Introduction au traitement du signal : exercices, corrigés et rappels de cours (coll. Traitement du signal)

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Forts de dix ans d'expériences dans l'enseignement, la pratique industrielle et les laboratoires de recherche, les auteurs réunissent dans ce livre les connaissances en TS et certaines applications associées, indispensables à une formation scientifique. Chaque thème abordé fait l'objet d'une fiche de cours très complète présentant les résultats essentiels, suivie d'énoncés d'exercices de base. Seuls les signaux numériques sont traités. Les thèmes retenus sont l'échantillonnage, le filtrage numérique, la transformée de Fourier discrète, les signaux aléatoires stationnaires, l'analyse spectrale non paramétrique et l'estimation linéaire supervisée.
1. Introduction à la communication Problème de communication - Echange de données - Partage de données 2. Les fondements de la norme STEP Structure de la norme - Ressources intégrées - Protocoles d'application - Mise en œuvre informatique - Méthodes d'implémentation - Conformité 3. Introduction au langage EXPRESS Présentation du langage - Instanciation dans EXPRESS 4. La notation EXPRESS_G Les bases de la notation - Les symboles de définition - Symboles relationnels - Symboles de composition - Diagramme d'une entité - Diagramme des schémas - Diagrammes complets 5. La méthode NIAM Notation graphique Niam - Exemple de schéma NIAM - Modélisation avec NIAM 6. Les méthodes IDEF0 & IDEF1X La méthode IDEF0 - La méthode IDEF1X 7. Format d'échange de données Structure d'un fichier de données - Méthode d'instanciation - Syntaxe de la notation 8. L'interface standard d'accès aux données STEP Les opérations SDAI - Langage d'implémentation 9. Applications et mises en œuvre Les outils de base - Echange de données - Partage de données - Traduction vers STEP
Publié le : mercredi 5 février 2014
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Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782746234222
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collection traitement du signal
Introduction
au traitement
du signal
exercices, corrigés
et rappels de cours
Patrick Duvaut
François Michaut
Michel Chue
HERMES Introduction au traitement
du signal Collection Traitement du signal
dirigée par Patrick DUVAUT et Dominique GARREAU
Le traitement du signal est devenu une discipline à part entière. La diversité des
champs d'application et le degré d'expertise qu'il véhicule nécessitent - afin d'être
présentés avec le même niveau d'exhaustivité et d'impartialité - une véritable
collection. Celle-ci éditera des ouvrages didactiques fondamentaux et des mono­
graphies spécialisées sur des thèmes à la pointe de la recherche : analyse de
signaux non stalionnaires, déconvolution...
DÉJÀ PARUS
Traitement du signal - concepts et applications, Patrick DUVAUT, 1991 et
E
2 édition revue el complétée, 1994.
Méthodes adaptatives pour le signal - outils mathématiques et mise en
œuvre des algoritlunes, François MICHAUT, 1992.
Temps-fréquence, Patrick FLANDRIN, 1993 .
Réseaux neuronaux et traitement du signal, Jeanny HÉRAULT et Christian
JUTTEN , 1994. Introductio n
a u traitement
d u signal
Exercices, corrigés et rappels de cours
Patrick Duvaut
François Michaut
Michel Chue
HERMES © Hermès, Paris, 1996
Editions Hermès
14, rue Lantiez
75017 Paris
ISB N 2-86601-529-0
ISS N 1159-103X
Catalogagc Electre-Bibliographie
Duvaut, Palrick*Michaut, François*Chuc, Michel
Introduction au traitement du signal : exercices, corrigés et rappels de cours. - Paris :
Hermès, 1996. - (Traitement du signal)
ISBN 2-86601-529-0
RAMEAU : traitement du signal : problèmes et exercices
DEWEY : 621.61 : Physique appliquée. Théorie du signal et des communications.
Traitement du signal
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, laite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4).
