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Mathématiques et informatique MPSI 1re année, nouvelle éd.

De
596 pages
Le nouveau M&A Mathématiques et informatique 1re année MPSI : pour acquérir l'essentiel. Si vous éprouvez des difficultés à mémoriser les points fondamentaux du cours. Si vous n'avez pas l'impression de posséder les bons réflexes. Le nouveau M&A Mathématiques et informatique 1re année MPSI vous propose une approche plus claire et plus directe grâce à sa partie "Méthodes". Chaque chapitre y présente les points du cours à retenir sous forme de grandes questions et les savoir-faire clefs sous forme d'exercices types analysés. C'est la certitude non seulement d'apprendre mais aussi de comprendre.
Logique et ensembles. Nombres complexes et trigonométrie. Limites
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M
Collection
& A
Mathématiques
et informatique
re
année1
MPSI
Licences scientifiques
Nouvelle édition4599_ Page 2 Vendredi, 12. mars 2010 9:19 09
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DANGER
LE
PHOTOCOPILLAGE
TUE LE LIVRE
© LAVOISIER, 2010
ISBN : 978-2-7430-1232-5
Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des
pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur ou du Centre Français
d’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), est illicite et constitue
une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à
l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et, d’autre part, les analyses
et courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle
erelles sont incorporées (loi du 1 juillet 1992-art. L 122-4 et L 122-5 et Code pénal art. 425).4599_ Page 3 Vendredi, 12. mars 2010 9:19 09
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M
Collection
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Mathématiques
et informatique
re
année1
MPSI
Licences scientifiques
Méthodes & Annales
Max HOCHART Hervé GUILLAUMIE Michel WIGNERON
Professeur agrégé Professeur de chaire Professeur de chaire
Sup MPSI supérieure – Spé PSI* supérieure – Spé MP*
Camille BIECHE Pierre GUERINI Rémi CHMURA
Professeure agrégée à l’Université. Professeur agrégé et docteur
Docteure en mathématiques en mathématiques – Sup PCSI supérieure – Spé PSI
Cécile SCHREIBER Gilles SCIUTO Jean-Claude MARTIN
Professeure agrégée Professeur agrégé Professeur de chaire
Sup BCPST Spé PC supérieure – Spé PC*
Fenêtre sur les concours actuels
René ADAD Agnès BOREL Max HOCHART
Professeur de chaire Professeure de chaire Professeur agrégé
supérieure – Sup MPSI supérieure – Spé MP* Sup MPSI
11, rue Lavoisier
75008 Paris4599_ Page 4 Vendredi, 12. mars 2010 9:19 09
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Pour vous accompagner en prépa ou en université :
M
Collection
& A
Un ouvrage par matière et par année comprenant :
Une partie Méthodes Une partie Annales
• Le cours en questions • Pour maîtriser les bases
• Les savoir-faire clefs • Pour approfondir
Mathématiques
re• M&A Mathématiques 1 année PCSI - PTSI par C. Bièche, A. Borel, R. Chmura, P. Guerini,
H. Guillaumie, M. Hochart, C. Schreiber, G. Sciuto, M. Wigneron et J.-C. Martin.
re• année MPSI par R. Adad, C. Bièche, A. Bor. Guerini, eiber
e• M&A Mathématiques 2 année PC PC* - PT PT* par S. Added, C. Bièche, A. Borel, R. Chmura,
S. Damour, H. Guillaumie, D. Lepelletier, F. Pélanchon, G. Sciuto et J.-C. Martin.
e• M&A Mathématiques et informatique 2 année MP MP* par R. Adad, A. Borel, S. Damour, P. Guerini,
H. Guillaumie, M. Hochart, F. Pélanchon et J.-C. Martin.
e• M&A Mathématiques 2 année PSI PSI* par S. Added, L. Blanc-Centi, S. Damour, H. Guillaumie,
F. Pélanchon, O. Rivière, L. Verschueren et J.-C. Martin.
Physique
re• M&A Physique 1 année PCSI par P. Grécias et J.-P. Migeon.
re• année MPSI - PTSI par P. Grécias et J.-P. Migeon.
re• année BCPST-VÉTO par P
e• M&A Physique 2 année PC PC* par S. Olivier.
e• année MP MP* - PT PT* par D. Augier et C. More.
e• année PSI PSI*e.
e• M&A Physique 2 année BCPST-VÉTO par J. Charlemagne et P. Grécias.
Chimie
re• M&A Chimie 1 année PCSI par P. Grécias et V. Tejedor.
re• année MPSI - PTSI par P. Grécias et V. Tejedor.
re• année BCPST-VÉTO par P. Tejedor.
e• M&A Chimie 2 année PC PC* par P. Grécias et V. Tejedor.
e• année MP MP* - PT PT* par P. Grécias et V. Tejedor.
e• année PSI PSI* par P. Grécias et V. Tejedor.
e• M&A Chimie 2 année BCPST-VÉTO par P. Tejedor.4599_ Page 5 Vendredi, 12. mars 2010 9:19 09
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Avant-propos
Amis étudiants
La collection Méthodes & Annales se donne comme objectif de
répondre à vos besoins en mathématiques, physique ou chimie, pour toute
CPGE, par une approche novatrice.
Réduire le fossé ressenti entre :
« suivre un cours » et « passer une épreuve de concours ».
• Vous avez du mal à apprendre le cours ? Vous ne voyez pas l’essentiel ?
La rubrique Méthodes « le cours en questions » vous précise les outils
d’aide à l'apprentissage et à la compréhension en profondeur du cours. Elle
n’a néanmoins pas vocation à se substituer à un ouvrage de cours
traditionnel.
Sous forme de questions ponctuelles, cette partie vous permet de
mémoriser des points fondamentaux.
• Vous avez du mal à passer du cours aux exercices ? Vous avez besoin
que l’on vous guide ?
La rubrique Méthodes « les savoir-faire clefs » structure les connaissances
essentielles autour de quelques démarches fondamentales.
Sous forme d’exercices soigneusement sélectionnés, cette partie vous
permet d’acquérir des réflexes méthodologiques essentiels.
• Vous souhaitez faire des « annales » pour préparer efficacement une
colle, un DS, un concours ?
La rubrique Annales « pour maîtriser les bases » vous permet de vous
entraîner sur des exercices et problèmes de concours très classiques, en
utilisant les repères acquis précédemment.
Sous forme d’extraits récents (des écrits ou des oraux), cette partie propose
des solutions totalement rédigées qui viennent asseoir définitivement vos
connaissances.
• Vous souhaitez optimiser vos chances aux concours et consolider
votre formation ?
La rubrique Annales « pour approfondir » vous propose d’accéder à un plus
haut niveau, ou de vous confronter simplement à des situations nouvelles.
Sous forme de textes de concours (des écrits ou des oraux) plus pointus
ou plus abrupts, cette partie nécessite souvent plus de réflexion, et
développe vos facultés d’adaptation ultérieures.
5
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M&A Maths-Informatique AVANT-PROPOS
Cet ouvrage est un guide de travail complet qui doit vous
accompagner tout au long de votre année de prépa.
De l’apprentissage à l’autonomie
• Cet ouvrage n’est pas conçu comme un simple ouvrage d’exercices et
problèmes corrigés.
Son but n’est pas seulement d’apprendre telle résolution mais d’apprendre
à apprendre. D’où l’idée de montrer par chapitre que quelques savoir-faire
clefs permettent de résoudre tous les problèmes. Tous les corrigés sont
agrémentés de nombreuses aides ponctuelles du type Conseils
méthodologiques, Erreurs à éviter, Remarques ou Éléments à mémoriser…
Fournir des annales abordables à tout moment de l’année
• Cet ouvrage n’est pas conçu comme un ouvrage brut d’annales.
Son but n’est pas d’aligner simplement tous les problèmes d’une filière.
re eEn général, ces sujets portent sur l’ensemble du programme de 1 et 2
années et ne sont faisables qu’une fois le cours achevé. Là, les sujets sont
découpés, ce qui permet l’apprentissage selon l’avancement de votre
cours.
En fin d’ouvrage, un dernier chapitre donne des annales dans leur
intégralité : Fenêtre sur les concours actuels. C’est désormais l’occasion
de mettre en œuvre de façon autonome tous vos acquis sur des sujets
actuels de votre filière.
En conclusion, nous souhaitons remercier les éditions Lavoisier Tec & Doc
pour le travail de présentation remarquable fait sur cet ouvrage, ainsi
qu’Isabelle Clément, Éric Trémeau, Pierre Grécias, Yves Lemaire et Laurent
Fouquet pour leurs conseils ou leur relecture.
Il reste sans doute de nombreuses imperfections et nous vous serions
reconnaissants de nous faire part de vos critiques et suggestions.
Les auteurs
Notations
La nature des textes insérés en marge ou décrochement est précisée par
l'un des quatre logos suivants :
: résultat important (à mémoriser) ou remarque importante.
: conseil méthodologique ou commentaire sur le contenu d'un exercice.
: erreur à éviter.
: rappel concernant les techniques de calcul.
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Table des matières
Avant-propos ................................................................................... 5
Chapitre 1 – Logique et ensembles
Méthodes ........................................................................................... 9
Annales.............................................................................................. 27
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Méthodes 37
Annales 50
Chapitre 3 – Limites, continuité et comparaison des fonctions
Méthodes ........................................................................................... 59
Annales 75
Chapitre 4 – Suites de nombres réels
Méthodes 83
Annales 99
nChapitre 5 – Fonctions de classe C
Méthodes ........................................................................................... 111
Annales.............................................................................................. 123
Chapitre 6 – Formules de Taylor, développements limités
Méthodes 131
Annales 150
Chapitre 7 – Intégration sur un segment
Méthodes 167
Annales 179
Chapitre 8 – Calcul de primitives
Méthodes 189
Annales 205
Chapitre 9 – Équations différentielles
Méthodes ........................................................................................... 211
Annales.............................................................................................. 219
Chapitre 10 – Fonctions de deux variables réelles
Méthodes 229
Annales 242
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M&A Maths-Informatique TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 11 – Intégrales doubles
Méthodes ........................................................................................... 245
Annales.............................................................................................. 259
Chapitre 12 – Structures algébriques – Arithmétique
Méthodes 263
Annales 277
Chapitre 13 – Espaces vectoriels et applications linéaires
Méthodes 291
Annales.............................................................................................. 306
Chapitre 14 – Matrices
Méthodes ........................................................................................... 315
Annales 334
Chapitre 15 – Déterminants
Méthodes 349 359
Chapitre 16 – Polynômes
Méthodes 371
Annales 382
Chapitre 17 – Fractions rationnelles
Méthodes ........................................................................................... 389
Annales.............................................................................................. 396
Chapitre 18 – Espaces euclidiens
Méthodes 403
Annales 418
Chapitre 19 – Courbes planes
Méthodes 431
Annales 445
Chapitre 20 – Géométrie analytique
Méthodes 453
Annales 466
Chapitre 21 – Calcul formel en Maple
Méthodes ........................................................................................... 473
Annales.............................................................................................. 493
BILAN
Chapitre 22 – Fenêtre sur les concours actuels .................................................... 511
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Chapitre 1
Logique et ensembles
Méthodes
Le cours en questions
1 ■ ■ Logique
1.1 Que signifie PQ⇒ ? Quelle est sa négation ?
•PQ⇒ signifie « Q est vraie ou P est fausse ». On dit : Q ou non P. Exemple : ()10=⇒(2=3) est
une implication vraie ! Elle• En pratique, on se sert de ce symbole pour dire que « si P est vraie alors Q
signifie : (23= ) est vraie ouest vraie » mais cette définition dit aussi « si Q est fausse alors P est fausse ».
(10= ) est fausse.2 2Exemple : « x =−1 ⇒ x = 1 » signifie « x = 1 est vraie ou x =−1 est
2fausse ». En pratique, on s’en sert pour dire « si x =−1 alors x = 1 ».
• La négation de PQ⇒ est non (Q ou non P) c’est-à-dire (non Q et P).()
Il faut se ramener à ces définitions pour bien comprendre la contraposition
et le raisonnement par l’absurde.
1.2 Quelle est la contraposée de PQ⇒ ?
La contraposée dePQ⇒ est non Q ⇒ non P .()()
Signification : non Q ⇒ non P signifie (non P ou non non Q), c’est-à-dire() xy=⇒10 = a même
signifiQ ou non P. cation que yx≠⇒01 ≠ .
Donc PQ⇒ et sa contraposée non Q ⇒ non P ont même signification.() ()
On peut l’exprimer, dans un
1.3 Quelle est la différence entre condition raisonnement, par :
Pour que R il suffit que CS , sisuffisante et condition nécessaire ?
CS alors R , CS donc R , CS par
• Une condition CS est suffisante si, quand elle est satisfaite, le résultat conséquent R , CS par suite R ,
R considéré est vrai. La condition suffisante implique le résultat : CS ⇒ R CS d’où R .
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
• Dire qu’une condition CN est nécessaire signifie que le résultat ROn peut l’exprimer dans un
considéré est vrai seulement si la condition CN est réalisée. C’est-à-direraisonnement par : « pour que
que le résultat implique la condition nécessaire : RC⇒ N .R il faut que CN », ou « pour
que R il est nécessaire que Par exemple : IA = IB est une condition nécessaire pour que I soit le milieu
CN », ou « on a R seulement si ⎡ ⎤du segment AB .⎣ ⎦
CN ».
