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Eléments
de logique
formelle
Gérard Chazal
HERME S Eléments
de logique formelle EXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL
Jacques PlTRAT, Métaconnaissance, futur de l'intelligence artificielle, 1990.
Paul GOCHET, Pascal GRIBOMONT, Logique, méthodes pour l'informatique fonda­
mentale, vol. I , 1990 ; Logique, méthodes formelles pour l'étude des programmes,
vol. II, 1994 .
Jean-Pierre DESCLÉS, Langages applicatifs, langues naturelles et cognition, 1990.
Stéphane BOUCHERON, Théorie de l'apprentissage - de l'approche formelle aux enjeux
cognitifs, 1992.
Jean-Paul DELAHAYE, Information, complexité et hasard, 1994.
Philippe BALBIANI, Vincent DUGAT, Luis FARINAS DEL CERRO, Anne LOPEZ, Eléments
de géométrie mécanique, 1994.
EBruno BACHIMONT, Le contrôle dans les systèmes à base de connaissances, 2 édi­
tion revue et augmentée, 1994.
Jacques DUBUCS et François LEPAGE, Méthodes logiques pour les sciences cognitives,
1995 .
Bernard LAKS, Langage et cognition, 1996.
Richard LASSAIGNE, Michel de ROUGEMONT, Logique et complexité, 1996.
Gérard CHAZAL, Marie-Noëlle TERRASSE, Philosophie du langage et informatique,
1996 .
Jean-Pierre MULLER, Joël QUINQUETON, 1A distribuée et systèmes multi-agents, 1996.
Jean-Louis IMBERT, JFPLC96, 1996.
Bernard VICTORRI, Catherine FUCHS, La polysémie, 1996.
Jean-Louis ERMINE, Les systèmes de connaissances,. Eléments
de logique
formelle
Gérard Chazal
HERMES © Hermès, Paris, 1996
Editions Hermès
14, rue Lantiez
75017 Paris
ISBN 2-86601-548-7
Catalogage Electre-Bibliographie
Chazal, Gérard
Eléments de logique formelle. - Paris : Hermès, 1996.
ISB N 2-86601-548-7
RAMEAU : logique
logique symbolique et mathématique
DEWE Y : 160 : Principe s de la logique. Généralités
511 : Logiqu e mathématique. Modèles mathématiques
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies o u reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinée s à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dan s u n but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc
un e contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété
intellectuelle. Table des matières
Introduction 7
Chapitre 1. Nature et brève histoire de la logique 9
Chapitre 2. La proposition chez Aristote 17
Chapitre 3. Le syllogisme 31
Chapitre 4. Déduction et résolution des syllogismes 43
Chapitre 5. L'Ecole de Mégare et les stoïciens 5
Chapitre 6. Le calcul des propositions : conjonction et disjonction
inclusive 59
Chapitre 7. Le calcul des propositions : disjonction exclusive,
implication et équivalence 67
Chapitre 8. Le calcul des propositions : généralisation de la notion
d'opérateur logique 73
Chapitre 9. Le calcul des propositions : les formes normales 8
Chapitre 10. Le calcul dess : notion de déduction 91
Chapitre 11. L'analyse de la proposition : la notion de prédicat9
Chapitre 12. La quantification 10e 13. Lan et les opérateurs binaires : portée d'un
quantificateur9
Chapitre 14. Interprétation ensembliste du calcul des prédicats :
éléments de théorie des ensembles 121 Chapitre 15. Opérateurs sur les ensembles 129
Chapitre 16. Les relations 141
Chapitre 17. Les propriétés des relations binaires 14
Chapitre 18. Fonctions et applications 157
Chapitre 19. Déduction et démonstration dans le calcul des
prédicats 169
Chapitre 20. Langage - Métalangage, Syntaxe - Sémantique,
Langage formel - Système formel 17
Conclusion 187
Corrigé des exercices 191
Bibliographie 223 Introduction
L'enseignement de la logique fait partie traditionnellement des études de
philosophie. Beaucoup d'étudiants, mais aussi quelques « honnêtes hom­
mes », au sens que l'on donna à ce terme, s'interrogent sur la raison d'être
d'un tel enseignement qui leur paraît souvent bien aride. Si on leur répond en
invoquant l'autorité d'Aristote, qui fonda cette discipline et l'incorpora au
corpus des œuvres philosophiques, on nous opposera le fait que, depuis la
fin du siècle dernier, la logique est devenue affaire de mathématiciens,
qu'elle a pris un caractère technique qui semble bien loin de la fluidité des
textes philosophiques que l'apprenti philosophe et le lecteur assidu fréquen­
tent habituellement. Pire, elle s'est échappée, depuis une cinquantaine d'an­
nées, du domaine silencieux des livres et de leur méditation pour pénétrer
dans le bruit et l'agitation des techniques informatiques. On nous objectera
encore que beaucoup d'autres sciences ont appartenu à la philosophie, y sont
nées et s'en sont depuis détachées. On nous dira que l'étudiant en philoso­
phie n'étudie pas l'astronomie, la physique et la biologie, sous prétexte
qu'Aristote a écrit le Traité du ciel, la Physique et l'Histoire des animaux.