Celte représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc
une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété
intellectuelle. Table des matières
Introduction 7
Notations et abréviations 9
Première partie : fiches des cours et exercices 11
Chapitre 1. Transformées 13
1.1. Transformation de Fourier
1.2. Transformée en z 20
1.3.e de Fourier discrète5
Chapitre 2. Echantillonnage 37 e 3. Filtrage discret 49
Chapitre 4. Caractérisation du second ordre 6
4.1. Corrélation et DSP 6
4.2. Filtrage des signaux aléatoires 78
Chapitre 5. Analyse spectrale non paramétrique 8e 6. Estimation linéaire supervisée 9
Deuxième partie : corrigés des exercices 103
Chapitre 1. Transformées5
1.1. Transformation de Fourier
1.2. Transformée en z 11
1.3.e de Fourier discrète 12
Chapitre 2. Echantillonnage 141 e 3. Filtrage discret 159
Chapitre 4. Caractérisation du second ordre 18
4.1. Corrélation et DSP 18
4.2. Filtrage des signaux aléatoires 206
Chapitre 5. Analyse spectrale non paramétrique 21e 6. Estimation linéaire supervisée 235
Bibliographie 243
Index6 Introduction au traitement du signal
REMARQUE. Numérotation des énoncés, corrigés d'exercices et des formules.
Les énonces des exercices et corrigés associés portent exactement le même numéro
qui commence par le rang du chapitre correspondant (exemple : énoncé et cor­
rigé 5.1. relatifs au chapitre 5). Les numéros des formules contenues dans les fiches
de cours utilisent comme préfixe le rang du chapitre où elles sont introduites, elles
sont présentées entre parenthèses (exemple : (5.4) désigne une formule de cours du
chapitre 5). Les numéros des formules apparaissant dans les énonces et corrigés
n'utilisent pas le préfixe du chapitre. Files sont aussi présentées entre parenthèses
(exemple : la relation (3) de l'énoncé 5.2. et la formule (4) du corrigé 5.4.). Introduction
Les traiteurs de signaux ont élaboré depuis maintenant une quarantaine d'années
des outils de mise en forme, de filtrage, de débruitage, de caractérisation, de
détection, d'estimation, d'optimisation, d'interprétation, etc., qui visent tous à révéler
avec la plus grande acuité possible, l'information contenue dans des signaux extraits
de champs opératoires très souvent "hostiles" en ce qui concerne les conditions
d'enregistrement : faible rapport signal sur bruit, temps de mesure très court, non-
stationnarités...
En outre, les progrès considérables accomplis ces vingt dernières années en
termes de rapidité, de capacité des mémoires, de facilité de programmation des
calculateurs et processeurs spécialisés, mettent désormais à la disposition des
utilisateurs, des algorithmes numériques "temps réel" d'implantation de tous ces
outils.
Le traitement du signal, TS, est ainsi devenu une "métadiscipline" qui rend
d'immenses services dans des champs d'application tels que les télécommunications,
l'aéronautique, l'automobile, le spatial, l'exploitation de l'énergie nucléaire, la
défense, le multimédia, la sûreté des installations industrielles, la médecine,
l'astrophysique, l'agriculture, la prospection pétrolière, la sismique, le traitement de
la parole, etc.
Le nombre et la diversité des industriels et grandes institutions d'état, faisant
appel à un savoir-faire en traitement du signal témoignent de l'universalité et de
l'enjeu crucial de cette discipline dans le cursus et l'emploi de l'ingénieur scientifique
de demain.
A cet égard, les formations scientifiques de l'enseignement supérieur (IUP, /UT,
BTS, écoles d'ingénieurs, premier, second et troisième cycles des universités)
présentent toutes désormais les éléments de base du traitement du signal, ou y font
largement référence. I^s ouvrages en la matière sont nombreux, mais exercices
corrigés et cours sont rarement réunis dans un même livre. 8 Introduction au traitement du signal
C'est la volonté du présent ouvrage.
A la lumière d'une expérience d'une dizaine d'années dans l'enseignement de la
discipline à tous les niveaux, de sa pratique industrielle et dans des laboratoires de
recherche, les auteurs collectent dans ce livre les connaissances en TS et certaines
applications associées, indispensables à la formation scientifique dans ce domaine.
Manière et forme sont originales et faciles d'accès puisque chaque thème abordé
fait l'objet d'une fiche de cours très complète présentant les résultats essentiels. Elle
est suivie d'énoncés d'exercices de base. Des applications plus approfondies sont
traitées dans des sujets dont la difficulté est signalée par une ou deux étoiles. Les
corrigés correspondants sont donnés de manière très détaillée dans la seconde partie
de l'ouvrage, afin de susciter la réflexion du lecteur.
Intérêt pédagogique et souci de réalisme, à l'attention du plus grand nombre de
profils de lecteurs, nous ont inclinés à considérer seulement les signaux numériques.