1.4 Comment prouver que PQ⇒ ?( )
• Raisonnement direct
On suppose P vraie et on démontre que Q est vraie. C’est le raisonnement
le plus courant.
• Raisonnement par contraposition
Pour établir que PQ⇒ et sa contraposée non Q ⇒ non P ont même signification.() ()
xyxy≠⇒ee≠ , On peut donc prouver PQ⇒ en supposant que Q est fausse et en
on peut démontrer que
démontrant que P est fausse.
xyee=⇒xy= .
• Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer un résultat R par l’absurde, on suppose que R est faux
et on montre qu’on obtient alors une contradiction.
Donc, pour démontrer PQ⇒ , on peut supposer que PQ⇒ est fausse() ()
puis montrer qu’on obtient une contradiction. Or la négation de PQ⇒()
est (non Q et P).PQ⇒Q est fausse()Ne pas confondre
raisonneet que P est vraie puis on cherche à aboutir à une contradiction.ment par l’absurde et
raisonnement par contraposition.
1.5 Comment prouver PQ⇔ ?
• Raisonnement par équivalence
PQ⇔ 1On conserve les équivalences entre les propositions successives :
⇔ Q
• Implication et implication réciproque
On démontre PQ⇒ puis QP⇒ .
• Implication et contraposition
On démontre PQ⇒ , puis non P ⇒ non Q .
1.6 Comment rédiger un raisonnement
par récurrence ?
Soit , une propriété définie sur , et n la proposition :Si les deux hypothèses n et ()()
n +1 sont nécessaires pour() « La propriété est vraie au rang n ».
démontrer n + 2 , on utilise() On rédigera une récurrence sous la forme suivante :
alors la rédaction suivante :
Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ n, n.1) (Initialisation) net n +1. ()() () 00 0
2) (hérédité) Soit n ≥ n. Suppo-0 1) Initialisation : en n effet…() 0
sons : nnet + 1 …() ()
2) Hérédité : soit n ≥ n . Supposons n alors… donc n +1 .() ()0donc . n + 2()
D’après le principe de récurrence, pour tout entier n ≥ n, . nAlors pour tout entier n ≥ n : ()00
n .() Dans certains cas, on peut avoir besoin de n , …, n −1 , n pour() () ()0
démontrer n +1 . On utilise alors une autre forme du raisonnement par()
récurrence, appelée récurrence forte :
10

4599_01a_C01M Page 11 Mardi, 16. mars 2010 8:52 08
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Logique et ensembles Chapitre 1
S’il existe un entier n tel que :0
1) Initialisation : n .() 0
2) Hérédité : Pour tout entier n ≥ n on a :0
⎡ ⎤ (hérédité « forte » à partir de n ).nn,, +11L, n⇒+n() () () () 000⎣ ⎦
Alors, pour tout entier n ≥ n : n .()0
2 ■ ■ Sommes, produits et développements.
Soit p et q deux entiers naturels tels que pq≤ et aa,,L,a ,a , despp+−11 q q
nombres complexes.
q
2.1 Que désigne a ?∑ k
kp=
q
Par définition : aa=+a +L+a +a . Cette expression se lit « sigma∑ k pp+−11q q
kp= des ade kp= à q » ouk
« somme des a pour k variantkOn dit que aa++L+a +a est l’écriture en extension de la sommepp+−11q q de pà q ».
q
a .k∑
kp=
L’indice k est une variable muette. On peut la remplacer par n’importe
quelle autre lettre qui n’est pas déjà utilisée (en général on utilise i, j, k, l, m,
n, p, q, r, s). Ici on ne peut choisir ni p, ni q ni a mais on peut prendre i s’il
s’agit de nombres réels ou k s’il s’agit de nombres complexes.
n nn +1 5 5 5()
Par exemple : kn=+12+L+ −1+=n ; () a = a = a ∑ k i r∑ ∑ ∑2
k=1 k=2 i=2 r=2
n = aaa++ +a;234 5
c=ccc+++L+c=nc . 4∑ 1244 443
k=1 n fois bb=+b+b+b .2p 2 468∑
p=1
q
2.2 Que désigne a ?∏ k
kp=
q
Par définition : aa= a La a .k pp+−11 q q Cette expression se lit « Pi des∏
kp= a de k = p à q » ou « Produitk
des a pour k variant de p àkL’indice k est une variable muette. On peut la remplacer par n’importe
q ».quelle autre lettre qui n’est pas déjà utilisée (ici on ne peut pas choisir p, q
ou a mais on peut prendre j s’il s’agit de nombres réels ou s s’il s’agit de
nombres complexes).
10
7 7 xx = x ...xx ,∏ 2k 2 4 18 20
Par exemple : bb==bbbbb car s et k sont des variables k=1k s 3 4 567∏∏
5k==3 s 3
muettes. a =aaa a ,∏ k 2345
k=2
5
aa =aaa .∏ 7−k 54 32
k=2
11
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
2.3 Rappeler la formule du binôme de Newton.
Dans le cas de deux nombres réels a et b, la formule du binôme de Newton
s’écrit :
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞n n n
np− p kn−kab+ = ab = ab .() ∑ ⎜ ⎟ ∑⎜ ⎟
⎝ p⎠ ⎝ k⎠p=00 k=0
⎛ ⎞n p
p facteurs à partir ded n Le nombre de combinaisons de p parmi n se note ou C , et vaut :n67444 444 8 ⎜ ⎟⎝ p⎠
⎛ ⎞ nn −11L n−+pn ()() ⎛ n⎞ n!= .⎜ ⎟ = .⎜ ⎟⎝ p⎠ pp −L() ⎝ p⎠ pn!!−p()12434
p facteurs à partir de p
nn2.4 Rappeler la factorisation de xy− .
33 33 2 2Pour ab+ changer b en Cas n = 3 :.ab−=a−baa++b b()()
−b dans l’égalité précédente. 33 2 2ab+=a+baa−+b b .()
Formule : dans la formule suivante, de gauche à droite , on remarque→
que, dans la grande parenthèse, les puissances de a diminuent d’une unité
tandis que celles de b augmentent d’une unité. Dans chaque terme, la
somme de ces exposants vaut n −1.
nn n−−12n n−1−kk n−2 n−1ab– =−a b a++a b…+a b+…+ab+b .()()
1244444444444344444444444
n−10 n−2 1 nk−−1 k 1 n−2 0 n−1a ba→ ba→→… b →… → ab → a b
On peut aussi écrire :On retrouve de cette façon la
somme des termes d’une suite n−1 n−1
géométrique de raison q ≠ 1 : nn n−−1kk kn−−1k .a−=b ab− a b=−ab ab ()∑ ∑
n+11− q k=0 k=02 n1++qq + ...+q = .
1− q
3 ■ ■ Ensembles
Dans ce paragraphe, E et F désignent deux ensembles, et f est une appli-Dans une proposition
mathématique, on peut utiliser les cation de E dans F. On notera A une partie de E, et B une partie de F.
symboles suivants appelés
quantificateurs :
∀ signifie « pour tout » ou « quel
−13.1 Rappeler la définition de fA et de fB .que soit ». ( ) ( )
∀∈x se lit « Quel que soit x
appartenant à ». L’image directe de A par f est notée fA . Elle est définie par :
∃ signifie « Il existe (au moins) un ».
∃∈n se lit « Il existe (au moins) un
fA=∈y F/,∃a∈A y=f a.(cf. Fig. 1)(){}n appartenant à tel que… ».
∃! signifie « Il existe un et un seul ».
∃∈! x se lit « Il existe un unique+ On dit pour simplifier que : fA = f a / a ∈A .()
réel x positif ou nul tel que… ».
−1NB : un quantificateur n’est pas une L’image réciproque de B par f est notée fB . Elle est définie par :
abréviation. Il ne s’utilise que dans
−1des propositions mathématiques. fB=∈a E/(fa)∈B.(cf. Fig. 2){}
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Logique et ensembles Chapitre 1
f f
−1A fA BfB
Image directe Image réciproque
Figure 1 Figure 2
3.2 Qu’est-ce qu’une application injective ?
surjective ? bijective ?
En utilisant la contraposée de• Dire que f est une application injective, (ou que f est une injection,
la définition, on a aussi :cf. Fig. 3), signifie que :
f est une application injective si
2 et seulement si :∀∈(,xy) E ,f x =f y⇒=x y .() ()
2∀∈(,xy) E , ,x≠⇒y fx ≠fy() ()
c’est-à-dire : deux éléments distincts
f f ont des images distinctes par f,
ou encore tout élément y de
l’espace d’arrivée F a au plus un
antécédent x par f.
Application injective Application non injective
Figure 3 Figure 4
• Dire que f est une application surjective, (ou que f est une surjection),
signifie que :
∀∈yF, ∃∈xE, yf= x,()
c’est-à-dire : tout élément y de l’espace d’arrivée a au moins un antécédent Méthode : pour démontrer
x par f (cf. Fig. 5). qu’une application n’est pas
surjective, il suffit de donner un
élément de F qui n’a pas
d’antécédent par f.
f f
Application surjective Application non surjective
Figure 5 Figure 6
• Dire que f est une application bijective, (ou que f est une bijection), signi- Une application est bijective si
fie que : et seulement si elle est injective
et surjective.∀∈yF, ∃∈!,xE yf= x ,()
13
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
c’est-à-dire : tout élément y de l’espace d’arrivée a un et un seul
antécédent x par f. (cf. Fig. 7).
Sur la figure 8, la fonction f n’est
ni injective ni surjective. f f
Application bijective Application non bijective
Figure 7 Figure 8
3.3 Que dire de la composée de deux injections
ou de deux surjections ?
Soit E, F et G trois ensembles. Soit f une application de E vers F et g une
application de F vers G, alors :
f injective⎫ f surjective⎫⎪ ⎪
⇒gfo injective et ⇒gfo surjective .⎬ ⎬
g injective g surjective⎪ ⎪⎭ ⎭
Par conséquent on obtient aussi :
f bijective⎫⎪
⇒gfo bijective.⎬
g bijective⎪⎭
Dans le paragraphe 3.4 suivant, on suppose que f et g sont bijectives.
3.4 Comment déterminer la bijection réciproque
de f et de gfo ?
−1 Si f est une application bijective de E vers F, l’application qui à tout y de FCaractérisation de f .
fait correspondre son unique antécédent x est appelée bijection (ou appli-Soit f une application de E vers
−1F et g une application F vers E. cation) réciproque de f et notée f .
On suppose que : fgo = Id etF −1Pour déterminer , on résout l’équation yf= x et on utilise la caracté-f ()
gfo = Id .E −1risation suivante de :fy()−1Alors f est bijective et gf= .
En effet : fgo =Id entraîne que fF −1∀∈xE,,∀y∈F y=fx⇔=x f y .() ()
est surjective car Id est surjective ;F
*de même gfo = IdfE Par exemple si E = et F = on a :
+
est injective car Id est injective.F
*Donc f est bijective. En composant ∀∈x ,,∀∈y yx= exp ⇔ xy= ln.() ()+
−1par f l’égalité fgo = Id il vient :F
xL’application exp définie par exp x = e et une bijection dont la bijection()
−11 − −1ff ooog =f Id . D’où : gf= .{ F1243 4 −1réciproque est la fonction logarithme népérien notée ln : ln = exp .= IdE −1= f
Si f est une application bijective de E vers F, alors :
−1∀∈xE,ffx =x ;()
−1∀∈yF,ff y =y ;()()
−1 −1c’est-à-dire : ff o =Id et ffo =Id .E F
144599_ Page 15 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Logique et ensembles Chapitre 1
Si f est une bijection de E vers F et g une bijection de F vers G, alors :
−1
−−11gfoo=f g .()
Remarquer que l’ordre est inversé dans le produit des bijections réciproques.
Les savoir-faire clefs
Conseils 1 ■ ■ Savoir formuler la contraposée
méthodologiquesd’une implication.
La contraposée de AB⇒ estDonner la contraposée des implications suivantes : ()
non B ⇒ non A .()P : x ≠ 1 ⇒ fx ≠ 0 .()
Q : x ≥ 1 ⇒ fx() < 0 .
R : aA∈ ⇒ a ≥ 3 .
La contraposée de P est : fx = 0 ⇒ x = 1.()Q est : fx() ≥ 0 ⇒ x < 1.R est : a < 3 ⇒ aA∉ .
Conseils 2 ■ ■ Savoir formuler la négation.
méthodologiques
La négation d’une proposition2.1 Un professeur demande aux élèves de sa classe la négation de la
s’obtientproposition P : « Tous les étudiants ont réussi au concours ».
➊ en remplaçant par et par∀ ∃ ∃
Un premier élève répond : « Aucun étudiant n’a réussi au concours » ; un ,∀
second propose « Tous les étudiants ont échoué au concours ». Enfin un troi- ➋ en niant la proposition finale.
sième affirme qu’il faut dire : « Il existe un étudiant qui a échoué au 2.1. Traduire la proposition P à l’aide
de quantificateurs.concours ». Quel est celui des trois qui a raison ?
