chef de la mission de contrôle des organismes d’assurance vieillesse. En outre, il a été membre de la Commission de contrôle des assurances, institution adminis-trative indépendante chargée de la surveillance des sociétés d’assurances.
De 1971 à 2002, il a été professeur au Conservatoire national des arts et métiers où il a enseigné l’actuariat. Aujourd’hui retraité, il est membre du Conseil supérieur de la mutualité, et il a effectué plusieurs missions de conseil en actuariat.
Michel Fromenteau, diplômé de l’ENSAE, membre agrégé de l’Institut des actuaires, a exercé pendant plus de vingt ans le métier de commissaire contrôleur des assurances auprès du régulateur de la profession (aujourd’hui l’Autorité de contrôle prudentiel, ou ACP). Il est depuis 2008 professeur titu-laire de la chaire d’actuariat du Conservatoire national des arts et métiers.
© Dunod, Paris, 2012 ISBN 978-2-10-056310-4
T able des matières
Préface Introduction
Première partie
L es fondements de l’assurance sur la vie
1. Les conditions de fonctionnement de l’assurance vie I. Les opérations viagères II. Le contrat d’assurance vie A. Dénominations des prestations de l’assureur B. Versements du souscripteur III. Analyse actuarielle d’un contrat IV. Les conditions de la gestion du contrat d’assurance A. Les opérations de capitalisation B. Les opérations tontinières V. Les comptes de l’assureur VI. La prime A. La prime pure B. Les chargements VII. Principes de calcul des primes pures A. L’aspect financier B. L’aspect probabiliste VIII. Prime pure et probabilité A. Probabilités composées. Formule de Bayes Problème 1
2. Les probabilités viagères fondamentales I. Les causes influant sur la mortalité A. Les causes générales © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Table des matièresV
B. Les causes tenant au phénomène de l’assurance C. La notion de groupe homogène II. Probabilités de survie et de décès d’une tête assurée A. Probabilité de survie B. Probabilité de décès C. Application du théorème des probabilités composées III. Loi de survie A. L’indicateur de survie B. Estimation du nombre de vivants à l’époquet IV. Autres fonctions biométriques A. Le taux instantané de sinistre B. Le taux instantané de mortalité ou intensité de mortalité C. Vie moyenne ou espérance de vie D. Vie probable V. Les coefficients de sélection Problème 2
3. Probabilités viagères et observations Les tables de mortalité I. Détermination des taux annuels de mortalité A. Théorème de la limite centrale B. Intervalle de confiance II. Lissage des résultats A. Exemples de méthodes III. Ajustement sur des lois analytiques A. Remarques préalables sur les formules d’ajustement B. Formules appliquées C. Détermination des coefficients de la formule de Makeham D. Quelques tables françaises réglementaires Problème 3
4. Tables de mortalité (compléments) I. Observations tronquées ou censurées A. L’estimation actuarielle classique B. Estimateur de Kaplan-Meier II. Tables à causes de sortie multiples A. Taux instantanés. Hypothèse d’indépendance III. Ajustement d’une table par la formule de Makeham A. Rappel des propriétés et de l’intérêt de la formule de Makeham B. Méthode du maximum de vraisemblance C. La qualité de l’ajustement : exemples pratiques D. Conclusion
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IV. Tables prospectives A. Notations B. Tables de génération C. Surfaces de mortalité D. Extrapolations E. Évolution deq(t) en fonction det x F. Exemples de tables réglementaires Problème 4
5. Probabilités viagères définies sur des groupes de têtes I. Définition des groupes et des états – Probabilités de survie simples et conditionnées A. Groupes de têtes indépendantes, indicateur de survie B. Probabilités viagères définies sur des groupes II. Groupes disparaissant au premier ou au dernier décès A. Probabilité de survie d’un groupe disparaissant au premier décès B. Probabilités de décès et de survie d’un groupe disparaissant au dernier décès III. Groupes disparaissant à un décès de rang quelconque A. Probabilité pour que survivent exactementrtêtes 75 B. Probabilité pour que survivent au moinsrtêtes 77 C. Extension de la notion de têtes constituant un groupe IV. Propriété caractéristique de la loi de mortalité d’un groupe disparaissant au premier décès lorsque l’on part de lois makehamiennes A. Résultat B. Précaution à prendre C. Réciproque et généralisation de Quiquet V. Propriétés de la loi de Gompertz VI. Probabilités conditionnées Problème 5
Deuxième partie
C alcul des engagements viagers et tarification
6. Les procédés généraux du calcul des primes pures I. Les contraintes A. L’offre et la demande B. Les conditions r glementaires de l’offre en assurance © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Table des matièresVII
