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Analyse et contrôle des équations différentielles

De
266 pages
Analyse et contrôle des équations différentielles dresse un panorama des différents problèmes auxquels l’ingénieur doit faire face dans la modélisation et la résolution des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires.
Il présente un grand nombre d’aspects concrets, tels que les cycles limites, les instabilités paramétriques, la régulation et la commande optimale. Cette dernière est devenue incontournable dans les bureaux d’études, notamment avec l’émergence de la mécatronique, science nouvelle qui couple l'informatique embarquée, le traitement du signal, la métrologie, l'algorithmique haute performance, le contrôle, la mécanique et la rhéologie des matériaux.
L’extension des systèmes dynamiques aux modèles biologiques permet de poser le problème de dosage thérapeutique comme un problème de contrôle.
Les élèves de grandes écoles et les étudiants universitaires trouveront dans Analyse et contrôle des équations différentielles une approche simplifiée leur permettant d’apporter des solutions opérationnelles aux nombreuses questions concrètes des sciences de l’ingénieur. Enfin, plusieurs indications sur l'implémentation opérationnelle sont proposées, en particulier à travers des exercices corrigés.
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Analyse et contrôle des équations différentielles





















Photo de couverture : régulateur de James Watt monté sur la machine de Lenoir qui
se trouve au Musée des Arts et Métiers-Cnam, Paris.

© LAVOISIER, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462- 2989-1



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Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, September 2010.




Analyse et contrôle

des équations différentielles















Philippe Destuynder










Tabledesmatières
Avant -propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PREMIÈRE PARTIE.INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chapitre1.Introductionauxéquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Lessystèmesdifférentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Casoùf nedépendquedet:f(x,t)≡f(t) . . . . . . . . . . . . 16
∂f
1.1.2. Casoùf estaffineenxetA = indépendantedutemps . . . 17
∂x
∂f
1.1.3. Casoùf estaffineetA = dépenddutemps . . . . . . . . . . 17
∂x
1.1.4. Leséquationsnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
DEUXIÈMEPARTIE.ANALYSENUMÉRIQUEDESÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES.................................. 27
Chapitre2.Intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Laproblématiqueetlesoutils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Méthoded’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Découpagedusegmentd’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Lelissagedefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chapitre3.Equationsdifférentielleslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. CasoùAestdiagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. CasoùAn’estpas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Représentationmatricielledessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Dépendancedesdonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
56 AnalyseetcontrôledesEDO
Chapitre4.MéthodesnumériquespourlesEDOlinéaires . . . . . . . . . . 45
4.1. Lesméthodesmultipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Etudeduschémaθ-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1. Discussionsurlastabilitéd’unschéma . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2.del’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3. Discussionsurlaconstantedetemps . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4. Convergenceduschémadeθ-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. SchémadeRungeetKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1. Descriptiondel’algorithmedeRungeetKutta . . . . . . . . . . . 52
4.3.2. StabilitéetordreduschémadeetKutta . . . . . . . . . . . 53
4.4. Etudegénéraled’unschémamultipaspouruneEDOlinéaire . . . . . . 56
4.5. Etudedestauxd’amortissementetdesvitessesdephases . . . . . . . . 59
4.6. Equationsdifférentiellesdusecondordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.1. Schématotalementcentré(implicite) . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.2.partiellementcentré(explicite) . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.3. SchémasdeNewmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Chapitre5.Equationslinéairesfonctiondutemps . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1. Unexempleconcret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2. Laméthodedelarésolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3. Casdevariationspériodiquesdesmatricestangentes . . . . . . . . . . 71