2.2. La négation de AB⇒ est2.2 Donner la négation des propositions suivantes : ()
Anet onB()
a) P : ∀∈x , fx < 1 .()1
b) : ∃∈x , fx = 0 .P ()2
c) P : ∃∈M , ∀∈x , fx ≤M .()3
* *d) P : ∀∈ε , ∃∈α , ∀∈x , ( x ≤ α ⇒ fx ≤ ε ).()4 + +
*e) P : ∀∈ε , , , ∃∈N ∀∈n (nN≥ ⇒ uL−≤ ε).5 + n
15
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2.1 La négation de « Tous les étudiants ont réussi au concours » est « Il
existe un étudiant qui n’a pas réussi au concours ». Donc c’est le troisième
élève qui a bien formulé la négation.
2.2 Obtenue par les règles ➊ et ➋ usuelles, la négation est donnée pour
chacune des propositions par :
P signifie : f est majorée stric- a)non P: ∃∈x , fx ≥ 1.1 ()1
tement par 1.
P signifie : f s’annule au moins b)P: ∀∈x , fx ≠ 0.2 ()2
une fois dans .
c)non P: ∀∈M , ∃∈x , fx >M.P signifie : f est bornée sur . ()3 3
* *P signifie : lim f = 0 . d) non P : ∃∈ε , ∀∈α , ∃∈x , ( x ≤ α et fx > ε ).4 ()4 + +
x→0
*P signifie : limuL= . e) non P : ∃∈ε , ∀∈N , ∃∈n , (nN≥ et uL−> ε ).5 n 5 + nn→+ ∞
Conseils 3 ■ ■ Savoir utiliser l’ordre des quantificateurs.
méthodologiques
Dans A, x peut dépendre de f, dans B On considère les deux propositions A et B suivantes :
le réel x doit être indépendant de f. A signifie : ∀∈fF,,∃x∈ fx = 0 .()
B∃∈xf∀ ∈Ffx =0 .()
Quelle est celle des implications qui est toujours vraie : AB⇒ ou BA⇒ ?
Comparer les deux proposi- La proposition A signifie que pour toute fonction f de F il existe un réel x où
tions de l’exercice aux proposi- f s’annule. Ce réel x dépend de la fonction f, il sera prudent en pratique de
tions suivantes pour mémoriser
noter x ce réel pour mieux mettre en évidence sa dépendance de f.f()la différence. A : « quel que soit un
La proposition B signifie qu’il existe un réel x en lequel toutes les fonctionsélève de la classe il existe une
poinde F s’annulent. En pratique, on utilisera une notation qui met bien en évi-ture de chaussure qui lui convient »
et B : « il existe une pointure de dence le fait que x est fixé et ne dépend pas de f : on notera x ce réel.0
chaussure qui convient à tous les En prenant xx = , on montre immédiatement que BA⇒ . En revanche,f 0()élèves de la classe ».
l’implication réciproque n’est pas vraie en général. Si on choisit
Fx=−ax a/a∈ , il est clair que A est vraie tandis que B est fausse.{}
Donc AB⇒ est une proposition fausse.
Conseils 4 ■ ■ Savoir distinguer « nécessaire »
méthodologiques de « suffisant ».
Écrire H et H sous forme d’impli- a) Soit A une partie de , H l’énoncé : « Pour qu’un réel soit dans l’ensem-1 2 1
cations entre « xA∈ » et « x vérifie ble A il faut qu’il vérifie la propriété P » et H l’énoncé : « Pour qu’un réel soit2
P ». dans l’ensemble A il suffit qu’il vérifie la propriété P ».
Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont équivalentes à
H ? à H ?1 2
(A) "Tout élément de A vérifie P ".
(B) "Tout réel vérifiant P est dans A ".
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Logique et ensembles Chapitre 1
(C) "Si un réel est dans A alors il vérifie P".
(D) "Si un réel vérifie P alors il est dans A".
(E) "Pour qu’un réel vérifie P il suffit qu’il soit dans A".
(F) "Si un réel ne vérifie pas P alors il n’est pas dans A".
(G) "Si un réel n’est pas dans A alors il ne vérifie pas P".
4.a) H signifie : « xA∈ » implique « x vérifie P » tandis que H signifie :1 2
« x vérifie P » implique « xA∈ ».
En traduisant chaque propriété on obtient :
(A) « xA∈ » implique « x vérifie P ».
(B) « x vérifie P » implique « xA∈ ».
(C) « xA∈ » implique « x vérifie P ».
(D) « x vérifie PxA∈ ».
(E) « xA∈ x vérifie P ».
(F) « x ne vérifie pas P » implique « xA∉ »".
(G) « xA∉ » implique « x ne vérifie pas P »".
En utilisant la contraposée, on remarque que, pour tout réel,
« xA∉implique x ne vérifie pas P » équivaut à : « x vérifie P implique
xA∈ » on obtient que (F) équivaut à (C) puis de même (G) équivaut à (D).
Donc H est équivalente à (A), à (C), (E) et (F). Tandis que H est équivalente1 2
à (B), (D)et (G).
Conseils 5 ■ ■ Savoir raisonner par contraposition.
méthodologiques
On considère la fonction f définie sur par : fx=+ax b avec a ∈ et Considérer les propositions P : « f()
* garde un signe constant » et Q :b ∈ . Montrer que f garde un signe constant si et seulement si a = 0.
« a = 0 ». Montrer QP⇒ par un
raisonnement direct et PQ⇒ par
contraposition : non Q ⇒ non P.
On veut démontrer : PQ⇔ .
* Si a = 0 on a fx =b donc f garde un signe constant puisque b ∈ .⇐ ()
⎛ b⎞ b
⇒ Si a ≠ 0 on a fx=+a x donc f change de signe pour x =− . () ⎜ ⎟⎝ a ⎠ a
b
Pour x <− , le signe de fx est celui de −a .()
a
b
Pour x >−fxa . Donc a ≠ 0 entraîne que f()
a
ne garde pas un signe constant.
Conclusion : On a démontré QP⇒ puis non Q ⇒ non P. On a donc
obtenu en conclusion : PQ⇔ .
D’où .f garde un signe constant si et seulement si a = 0
17
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Conseils 6 ■ ■ Savoir transformer une somme.
méthodologiques
3 3 3
Utiliser la définition de la notation a) Comparer : ab+ et ab+ .()∑ kk ∑∑k k
. k=1 k==1 k 1∑
n n n
b) Comparer : ab+ et ab+ .()∑∑k k ∑ kk
k==11 k k=1
5 3
c) Comparer : a et a .∑ k ∑ 5−k
k=2 k=0
3
6.a) a +b =+a b++ab++ab()()()()kk 1 1 22 33∑
k=1
3 3
et .ab+=a+a+a ++bb+b()()k k 12 3 1 2 3∑∑
k==1 k 1
3 3 3
Donc : ab+= a+b =a+b++ab++ab .()k k kk 1 1 22 33∑∑ ∑
k==1 k 1 k=1
n n
b) ab+=a+a+ ...+a+a ++bb+ ....++bb ,()()k k 12 nn−1 1 2 nn−1∑∑
k==11 k
n
et .ab+ =+a b ++... a+b() ()kk 11 nn∑
k=1
n n n
ab+= a+bDonc : () .k k kk∑∑ ∑
k==11 k k=1
5 3
c) a=+aaa+ +a et aa=+a+a+a .k 2345 5−k 54 32∑ ∑
k=2 k=0
5 3
Donc : aa= .k 5−k∑∑
k=2 k=0
Conseils 7 ■ ■ Savoir utiliser la notation .∑
méthodologiques
Étudier la différence de deux indices Écrire les sommes suivantes à l’aide de :∑
successifs.
a) a +b++ab++ab ; b)5a+++555aaa ;()()()1 1 22 33 1 234Ne pas oublier que l’indice est une
variable muette.
c)a+++aaa ; d)aa++a+a ;10 20 30 40 13 5 7On peut donc utiliser n’importe
quelle lettre qui n’est pas déjà e)aa++L+a +a ; f) aa++L+a +a .nn+−12n12n 24 2nn−22employée.
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Logique et ensembles Chapitre 1
3
7.a) a +b++ab++ab=+ a b ;()()() ()1 1 22 33 kk∑
k=1
4 4
b)5a+++555aaa= 5a=5 a ;1 234∑∑k k
k==1 k 1
4
c)a+++aaa = a ;10 20 30 40 ∑ 10 j
j=1
3 4
d)aa++a+a= a = a ;13 5 7∑∑2i+1 21i−
i=0 i=1
2n
e)aa++L+a +a= a ;nn+−12n12n ∑i
in=
n
f) aa++L+a +a = a .24 2nn−22 ∑2k
k=1
Conseils 8 ■ ■ Savoir regrouper les sommes.
méthodologiques
Compléter les formules suivantes : Écrire éventuellement la somme en
extension dans les cas difficiles.
n 2n n n
a) aa+= a ; b)aa+= a ;∑∑k k∑ k ∑∑2k 21k+ ∑ k
k==11 kn+ k=1 k=0k= k=
n⎛ ⎞
c) bb+= b⎜ ⎟∑∑p np+1
⎜ ⎟⎝ ⎠p=1 p=1
2nn 2n
8.a) aa+= a .∑∑k k∑ k
k==11 kn+ k= 1
21n+n n
b) aa+=a+a+ ...+a+a= a .2k 21k+ 12 2nn2 +1 k∑∑ ∑
k=1 k=0 k= 1
n n+1⎛ ⎞
c) ⎜ bb⎟+= b . ∑∑p np+1⎜ ⎟⎝ p=1 ⎠ p=1
Conseils 9 ■ ■ Savoir changer d’indice.
méthodologiques
L’indice d’une somme peut être changé de façon à en modifier l’ensemble
des valeurs.
19
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Les égalités ❶ et ❷ suivantes sont obtenues en ajoutant une constante à
l’indice : on dira qu’on effectue une translation d’indice.
5 4 3❶ ❷
aaa++ +a= a = a = a .2345∑∑i j+1 ∑ k+2
↑ ↑i=2 j=1 k=0
ji=−1 ki=−2
Effectuer le changement d’indice proposé :
s n
a) pi=+ 2 dans a ; b)pi=+1 dans x ;∑ i ∑ i+1
a), b), c) Exprimer i en fonction de p i=0 i=0
puis calculer les valeurs de p aux
n−1
bornes de la somme. c) pi=+1 dans ()ia+1 .∑ i
i=0
puis compléter les égalités suivantes :
9 9
d)bb= ; e)bb= ;∑∑p+4 q ∑∑9−p q
p=0 p=0q= q=
9
f) pb+1 = qb .()∑∑ p
pq==0 1
9.a) On pose pi=+ 2 donc on a : ip=− 2
On calcule les nouvelles bornes du :∑
ip=00⇒ =+=22
is=⇒p=s+ 2.
s s+2
Donc : aa= .∑∑i p−2
i=0 p=2
n n n+1
b) On obtient de même en posant pi=+1 dans x : xx= .∑ i+1∑∑i+1 p
i=0 i==01 p
n−1
c) On obtient de même en posant pi=+1 dans ()ia+1 :∑ i
i=0
n−1 n
()ia+=1 pa .∑∑ i p−1
i=0 p=1
9 13
d) bb=+b+ ...+b +b = b .∑∑p+4 4 5 12 13 q
p=0 q= 4
9 9
e) bb=+b+ ...+b+b= b .9−p 98 1 0 q
p=0 q= 0
9 10
f) pb+12=+b b+ ...+9b+10b= qb .()∑ p 01 8 9 ∑ q−1
p=0 q=1
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Logique et ensembles Chapitre 1
Conseils 10 ■ ■ Savoir utiliser la notation .∏
méthodologiques
n
Utiliser la définition de la notationa) Calculer : c .∏
k=1 .∏
n n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b) Comparer : ab et ab . En déduire ca en fonc-⎜ ⎟ ⎜ ⎟ () ()∏∏k k ∏ kk ∏ k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠k==11 k k=1 k=1
n
tion de a .∏ k
k=1
n
c) Comment peut-on écrire k ?∏
k=1
n n
d) Comparer : a et a .∏ k ∏nk+−1
k=1 k=1
n
* n10.a)Si ,n ∈ cc=×c× ...×c×=cc.∏ 1244 443
k=1 n fois
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b) = L Lbbab aaaabb⎜ ⎟ ⎜ ⎟()()∏∏k k 12 nn−1 1 221nn−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠k==11 k
n
et .ab = ab a b L a b()()( ) ( )∏ kk 11 2 2 nn
k=1
n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Donc : ab = ab .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()∏∏k k ∏ kk
⎝ ⎠ ⎝ ⎠k==11 k k=1
n n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞
nPar suite : ca = c a = c a .() ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k k k∏∏∏ ∏
k==11 ⎝ k ⎠ ⎝ k=1 ⎠ k=1
n
c)kn=12××× 3 ...× −1×=nn! .()∏
k=1
n n
d) aa==aLLaaaaaa= a . ∏∏nk+−1 nn−−121 12 n1 n k
k=1 k=1
Conseils 11 ■ ■ Savoir chercher l’image directe
méthodologiques
et l’image réciproque.