On pourrait regretter que trop souvent aujourd'hui le philosophe ignore les
sciences et n'ait jamais pénétré et séjourné quelque peu dans un laboratoire,
mais cela ne répondrait pas à ces objections. Nous allons donc nous efforcer
de justifier brièvement notre travail, craignant qu'il ne le fasse pas suffi­
samment par lui-même.
Disons d'abord rapidement, en une première approche, ce qu'est la logi­
que : elle étudie les règles du raisonnement valide, c'est-à-dire, certaines
choses étant connues, comment d'autres peuvent en être déduites. Cette dé­
finition sommaire suffit déjà à comprendre quelle importance cette disci­
pline peut avoir pour le philosophe comme pour toutes les disciplines scien­
tifiques.
En effet, si le discours philosophique et le discours scientifique se distin­
guent du discours littéraire ou poétique, c'est parce qu'ils visent à renoncia­
tion de la vérité selon la raison. Or, dans la recherche de la vérité, on n'est 8 Eléments de logique formelle
jamais assez assuré de ses pas et de son chemin. C'est pourquoi certains
philosophes ont fait de la logique une propédeutique à toute science et à
toute philosophie.
La logique, à travers ses règles, va constituer une description du fonc­
tionnement valide de notre esprit. C'est une discipline normative et en même
temps elle révèle les arcanes de notre entendement. Par là elle est au cœur
même de la recherche philosophique.
Enfin, elle offre les cadres dans lesquels s'expose et se comprend le
monde extérieur ; de ce fait, elle prétendra souvent décrire l'ordre du monde
autant que celui de notre esprit. La logique, chez certains philosophes, de­
viendra réellement une véritable ontologie. Pour le moins elle nous forcera à
des interrogations d'ordre ontologique, voire métaphysique.
Ainsi la logique n'est-elle pas seulement une technique très profondément
mathématisée aujourd'hui, ou plutôt elle est bien plus que cela. Elle suscite
beaucoup de questions authentiquement philosophiques. Cependant pour
s'approprier ces questions faut-il encore faire le détour par une maîtrise mi­
nimum de ces techniques sous peine de tomber dans le péché le plus grave
que la philosophie puisse connaître : parler de ce que l'on ignore.
Cet ouvrage présente donc en une série de chapitres les techniques logi­
ques élémentaires, depuis la logique aristotélicienne jusqu'à la logique mo­
derne, calcul des propositions et calcul des prédicats. Chaque chapitre est
suivi d'une série d'exercices visant à mettre le lecteur en situation de prati­
quer la technique logique. Le corrigé des exercices est donné à la fin de
l'ouvrage. Une technique ne peut être connue par sa simple exposition, il y
faut un minimum de pratique. De plus quelques textes philosophiques ac­
compagnent certains chapitres et s'offrent à la méditation de manière à atti­
rer l'attention sur les problèmes auxquels nous avons fait allusion ci-dessus.
Il s'agira toujours de donner un recul réflexif par rapport à une discipline,
recul qui fait le propre de l'esprit philosophique.
Pour terminer cette brève introduction, voici un petit problème classique
que nous aurons l'occasion de résoudre et qui est dû à Bertrand Russell.
Puisse-t-il donner envie de pénétrer dans le monde fascinant de la raison
livrée à sa propre étude.
Généralement un ouvrage de logique comporte une bibliographie. Généralement
un ouvrage ne se mentionne pas lui-même dans sa. Supposons que
la bibliographie ci-dessous soit exhaustive : y figurent tous les ouvrages de logi­
que qui ne se mentionnent pas eux-mêmes dans leur bibliographie et uniquement
ceux-là. Si par hasard un ouvrage se mentionnait lui-même, nous nous engageons
à ne pas le faire figurer dans notre bibliographie. La question est la suivante :
doit-on faire figurer cet ouvrage dans cette bibliographie ?
Si oui, nous introduisons un ouvrage qui se mentionne lui-même, et dans ce cas il
faut l'ôter conformément à notre engagement.
Sinon, il ne se mentionne pas lui-même, et doit figurer dans cette bibliographie
sous peine de perdre l'exhaustivité. Chapitre 1
Nature et brève histoire de la logique
Le but d'Aristote
Dans la Grèce antique, alors que sciences et philosophie sont encore dans
leur enfance, elles doivent affronter de graves difficultés soulevées par les
opinions et les pratiques des sophistes pour qui L'homme étant mesure de
toute chose, la vérité est relative. En particulier, une des questions majeures
soumises par les sophistes aux philosophes est celle-ci : Comment la con­
naissance est-elle possible ?