5.4. Unexempleanalytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5. L’approximationasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chapitre6.Généralitéssurleséquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . 77
6.1. Formulationdeshypothèsessurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Existenceetunicitédesolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Représentationgraphiquedessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4. Exempled’uneéquationdontlasolutionn’estpasbornée. . . . . . . . 82
6.4.1. Unexempleavecoscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chapitre7.Résolutiondeséquationsnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1. Méthodedupointfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1. Descriptiondel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.2. Convergencededupointfixe . . . . . . . . . . . . . 88
7.2. LaméthodedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1. Descriptiondel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.2. Etudedelaconvergencedel’algorithmedeNewton . . . . . . . . 91
7.3. Laméthodedequasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Méthodedelarecherchesuruneligne,variantedutypeBFGS . . . . . 95Tabledesmatières 7
7.5. SchémaentempspouruneEDOnonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Chapitre8.Recherchedecycleslimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1. LethéorèmedePoincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1.1. Critèrede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1.2.del’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.1.3. Commentconstruiredesensemblesinvariants? . . . . . . . . . . 105
8.2. Laméthodesdesformesnormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.1. Etape1:passagedanslabaseproprequidiagonaliseA . . . . . . 109
8.2.2. Etape2:tentatived’éliminationdestermesd’ordredeux . . . . . 110
8.2.3. Etape3:vedestrois . . . . . 112
8.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
TROISIÈME PARTIE.CONTRÔLE ET RÉGULATION . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre9.Régulationàgainconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.1. Introductionetpositiondesproblèmesabordés . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2. CasoùN =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3. CasoùN> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.4. Contrôlabilitéexactedesdonnéesinitiales . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5. DiscussionducritèrederégulationpourN =2 . . . . . . . . . . . . . 133
9.5.1. Critèrederégulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.5.2.decontrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6. Contrôlabilité pour un système du second ordre à plusieurs degrés
de .liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.7. Aspectsnumériquesdelarégulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Chapitre10.Contrôleoptimaldessystèmesdifférentiels . . . . . . . . . . . 141
10.1.Leproblèmedecontrôleoptimalestbienposé . . . . . . . . . . . . . . 142
10.2.Caractérisationduoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3.Algorithmesdecalculducontrôleoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4.Unexemplemonodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5.Unexbidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.6.Aspectsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.7.LecontrôledeRiccatipouruntempslong . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chapitre11.Comportementasymptotiqueàcoûtévanescent . . . . . . . . 157
11.1.L’analyseasymptotiqueformelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.2.Concentrationdescontrôlesversl’origine . . . . . . . . . . . . . . . . 1658 AnalyseetcontrôledesEDO
11.3.Unexemplesimple:l’alunissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4.Unmodèleantivibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.5.Unevarianteducritèrefinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.6.Contrôled’unsystèmecouplédutypegyroscopique . . . . . . . . . . 175
11.6.1.Uneversionduprogrammepourdeuxmodespropres . . . . . . 180
11.7.Casd’uncontrôledegain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Chapitre12.Priseencomptedecontraintessurlecontrôle . . . . . . . . . 193
12.1.Problèmedecontrôleavec . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.2.Lepremiermodèlelimiteformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2.1.Existencedesolutionsdusystème(12.5) . . . . . . . . . . . . . . 196
12.2.2.Conditiond’unicitéetcaractérisationducontrôledanscecas . . 197
12.3.Convergenceducasbang-bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12.4.Unsecondmodèlelimiteformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