L’image directe de A par f est définieSoit f une application de E vers F, A une partie de E et B une partie de F.
par : fA = f a /a ∈A .{}()
⎡ ππ ⎤ ⎤ ππ ⎡ ⎡ππ 5 ⎡ L’image réciproque de B par f est défi-a) Déterminer : sin − , , tan − , , cos , .⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢
42 42 4 6 −1⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎣ nie par : fB=∈a E/(fa)∈B .{}
21
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−1b) Déterminer : ⎤ ⎡ .cos −11,⎦ ⎣
2 ⎡ ⎤c) On prend f : → définie par fx =x . Déterminer f −12, et() ⎣ ⎦
−1 ⎡ ⎤f −12, .⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧ ⎫⎡ ππ ⎤ ⎡ ππ ⎤ 24 ⎪ ⎪11.a) sin − , =∈sinxx/− , = − ,1 .⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥42 42 2⎣ ⎦ ⎪ ⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦
3
⎧ ⎫⎤ ⎡ ⎤ ⎡ππ ⎪ ππ ⎪
⎤ ⎡tan − , =∈tanxx/− , = −+1, ∞ .⎨ ⎬⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣42 422 ⎪ ⎪⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭
⎧ ⎫ ⎤ ⎤⎡ππ 5 ⎡ ⎪ ⎡ππ 5 ⎡⎪ 3 21 cos , =∈cosxx/ , = ⎥− , ⎥ .⎨ ⎬⎢ ⎢ ⎢ ⎢
4 6 4 6 2 2⎣ ⎣ ⎪ ⎣ ⎣⎪ ⎥ ⎥⎩ ⎭ ⎦ ⎦0
–2 –1 1 2 −1 −1b) cos ⎤−11, ⎡ =xx∈−/1<cos <1 . Donc : cos ⎤−11, ⎡=−π .{}⎦ ⎣ ⎦ ⎣
–1
2c) f ⎡−12, ⎤=−/12≤≤ = ⎡04, ⎤ (cf. Fig. 9).Figure 9⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4 –12 ⎡ ⎤⎡ ⎤fx−12, =− / 1≤x≤ 2 = − 22, (cf. Fig. 10). {}⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
2
1
0
–2 – 2 –1 1 2 2
–1
Figure 10
Conseils 12 ■ ■ Savoir démontrer que f est injective.
méthodologiques
Dire que f est une application injec- Soit E et F deux ensembles et f une application de E vers F.
tive (ou que f est une injection), Parmi les applications f suivantes de E vers F, quelles sont celles qui sont
signifie que : deux éléments distincts injectives ?
ont des images distinctes par f, ou
2encore que tout élément y de a)EFf== x =x .()
l’espace d’arrivée F a au plus un
2antécédent x par f. b)EF== fx =x .()+
c)EFf x=+axb avec a ∈ et b ∈ .()
12.a) Une application f n’est pas injective si et seulement si :
2∃∈(,xy) E , x ≠y et fx =fy .() ()
Par conséquent, pour démontrer qu’une application f n’est pas injective, il
suffit de donner deux éléments distincts de E qui ont même image par f.
224599_ Page 23 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Logique et ensembles Chapitre 1
Ici : −≠11 etff−1 = 1 . Donc f n’est pas injective sur .() ()
2 22 ⇒=xyb) ∀ xy, ∈ xy=⇒x=y car x et y sont positifs.() +
Donc f est injective sur .+
2c)∀∈(,xy) , ax+=b ay+ b ⇔−ax y = 0 . Donc on distingue deux()
cas :
Premier cas a ≠ 0 . Alors fx =fy⇔= x y . Par suite f est injective sur .() ()
Deuxième cas a = 0 . Alors 01≠ etff0 = 1 . Donc f n’est pas injective() ()
sur .
f est injective sur si et seulement si a ≠ 0En conclusion : .
Conseils 13 ■ ■ Savoir démontrer que f est surjective.
méthodologiques
Soit E et F deux ensembles et f une application de E vers F. Dire que f est une application
sur∀y ∈F, ∃x ∈E,jective signifie que : Les applications f suivantes sont-elles surjectives de E vers F ?
yf= x(), c’est-à-dire que tout
élé22 ment y de l’espace d’arrivée a aua)EF== fx=+xa .()+
moins un antécédent x par f.
b)EFf== x=+asinxbcosx .()
213.a) On remarque que fx≥≥a 0 , ce qui conduit à distinguer deux cas :()
2Premier cas a ≠ 0 . Alors fx≥>a 0 . Donc 0 n’a pas d’antécédent par f.()
Par suite f n’est pas surjective de dans .+
2Deuxième cas a = 0 . Pour tout y ≥ 0 l’équation yx= a au moins une Pour démontrer qu’une
application n’est pas surjective, ilsolution, xy= , dans . Cela peut s’écrire : ∀∈y , , ∃∈xE()xy= ,+ suffit de donner un élément de F qui
yf= x . n’a pas d’antécédent par f.()
Par suite f est surjective de dans .+
b) On remarque que fx ≤+a b . Donc l’équation fx=+a b+1 n’a() ()
pas de solution dans . Donc ab++1 n’a pas d’antécédent par f. Par
conséquent, la fonction f n’est pas surjective de dans .
–1 Conseils 14 ■ ■ Savoir déterminer f quand f est bijective.
méthodologiques
xx −ee+
f est une application bijective si etSoit f l’application définie par : ∀∈x , fx = . Montrer que f est une()
2 seulement si tout élément y de
−1 l’espace d’arrivée a un et un seulapplication bijective de dans ⎡1, +∞⎡ et déterminer f .+ ⎣ ⎣
antécédent x par f.
23
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Considérons xy,,∈× ⎡1+∞⎡ . On a les équivalences suivantes :() +Le principe consiste à traiter les ⎣ ⎣
xx −deux points à la fois en résol- ee+
2xx xyy= ⇔−ee21+=0 (en multipliant par 2 e et en transposant).
vant l’équation . 2yf= x()
xCette équation est du second degré en e . Le calcul du discriminant donne :
2 x 2Cette fonction f est appelée Δ=41y − ≥0. On obtient donc : e =+yy −11≥y≥ ou()
cosinus hyperbolique (notée ch) xx 2e =−yy −11≤y≤ . La dernière équation ne donne de solution en eet sa réciproque est la fonction
supérieure à 1 que dans le cas y = 1. Cette solution est la même que celleargument cosinus hyperbolique
xx −(notée argch). On a donc : ee+
fournie par la première équation dans ce cas, donc y = ⇔
2⎡ 2 ⎤argchtt=+ln t−1() ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ 2 ⎤xy=+ln y−1 . On obtient simultanément que f est bijective de +⎣ ⎦
−12⎡ ⎤dans ⎡1, +∞⎡ et que : ∀∈y ⎡1,+∞⎡, fy=+lny y−1 .()⎣ ⎣ ⎣ ⎣ ⎣ ⎦
Conseils 15 ■ ■ Savoir déterminer l’image directe
méthodologiques ou réciproque.
a) Raisonner directement à l’aide de Soit f une application de E dans F. Soit A et B deux parties de E.
la définition. b) Procéder par double
a) Montrer que : AB⊂⇒fA⊂fB .inclusion. c) Utiliser a).
d) Remarquer que dans ce cas : b)fA∪=B fA∪f B .
fA∩≠B fA∩f B .
c) Montrer que : fA∩⊂B fA∩f B .
*d) En considérant f l’application nulle de dans et les parties A = et+
*B = , montrer que l’inclusion démontrée en c), n’est pas toujours une égalité.−
−−11 −1e) Montrer que : fA∪=B fA∪f B . −1f)fA∩⊂B fA∩f B .
15.a) Supposons AB⊂ . Soit xf∈ A . Par définition, il existe aA∈ tel
que xf= a . Or AB⊂ , donc aB∈ . Par suite xf= a ∈fB .() ()
Par conséquent, tout élément x de fA appartient à fB . Donc :
fA ⊂f B .
En conclusion AB⊂⇒fA⊂fB .
b) ⊂ Montrons que : fA∪⊂f B fA∪B .
D’après a) : AA⊂∪B⇒fA⊂fA∪B .
De même : BA⊂∪B⇒fB⊂fA∪B .
Donc : fA∪⊂f B fA∪B .
Montrons que fA∪⊂B fA∪f B .⊃
244599_ Page 25 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Logique et ensembles Chapitre 1
Soit x ∈∪fA B . Alors il existe yA∈∪B tel que xf= y . On a yA∈ ou yB∈ .()
Si yA∈alors xf= y ∈f A ⊂∪fA f B.()yB∈xf= y ∈fB .() ⊂∪fA f B
Dans les deux cas : xf∈∪A fB . Donc : fA∪⊂B fA∪f B .
En conclusion : fA∪=B fA∪f B .
c) D’après a) : AB∩⊂A⇒f AB∩ ⊂f A .
De même : AB∩⊂B⇒f AB∩ ⊂fB .
Donc .fA∩⊂B fA∩f B
* *d) fA =f = 0 et fB =f = 0 donc : fA∩=f B 0 .() () {} () () {} {}+ −
Or : AB∩=∅⇒f AB∩ =∅ .
Donc, dans ce cas : fA∩≠B fA∩f B .
−−11 −1e) Montrons que : fA∪=B fA∪f B .
−1 En résumé, sauf dans le cas def A∪=B x∈Ef x ∈∪A B=∈x Ef x ∈A ou f x ∈B() () (){} {{}
l’image directe d’une
intersec−−11 tion, les résultats sont faciles à=∈xE fx ∈A ∪∈ xE fx ∈B=∪f A f B , () ()
retenir : pour l’image réciproque, on
d’où le résultat.
a toujours une égalité, de même
−−11 −1f) Montrons de même que : fA∩⊂B fA∩f B . pour l’image directe d’une réunion.
Pour l’image directe d’une
intersec−1f A∩=B x∈Ef x ∈∩A B=∈x Ef x ∈A et f x ∈B() () () tion, on utilisera une application{}{}
constante pour vérifier que le
résul−−11=∈xE fx ∈A ∩∈ xE fx ∈B=∩f A f B , () () tat n’est qu’une inclusion.
d’où le résultat.
–1 Conseils 16 ■ ■ Savoir comparer l’image directe par f
méthodologiques
et l’image réciproque par f.
Prouver queSoit f une bijection de E dans F et B une partie de F. L’image directe de B par
−1−−11f est notée fB=∈y E ∃b∈B,y=f b . −−11(){} fB=∈y E∃b∈B,y=f b(){}
Montrer que cette notation est cohérente en prouvant que l’image directe de
= aE∈∈/(fa) B par double
inclu−1B par f coïncide avec l’image réciproque de B par f, notée elle aussi sion.
−1fB=∈a E/(fa)∈B .{}
−1⊂ Montrons que yE∈∃b∈B,y=f b = aE∈∈/(fa) B .{} (){}
−1Soit yE∈ tel que : ∃∈bB,y=f b ,()
−1alors en composant par f : ∃∈bB , fy =f f b =b ,() ()
par conséquent fy ∈B , c’est-à-dire ya∈∈E/(fa)∈B .() {}
25
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
−1Montrons que aE∈∈/(fa) B⊂∈ y E ∃b∈B,y=f b .⊃ (){}{}
Soit x ∈ aE∈∈/(fa) B alors fx ∈B,(){}
−1donc ∃∈bB , fx =b , par suite, en composant par f :()
−−11 −1Les notations concernant ∃∈bB , ffx =f b . On en déduit que : ∃∈bB , xf= b , par suite() () ()()
l’image réciproque et l’image
−1directe sont donc cohérentes. xf∈ b /b ∈B .(){}
−1D’où l’égalité yE∈∃b∈B,/y=f b =∈a E f(a)∈B .(){}{}
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Annales
Pour maîtriser les bases

1. Un changement d’indice D’après CCP–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Soit n un entier naturel non nul.
⎛n⎞ ⎛n − 1⎞
a) Montrer que, pour tout entier naturel k vérifiant, nk≥≥ 1 , on a : k = n .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝k⎠ ⎝k − 1⎠
n n⎛n⎞ ⎛n − 1⎞
b) En déduire que : k = n .∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝k⎠ ⎝k − 1⎠k==01 k
n n−1⎛n − 1⎞ ⎛n − 1⎞
n−1c) Montrer que : = = 2 .∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝k − 1⎠ ⎝ i ⎠k==10 i
n ⎛n⎞
n−1d) Démontrer l’égalité : k = n2 .∑ ⎜ ⎟⎝k⎠k=0
⎛n⎞
Conseils méthodologiques. a) Utiliser la définition de . b) Utiliser a). c) Poser ik=− 1 et⎜ ⎟⎝k⎠
n−1
développer 11+ par la formule du binôme de Newton. d) Conséquence de b) et c).()
⎛n⎞ n − 1 !! ⎛n − 1⎞n! n! ()
a) Pour nk≥≥ 1 on peut écrire : k = k = = n = n .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝k⎠ kn!!−k kn− 1!!−k kn− 1!!−k ⎝k − 1⎠() ()() ()()
n n n⎛n⎞ ⎛n − 1⎞ ⎛n − 1⎞
b) Donc : k = n = n car n est une constante (indépendante de k) qui se factorise dans le .∑∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∑⎝k⎠ ⎝k − 1⎠ ⎝k − 1⎠k==01 k k=1 k
n n−1⎛n − 1⎞ ⎛n − 1⎞
c) Enfin : = en posant ik=− 1 .∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝k − 1⎠ ⎝ i ⎠k==10 i
n−1⎛n − 1⎞ n−1nk−−1 kOr : ××11 = 11+ (d’après la formule du binôme de Newton).()∑ ⎜ ⎟⎝ i ⎠i=0
n ⎛n − 1⎞
n−1D’où : = 2 .∑ ⎜ ⎟⎝k − 1⎠k=1
n ⎛n⎞
n−1d) En conclusion, d’après b) et c) on a alors : k = n2 . ∑ ⎜ ⎟⎝k⎠k=0
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reANNALES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
2. Transformer un produit ou une somme Toute école––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1. Développer les expressions suivantes :
2
m n m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a) ab ; b) ab ; c) a .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟p q p p p∑∑ ∑∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==11 q p==11 p p=1
2. Compléter les égalités suivantes :
2
m m⎛ ⎞
2a) aa= + aa + aaa ;⎜ ⎟p ()p ()pq ()pq∑∑ ∑ ∑⎜ ⎟⎝ ⎠p==1 p11≤pq<≤m
2
m m⎛ ⎞
2b) aa= + 2 aa .⎜ ⎟p ()p ( pq )∑∑ ∑⎜ ⎟⎝ ⎠p==1 p 1
Conseils méthodologiques. Utiliser les règles usuelles de l’addition et de la multiplication, en particulier
la distributivité de × sur +.