On connaît la réponse de Platon à cette question : la réminiscence ; de
fait toute connaissance est une reconnaissance.
Pour Aristote la connaissance procède par induction et par démonstra­
tion.
L'induction permet de passer du singulier à l'universel, de l'observation
des phénomènes à la formulation d'une loi.
La démonstration permet à partir de connaissances déjà acquises d'en ac­
quérir de nouvelles.
Il s'agit donc de définir les règles de la démonstration valide.
La question de savoir s'il existe encore un autre mode de connaissance sera exa­
minée plus tard. Mais ce que nous appelons ici savoir c'est connaître par le
moyen de la démonstration. Par démonstration j'entends le syllogisme dont la
possession même constitue pour nous la science. Si donc la connaissance scienti­
fique consiste bien en ce que nous avons posé, il est nécessaire aussi que la
science démonstrative parte de prémisses qui soient vraies, premières, immédia­
tes, plus connues que la conclusion, antérieures à elle, et dont elles sont les
causes.
Aristote, Seconds Analytiques 1.2. 10 Eléments de logique formelle
Quelques définitions
Une démonstration est constituée par un raisonnement ou une suite de
raisonnements. Le terme de raisonnement, ratiocinatio en latin, traduit le
terme grec ô o~oX.Àxyyiau,ôç. Ce terme a trois significations en grec : c'est un
calcul, un compte ; c'est une conjecture, une supposition, une hypothèse ;
c'est un raisonnement. Chez Aristote, le mot désigne d'abord un raisonne­
ment en général avant de désigner une forme particulière de raisonnement,
pour lequel nous avons gardé le terme de syllogisme. Cependant, le philoso­
phe n'oubliera pas que la polysémie n'est jamais innocente. Certains conce­
vront que raisonner c'est calculer, et les logiques modernes ne s'appellent
pas ingénument des calculs.
Un raisonnement consiste dans l'articulation de plusieurs jugements.
Pour Aristote, un jugement est le discours qui affirme ou qui nie quelque
chose de quelque chose et ce discours est soit universel, soit particulier, soit
indéfini. Le jugement s'exprime donc dans une proposition. Le mot proposi­
tion aura un sens très précis en logique moderne et prêtera à discussion,
mais pour l'instant, et dans la logique aristotélicienne, nous pouvons consi­
dérer qu'il est synonyme d'énoncé.
Un raisonnement peut être constitué par des jugements vrais, il n'est pas
pour autant valide. La logique va donc distinguer vérité et validité.
L'étude d'un exemple va nous permettre de comprendre cette distinction.
Voici un raisonnement fait de deux jugements :
( 1 ) Tout nombre pair est divisible par deux.
Donc tout nombre divisible par deux est pair.
Les deux jugements sont vrais mais le raisonnement n'est pas valide.
Voici un second raisonnement :
(2) Tout nombre premier est divisible par trois.
Donc quelques nombres divisibles par trois sont premiers.
Les deux jugements sont faux mais le raisonnement est valide.
Dans le second raisonnement, si le premier jugement était vrai (ce n'est
pas le cas), le second serait vrai. Autrement dit la vérité du premier juge­
ment (la prémisse) entraîne celle du second (la conclusion). Evidemment la
fausseté du premier entraîne aussi celle du second. On dira qu'il existe un
lien logique nécessaire entre eux qui est exprimé par le mot donc.
Dans le premier raisonnement, la vérité du second ne dépend pas du
premier. Autrement dit, l'emploi de donc est abusif. On peut facilement être
trompé par le fait que les deux jugements sont vrais mais on peut facilement
se rendre compte de cet abus par le moyen suivant. Nature et brève histoire de la logique 11
Remplaçons dans (1) : nombre pair par mammifère et divisible par deux
par avoir 4 pattes, il vient :
(3) Tout mammifère est un animal à quatre pattes.
Donc tout animal à quatre pattes est un mammifère.
Cette fois le premier jugement est vrai et le second est faux (pensez aux
lézards et aux tortues par exemple). Mais (1) et (3) ont la même forme, la
même structure.
La formalisation
Pour dégager la forme d'un raisonnement, on peut faire abstraction de son
contenu, en utilisant des symboles, à la manière des mathématiques. Ainsi,
le premier raisonnement devient :
Tout A est B.
Donc tout B est A.
On dira que cette forme n'est pas valide car la vérité (ou la fausseté) du
second jugement ne découle pas nécessairement de celle du premier. Si on
remplace A et B par des termes quelconques, on n'a aucune assurance que, si
la prémisse est vraie, la conclusion le sera.
Le second raisonnement devient :
Tout A est B.
Donc quelques B sont A.
On dira que cette forme est valide car la vérité (ou la fausseté) du second
jugement découle nécessairement de celle du premier. Si on remplace A et B
par des termes quelconques, on a l'assurance que, si la prémisse est vraie, la
conclusion le sera aussi.