12.5.Convergenceducasexactementcontrôlable . . . . . . . . . . . . . . . 204
12.6.Algorithmedecalculducontrôleoptimalpourε=0 . . . . . . . . . . 206
12.7.Recherchedutempsminimumdecontrôlabilité . . . . . . . . . . . . . 206
12.7.1.Unexemplesimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.7.2.Contrôleentempsminimumpouruncas1D . . . . . . . . . . . . 207
12.8. Retoursurl’alunissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.9. Contrôledesvibrationspourunsystèmemasse-ressort . . . . . . . . . 211
12.10.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Chapitre13.Contrôleoptimald’équationsnonlinéaires . . . . . . . . . . 215
13.1.Cadregénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.2.Equationd’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.3.Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.4.Laprogrammationdynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.5.L’assimilationdedonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.6.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Chapitre14.Contrôleoptimalaveccontraintessurl’état . . . . . . . . . . 223
14.1.Remarquesurlacompatibilitécontrainte/contrôle . . . . . . . . . . . . 224
14.2.Etudedel’équation(14.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.3.Etudedumodèledecontrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.3.1.Caractérisationdeladérivéedey . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.4.Introductiond’unétatadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.5.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Tabledesmatières 9
QUATRIÈME PARTIE.EXERCICES ET TRAVAUX PERSONNELS. . . . . . . . 235
Chapitre15. Quelquesexercicessurlecontrôle . . . . . . . . . . . . . . . . 237
15.1.Contrôledemicro-organismesdansunmêmemilieu . . . . . . . . . . 237
15.1.1.Programmetestpourdémarrerletravailpratique . . . . . . . . . 239
15.1.2.Quelquesrésultatsissusduprogrammetest . . . . . . . . . . . . 242
15.2.Exercicesurlacontrôlabilitéparcouplagegyroscopique . . . . . . . . 243
15.2.1.Solutionduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.3.Contrôlebang-bangd’unludion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
15.4.d’unsystèmeinstable . . . . . . . . . . . . . . . . 250
15.5.Pilotagegyroscopiquesurdeuxvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910Avant-propos
D’oùviennentleséquationsdifférentielles?
En physique et en mécanique la plupart des modèles issus des principes
fondamentaux sont des relations différentielles au sens où ils relient des grandeurs
avec
leursdérivéestemporelles.Lesprincipesdeconservationdelamatière,celuidespuissances virtuelles ou le premier principe de la thermodynamique, ainsi que le second
dans le cas de transformations réversibles, en sont des exemples fondamentaux. Il en
estdemêmedeséquationsdel’électromagnétisme(équationsdeMaxwell).Certes,on
objectera qu’il s’agit en fait d’équations aux dérivées partielles car des dérivées
partiellesvis-à-visdescoordonnéesspatialesinterviennent.Cependant,aprèsavoirutilisé
une approximation des variables par rapport aux coordonnées d’espace (on parle de
semi-discrétisationenespace),onretrouveunsystèmed’équationsdifférentielles.Les
équations de bilan chimique ou encore celles qui interviennent dans les modèles
économiques, sont également du type différentiel, même si le degré de réalisme et de
complexité atteint dans ce dernier domaine, communément reconnue comme
l’origine des sciences de l’ingénieur, trouve son origine avec les premières civilisations.
L’action exercée sur un système différentiel est alors le contrôle. Il peut s’agir, par
exemple en mécanique, d’une force appliquée ou d’un déplacement imposé. Les
actionneurs excerçant ces effets sont de différentes natures et il est particulièrement
opportundesoulignerquec’estleprojetinternationaldestationorbitalequiastimuléle
développement de nouveaux types de systèmes de contrôle comme ceux utilisant les
matériaux piezoélectriques dont le faible poids est évidemment un atout majeur pour
l’ingénieriespatiale(coûtdesatellisationfaible).
Par ailleurs, les développements des services et des modèles pour l’assurance, la
banque, l’économie ou la biologie, ont proposé aux ingénieurs et aux chercheurs de
nouvelleséquationsdifférentiellesdanslesquellesledegréd’incertitudeesttelqu’une
approche stochastique est nécessaire. Cela donne une importance toute particulière
aux méthodes probabilistes appliquées aux EDO. Il n’en demeure pas moins que le
nombre de problèmes résolus dans ce cadre est encore réduit, même si des outils très
1312 AnalyseetcontrôledesEDO
performants sont en cours de développement (voir V.I. Arnold [ARN94]). Certes on
peut envisager des systèmes de contrôle (intervention d’opérateurs financiers)
mais
comptetenudel’empirismequirègneencoredanscechampd’applications,celareste
trèsacadémique.