1.a) La distributivité de × sur + permet d’écrire successivement :
m n m ⎡ n ⎤ m n m n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥ab = a b = ab = aab .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()∑∑p q∑∑pq∑ ∑ pq ∑∑ pq⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==11 q p==11q=1 p=1 q p=1 q=1⎣ ⎦
m n
Cette expression est notée ab ou encore ab .∑∑ pq ∑ pq
p=1 q=1 1≤≤pm
1≤≤qn
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur les valeurs prises par les indices p et q, on rencontre aussi les notations abusives
m n
suivantes : ab== ab ab .∑∑∑ pq∑∑pq pq
p=1,q=1 p q pq
Ces abus de notation sont pratiques quand tous les indices varient de 1 à m, par exemple, car il n’y a pas de confusion
possible.
m m m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b) Il faut éviter l’erreur suivante : ab = a b== ab ... En effet les indices utilisés étant les⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∑∑p p∑∑pp∑ ∑ p p⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==11 p p==11p=1 p=1 p
mêmes, on ne multiplie que les termes de même indice : on oublie donc dans le produit tous les autres termes. Il convient
donc de choisir des indices distincts dans les sommes. On écrira donc :
m m m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ab = a b = ab = ab .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()∑∑p q∑∑pq∑∑∑pq pq⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==11 q p==11q=1 p=1,q pq
c) En prenant ba= , et en utilisant la question b) il vient :pp
2
m m m m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
aa= a = aa = aa = aa .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ()∑∑p p∑ q∑∑pq∑∑∑pq p q⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==1 p11 q= p==11q=1 p=1 q pq,
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Logique et ensembles Chapitre 1
2.a) Pour un couple pq, donné, dans la somme précédente, il y a trois possibilités :pq=<,op quqp< . Il en()
résulte immédiatement que :
2
m m⎛ ⎞
2a=+ a aa+ aa .⎜ ⎟p p pq pq∑∑ ∑ ∑⎜ ⎟⎝ ⎠p==1 p11≤pq<≤m 1≤<qp≤m
b) En remarquant que les indices de la dernière somme sont des variables muettes et peuvent donc être permutés, on
obtient : aa = a a .pq qp∑∑
11≤<qp≤m ≤pq<≤m
De plus la multiplication est commutative, donc aa =a a , il s’ensuit que :qp p q
2
m m⎛ ⎞
2aa = aa . Par suite : aa= + 2 aa .⎜ ⎟pq pq p ()p ()pq∑∑ ∑∑ ∑⎜ ⎟⎝ ⎠11≤<qp≤m ≤pq<≤m p==1 p 1 1≤<pq≤m
S’il n’y a pas de confusion à craindre, on rencontrera l’écriture abusive (mais plus simple) :
2
m⎛ ⎞
2aa=+ 2aa . ⎜ ⎟p p pq∑∑ ∑⎜ ⎟⎝ ⎠p=<1 p pq
3. Transformation de produits Toute école––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
On suppose que n et p sont deux entiers naturels, tels que : pn≤ . Écrire les produits suivants à l’aide de :∏
a)24× ×××6 8 ...×2nn−2 ×2 . b)13××5× ...×2nn−1×+2 1 .() ()()
c) sin(xx) sin(23) sin(x)...sin(nx) . d)XX− 1 − 2X − 3 ...X −n .()()()()
αα α α12 3 ne) aa ...a a . f) Xa− Xa− Xa− ...Xa− .()()() ()pp+−11 n n 3 n
n
Conseils méthodologiques. On rappelle que : aa= a La a .k pp+−11 n n∏
kp=
Étudier la différence de deux indices successifs.
n n
a)24× ×××6 8 ...×2nn−2×=2 2k . b)13××5× ...×2nn−1×+2 1=+ 2k 1 .() ()() ()∏ ∏
1 0
n n
c) sin(xx) sin(23) sin(x)...sin(nx) = sin(kx) . d)XX−12 − X −3 ...X −n=−Xk .()()()() ( )∏ ∏
1 1
n n
αα α α αp12 3 ne) aa ...a a = a . f) Xa− Xa− Xa− ...Xa− =− Xa . ()()() () ()pp+−11 n n k 3 np∏ ∏
kp= p=1
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4. Sommes télescopiques D’après CCP––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n
On appelle somme télescopique toute somme de la forme aa− .()kk+1∑
k=0
n
a) Démontrer que : aa− =−a a .()kk+1 01 n+∑
k=0
b) Calculer les sommes télescopiques suivantes :
n n n n1 ⎛11 ⎞
k kk+1A = =−,,Bq=− 1q=−q q() ()∑∑ ⎜ ⎟ ∑∑kk + 1 ⎝kk + 1⎠()k==11 k k=0 k=0
n n n n⎛ 1⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤C=+ln 1 =+ lnkk1 − ln,.Dk= .!k=+k 1!−k!() () ()∑∑⎜ ⎟ ∑∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ k ⎠
k==11 k k==11 k
Conseils méthodologiques. La somme télescopique est égale au premier terme, a , moins le dernier0
terme, . an+1
a) Regrouper les termes successifs. b) Appliquer a)
a) On peut comprendre le principe en écrivant :
n
aa− =−a a+−a a +−aa ++... aaa − +−a a .()()()() ()()∑ kk+1 01 1 2 2 3 nn−+11 n n
k=0
n
aa− =−a a+a−+aa−−− ...aaa+ −() .kk+1 01 1 2 2 nnn+1∑ 1243 414324 1243 4
k=0 =00 = =0
On peut aussi donner une démonstration par changement d’indice :
n n n+1 n n
aa− =−a a=a+ a− a−=aa−a .()∑∑kk+1 ∑kk 0 ∑kk∑ nn++10 1
k==01 k==0 k k=1 k 1
n
En conclusion aa− =−a a .()∑ kk+1 01 n+
k=0
b) On obtient alors en appliquant ce résultat :
n n⎛11 ⎞ 1 1 n
A=− =−1 . Donc A = = .∑ ∑⎜ ⎟⎝kk + 1⎠ n + 1 kk + 1 n + 1()k=1 k=1
Remarque
n n n
k kk+1 n+10 k n+1Bq=− 1q=−q q =−q q . Donc Bq=−11q =−q .() () ()∑∑ ∑ Pour q ≠ 1 on retrouve ainsi la
k=0 k=0 k=0 somme de n + 1 termes d’une
n n suite géométrique de raison q :⎛ 1⎞
⎡ ⎤Ck=+ ln11− lnk=+lnn − ln1 . Donc C=+ln 1 =+ln n 1 .() () ()∑ ∑ n⎜ ⎟⎣ ⎦ n+11 − q⎝ k ⎠ k .k=1 k=1 q =∑ 1 − q
k=0
n n
⎡ ⎤Dk=+!!−k =+n !−1! . Donc Dk== .!k n+11!− . () () ()∑ ∑⎣ ⎦
k=1 k=1
304599_ Page 31 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Logique et ensembles Chapitre 1
5. Produits télescopiques Toute école––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n
On rappelle que : aa= a La a .k pp+−11 n n∏
p
n akOn appelle produit télescopique tout produit de la forme .∏ ak+10
n na a a ak 0 k++1 n 1a) Montrer que : = et = .∏ ∏a a a ak++1 n 1 k 00 0
n n⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞
b) Calculer : A=− 1 et B=− 1 .∏ ⎜ ⎟ ∏ ⎜ ⎟2⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠
2 2
Conseils méthodologiques. a) Regrouper les termes successifs.
n nk − 1 ⎛ k −11⎞ ⎛ k + ⎞
b) Appliquer a) en écrivant A = et B = .∏ ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠2 2
n naa ...a a aa... aaa a a a01 nn−1 11nn−+n1k 0 k+1 n+1a) . De même : .== ==∏ ∏a a a aaaa... aa aa ...a ak+1 n++1 k 00 11nn−+n1 0 01 nn−1
nn⎛11⎞ k − 1
b) A=− 1 = =.∏∏⎜ ⎟⎝ k ⎠ k n22
nn n2⎛11⎞ ⎛ k − ⎞ ⎛ k −11⎞ ⎛ k + ⎞
De même : B=− 1 = = .∏∏⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟2 2⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠2 2 2
nn⎛ k −11⎞ ⎛ k + ⎞1 n +1 n + 1
Donc : B = =× = . ∏∏⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ k ⎠ ⎝kn⎠ 2 2n22
6. Un raisonnement par récurrence Toute école–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
kMontrer que pour tout entier naturel n ≥ 1 : ∃∈k , ∃∈q , nq=+22 1 .()
Conseils méthodologiques. Utiliser une récurrence au sens fort.
Montrons par récurrence la propriété définie pour tout entier n ≥ 1 par :
k n ⇔∃∈k , ∃∈q nq=+22 1.() ()
0La propriété est vraie au rang 1, en effet 1 =×22 0+1 .()
31
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reANNALES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
Soit n ≥ 1. Supposons que pour tout , p , c’est-à-dire que la propriété est vraie jusqu’au rang n.pn∈1, ()
On sait que si m est entier naturel pair, il existe p ∈ tel que : mp= 2 ;
si m est entier naturel impair, il existe p ∈ tel que : mp=+21 .
er1 cas : Si n +1 est impair, il existe q ∈ tel que :
0nq+=12 +=12 2q+1 . D’où n + 1 .() ()
e2 cas : Si n +1 est entier naturel pair, il existe p ∈ tel que : np+=12 ;
or donc d’après l’hypothèse de récurrence :pn∈1,
k∃∈k , ∃∈q tels que : pq=+22 1 .()
k+1Donc . np+=12=+22q1D’où n + 1.( ) ()
Dans tous les cas, on a n + 1 .()
D’après le principe de récurrence :
kPour tout entier n ≥ 1 : ∃∈k , ∃∈q : nq=+22 1 . ()
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
7. Calcul de et D’après CCP––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22k⎠ ⎝ k +1⎠02≤≤ kn 02≤ k+1≤n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞n n
Soit n un entier naturel non nul. Calculer P = et I = .n n∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ⎟22k k +1⎝ ⎠ ⎝ ⎠02≤≤ kn 02≤ k++≤1 n
n n
Conseils méthodologiques. Utiliser les développements de 11+ et 11− obtenus à l’aide de la() ()
formule du binôme de Newton. Prendre un cas particulier, n = 4 par exemple, pour comprendre la méthode.
⎛ ⎞n n
La formule du binôme de Newton donne 11+ = . En remarquant qu’un entier pair est de la forme 2k et qu’un() ∑ ⎜ ⎟p⎝ ⎠0≤≤pn
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞n n n
nimpair est de la forme 2k + 1, on obtient : = + =+PI . Par suite 2=+PI .∑∑ ∑ nn nn⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟p 22k k +1⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠00≤≤pn ≤2kn≤ 02≤+kn1≤
⎛ ⎞np n 2k 21k+
De même 11− =−1 . En remarquant que −11 = et −11 =− , on obtient :() () () ()∑ ⎜ ⎟p⎝ ⎠0≤≤pn
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞p n n n n
*−1 = − =−PI . Enfin 11− =0 car n ∈ , par suite 0=−PI . Il en() ()∑∑ ∑ nn nn⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟p 22k k + 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠00≤≤pn ≤2kn≤ 02≤+kn1≤
n−1résulte que PI== 2 . nn
324599_ Page 33 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Logique et ensembles Chapitre 1
8. Binôme de Newton D’après CCP–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
⎧p 2 si p est pair⎪
a) Prouver que, pour tout entier naturel p , on a : 11+− =() ⎨
0 si p est impaair.⎪⎩
22nn
2b) Soit ab, ∈ . On pose Aa=−b ++ab .() () ()n
n ⎛ ⎞2n
22np− 2pDévelopper A , puis vérifier l’égalité : A = 2 ab .n n ∑ ⎜ ⎟2p⎝ ⎠p=0
22nn
c) Application : Prouver que s=−12 ++12 est un entier naturel pair.n() ()
Conseils méthodologiques. b) Utiliser la formule du binôme de Newton. Regrouper en utilisant a).
Pour bien comprendre il peut être utile de commencer par un cas particulier simple, n = 3 par exemple.
c) Prendre a = 1 et b = 2 .