Les sciences abstraites ont besoin, et ce besoin est ressenti de plus en plus vive­
ment, d'un moyen d'expression qui permette à la fois de prévenir les erreurs d'in­
terprétation et d'empêcher les fautes de raisonnement. Les unes et les autres ont
leur cause dans l'imperfection du langage.
G. Frege, Que la science justifie le recours à une idéographie.
Quo facto, quando orientur controversiae, non magis disputatione opus erit inter
duos computistas. Sufficiet enim, calamos in manus sumere, sedereque ad
abacos, et sibi mutuo (accito si placet animo) dicere : calculemus.
... Je songeais à mon vieux dessein d'une langue en écriture rationnelle dont le
moindre effet serait l'universalité et la communication des différentes notions.
Son véritable usage serait de peindre non pas la parole, comme dit M. de
Brébœuf, mais les pensées, et de parler à l'entendement plutôt qu'aux yeux.
G.W. Leibniz. 12 Eléments de logique formelle
La formalisation présente plusieurs avantages importants elle permet de :
- dégager la forme du raisonnement de tout contenu pour en examiner la
validité ;
- lever certaines ambiguïtés du langage naturel, par exemple celle qui
consiste à confondre sous un même mot un objet et la classe à laquelle il
appartient :
Le cheval (la classe) est la plus belle conquête de l'homme.
Le (celui dont je parle) fit un écart.
Parfois la forme immédiate ne suffit pas toujours. Par exemple dans Jean est
habile à convaincre, Jean est celui qui convainc ; dans Jean est facile à con­
vaincre, Jean est celui qui est convaincu. Pourtant les deux énoncés ont la
même forme apparente. La logique devra les distinguer ;
- d'instaurer un véritable calcul de la pensée.
Brève histoire
Le véritable fondateur de la logique fut Aristote (384-322 av J.-C). Son
but était donc de fournir des règles garantissant la justesse et la validité des
raisonnements.
e e
Jusqu'à la fin du XIX siècle - début du XX , la logique s'est très peu dé­
veloppée. Cependant l'opinion de Kant (cf. texte ci-dessous) selon qui la
logique, depuis Aristote, est une discipline close et achevée, méprise trop les
apports de l'Ecole de Mégare et des stoïciens, ceux des logiciens du Moyen
Age (Raymond Lulle, Guillaume d'Occam par exemple) et ceux de Leibniz.
L'Ecole de Mégare et les stoïciens (Eubulide de Milet, Diodore de Mé­
gare, Philon dee puis le stoïcien Chrysippe) ont introduit les opéra­
teurs propositionnels et des formes de raisonnement que l'on ne trouve pas
chez Aristote, où la proposition est toujours analysée.
Les logiciens philosophes du Moyen Age ont approfondi la logique
d'Aristote, ont apporté des innovations importantes telles celles du Catalan
R. Lulle dans son Ars Brevis et son Ars Magna et ont souvent su élaborer et
discuter toutes ses implications philosophiques.
Leibniz (1646-1716), d'une part, a compris le premier qu'il fallait rappro­
cher la logique des mathématiques pour lui donner toute la rigueur néces­
saire. D'autre part, il a élaboré une conception métaphysique et ontologique
de la logique extrêmement riche en la fondant sur les deux grands principes
de non-contradiction et de raison suffisante.
G. Boole (1815-1864) donne à la logique une première expression réel­
lement mathématique et calculatoire : l'algèbre de Boole. Nature et brève histoire de la logique 13
e eA la fin du XLX siècle - début du XX , les mathématiques connaissent
une véritable crise des fondements (apparition des geometries non eucli­
diennes, paradoxes dans la Théorie des Ensembles de G. Cantor...). G. Frege
et C. Peirce ont par ailleurs fondé une véritable logique moderne et
mathématisée. Alors, certains mathématiciens (B. Russell, A.N. Whitehead,
D. Hilbert...) vont chercher dans la logique un fondement aux mathémati­
ques. L'opinion de Kant est renversée : la logique connaît alors des dévelop­
pements considérables, les découvertes se multiplient dans ce domaine.
Cependant, en 1931, K. Gôdel démontre un théorème selon lequel tout
système formel assez puissant pour formaliser l'arithmétique comporte des
propositions indécidables (dont on ne peut démontrer ni la vérité ni la faus­
seté). C'est la fin de l'espoir de fonder les mathématiques sur la logique.
Mais cet effort des mathématiciens, s'il aboutit à un échec quant à leur pro­
jet, aura apporté beaucoup à la logique.
Aujourd'hui, les études logiques se poursuivent essentiellement dans
deux directions :
- ses développements depuis le début du siècle imposent au philosophe
une réflexion renouvelée,
- l'informatique, qui vise à automatiser des raisonnements, retrouve l'an­
tique but d'Aristote : il s'agit de s'assurer de la validité des raisonnements de
la machine.