Unautredomained’applicationdeséquationsdifférentiellesvectoriellesestlabiologie notamment avec la modélisation récente, mais en augmentation exponentielle,
de la croissance des virus qui est inhibée par l’injection de médicaments. Le contrôle
estalorslaquantitédechacundesmédicamentsutilisés(mono,bi,trioumultithérapie
suivantlenombredemédicamentsutilisés).
On voit donc sur ces quelques exemples que les équations différentielles et leur
contrôle constituent un vaste champs de recherches mais aussi d’applications dans
des domaines très actifs des sciences de l’ingénieur. Cet ouvrage a pour ambition
de sensibiliser le lecteur à cet outil très puissant et de lui donner quelques méthodes
opérationnellesqu’ilpourraappliquerdansdenombreuxdomaines.
Exemple de diagramme de phase d’une EDOPREMIÈRE PARTIE
Introduction
1112Chapitre1
Introductionauxéquationsdifférentielles
Ce chapitre est consacré à une présentation rapide des méthodes qui sont étudiées
en détails dans ce cours. Nous y donnons une approche très simplifiée des problèmes
quiysontabordés:
− lessystèmesdifférentielslinéaires;
− lesdifnonlinéaires;
− lastabilisationdessystèmeslinéaires;
− lecontrôledessystèmeslinéaires;
− lecontrôledesnonlinéaires.
1.1. Lessystèmesdifférentiels
Commençons par quelques notations qui fixeront le cadre dans lequel nous
travaillons dans cet ouvrage. Nous particulariserons ensuite certains modèles qui seront
étudiés dans les différents chapitres. Considérons une fonction continue notée f est
N NdéfiniesurC ×RetàvaleursdansC .Onpose:
N N(x,t)∈C ×R→f(x,t)∈C .
Les composantes def sont désignées parf,i=1,N et celles dex sontx,i =i i
N1,N. Soit y ∈ C un vecteur donné appelé condition initiale. Une équation diffé-0
rentielle ordinaire est un modèle mathématique qui consiste à trouver une fonction
Nvectoriellet→y(t)∈C solutionde:
N∀t≥ 0, y˙ =f(y,t) et y(0) =y ∈C . (1.1)0
1516 AnalyseetcontrôledesEDO
Dans l’écriture ci-dessus, la notationy˙ désigne la dérivée par rapport à la variable
t. Dans de nombreux exemples, t est le temps et c’est pourquoi nous l’appellerons
ainsi dans la suite. Il y a des situations particulières qui permettent une résolution
facilitéedecetteéquationdifférentielleordinaire(EDOdanslasuite).
1.1.1. Casoùf nedépendquedet:f(x,t)≡f(t)
L’EDO se résume alors a une simple intégration, du moins sur le plan théorique.
Car dans la pratique, c’est-à-dire lorsque l’on souhaite calculer les valeurs de la
solutiony, on ne peut pas toujours intégrer explicitement l’EDO (sous une forme
analytique). On a alors recours à des méthodes d’intégration numérique que nous
expliciterons au chapitre 2. Pour fixer les idées, donnons un exemple simple. La solution de
l’EDO(1.1)est:
! t
+ f(s)ds. (1.2)y(t)=y0
0
On peut alors partager le segment [0,t] en sous-segments [t,t ] avect = iΔti i+1 i
etΔt =t/P.OnutiliseensuitelarelationdeChasles:
! !t ti+1"
f(s)ds = f(s)ds. (1.3)
0 tii=0,P−1
Sur chacun de ces sous-segments, on peut construire une approximation de
l’intégrale à l’aide d’une formule de quadrature. Par exemple la formule de la moyenne
centrée: ! ti+1 t +ti i+1
f(s)ds(Δtf( ), (1.4)
2ti
oubiencelledestrapèzes:
! ti+1 Δt
f(s)ds( [f(t)+f(t )], (1.5)i i+1
2ti
ouencorecelledeSimpson:
! ti+1 Δt
f(s)ds( [f(t)+4f(t +t )+f(t )]. (1.6)i i i+1 i+1
6tiIntroductionauxéquationsdifférentielles 17
maisilenexistebiend’autres,parexemplelaformuledeGauss-Lobattod’ordredeux
ou encore celle de Gauss-Legendre qui ne fait intervenir que des points intérieurs
à chaque segment [t,t ]. Il y a aussi les formules de Gauss-Radau. La suivantei i+1
est souvent utilisée car elle ne nécessite que deux évaluations de fonction et est très
précise(elleintègreexactementlespolynômesd’ordretrois):
! ti+1 Δt Δt Δt Δt Δt
√ √f(s)ds( [f(t − + )+f(t + − ),Δt =t −t . (1.7)i+1 i i+1 i
2 2 22 3 2 3ti
Bien entendu, de nombreuses formules peuvent être obtenues suivant le degré de
précision souhaité et nous y reviendrons au chapitre 2 (voir M. Abramowitz and I.