II. La méthodologie traditionnelle A. Un taux d’actualisation fixe B. Le principe de l’espérance mathématique C. La notion de valeur actuelle probable (VAP) D. Seul l’aléa viager est pris en compte III. Le calcul des primes pures A. Position du problème B. Le résultat au terme du contrat C. Première contrainte de tarification D. Une contrainte plus générale E. Premières conséquences de la contrainte générale de tarification IV. Le calcul des valeurs actuelles probables A. Les deux façons de calculer une VAP B. Calcul des VAP d’engagements différés V. Les nombres de commutation Problème 6
7. Les engagements viagers en cas de vie I. Le capital différé II. Les annuités viagères A. Paiements annuels (annuités sur une tête) B. Paiements fractionnés (annuités sur une tête) C. Annuités sur plusieurs têtes Problème 7
8. Les engagements viagers en cas de décès I. Assurance «vie entière » payable au moment du décès II. Assurance décès payable en milieu d’année A.Vie entière B. Temporaire au décès C. Une explication financière du lien avec les annuités III. Assurance décès à capital constant reposant sur plusieurs têtes A. Introduction d’une tête fictive. Assurance mixte IV. Assurance décès à capitaux croissants A. Cas de la progression arithmétique. La contre-assurance B. Cas de la progression géométrique V. Prorata au décès. Rente complète Problème 8
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9. Assurances et rentes de survie119 I. Assurance d’un capital de survie et assurance de second effet119 II. Calcul effectif d’une assurance de survie121 III. Les rentes de survie123 A. Rentes de survie avec entrée en jouissance à un anniversaire de la souscription du contrat 123 B. Rentes de survie avec entrée en jouissance à l’anniversaire du décès 125 Problème 9127
Troisième partie
L e bilan et les comptes de résultats
10. La tarification I. Principes généraux de tarification A. Le cadre réglementaire ou coutumier B. Les contraintes théoriques de tarification C. Calcul des primes périodiques constantes D. La ventilation de la prime commerciale entre prime pure et chargements E. Cas où le paiement d’une prime constante est à éviter II. Le calcul des primes brutes (ou commerciales) A. Une structure tarifaire basée sur l’analyse des frais ; les chargements dits rationnels B. La réglementation française III. Autres problèmes tarifaires A. Contrats en unités de compte et contrats multisupports B. La contre-assurance des primes commerciales Problème 10
11. Les provisions mathématiques sous les hypothèses du tarif I. Notion de provision mathématique II. La conception prospective des provisions A. Définition B. Notations III. Variation dans le temps de la provision relative à un contrat A. Souscription B. Les échéances de primes C. Les versements d’arrérages © Dunod. ToDut.erLeparosducrtivoennoanacuteoridséeuenstdunédcélèits.
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Table des matièresIX
IV. La provision mathématique d’un contrat peut-elle être négative ? V. Notions de provision mathématique pure, de provision à la prime d’inventaire, de provision de gestion et de provision zillmerisée A. Frais et chargements de règlement B. Frais et chargements de gestion. Notion de provision de gestion C. Frais et chargement d’encaissement D. Frais et chargement d’acquisition VI. Les méthodes rétrospectives et comptables A. La conception rétrospective B. La conception comptable C. L’équivalence des méthodes de calcul des provisions Problème 11
12. Le déroulement du contrat I. La provision mathématique à l’inventaire A. La réglementation française (1995) II. Rachats, réductions, transformations et transferts A. Les circonstances qui donnent un droit particulier B. Rachat et avances sur contrat C. Réduction D. Transformations III. Les participations aux bénéfices A. Le bénéfice brut des opérations d’assurances avant participations B. Les participants bénéficiaires C. Les comptes de participation D. Les contrats collectifs en cas de décès Problème 12
13. Le calcul des provisions d’assurance vie avec les normes comptables internationales I. Considérations générales sur les normes comptables IFRS et la réglementation européenne Solvabilité II II. La difficulté d’estimation des passifs d’assurance en valeur de marché III. Principes conducteurs des normes d’évaluation des passifs d’assurance IV. Un exemple numérique de prise en compte d’une participation aux bénéfices probable V. Une modélisation stochastique Problème 13
XTHÉORIE ET PRATIQUE DE L’ASSURANCE VIE
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