Liste des auteurs cités
Aristote (384-322 av. J.-C), philosophe grec.
Boole G. (1815-1864), mathématicien britannique.
Cantor G. (1845-1918), mathématicien.
Chrysippe (280-207 av. J.-C), philosophe stoïcien.
e
Diodore de Mégare (IV s. av. J.-C), philosophe grec de l'Ecole de Mégare.
e
Eubulide de Milet (IV s. av. J.-C),e grec dee de.
Frege G. (1848-1925), mathématicien et logicien allemand.
Gôdel K. (1906-1978),n etn.
Hilbert D. (1862-1943),n et logicien allemand.
Kant E. (1724-1804), philosophe allemand.
Leibniz G.W. (1646-1716), philosophe mathématicien logicien allemand.
Lulle R. (1232-1316), philosophe né à Majorque.
Occam G. d' (=1285-= 1349), philosophe et logicien anglais.
Peirce CS . (1839-1914),e et logicien américain.
Philon (=30 av. J.-C. - =45 ap. J.-C), philosophe et logicien grec.
Russell B. (1872-1970), mathématicien logicien philosophe britannique.
Whitehead A.N. (1861-1947),n britannique. 14 Eléments de logique formelle
TEXTE S
Kant : « La logique est une science achevée... »
Que la logique ait suivi ce chemin déjà depuis les temps plus anciens, le fait que,
depuis Aristote, elle n'a été obligée de faire aucun pas en arrière, suffit à le mon­
trer : je suppose en effet que l'on ne voudra pas lui compter pour des améliora­
tions la mise au rancart de quelques subtilités superflues ou une détermination
plus claire de son exposé, choses qui touchent plutôt à l'élégance qu'à la certitude
de la science. Ce qu'il faut encore admirer en elle, c'est que, jusqu'à présent, elle
n'a pu faire, non plus, aucun pas en avant et que, par conséquent, selon toute ap­
parence, elle semble close et achevée. En effet, si quelques modernes ont cru
l'étendre en y ajoutant des chapitres soit de psychologie, sur les diverses facultés
de la connaissance (l'imagination, l'esprit), soit de Métaphysique, sur l'origine de
lae ou sur les diverses espèces de certitude suivant la diversité des
objets (sur l'Idéalisme, le Scepticisme, etc.), soit d'Anthropologie, sur les préju­
gés (leurs causes et leurs remèdes), cela prouve leur méconnaissance de la nature
propre de cette science. On n'étend pas, mais on défigure les sciences, quand on
en fait se pénétrer les limites ; or, les limites de la logique sont rigoureusement
déterminées par cela seul qu'elle est une science qui expose dans le détail et
prouve de manière stricte uniquement les règles formelles de toute pensée (que
cette pensée soit a priori ou empirique, qu'elle ait telle ou telle origine ou tel ou
tel objet, qu'elle trouve dans notre esprit des obstacles accidentels ou naturels).
Si la logique a si bien réussi, elle ne doit cet avantage qu'à sa limitation qui l'au­
torise et même l'oblige à faire abstraction de tous les objets de la connaissance et
de toutes leurs différences, par suite de quoi l'entendement n'a à s'y occuper abso­
lument que de lui-même et de sa forme. Il devait être naturellement plus difficile
pour la raison d'entrer dans la voie sûre de la science, quand elle n'a plus affaire
simplement à elle-même, mais aussi à des objets ; c'est pourquoi la logique
même, en tant que propédeutique, ne constitue, pour ainsi dire, que le vestibule
des sciences, et quand il est question des connaissances, on suppose, il est vrai,
une logique pour les apprécier, mais l'acquisition de ces connaissances est à cher­
cher dans les sciences proprement et objectivement appelées de ce nom.
Critique de la Raison pure, 1787, (Préface de la seconde édition).
Husserl : « Il faut retrouver la "pureté" de la logique... »
La logique, qui prend son origine dans la lutte menée par la dialectique platoni­
cienne, cristallise en elle, déjà avec l'analyse aristotélicienne, une théorie systé­
matique solidement constituée qui défie les siècles presque comme la géométrie
d'Euclide. Il n'est pas besoin ici de rappeler le jugement bien connu de Kant qui
va trop loin dans l'estimation du caractère achevé de cette logique, mais tout re­
gard sur l'ensemble de la littérature philosophique et même sur la confusion des
tentatives logiques modernes montre que « la logique formelle » a une force in­
vincible. Même à travers les exposés qui s'écartent tant les uns des autres, voire à
travers les caricatures déformantes, la logique formelle fait son chemin en gar­
dant un noyau dont la teneur reste essentiellement identique comme un fonds
stable qui ne peut se perdre. Si peu mis en relief que fût le sens spécifique de son Nature et brève histoire de la logique 15
caractère formel, cette logique formelle était quant à son sens la première tenta­
tive, rencontrée dans l'histoire, d'une doctrine générale de la science, d'une théo­
rie rapportée aux conditions d'essence de la science possible en général...