Stegun [ABR72]). En particulier nous étudierons la précision et les conditions
d’utilisationdecesformulesd’intégrationnumérique.
∂f
1.1.2. Casoùf estaffineenxetA = indépendantedutemps
∂x
Nousnousplaçonsdanscettesous-section,sousl’hypothèsequef estdelaforme:
N∀x∈C ,f(x,t)=Ax+b(t), (1.8)
où A est une matrice carrée a priori complexe, de dimension N et dans un premier
tempsindépendantedet.L’équationdifférentielleàrésoudreestalors:
Ny˙ =Ay +b(t), y˙(0) =y ∈C . (1.9)0
Sa résolution se ramène au cas scalaire lorsqueA est diagonalisable. Dans le
cas
général,onpeutaussiconstruirelasolutionenutilisantunoutilapproprié:l’exponentielledematrice.Onobtientainsi:
! t
At A(t−s)b(s)y(t)=e y + e ds. (1.10)0
0
Nous discutons ces aspects au chapitre 3. La résolution numérique est traitée par
différentes méthodes au chapitre 4. On y discute des méthodes multipas, de celles
de Runge et Kutta ainsi que de certains aspects des schémas adaptés aux équations
différentiellesdutyperaides(variationsrapides).
∂f
1.1.3. Casoùf estaffineetA = dépenddutemps
∂x
Bien que dans ce cas, l’équation soit linéaire, une difficulté majeure apparaît à
cause de la dépendance de la matrice A avec le temps. Cela peut produire des
phénomènes de résonance interne au système si les variations se font à des fréquences
propres voisines de celles de la matrice A moyennée en temps. Cela nous conduira
auxéquationsdeHilletdeMathieu.C’estl’objetduchapitre5.18 AnalyseetcontrôledesEDO
1.1.4. Leséquationsnonlinéaires
Lorsque la fonction f devient non linéaire, on change complètement d’ordre de
grandeur dans la complexité des outils nécessaires tant sur le plan théorique que
numérique. L’existence de solutions est un résultat bien connu sous des hypothèses
raisonnablesportantsurlefaitquef soitlipschitzienneetbornéeentempspourunpoint
NydeC .LesalgorithmesdeNewtonetdeBFGS[BIE06]sontlesplusclassiquement
utilisés pour résoudre ces équations qui sont présentées au chapitre 6. On peut aussi
faire intervenir la notion d’ensembles invariants par l’équation différentielle,
c’est-àdirelesensemblesquisonttelsquesilaconditioninitialeestdanscetensemble,alors
la solution y reste du moins sur un intervalle de temps de la forme [t ≥ 0,∞[. La0
compacité de tels ensembles est une propriété très précieuse qui permet outre
l’existence de solution, d’apporter des renseignements précis sur l’existence de solutions
périodiques ou cycles limites d’oscillation. L’analyse non linéaire démarre alors avec
les critères de localisation de Poincaré-Bendixson et de l’énergie ainsi que ses
variantes que nous discutons au chapitre 7. Enfin, la construction des formes normales
des EDOs permet de proposer une approche très précise et algorithmique des cycles
limites.C’estl’objetduchapitre8delapremièrepartie.