⎧ ⎧p 1 si p est pair p 2 si p est pair⎪ ⎪
a) −1 = . D’où 11+− =() ()⎨ ⎨
−1 si p est imppair 0 si p est impaair⎪ ⎪⎩ ⎩
b) La formule du binôme de Newton s’écrit, en utilisant le symbole :∑
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞n n n
np− p kn−kab+ = ab = ab .() ∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟p k⎝ ⎠ ⎝ ⎠p=00 k=0
Cas particulier n = 3 . En écrivant les développements en extension :
La sixième ligne du triangle de Pascal est 1 6 15 20 15 6 1, donc :
6
65 42 33 24 5 6ab+=a+61ab++5ab 20ab++15ab 6ab+b ;()
6
65 42 33 24 5 6ab−=a−61ab+−5ab 20ab+−15ab 6ab+b .()
Dans la somme les termes où b a un exposant impair se simplifient et les autres se doublent :
66
642 24 6Aa=−b ++ab = 21aa+++5b 15ab b .() ()()6
3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞6 6 6 6 6
62−pp 2 6 62−−2 6 4 4 6Enfin on a : ab = a + aab + a b + b ,∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟2p 0 2 4 6⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p=0
3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞6 6
62−pp 2 6 4 2 2 4 6 62−pp 2ab=a+++15ab 15ab b . Donc : A = 2 ab .∑ 6 ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟2p 2p⎝ ⎠ ⎝ ⎠p=0 p=0
Cas général. En écrivant les développements à l’aide de :∑
2n 2n⎛ ⎞ ⎛ ⎞22nn22n k n
2nk− 2nk− kAa =−b ++ab = ab − + a b() () ()2n ∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟k k⎝ ⎠ ⎝ ⎠k=0 k=0
2n 2n 2n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2n k 2n 2n k⎡ ⎤2nk− k 2nk− k 2n−k kDonc A = −1ab + ab = −11 + a b .() ()n ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥k k k ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠k=0 k=0 k=0
33
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Dans la somme, les termes où b a un exposant impair se simplifient et les autres se doublent car d’après a) si k est impair
k
−11 +=0 . Par conséquent, dans la somme, ne restent que les termes correspondant à k pair (kp= 2 ). De plus :()
02≤≤pn2⇔0≤p≤n .
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞2n 2p 2n⎡ ⎤ 22np− 2p 22np− 2pDonc A = −11 + ab == 2 ab()n ∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ⎟⎢ ⎥2p ⎣ ⎦ 2p⎝ ⎠ ⎝ ⎠p=0 p=0
n22nn ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2n 2n
p pc) En prenant a = 1 et b = 2 on obtient alors : s=−12 ++12 =2 2 . Or et 2 sont desn() () ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟2p 2p⎝ ⎠ ⎝ ⎠p=0
entiers pour tout pn∈0, . Donc s est un entier naturel pair.n
3 ⎛ ⎞6
pPour n = 3 , on vérifie que : s = 2 2 =+2 1 15× 2+ 15× 4+ 8 = 198. ()3 ∑ ⎜ ⎟2p⎝ ⎠p=0
9. Développements Toute école––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Simplifier les expressions suivantes :
n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞n p n ⎛n⎞
pa) S = , b)Pour , n ≥ 1 S=−1 , c) .() S = x1 2∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ⎟ 3 ∑ ⎜ ⎟p p⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ p⎠p=0 p=0 p=0
Conseils méthodologiques. Choisir des valeurs particulières pour a et b.
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞n n n
np− p na) Pour ab== 1 on obtient dans la formule du binôme : S = = ××11=1+1 = 2 .( )1∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟p p⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==00 p
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞p n n pn
np−b) De même pour ab==11et − : S=−11= ××−1 =−11 =0 pour n ≥ 1 .() ()( ()2∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟p p⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==00 p
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞n n n
p np− pc) De même pour ab==1et x: S = x = ××11x= + x.()3∑∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟p p⎝ ⎠ ⎝ ⎠p==00 p
Pour approfondir

10. Modification de l’ordre dans une somme Toute école––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
pm
Compléter l’égalité suivante : aa= .∑∑∑ pq,,∑ pq
p=00q=0 q= p=
344599_ Page 35 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Logique et ensembles Chapitre 1
Conseils méthodologiques. Représenter les termes à additionner sur un dessin.
Pour chaque terme a , on peut porter pq, dans le plan rapporté à un repère()pq,
orthonormé avec l’indice p en abscisse et q en ordonnée. On obtient alors une
sommation sur les couples d’entiers contenus dans le triangle représenté sur la
mfigure 11.
On en déduit que q varie de 0 à m, et, pour q fixé, que p varie de q à m. Il en résulte
m p m m
l’égalité suivante : aa= . q p mpq,, pq∑∑∑ ∑ q
p==00q=0 q= pq
Remarque : chaque fois que l’index de la seconde somme varie dans un intervalle
qui dépend, comme ici, de l’index du premier sigma, il est important de bien
visualiser l’ensemble des couples pq, qui servent à l’indexation de la somme avant de()
0 pmpermuter l’ordre dans la somme.
Figure 11
11. Sommes télescopiques D’après CCP––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Soit n un entier naturel non nul. Soit a une famille de n nombres complexes non nuls n ≥ 3 . Simplifier() ()kkn∈1,
les sommes suivantes :
n−1 n−1⎛ 1 11 ⎞
a)Ta=−23a+a , b) U=− 2+ .( )nk+−11kk n∑ ∑ ⎜ ⎟⎝aaa ⎠kk−+11kk=2 k=2
Conseils méthodologiques. Écrire 23aa−+a =2a −a −−aaet ()()kk+−11k k+1k kk−1
1 11 ⎛11 ⎞ ⎛11 ⎞
−+2 = − +− .⎜ ⎟ ⎜ ⎟aaa ⎝a a ⎠ ⎝a a ⎠kk11k k−1 k k+1 k
a) On peut transformer l’expression de T en écrivant :n
n−1 n−1 n−1
T=−23a aa+ =−2 a a−−aa .() () ()nk∑+−11kk ∑k+1k ∑ kk−1
k=2 k=2 k=2
n−1
On sait qu’une somme télescopique est égale à son premier terme moins le dernier, c’est-à-dire : aa− =−a a .()∑ kk+1 1 n
k=1
Il en résulte, en adaptant les signes et les indices, que :
n−1 n−11
a −a =−aa et aa− =−aa .() ()∑kk+1 nk21∑k− n−11
k=2 k=2
Par conséquent. Ta=−22a −a+a .nn n−12 1
35
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0 q p4599_ Page 36 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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reANNALES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
On peut aussi procéder par changement d’indice :
n−1 n n−1 n−2
Ta=−23a+a =−2a3a+a()nk+−11kk k k k∑ ∑ ∑ ∑
k=2 k=3 k=2 k=1
nn−2 n−2 n−2
=−22aa +−a3aa+ −+3 aa+a + a () ()nn−−12∑∑k n1 k 12∑ k
k=3 k=3 k=3
on retrouve, après simplification des sommes : Ta=−22a −a+a .nn n−12 1
b) De même, on peut transformer l’expression de U en écrivant :n
n−1 n−1⎛11 ⎞ ⎛11 ⎞ ⎛11 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 11 1 1
U=− −− =− −− . Finalement : U=−− + . n n∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝aa ⎠ ⎝a a ⎠ ⎝aa ⎠ ⎝a a ⎠ aa a akk−1 kk+1 11nn− 2 12 nn−1k=2 k=2
12. Trigonométrie et somme télescopique D’après CCP––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
⎛ x ⎞
a) Exprimer, pour tout x réel, sin(3x) en fonction de sin x , et en déduire, pour tout k entier naturel, sin ⎜ ⎟k⎝ 3 ⎠
⎛ x ⎞
en fonction de sin .⎜ ⎟k+1⎝ 3 ⎠
b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, et pour tout x réel :
n n+1⎛xx⎞ 3 ⎛ ⎞ 1
k 33 sin = sin − sin x .∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k+1 n+1⎝ 3 ⎠ 43 ⎝ ⎠ 4
k=0
Conseils méthodologiques. a) Utiliser les formules de Moivre et d’Euler. b) Faire apparaître une somme
télescopique.
a) Les formules de Moivre et d’Euler donnent successivement :
3 3
3iixx 32 23e = e =+cosxxi sin =+cosx 3i cosx sinx−−− 3 cosxxsin i sinx,()()
32i x 3 2 3puis : sin 3xx= Im e=−3cos sinx sinx= 3 1− sinx sinxx− sin ,() ( )
3c’est-à-dire .sin 33sin 4 sinx()
⎛xx⎞ ⎛ ⎞ ⎛x ⎞
3On en déduit immédiatement : sin = 3sin − 4 sin .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟kk++1 k 1⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
b) Soit n un entier naturel non nul, et x un réel. D’après la question a) on peut écrire :
k+1 k k⎛xx⎞ 3 ⎛ ⎞ 3 ⎛ x ⎞ 3 ⎛ x ⎞
k 33 sin = sin − sin ; en posant : a = sin , pour 0≤≤kn, cela donne ensuite :k⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k+1 k+1 k k⎝ 3 ⎠ 43 ⎝ ⎠ 4 ⎝ 3 ⎠ 43 ⎝ ⎠
n n⎛ x ⎞
k 33 sin =−aa=−a a .()∑∑kk+1 n+1 0⎜ ⎟k+1⎝ 3 ⎠
k=0 k=0
n n+1⎛xx⎞ 3 ⎛ ⎞ 1
k 3En conclusion : 3 sin = sin − sin x .∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k+1 n+1⎝ 3 ⎠ 43 ⎝ ⎠ 4
k=0
364599_ Page 37 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Chapitre 2
Nombres complexes
et trigonométrie
Méthodes
Le cours en questions
1 ■ ■ Exponentielle complexe
1.1 Quelles sont les propriétés
de l’exponentielle complexe ?
iθPour tout réel θ , on note : e=+cosθθisin ,
et on définit l’exponentielle d’un nombre complexe z par :=+xy i
zx iy xe==e e eycos+ isiny() .
Si z est un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ on peut
alors écrire :
iθ −iθzr= e=+r cosθθisin et z = r e=−r cosθθisin .() ()
L’intérêt de cette notation provient des propriétés suivantes :
iab+2ia+b abi iabi () 2 zz′′ z+z∀ ab,,∈=e ee etee=e ,∀ z, z′∈= ,e e e .() () En particulier
2 ab+i a∀ ab, ∈, , ee =()
Re zz ()1.2 Quelles sont les propriétés usuelles du module c’est-à-dire : ee = .
et de l’argument ?
• Propriétés du module :
2
22zx=+y, , zz = zzz=⇔00 =, zz=,
zz≥ Rezz≥ Im≤ Re + Imz,() () () ()
37
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
z1 z n zDistance : AB=−b a . nzz′′= z z, , = ∀∈n , zz=, =.
2z z′ z′z
Le cas d’égalité dans l’inégalité
Inégalité triangulaire :triangulaire est réalisé si et
seulement s’il existe r ≥ 0, r′≥ 0, et
et .zz+≤′′z+z zz−≤′′z−ziθθ ∈ tels que zr= e et
iθzr′′= e .
• Propriétés de l’argument
Par définition : Angle et argument : si A, B et C sont des points deux à deux distincts
θθ≡ ⎡2π ⎤12 ⎣ ⎦
ca−⇔∃kk∈,θθ= + 2π .12 d’affixes respectives a, b et c, on a l’égalité : arg ≡ θ ⎡2π ⎤ où θ dési-⎣ ⎦Si z et z¢ sont des nombres comple- ba−uruu uuur
xes non nuls : gne une (détermination de la) mesure de l’angle AB, AC .()arg zz′′≡ arg z + arg z , ⎡2π ⎤() () () ⎣ ⎦
n∀∈n , ,argzn ≡ argz ⎡2π ⎤() () • Égalité de deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique ⎣ ⎦
1
arg ≡−arg z ⎡2π ⎤ ,() ⎣ ⎦z ⎧rr=⎪12iiθθz 12rree=⇔ .⎨arg ≡ argzz− arg ′ ⎡2π ⎤,() () ⎡ ⎤⎣ ⎦ θθ≡ 2π12z′ ⎪ ⎣ ⎦⎩
argzz≡−arg ⎡2π ⎤ .()() ⎣ ⎦
* 1.3 Comment caractériser les réels ? Pour z ∈ , on note généralement
Arg z la détermination principale de() Les imaginaires purs ?
l’argument de z, c’est-à-dire celle qui
On caractérise les réels et les imaginaires purs à l’aide de leur conjugué :appartient à ⎤−ππ, ⎤ . Par exemple :⎦ ⎦
π .Arg −i =−() zz=⇔z∈ zz+=0i⇔z∈ .2
ii=∈yy/ est l’ensemble{}
des imaginaires purs. 1.4 Citer une CNS d’alignement de trois points.
Soit A, B deux points distincts d’affixes respectives a, b, et M un point
d’affixe z. Les points A, B et M sont alignés si et seulement si :
za− za−za−Si M est distinct de A et B, cette c’est-à-dire : = .∈
ba− ba− ba−condition traduit la condition
d’alignement : S’il n’est pas certain que A, B soient distincts, on obtient une CNS
d’aligneza− ⎡ ⎤arg ≡ 0 π . ment en écrivant :⎣ ⎦ba−
za− b −a=−za b −a .() ()()()
1.5 La formule du binôme est-elle vraie dans ?
La démonstration de la formule Oui, donc si a et b sont deux nombres complexes, on peut affirmer que :
du binôme de Newton est
n nbasée sur des propriétés de
n n kn−k n nk− k∀∈n , .()ab+= ab = ab∑∑() ()l’addition et de la multiplication qui k k
k=00 k=sont encore vraies pour les
nombres complexes (en particulier le fait
que ).ab = ba 1.6 Citer les formules de Moivre et d’Euler.