Nous n'avons pas jugé utile de consacrer un chapitre aux probabilités qui font partie
intégrante de la culture générale du scientifique. Quelques points d'entrée sont
cependant proposés dans la liste des références bibliographiques en fin d'ouvrage.
Les thèmes retenus, l'échantillonnage, le filtrage numérique, la transformée de
Fourier discrète, les signaux aléatoires stationnaires, l'analyse spectrale non
paramétrique et l'estimation linéaire supervisée sont destinés aux étudiants d'IUT,
de BTS , d'IUP, de licence-maîtrise, de première et deuxième années d'écoles
d'ingénieur qui s'initient au TS.
Les étudiants de DEA de TS, non spécialistes du domaine, ainsi que des
ingénieurs généralistes ou de spécialité autre y trouveront également les
mécanismes de mise en application des bases, qui leur font parfois défaut. Les
professeurs trouveront également des indications pédagogiques pour l'élaboration de
leurs cours.
En reprenant les thèmes de base de l'ouvrage TS, Concepts et Applications, paru
chez le même éditeur, cet ouvrage les aborde à travers des exercices corrigés, dans
un langage direct et explicatif.
Le 22 décembre 1995,
Patrick Duvaut, François Michaut, Michel Chue. Notations et abréviations
Ensembles numériques R,C,Z, N
2 Espace de Hilbert des v.a. de carré intégrable H=L (ii )
d Espace euclidien standard H=R
Produit scalaire sur H espace de Hilbert <x,y>
2 Fonctions de carré intégrable sur [a,b] L ([a,b]) s sommables sur R L l
suitess sur Z 11
suites de carré sommable sur Z |2
Fonctions C°° à décroissance rapide sur R S
1 Distributions tempérées, dual de S s
o TF du signal x
x(v) TZ de la séquence x[n]
X(7.)
signal retourné conjugué
*t) =x(-t)* , x [n]=x[-n]*
fonction de corrélation de x
Yx(p)
densité spectrale (dsp)
Y°x(v) ,ve[l]
densité en z du p.a.d. stationnairc x
Y x(/)
intervalle des fréquences de longueur 1
[1 ]
échelon unité (continu ou discret) U(t), U[nJ
Dirac (continu ou discret) 8(t), S[n]
Distribution en valeur principale vp
Transformée de Fourier TF e en z TZ
Transformée de Fourier Discrète TFD e de Fourier Rapide TFR, FFT
Filtre Linéaire Invariant Discret FLID
Filtre à réponse impulsionnelle finie RIF\transverse
Filtre àee infinie RII, récursif 10 Introduction au traitement du signal
Rapport Signal sur Bruit RSB, S/ B
variable aléatoire va. , VA
propriété "presque sûre" (avec proba 1 ) p.s.
en moyenne quadratique (convergence) m q.
erreur quadratique moyenne eqm
densité spectrale de puissance dsp, DSP
processus aléatoire p.a. , PA
indépendant identiquement distribué (p.a.) i.i.d., bruit blanc fort
processus aléatoire discret p.a.d., PAD
densité de probabilité DDP
Fonction caractéristique d'une v.a. PC n de Répartition d'une v.a. F R Première partie
Fiches des cours et exercices Chapitre 1
Transformées
1.1. Transformation de Fourier
FICHE DE COURS
1 TF sur L
1 : / I f(t) I dt <+ « alors TF(f)=iF(f)=f définie par feL si
R
2i7CVtf(v) =/f(t) e- dt (1.1)
R
(1.2) • Propriétés générale»
o
a» f est une fonction continue, nulle à l'infini

J(f*g)=^(f).Jfe)
c« 2ijcvafF( f(t-a))=e- iT(f)
d» f(f')= 2iKV. !T(f)
e» J(-2ijrt.f)= J(f) '
1 1 2i7tv tSi ^(DeL , «t)=J ( f) (t) = / f(v) e dv f • Inversion
R 14 Introduction au traitement du signal
TF sur S
Si feS ( fonctions C°° à décroissance rapide) ,
La TF est une isométrie sur S :
Parseval <f,g>=/f(t)g(t)*d t =<f ,°g> (1.3)
R
TF sur , isométrie
2Sur l'espace de Hilbert L des fonctions de carré intégrable, muni du
produit scalaire ci-dessus, l'isométrie If définie sur le sous-espace
dense S se prolonge de façon unique. Son inverse est ^ Pour
2
feL , on a
jF(f)(v)=lim m.q. pour L—
TF des distributions tempérées ( S )
La TF d'une distribution tempérée D (agissant sur <pe S ) est définie
par dualité:
<jT(D),(p>=<D, J(<p)> (1.4)
If est alors une application linéaire continue de S dans S , à
laquelle s'étendent toutes les propriétés élémentaires ci-dessus.