Une fois les EDOs maîtrisées, l’ingénieur souhaite les utiliser pour simuler un
processus physique, mais aussi pour le dimensionner, l’optimiser et de plus en plus
fréquemment, pour le contrôler. Une telle ambition dépasse parfois la portée des
outils dont il dispose actuellement. Il y a cependant un certain nombre de
situations
oùl’analysemathématiquefournitdesréponsesconstructivesetopérationnelles.Certaines sont même utilisables pour des applications en temps réel, c’est le cas en
particulier de la conduite optimal à l’aide de systèmes embarqués (avion, fusées, voitures,
etc.).
Dans un premier temps nous discutons au chapitre 9 des stratégies du type PID
(proportionnel intégral dérivée) à gain constant, terminologie qui est un héritage des
systèmesinertielsanalogiques(systèmesdifférentielsdusecondordre).Lesstratégies
decontrôleàgainvariablediscutéesauchapitre10,sontsouventissuesdelaméthode
du optimal qui a connu un grand succès depuis une cinquantaine d’années,
notamment avec le passage au numérique par opposition à l’analogique. Cependant,
des problèmes de robustesse (stabilité des contrôles et des états du sytème) sont
apparus dans de nombreuses applications, notamment lorsque le nombre de variables
d’étatestimportantetontfreinéledéveloppementdecesstratégies.
Récemment, l’utilisation de méthodes asymptotiques où le petit paramètre est le
coût du contrôle, ont permis de mieux cerner cette difficulté en la reliant de façon
précise aux propriétés de contrôlabilité. Cette approche est discutée au chapitre 11.
L’influence decontraintes surle contrôle quiest abordéeau chapitre 12permet
derelierlesnotionsdetempsminimalàcelledecontrôlabilitéetenfinquelquesouvertures
`trèsincompltessontproposéesauxchapitres13et14.Introductionauxéquationsdifférentielles 19
Pour terminer cette introduction, nous nous proposons d’illustrer la thématique
discutée dans cet ouvrage sur un exemple qui intervient en biologie et plus
précisémment dans la modélisation du SIDA (J. Murray [MUR02]). Il s’agit d’un travail de
recherche conduit par José Orellana [ORE10]) au Conservatoire national des arts et
métiers. Dans le mécanisme du SIDA, il y a a priori six ingrédients significatifs (en
unpointdonnéducorpshumain):
−T laconcentrationenglobulesblancssains;
−L ladecellulesT infectéesinactives;
−I laconcentrationenglobulesinfectés;
−V laenvirusactifs;
−N laconcentrationenvirusinactifs;
−E ladelymphocytestoxiques.
Leséquationsdumodèletraduisantleséquilibressont:
 T+L+I˙T =rT(1− )−µ T−(1−u )k VT +s , T 1 1 1Tmax ˙ L = ω(1−u )k VT−µ L−k I, 1 1 T 2 ˙ I = (1−ω)(1−u )k VT +k I−µ I−k IE,1 1 2 I 3
(1.11)
 ˙ V =a(1−u )I−k VT−µ V,2 1 V ˙ N =au I−µ N, 2 V
˙E =k ITE−µ E +s ,4 E 2
soitsousformevectorielle:
'
x˙ =f(x,u),
x(0) = (T ,0,0,V ,0,0)(conditioninitiale).0 0
où le vecteur détat est : x=(T,L,I,V,N,E). Les coefficients µ sont des taux de
mortalité naturelle et les coefficient k sont eux des coef d’agressivité ou de
prédation.Enfin,restuntauxdecroissance.Lesdeuxcoefficientseetθvariententre0
et1etsontdesdosesdemédicaments(bithérapie).Lespointsd’équilibresontobtenus
enrésolvantl’équationstationnaire(sansdérivéeparrapportautemps).20 AnalyseetcontrôledesEDO
Sans médicament, les évolutions des différents ingrédients (au cours du temps)
sont reportées sur les courbes des figures 1.1 et 1.2. La résolution numérique du
système est particulièrement difficile car il y a des mécanisme instables qui sont traités
surdelonguespéridodesdetemps(environdeuxmoisalorsquelepasdetempsestde
l’ordredelaminute).Enparticulier,onobserveunegrandesensibilitédusystèmeaux
perturbations (modification des coefficients comme les taux de mortalité des cellules
indiquésdansletableau1.1).Cetteparticularitéconfèreunedifficultésupplémentaire
auproblèmedecontrôle.