Applications ?
La formule de Moivre affirme que pour tout réelθ :On l’établit par récurrence
pour n ∈, puis on utilise
n−1
iiθθ − * ∀∈nn, cosθθ+iisin=+cosθ sinnθ .ee = pour n ∈ . ()() −
384599_ Page 39 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
Cette formule peut se retenir sous la forme :
Erreur à éviter
n
n iiθθ nAttention : l’égalité ee =()iiθθ n∀∈n , .ee =()
n’a pas sens en général si
n ∉ .Les formules d’Euler se déduisent de la définition de l’exponentielle
1 1
complexe : iπ 2 2e =−1 n’a pas de sens sans() ()
convention particulière.iiθθ−−iiθθee+ ee−
.cosθθ= sin =
22i
θ
i
2En effet, en factorisant eOn peut s’en servir pour prouver que :
dans ces expressions, on a :
θ θ
i θ i θiθ iθ θθ θ θ⎛ ⎞12+=ee 2 cos et 12−=ei−e 2 sin . θii −i iiθ 22 2 22 2 12+=ee e+e =ecos⎜ ⎟
2⎝ ⎠
On peut aussi appliquer ces formules pour linéariser certaines expressions et :
θθ θ θtrigonométriques. Par exemple : ⎛ ⎞ θii − i iiθ 22 2 2−=ee e −e =− iesin.⎜ ⎟
23 ⎝ ⎠iiθθ−−33iθ iθ iθ−iθ⎛ ⎞ee+ e++e e+e 13cos θ = = =+cos33θθ cos .()⎜ ⎟ On a utilisé la formule du2 8 4⎝ ⎠
binôme de Newton :
3
32 2 3ab+ =+a 33ab+ ab+b .()
1.7 Citer une propriété usuelle
des angles inscrits dans un cercle.
uruu uuur
En d’autres termes, si M et NDans un cercle , on appelle angle inscrit tout angle de la forme MA,MB()
sont du même côté par rapport
où A, B, M désignent trois points distincts de (cf. Fig. 1). Dans ce cas, si α
à la droite AB, l’angle()uruu uuur
uruu uuurest une mesure de l’angle MA,MB et si A et B ont pour affixes respectives a() NA,NB est égal à α modulo 2 π ;()⎛ ⎞zb−
et b, l’ensemble des points N d’affixe z tels que arg =απmod⎡ ⎤ est⎜ ⎟ ⎣ ⎦ si revanche, si M et N ne sont pas duza−⎝ ⎠
même côté par rapport à la droitele cercle privé des points A et B. uruu uuur
uruu uuur uruu uuur AB , l’angle NA,NB est égal à() ()
En particulier, dans le cercle , deux angles inscrits MA,MB et NA,NB()()
απ+ modulo 2 π .
qui interceptent le même arc pAB sont égaux modulo 2 π (cf. Fig. 1).
N
B
2 ■ ■ Équations
2.1 Donner la forme canonique du trinôme
2az++bz c.
A
M
Soit a, b et c trois nombres complexes, avec a ≠ 0 . La forme canonique de
ce trinôme est :
Figure 1
2⎡ ⎤⎛ b ⎞ Δ
2 ⎢ ⎥ 2az++bz c= a z+ − avec Δ=ba− 4c∈ .⎜ ⎟ 2 zzet sont les racines de⎢⎝ 24aa⎠ ⎥ 12
⎣ ⎦
2az++bz c si et seulement
22Si le nombre complexe δ vérifie δ ==Δba− 4c , les racines de ce
tri⎧ bnôme sont : zz+ =−⎪12⎪ asi ⎨
−+b δ −−b δ c⎪zz = .z = et z = . 1212 ⎪ a⎩2a 2a
39
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
On en déduit la factorisation du trinôme :
2az++bz ca= zz− zz−()() .12
2.2 Que représente le nombre complexe j ?2iπ i
3je= 2iπ 1 3
3Le nombre complexe j désigne ei=− + . C’est une racine cubique
2 2
3 2de l’unité : j = 1 (cf. Fig. 2). C’est la solution de l’équation zz++10=
2π dont la partie imaginaire est positive. Il faut retenir que :
3
1
1 32 2 2 .− zz=⇔11 ∈ ,,jj , j=+j ,1 j+j=0{}
2
n2.3 Quelles sont les solutions de w = 1 ?
2iπ
− * n3je= Si n ∈ , l’équation w = 1 admet n solutions w données par :()kk01≤≤n−
Figure 2 2ikπ
n .wk=∈e avec 01,n−k
* Il s’agit des n racines n-ièmes de l’unité. Une propriété remarquable est queSi , n ∈ r>∈0et θ , alors
n iθl’équation zr = eadmet n leur somme est nulle si n ≥ 2 .
solutions z données nn *()kk01≤≤n− Avec les notations précédentes, l’équation za= a ∈ admet n solu-()
par :
za=∈w aveck01,n−tions z données par : .() kkkk01≤≤n−
θπ+2k
in
nzr= e .k
3 ■ ■ Similitudes directes
rr
Soit un plan euclidien rapporté à un repère orthonormal direct Ou,,v .()
3.1 Qu’est-ce qu’une similitude directe du plan ?
Une similitude directe du plan euclidien est soit une translation soit laLe réel k est le rapport de
cette similitude, θ est son composée d’une rotation de centre Ω et d’angle θ , et d’une homothétie
angle et Ω est son centre. de centre Ω et de rapport k strictement positif.
Si on désigne respectivement par wz,etz′ les affixes des points
Ω,MMet ′ , la rotation de centre Ω et d’angle θ est caractérisée parLe point Mz′′ désigne()
iθl’équation : zw′− = e z −w .()l’image de Mz par la trans-()
formation considérée. L’homothétie de centre Ω de rapport k > 0, quant à elle, est caractérisée
par l’équation : zw′− =kz −w .()
Il en résulte que la similitude de centre Ω de rapport k et d’angle θ est
caractérisée par l’équation :
iθzw′− =k e z −w .()
3.2 Caractériser la transformation associée
à ( a ∈ *).zaaz +b
Par définition c’est l’application qui transforme le point Mz en M′()
d’affixe .za′=z+b
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
Premier cas : a = 1 ur
Si a = 1, il s’agit de la translation de vecteur V d’affixe b.
Si a ≠ 1, il s’agit de la rotation de centre Ωω vérifiant
abωω+= et d’angle arg a .() La transformation associée à
Deuxième cas : a ≠ 1
zza est la symétrie
orthogoIl s’agit de la similitude de centre Ω d’affixe ω vérifiant abω+= ω, nale par rapport à l’axe Ox.
de rapport ka= et d’angle θ = arg a .()
4 ■ ■ Trigonométrie
4.1 Donner le sinus, cosinus et tangente
d’une somme ou d’une différence.
cosab+=−cosacosb sinasinb cosab−=+cosacosb sinasinb En particulier :() ()
22cos2aa=−cos sina
sinab+=+sinacosb cosasinb sinab−=−sinacosb cosasinb() () 2cos22cos 1
2cos21aa=−2sintanab+ tan tanab− tan
tanab+ = tanab− = sin22= sin cosa.() ()
1− tanabtan 1+ tanabtan
4.2 Comment transformer un produit en somme
et une somme en produit.
Transformation de produit en somme :
1
⎡ ⎤sina cosb=+sinab+−sinab ,() ()⎣ ⎦2
1
⎡ ⎤cosa cosb=+cosab+−cosab ,() ()⎣ ⎦ En particulier :2
1 12+ cos a
2⎡ ⎤sina sinb=−cosab−+cosab . cos a = ,() ()⎣ ⎦2 2
12− cos a
2sin a = ,
Transformation de somme en produit : 2
x
2⎛pq+ ⎞ ⎛pq− ⎞ 12−=cos x sin ,
sinpq+=sin 2sin cos , 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22⎠ ⎝ ⎠
x
212+=cos x cos .
⎛pq+ ⎞ ⎛pq− ⎞ 2cospq+=cos 2cos cos .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22⎠ ⎝ ⎠
On a aussi pour transformer une différence :
⎛pq− ⎞ ⎛pq+ ⎞
sinpq−=sin 2sin cos ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22⎠ ⎝ ⎠
⎛pq+ ⎞ ⎛pq− ⎞
cospq−=cos −2sin sin .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22⎠ ⎝ ⎠
41
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
Les savoir-faire clefs
Conseils 1 ■ ■ Savoir déterminer la forme algébrique.
méthodologiques
a) Utiliser la formule de Moivre. Soit n ∈. Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
2iπ 3n π⎛ ππ ⎞ 12− i−ic) . je= 3 d) Multiplier par la quan- 53a) z=−cos isin ; b) z=−1 e ; c) z = j ; d) z = .⎜ ⎟⎝ 33 ⎠ 3 − itité conjuguée du dénominateur.
3n3n π⎛ ⎞n ⎛ ⎞ nππ −i −inπcosnxπ + =−1 cosx, et 3() () 1.a) z=−cos isin = e ==e ccosnnππ−=isin −1 .⎜ ⎟ ()⎜ ⎟33n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sinnxπ + =−1 sinx .() ()
π
−i ππ 1 3
3b) z=−11ec=−os +isin = + i .
33 2 2
10iiππ 2
− 1 3
5 3 3c) z==je =e ==j −− i .
2 2
12−ii3 +()() 1− i
d) z = = .
33−ii + 2()()
Conseils 2 ■ ■ Savoir déterminer la forme
méthodologiques trigonométrique.
La forme trigonométrique est la forme Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants :
utilisant une exponentielle complexe. 2
3 − i 422 ()41Si zx=+ iyalors : zx=+y, a) z = ; b) z=+1 j ; c) z = ; d) z=−13i .() ()4 3jx y 1− i()cosθ =, .sinθ =
z z
4iπ 2iπ1 2 3 3 32.a) z== j car j = 1. D’où : z = e car je= .
j
4 4
2 2b) z=+1jj=− car 10++jj = .() ()
2iπ 4iπ
82 3 3 3D’où : z==jj car j = 1. Or : je= . Donc : z = e .
iπ iπ
− −
6c) 32−=ie et 12−=ie 4 .
2 iπ
− 5iπ3 − i iiππ 3() 4e 3 −+ 12Donc : 3 4 2 e .z = == 2e =
3 3iπ
−1− i() 422e
4
iπ iπ 4iπ⎛ ⎞− − −
3 3 3d)13−=ie2 . Donc : z = 2e = 16e .⎜ ⎟
⎝ ⎠
424599_ Page 43 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
Conseils 3 ■ ■ Savoir interpréter géométriquement.
méthodologiques
Utiliser le lien entre distance etOn considère deux points distincts A, B d’affixes respectives a et b. Quelle
module.est, dans chacun des cas suivants, la nature géométrique de l’ensemble Γ
des points M d’affixe z vérifiant :
za−
a) za−=b−a ; b) = 1.
zb−
3.a) za−=b−a ⇔ AM = AB .
Donc l’ensemble Γ est le cercle de centre A de rayon AB , c’est-à-dire
Γ est le cercle de centreABpassant par .
za−b) = 1 ⇔ za−=zb− et zb≠
zb−
⇔ AM = BM et MB≠
⇔ AM = BM (car B n’est pas solution de AM = BM ).
⎡ ⎤Donc l’ensemble Γ est la médiatrice du segment AB .⎣ ⎦
Conseils 4 ■ ■ Savoir utiliser la CNS d’alignement.
méthodologiques
On considère les points A, M et M¢ d’affixes respectives 1, z, et iz. Déterminer Retrouver la condition d’alignement
du cours en question 1.4.l’ensemble des points M pour lesquels A, M et M¢ sont alignés.
Si MA= , c’est-à-dire si z = 1, les trois points sont alignés.
Si MA≠z ≠ 1, les trois points sont alignés si et seulement
i z −1 iiz −1 −−z 1
si : ∈ . Cela se traduit par = .
z −1 z −1 z −1
Dans tous les cas, la CNS est donc : iizz−11 − =−zz+11 − .() ()() ()
2 2
2En développant et en écrivant ensuite zx=+ iy, on obtient successivement : xx− +−y y =R est()()0 0
l’équation du cercle de centre
2220iizz+−zz−+zz = puis xy+−x+y= 0 , et enfin sous forme Ω xy , et de rayon R.()()() 00
22
⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 1
réduite : xy− ++ = .⎜ ⎟ ⎜ ⎟2 2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L’ensemble des points M est donc :
1− i 1
le cercle de centre Ω d’affixe et de rayon .
2 2
43
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
Conseils 5 ■ ■ Savoir résoudre une équation.
méthodologiques
Résoudre les équations suivantes :
23
⎛ ⎞ ⎛ ⎞z + i z + i z + i z + i
3 63a) Poser Z = . b) Poser Zz= . a)10− + − = ; b)zz+−78=0 .⎜ ⎟ ⎜ ⎟z − i z − i ⎝ z − i⎠ ⎝ z − i⎠
z + i
23Z = 1 est racine de 5.a) En posant Z = on se ramène à 10−+ZZ −Z = . Or :
z − i2310−+ZZ −Z = donc on peut
23 2factoriser 1− Z dans() 11−+ZZ −Z = −Z1+Z .()()
231−+ZZ −Z .