Exemples fondamentaux:
(1.5) lf(8)=l
(1.6) Peigne de Dirac: 5(UJ )= ^ Wi/r TTransformation de Fourier 15
Rappel : dérivatio n au sens des distributions
Si f(t) est continue par morceaux, discontinue en tk , derivable sur
ses intervalles de continuité, f (t) sa dérivée au sens des fonctions pour
tetk, la distribution Df associée a poure
EXERCICE S
Propriétés d e base
1.1.1 x(t) est une fonction réelle. Relation entre TF(x(t)) et TF(x(-t))?
0 111
atApplication: déduire de jT(U(t)e- ) fie'- ).
1.1.2 Modulation: Evaluer jF(cos(27rvot)f(t)). Exemple: f(t)=l[. a](t), a)
visualiser .
1.1.3 Dérivation: Déduire du (1) que
a 1 1En déduire par parité J{ 111 e" * ) .
1.1.4 Calculer x *x (t) pour a D
1.1.5 Soit x(t)=l / ,i/2](t ) et y(t )=l [. ](t) .
M 2 U
a) écrire la formule de Parseval appliquée à <x,x> et <x,y>.
2b) Calculer h(t)=x*y(t), fF(h), Il J{h)\\ . 16 Introduction au traitement du signal
1.1.6 Signaux à bande limitée (*)
O n rappelle que la TF est une isométrie de l'espace de Hilbert
2H=L (R ) sur lui-même : C
Vf.ge H <f,g>=/flt)g(t)*d t =<f ,°g>
R
a) Montrer que si f,geH, f*g existe et f*g=
_ \ o o
F (f.g) (Interpréter en terme de produits scalaires)
2b) On note Hi=BL [-0,+aJ le sous-espace de H des fonctions x(t)
o
dont la T F x(v) est nulle hors de la band e L-o,+a] :
2x(v) e H2=L f-a,o] , e t H i est l'image de H2 dan s H par *T
2 Energie: E=ll xll (1)
Qu e devient par f ^ la base hilbertiennc de H 2
(2)
1 o
On notera (p(t)=j (<pn) • L'exprime r en fonction de (po(t). n
c) Pour x(t)eHi, développer
-\-oo
x(t)= ^ c,-! cp (t) n
- DO
et calculer c . Ecrire Bessel-Parseval et interpréter ce n
développement .
d) Propriétés des fonctions BL : déduir e de (1) qu e a
lx(t) l <yfïôË
n nx(t)e C°°(R) et I x( )(t ) I < (2rco) V2ÔË
x(t) est analytique entière , donc ses zéros sont isolés et
x(t) ne s'annule sur aucun intervalle
e) Meilleure approximation dans H\
Soit x(t)€H. Montrer que sa projection orthogonale sur H i est
P x = V2Ô x* <po aTransformation de Fourier 17
Calculer le développement
et comparer au c de 3) et interpréter. n
2
Evaluer l'erreur quadratique minimale II x- P xll0
Exemple: Traiter le cas de
T F des distributions
2 21.1.7 Soit g(x) la fonction 1-périodique, t.q. g(x)=7i (2x -2x+l/3) sur
10,1].
a) La représenter.
b) Montrer que
c) Calculer directement et sur la série de Fourier la dérivée (au
sens des distributions) g "(x), et en déduire que
puis par changement de variable obtenir la série de Fourier
de W (x).
T
1.1.8 TF de la distribution vp(l/t) (')
Soit U(t) l'échelon unité, et i la distribution tempérée
définie par
V est la valeur principale de 1/t.
a) Montrer que x.V=l
b) En déduire jF(V) 18 Introduction au traitement du signal
Indication: déduire de a ) !f(V) ' puis intégrer et utiliser le fait
que V est une distribution impaire pour déterminer la
constante d'intégration.
c ) Calculer 5(U(t)), J(tU(t)), T( 111 ) .