Dans un second temps un problème de contrôle optimal a été utilisé pour trouver
ladoseoptimaledemédicamentsàinjecter.Ilestremarquablequelecontrôleoptimal
trouvé(dosageoptimaldumédicamentpourguérirlemaladesansluiinjecterunetrop
grande quantité qui aurait pour effet de faire muter le virus) est du type tout ou rien
(contrôle bang-bang) comme le montre la figure 1.3. On parle en termes cliniques de
SIT(scheduled interrupted treatmentcarlaposologieestinterrompueparmomentde
façonàpermettreunemeilleureefficacitédutraitementsansfavoriserl’adaptationdu
virus.
On note sur les figures 1.4 et 1.5 que le rôle des médicaments est de neutraliser
les virus en les rendant inactifs (variableN). On note aussi que pendant les régimes
transitoires,lemaladepassepardessituationsdifficiles,dumoinsd’aprèslesrésultats
de la simulation numérique effectuée. On remarquera enfin, que le but effectif de la
thérapie est, dans ce modèle, de minimiser les taux de virus actifs ainsi que ceux des
globulesblancsinfectés.
Les difficultés mathématiques et numériques sont nombreuses car le modèle est
non linéaire, instable sur certaines variables et le contrôle intervient sous forme
multiplicative de l’état. En outre, les taux de globules blancs et de virus doivent rester
dansdesmargesacceptablesaucoursdutemps(contraintessurlesvariablesd’état)et
les doses de médicaments aussi (contraintes sur le contrôle). Soulignons aussi que le
modèleutiliséesttrèssimplifiéparrapportàlaréalité,notammentparcequeplusieurs
centres infectés dans le même corps d’un patient peuvent interagir et créer un
phénomène d’oreiller (quand l’un se vide de virus actifs, un autre accueille les survivants
qui se regroupent et peuvent l’emporter localement avant de contaminer à nouveau
d’autrespointssensiblesducorps).
Cetexemplesimpleetlargementincompletapourbutdemontrerqueleséquations
différentiellesinterviennentpartoutdanslesproblèmesscientifiques.Etàchaquefois
de nouvelles difficultés inhérentes au problème posé, apparaissent. Si la mécanique
rationnelle a fourni les premiers exemples d’application, on en trouve aujourd’hui
danstouslessecteursd’activitéséconomiquesetindustrielles.
Lesvaleursutiliséesdanslasimulationnumériquesontcellesdutableau1.1.Introductionauxéquationsdifférentielles 21
Figure1.1. Solution sans traitement : a) cellules non infectéesCD4+T ;
b) cellules infectées inactivesCD4+T ; c) cellulesCD4+T22 AnalyseetcontrôledesEDO
Figure1.2. Solution sans traitement (suite) d) virus actif; e) virus inactif;
f) lymphocytesTIntroductionauxéquationsdifférentielles 23
Figure1.3. Le contrôle optimal bang-bang pour un traitement sur soixante
jours et pour les deux médicaments utilisés24 AnalyseetcontrôledesEDO
Figure1.4. Solution lorsqu’un traitement optimal est appliqué
sur soixante jours

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