En d'autres termes, la logique, qui était originellement le porte-flambeau de la
méthode et qui élevait la prétention d'être la doctrine pure des principes de
la connaissance et de la science possibles, perdit de vue cette mission historique
et restera bien loin en arrière dans son évolution.
Logique formelle et logique transcendantale, (Introduction).
Louis Couturat : « Avant le théorème de Gôdel... »
eJusqu'au milieu du XIX siècle, la Logique et les Mathématiques avaient vécu
absolument distinctes et même séparées. La logique était restée confinée dans le
domaine étroit que lui avait assigné Aristote, à savoir dans l'étude des relations
d'inclusion ou de prédication entre les concepts généraux et abstraits ; et, malgré
les tentatives de Jungius, de Leibniz et de leurs disciples, qui avaient avorté ou
restaient ignorées, rien ne pouvait faire prévoir une renaissance ou un nouveau
développement de la Logique. De leur côté, les Mathématiques (ce pluriel est si­
gnificatif) formaient une collection de sciences spéciales d'un caractère techni­
que : science du nombre, science de la grandeur, science de l'espace, science du
mouvement, dont l'unité, assez vague, consistait uniquement dans la communauté
de méthode. Mais, chose curieuse, cette méthode deductive était absolument in­
connue de la Logique formelle, qui pourtant prétendait étudier toutes les formes
de la déduction, de sorte qu'il s'était constitué implicitement une logique mathé­
matique tout à fait différente de la Logique classique (syllogistique) ; et les philo­
sophes, pour expliquer cette dualité, se contentaient d'opposer entre elles la Lo­
gique de la qualité et la Logique de la quantité, sans chercher le lien qui devait
les unir, en tant que branches d'une seule et même Logique.
e Cet état de choses a complètement changé pendant la seconde moitié du XIX
siècle. D'une part, les mathématiciens furent pris de scrupules logiques inconnus
de leurs prédécesseurs ; ils se mirent à analyser leurs méthodes de démonstration,
à vérifier l'enchaînement de leurs théorèmes, à rechercher les hypothèses ou
postulats qui se glissaient subrepticement dans leurs raisonnements, enfin à déga­
ger les principes ou axiomes d'où partaient leurs déductions et d'où dépendaient
toutes leurs théories. Le Calcul infinitésimal, dont les principes avaient gardé
quelque chose de paradoxal et de mystérieux, fut enfin fondé sur la théorie rigou­
reuse des limites ; la théorie des fonctions, où avaient longtemps régné des préju­
gés d'origine intuitive, fut épurée et approfondie. La Géométrie et la Mécanique,
dégagées autant que possible de l'intuition, devinrent des « systèmes
hypothéticodéductifs » fondés sur un certain nombre d'axiomes ou de postulats d'où tout le
reste se déduit logiquement. Enfin, en creusant pour ainsi dire les fondations de
leur science, et en reprenant tout l'édifice en sous-œuvre, les mathématiciens fu­
rent amenés à constituer deux théories nouvelles qui devaient désormais servir de
base à toutes les autres : la théorie des ensembles et la théorie des groupes ; au­
trement dit, la science des multiplicités et la science de l'ordre. Ainsi, il apparais­
sait que les sciences du nombre et de la grandeur n'étaient pas primordiales, mais
reposaient sur des doctrines d'un caractère plutôt logique que mathématique, et
sur des notions qui n'avaient plus rien de quantitatif. 16 Eléments de logique formelle
D'autre part, la Logique, grâce à des mathématiciens, sortait vers le même temps
de sa torpeur séculaire : tout d'abord, elle s'apercevait qu'elle n'avait même pas
exploré et défriché tout le champ où Aristote l'avait enfermée ; et dans le do­
maine circonscrit des relations d'inclusion entre concepts, elle découvrait bien
d'autres formes de déduction que les trop fameux modes du syllogisme. Emprun­
tant à l'Algèbre non pas ses principes mais sa méthode et son symbolisme, la
Logique formelle se constituait pour la première fois sous la double forme d'un
Calcul des classes et d'un Calcul des propositions qui offrent entre eux une sur­
prenante analogie. Puis elle remarquait que l'esprit humain, soit dans la vie quo­
tidienne, soit dans les sciences, considère et manie bien d'autres relations que les
relations d'inclusion entre concepts : et elle entreprenait de classer et d'analyser
toutes ces relations en étudiant les propriétés formelles qui les rendent suscepti­
bles de déduction. Elargissant ainsi indéfiniment son horizon auparavant si borné,
elle devenait la Logique des relations. Et comme les relations les plus simples et
les plus élémentaires se trouvent dans les théories mathématiques, elle s'appli­
quait à analyser et à vérifier l'enchaînement des propositions mathématiques, et
même à démontrer les prétendus axiomes en les ramenant à des principes pure­
ment logiques. Dès lors, le pont était jeté entre les deux domaines, autrefois sépa­
rés, de la Logique et de la Mathématique. Le Calcul des classes apparaît comme
la partie la plus élémentaire de la théorie des ensembles ; et la Logique des rela­
tions est le fondement indispensable de la théorie des groupes et de la théorie des
fonctions. Ainsi s'est consommée de nos jours l'union, pour ne pas dire la fusion,
de la Logique et de la Mathématique ; on ne peut plus discerner où finit la Logi­
que, où commence la Mathématique, et on ne peut plus distinguer ces deux dis­
ciplines qu'en disant, avec M. Russell, que la Logique constitue la partie générale
et élémentaire de la, et que la Mathématique consiste dans l'appli­
cation des principes de la Logique à des relations spéciales.