1.1.9 Formule sommatoir e de Poisson
Soit f(t) e S (fonction C°° à décroissance rapide) et <p(t)=f*lllT(t).
o
Calculer cp(v) =TF{(p), puis retrouver f(t) par inversion de
Fourier .
E n déduire, pour t=0
1.1.10 T F des suites numériques (*)
Soit {x(n)} z une suite complexe, à croissance modérée à ne
l'infini. On lui associe la distribution tempérée
L a TF de x est alors la T F de la distribution T , série de Fourier 1-x
périodique
o
a) Préciser la nature de x(v ) selon que la suite x(n) est bornée,
2 2 dans W, dans l , à décroissance exponentielle. Dan s le cas l
(énergie finie), écrire les relations d'isométrie (Bessel-
Parseval) .
Suites N-périodiques
On suppose que x(n+N)=x(n). On note
b) Exprimer T à l'aide de XN(t). xTransformation de Fourier 19
o o
c) Calculer la TF x]\j(v) de x^Ct), puis exprimer x(v) .
o m
d) Exprimer la 1-périodicité de x(v) à l'aide du peigne ID(v), et
en déduire par TF inverse
avec
Il en résulte le couple de relations, entre les 2 suites N-
périodiques x(n) et , appelé Transformée de Fourier
Discrète (TFD):
e) Interpréter les relations ci-dessus comme décomposition,
dans l'espace muni de son produit scalaire canonique
T, du vecteur X=[x(0),...,x(N-l)] dans
la base orthogonale ej^te^inkn/N Jo<<N-l et écrire les n
relations d'isométrie de la TFD qui en résultent. 20 Introduction au traitement du signal
1.2. Transformée en z
FICH E DE COUR S
Définition
La Transformée en z (ou TZ ) associe à une séquence numérique, une
fonction analytique de z sur une couronne: c'est l'équivalent discret de la
Transformée de Laplace bilatérale.
O n notera ici la ;neZl«-»A(z) la correspondance entre suites et T.Z. Cet n
outil est étroitement lié à la convolution discrète des suites, définie par
Remarque: dans les autres chapitres, la TZ de la séquence {ykl sera
aussi notée y(z).
Opération s élémentaires
(1.9)
a (a*b) <->A(z)B(z ) n
k
b an-k z"A(z)
c
d Transformée en z 21
INVERSION
Elle est définie pour le couple (A(z) , D=(ri<|z |<r2)l , D étant une
couronne d'analyticité de A(z): on obtient l'original de A en la
. Les formules développant en série de Laurent sur
intégrales de Cauchy donnent:
y cercle de centre 0 contenu dans D (1.10)
En utilisant le théorème des résidus, on obtient:
pi pôles de A intérieurs à y (1.11)
• Cas des fractions rationnelles
L'inversion est réalisée après décomposition en éléments simples.
L'unique inverse causal est obtenu par (cf. El.2.4):
pour | z | > | a | (1.12)
EQUATIONS AUX DIFFERENCE S FINIES (EDF)
Ce sont les équations récurrentes linéaires à coefficients constants:
a uao Yk+a 1 yk-1 +••• + p yk-p= k (EDF non-homogène)
0 m aOYk+ai yk-l+ - +ap yk-p=F homogène )
On associe à (1) son équation caractéristique:
anrP+airP-U... +a =P(r)=0 (1.13)
p
Racines: ri,r2,.,r m multiplicités ai,...,a avec I ai=p
m22 Introduction au traitement du signal
Théorème:
L'ensemble des solutions de (2) est un espace vectoriel de
dimension p. Une base en est
{e } ave cij i=là m, j=0 à od-1 • eij(k)=kJ.rik
La solution générale de (1) s'écrit alors y(k)=yo(k)+yi (k),
où yo est solution générale de (2), y i solution particulière de (1)
TZ et EDF
On s'intéresse à la solution causale (c-à-d nulle pour k<0) de (1) et (2).
On peut alors utiliser efficacement la TZ.
• Réponse impulsionnelle et TZ
La r.i. (causale) de (1) est l'unique solution causale hfc de (1) avec
uk=ô(k). On a la relation de TZ:
_1, A(z)=ao+aiz +...+apZ"P (1.14)
H(z) est appelé transfert en z de l'EDF (1).
• Solution générale
Si U(z) est la TZ de l'entrée (u^) (supposée causale) de (1), l'unique
solution causale (y^) est définie par
yk=h*u(k) ^ Y(z)= H(z)U(z) (1.15)

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