(...) Cette fusion progressive de la Logique et de la Mathématique pure, qui a été
implicitement et presque inconsciemment réalisée par les travaux de Boole, de
Schroder et de Peirce, d'une part, de Weierstrass, de Georg Cantor et de Peano,
d'autre part, constitue évidemment une révolution dans la philosophie des ma­
thématiques, et par suite dans la théorie de la connaissance. Elle était mûre pour
un exposé systématique qui fût la synthèse de tous ces travaux épars. Cette syn­
thèse, que nous attendions impatiemment depuis quelques années, elle existe au­
1jourd'hui. L'ouvrage de M. Russell résume et coordonne les résultats des recher­
ches critiques des mathématiciens modernes, et les théories nouvelles qui sont
nées de ces recherches. C'est une reconstruction logique de toute la Mathémati­
que pure au moyen de la « Logistique » de M. Peano, complétée et perfectionnée
par l'auteur dans le domaine encore neuf de la Logique des relations. Cet ouvrage
est en somme destiné à justifier la thèse fondamentales de la Logique et de la
Mathématique, en montrant que toutes les propositions de celle-ci reposent sur
neuf notions indéfinissables et sur vingt principes indémontrables, qui sont les
notions premières et les principes de la Logique même.
Les Principes des Mathématiques, (Introduction).
1 B. Russell et N.A. Whitehead, Principia Mathematica. Chapitre 2
La proposition chez Aristote
Le raisonnement, chez Aristote, aura la forme d'une suite de propositions
enchaînées, c'est-à-dire d'énoncés exprimant des jugements. Ces énoncés
sont soit des prémisses (exprimant quelque chose de déjà connu), soit une
conclusion (quelque chose de nouveau suivant nécessairement des prémis­
ses).
La prémisse est le discours qui affirme ou qui nie quelque chose de quelque
chose, et ce discours est soit universel, soit particulier, soit indéfini. J'appelle
universelle l'attribution ou la non-attribution à un sujet pris universellement ;
particulière,n ou lan à un sujet pris particulièrement ou
non universellement ; indéfinie, l'attribution ou la non-attribution faite sans indi­
cation d'universalité ou de particularité : par exemple, les contraires rentrent dans
la même science, ou le plaisir n'est pas le bien.
Aristote, Premiers Analytiques, I, 1, 24a, 15-20).
On lira un exposé détaillé sur la proposition, sa qualité et sa quantité
dans Aristote, De l'Interprétation, 4, 17a-7, 18a.
Une proposition exprime donc le jugement par lequel un attribut est don­
né à un sujet par l'intermédiaire de la copule « est » ou « sont », suivant le
schéma général suivant :
sujet copule attribut 18 Eléments de logique formelle
Soit l'exemple suivam
un être raisonnable L'homme est
Copule Attribu t Sujet
On dira aussi que « être raisonnable » est un prédicat.
Quantité de la proposition
Une proposition peut être universelle ; le sujet est pris universellement.
Dans ce cas le sujet est accompagné du quantificateur Tout (ou Toute, Tous,
Toutes ou encore Nul, Nulle si la proposition est négative).
Exemple : Tous les Grecs sont des hommes - Tout homme est mortel.
Une proposition peut être particulière ; dans ce cas seuls quelques élé­
ments de la classe désignée par le sujet sont concernés. Dans ce cas le sujet
est accompagné du quantificateur Quelque (ou Quelques).
Exemple: Quelques dieux sont grecs - Quelque Grec est poète
(il existe au moins un Grec qui est poète).
Une proposition peut être indéfinie. Dans ce cas le sujet ne possède au­
cun quantificateur.
Exemple : Les chevaux sont des animaux rapides.
Enfin une proposition peut être singulière ; le sujet désigne un individu
singulier et non une classe ou une partie d'une classe.
Exemple : Socrate est philosophe.
Remarques
Dans le langage courant, nous avons tendance à utiliser des propositions
indéfinies à la place des universelles en rendant le quantificateur Tout im­
plicite. Ainsi, nous disons Les hommes sont mortels pour dire Tous les
hommes sont mortels. Mais si l'on veut être rigoureux, Les hommes peut
signifier Tous les hommes ou La plupart des hommes. Il faudra donc éviter
en logique cette économie du langage naturel pour rejeter toute ambiguïté.
Les propositions indéfinies ne rentreront donc pas dans les formes de rai­
sonnement que, après Aristote, nous allons étudier.
La proposition particulière peut parfois se réduire à une proposition singu­
lière lorsque le Quelque ne désigne en fait qu'un individu. Il y a toutefois
une différence fondamentale que nous aurons d'ailleurs l'occasion de préci­
ser lorsque nous envisagerons, en logique moderne, la théorie des ensem­
bles, mais dont on peut déjà dire un mot. La proposition particulière, lorsque La proposition chez Aristote 19
le Quelque ne désigne en fait qu'un individu, le considère comme élément
d'une classe ; ce qui est désigné, c'est une classe ayant un seult et
non l'individu en tant que tel. Le langage naturel confond parfois l'individu
et la classe en les désignant par le même mot (cf. chapitre 1 ), la logique ne
doit pas se laisser aller à de telles ambiguïtés qui peuvent conduire à des
sophismes. Aristote consacre d'ailleurs un livre de XOrganon, les Réfuta­
tions sophistiques, à l'examen de telles erreurs.
Le raisonnement scientifique qui doit porter chez Aristote sur les genres et
les espèces ne prendra donc pas en compte les propositions singulières.
Qualité de la proposition
Une proposition (universelle ou particulière) peut être affirmative ou né­
gative.
Exemples
Propositions négatives Propositions affirmatives
Tous les Grecs sont des hommes Nul homme n 'est dieu
Quelques oiseaux sont aquatiques Quelques animaux marins ne sont
pas des poissons
Tous les oiseaux ont des plumes Quelques oiseaux ne sont pas des
volatiles
Quelques habitants de Paris sont Nul étudiant n 'est analphabète
étudiants
Remarque
La négation porte sur la copule, c'est-à-dire que l'on nie l'appartenance de
l'attribut au sujet. Aristote n'accepterait pas que la négation porte sur l'attri­
but ou sur le sujet. Il refuserait des propositions telles que :
Tous les dieux sont des non-hommes.
Quelques non-dieux sont des taureaux sauvages.
Pour Aristote, une expression comme non-hommes est indéfinie. Qu'est-ce
qu'un non-homme ? Un animal ? un dieu ? une plante ? une pierre ? N'im­
porte quoi peut être un non-homme. La négation d'un concept n'est donc pas
un concept mais une vague notion indéfinie.
Pour accepter les négations sur les termes comme hommes, il faudrait in­
troduire la notion d'univers de référence. Par exemple, si je parle de
nonblanc, c'est complètement indéfini, c'est-à-dire que je désigne par là n'im­
porte quelle couleur. Par contre, si je me place dans l'univers d'un jeu 20 Eléments de logique formelle
d'échecs ou de dames, non-blancs désigne alors clairement les noirs. Mais il
faudra attendre le mathématicien et logicien De Morgan (1806-1871) pour
que cette notion d'univers de référence soit introduite en logique (cf. texte
ci-dessous).
Les raisonnements utiliseront donc quatre types de propositions :
A Les universelles affirmatives
E Less négatives
I Les particulièress
O Less négatives
C'est au Moyen Age que l'on a pris l'habitude de désigner par les voyelles
A, E, I et O ces quatre types. Nous verrons que cela permet un procédé
mnémotechnique pour retenir les différentes formes de raisonnements
(syllogismes) valides.
Remarque sur les modalités
Toute prémisse pose soit une attribution pure, soit une attribution nécessaire, soit une
attribution contingente ; ces différentes prémisses sont elles-mêmes les unes affirma­
tives et les autres négatives suivant chacune des modalités de l'attribution ; à leur
tour, les prémisses affirmatives et négatives sont les unes universelles, les autres
particulière, les autres indéfinies.
Aristote, Premiers Analytiques, I, 2, 25a, 1-5.
Tous les jours sont de 24 heures : attribution pure.
// est nécessaire que les nombres pairs soient divisibles par 2 : attribution
nécessaire.
// est possible qu 'un nombre premier soit impair : attribution contingente.
II est évident que les raisonnements prendront des formes différentes sui­
vant que les propositions qui les composent auront une modalité différente.
Aristote étudie séparément les syllogismes catégoriques (attribution pure) et
les syllogismes modaux {Premiers Analytiques, 1-8 à 1-22). La logique mo­
derne a développé des formalismes pour la modalité (cf. le livre de
J.L. Gardies, Essai sur la logique des modalités). Nous n'étudierons pas ici
ces logiques modales.