23 2donc : 10−+ZZ −Z = ⇔ Z = 1 ou 10+=Z ⇔∈Z 1, i,− i .{}
23
z + i ⎛ z + i⎞ ⎛ z + i⎞ z + i
Par conséquent : 10− + − =⇔ ∈−1,i, i .{}⎜ ⎟ ⎜ ⎟z -i ⎝ z -i ⎠ ⎝ z -i ⎠ z −− i
De plus :
z + i
=⇔12zz+ii= − etz≠i⇔i=0 , ce qui est absurde donc il n’y a pas
z − i z + i
de solution dans ce cas. Puis : =⇔iizz+ =i −i etz≠⇔i z= 1,()
z -iz + i
enfin : =−ii⇔zz+ =−i −i etz≠⇔iz=−1.()
z -i 23
⎛ ⎞ ⎛ ⎞z + i z + i z + i
L’ensemble S des solutions de l’équation 10− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟z − i z − i z − i⎝ ⎠ ⎝ ⎠
est donc : S=−11, .{}
3 63 2b) Si on pose Zz= on a : zz+−78=0 ⇔ZZ+−78=0 .Dans le trinôme du second
2degré ax++bx c la somme et On remarque alors que 1 est racine évidente. L’autre racine est donc −8 .
le produit des racines sont 2Par conséquent : ZZ+−78=0 ⇔ Z = 1 ou Z =−8
donnés par :
3c’est-à-dire, en remplaçant Z par z :c b
xx′′′=+etxx′ ′′=− . 63 3 3zz+−78=0 ⇔ z = 1ou z =−8.a a
Si 1 est racine évidente alors l’autre
3
c ⎛ ⎞z z
3 2racine est . Enfin : z =−8 ⇔ = 1 ⇔ ∈ 1,j,j ,{}⎜ ⎟a ⎝ −2⎠ −2
3 2Par définition des racines cubi- c’est-à-dire : z =−8 ⇔ z∈−22,j−,j−2 .{}
ques de l’unité :
63 22En conclusion : zz+−78=0 ⇔ z∈−12,j,j , ,−2j,−2j .3 2 {}z = 1 .⇔ z ∈ 1,j,j{}
Conseils 6 ■ ■ Savoir linéariser.
méthodologiques
a) Transformer le produit de cosinus a) Soit p et q deux entiers naturels. Montrer que si pq≠ on a :
2π 2πen somme.
2cos(px)cos(qx) dx = 0 . Calculer cos (px)dx .∫ ∫
6b) Linéariser cos x en utilisant les 0 0
πformules d’Euler et du binôme de
2 6b)Calculer .Ix= cosdxNewton. ∫0
444599_ Page 45 Lundi, 8. mars 2010 1:13 13
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
1 Erreur à éviter⎡ ⎤6.a) • cos(px)cos(qx)=+cos(p q)x+ cos(p− q)x .⎣ ⎦2 Avant de diviser par un nombre
2ππ 2 2π⎡ ⎤ X, il faut toujours vérifier qu’il1
⎢ ⎥D’où : cos(px)cos(qx) dx=+cos(p q)x dx+ coss(pq− )xdx . n’est pas nul ! Ne pas prendre cette∫∫ ∫2 ⎢ ⎥ précaution est considéré comme0 0 0⎣ ⎦
une faute importante dans tous les
En remarquant que : pq+≠ 0 et pq−≠ 0 , on obtient : concours.
2ππ 22π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 sin(pq+ )x 1 sin(pq− )x
cos(px)cos(qx) dx = + .⎢ ⎥ ⎢ ⎥∫ 2 pq+ 2 pq−⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 00

Donc : cos(px)cos(qx) dx = 0 .∫
0
2ππ 2
12+ cos( px) 12+ cos( px)
2 2• cos (px) = . Donc : cos (px)dx = dx .∫∫2 2
0 0
2ππ 2
2Si p = 0: cos (px)dx==1dx 2π.∫∫
0 0
2π 2π
⎡sin(2px) ⎤2cos (px)dx=+π =⎢ ⎥∫Si p ≠ 0: π.4p⎣ ⎦0 0
6
iixx −⎛ ⎞ee + 6
6b) On a : cos x = . Le développement de ab+ s’obtient() Le triangle de Pascal donne en⎜ ⎟⎝ 2 ⎠
effet :
par la formule du binôme de Newton :
6
6 5 4 2 33 24 5 6ab+ =a+61ab++5ab 20ab++15ab 6ab+b .() 1
ix −ix 1 1Par suite en prenant : a = e et b = e ,
6 121iixx−−64ix ix 2ix 2ix −−−46iixxee + =+e 61e +5e +20+15e +6e + e .()
1331
En regroupant les termes conjugués on obtient : 14641
6
iixx −e + e =+2cos6xx12cos4+ 30cos2x+ 20 . 15101051()
1 16152015616 ⎡ ⎤Par conséquent : cos=+cos66cos4x+15cos2x+10⎣ ⎦52 π
π
2⎡ ⎤1 sin6xx34sin 15sin2x2 6puis : cos xdx=+ + + 10x ,⎢ ⎥∫ 50 2 6 2 2⎣ ⎦0

donc finalement I = .
32
Conseils 7 ■ ■ Savoir utiliser l’exponentielle complexe.
méthodologiques
n
ikαSoit α un réel n’appartenant pas à 2π . On considère la suite S = e .n ∑
k=0α
sin n +1i n+1 α α ()()1− e in 2a) Prouver que : S = = e 2 . a) Utiliser la formule donnant lan iα1− e α somme d’une suite géométrique puissin
2 iϕ ⎛ ⎞ϕ
iϕ 2α 12−=ee − isin .⎜ ⎟n sin n +1 2() ⎝ ⎠α 2b) En déduire : cosknα = cos . b) Prendre la partie réelle dans l’éga-∑ α2 lité du a).k=0 sin
2
45
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
n n
k
iikαα iα7.a) S==ee avec e ≠ 1 car α est un réel n’appartenant()n∑∑
k00 k
pas à 2π.
Or si q ≠ 1, la somme des premiers termes d’une suite géométrique donne :
in+1 α()n+11− q 1− e2 n1++qq + ...+q = , donc : S = .n iα1− q 1− e
iϕ ⎛ ⎞ϕiϕCette formule s’obtient en fac- En utilisant la formule 12−=ee 2− isin au numérateur et au dénomi-⎜ ⎟2⎝ ⎠iϕ
nateur il vient :
2torisant e puis en se servant
αdes formules d’Euler (cf. Le ⎛ ⎞i n+1 α() α2ei−+21sin ncours en questions 1.6). ()⎜ ⎟ α sin n +1()2⎝ ⎠ in 22S = . En conclusion : S = e .n nα α⎛ ⎞i α sinei2 −2 sin⎜ ⎟ 2⎝ 2 ⎠
n
ikαb) En prenant la partie réelle de S = e on peut écrire :n ∑
k=0
n α⎛ ⎞ αin 2ReSk= cos α . Puis en remarquant que : Re e = cosn et que() n ∑ ⎜ ⎟ 2⎝ ⎠k=0
α α
sin n +1 n sin n +1() ()α2 2 est réel, on obtient finalement : cosknα = cos .∑α 2 α
k=0sin sin
2 2
Conseils 8 ■ ■ Savoir définir les polynômes
méthodologiques de Tchebychev.
Soit n un entier naturel et θ un réel.
a) Utiliser la formule : cospq+ cos . a) Prouver que cos(n +1)θ + cos(n −1)θ = 2cosθθcos(n ).
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, il existe un polynôme T telb) Utiliser a) et raisonner par récur- n
rence. que :
∀∈θ , .T cos(θ) = cos(nθ)()n
On admet que le polynôme T est l’unique polynôme vérifiant cette égalité.n
T est appelé n-ième polynôme de Tchebychev (de première espèce).n
Exprimer T X en fonction de T X et T X .() () ()n+1 n n−1
inθc) En prenant la partie réelle de e montrer que :c) Utiliser la formule de Moivre.
⎛ ⎞ kn 22 nk−T X = XX−1 .() ()n ∑ ⎜ ⎟⎝ 2k⎠02≤≤ kn
⎛pq+ ⎞ ⎛pq− ⎞
8.a) On a : cospq+=cos 2cos cos .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22⎠ ⎝ ⎠
D’où : cos(nn++11)θθcos(− )+2cosθ cos(nθ) .
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
b) Soit la propriété définie par :
n équivaut à : « Il existe un polynôme T tel que : ∀∈θ ,() n
T cos(θ) = cos(nθ) ».()n
Initialisation : On a 0 en prenant T X = 1. et 1 avec TX =X.() () () ()0 1 cos01xT== cosx() ()0()
en prenant T X = 1,0Hérédité : Soit n ≥ 1. Supposons n et n −1 alors d’après a) :() () cos 1xT= cosx() ()1()
∀∈θ , cos(n +1)θ= 2cosθθcos(n )−−cos(n 1)θ. avec ,TX =X1()
2cos22xx= cos −=1T cosx() () ()Donc : cos(n +1)θ = 2cosθ T cos(θ) − T cos(θ) . 2()() ()n n−1
2avec .TX=−21X2()
Par conséquent, en posant TX =2–XT X TX on a : T est un() () ()nn+−11n n+1
polynôme qui vérifie : ∀∈θ , cos(n +1)θ = T cos(θ) .()n+1
Donc n +1 . D’après le principe de récurrence, pour tout entier n , ≥ 0il()
existe un polynôme T tel que : ∀∈θθ,Tncos( ) = cos(θ) .()n n
n
inθc) D’après la formule de Moivre : e=+cosθθisin ,()
d’où, en utilisant la formule du binôme de Newton :
n ⎛ ⎞n pinθ np−es= iinθθcos .()∑ ⎜ ⎟⎝ p⎠p=0
En prenant la partie réelle de chaque membre, en remarquant que seuls les
p
termes isinθ dont les exposants p sont pairs (c’est-à-dire de la forme()
pk= 2 ), ont une partie réelle non nulle, on obtient :
On a prouvé dans le chapitre
⎛ n ⎞ 2k Logique et calcul que le coeffi-nk−2cos(nθθ) = isin cosθ .()∑ ⎜ ⎟⎝ 2k⎠ cient dominant de T vautn02≤≤ kn
2kk ⎛ ⎞n22 n−1Enfin : i =−1 et sin=−1 cos , donc :() () = 2 pour tout entier∑ ⎜ ⎟⎝ 2k⎠
02≤≤ kn
⎛ n ⎞ k
22 nk− n ≥ 1. On le vérifie facilement pour∀∈θ , .cos(nθ) = cosθθ−1 cos()∑ ⎜ ⎟
⎝ 2k⎠ 202≤≤ kn TX =X et TX=−21X . On le() ()1 2
Compte tenu de l’unicité du polynôme T (admise par l’énoncé) on a :n redémontre par récurrence à partir
de la formule :
⎛ ⎞n k
22 nk−TX() = XX−1 .()n ∑ TX = 2XT X −TX .⎜ ⎟ () () ()n+1 n n−12k⎝ ⎠02≤≤ kn
Conseils 9 ■ ■ Savoir intégrer une exponentielle
méthodologiquescomplexe.
a) Écrire :Soit α=+ab i un nombre complexe non nul écrit sous forme algébrique.
α x ab+i x() ax ibx axe ee==e ecosbx+isinbx.()α xa) Montrer que x a est une primitive de x a e .
α ab+i x()Dériver e puisque α est une
π π constante.
t t b) Utiliser :b) En déduire ecostdt et esintdt.∫ ∫
ππ π0 0
1+i t() tteedt=+cost dtiesint dt.∫∫ ∫
00 0
47
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reMÉTHODES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
α x ab+i xOn montre en fait que x a e () ax9.a)Posons . F x==eecosbx+isinbxAlors en dérivant F() ()
α xa pour dérivée x a α e .
comme un produit on obtient :
ax axF′ x=+ae cosbx isinbx+−be sinbx+ icosbx()() ( ))
ax axaeicosbx sinbx++ibeisinbx cosbx .()
axD’où : F′ x=+a ib e cosbx + isinbx , c’est-à-dire :()() ( )
d
ααxxFx′ = ⎡ee⎤ = α .() ⎣ ⎦dx
α xd ⎡e ⎤
α xOr est une constante, par suite : = e .α=+aib ⎢ ⎥
dx α⎣ ⎦
α xe
α xDonc .xxaaest une primitive de e
α
1+i t() tt i t tb) Remarquons que : ee==e ecostt+iesin .
ππ π
1+i t() ttDonc : e dt=+e cost dt i e sint dt. ❶∫∫ ∫
00 0
ππ1+i t 1+i t⎡ () ⎤ ⎡ () ⎤d e e1+i t 1+i t() ()Or, d’après a) : = e . Donc : e dt = .⎢ ⎥ ⎢ ⎥∫dt 1+ i 1+ i⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0
π 1+i π() ππ i πe −1 ee −1 e +11+i t()D’où : e dt = = =− .Cette solution est préférable à ∫ 1+ i 1+ i 1++ i
0la double intégration par parties
que l’on utilise en terminale. En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur il vient :
π πe +11+i t()e dt = i −1 .()∫ 2
0
π
1+i t()En prenant la partie réelle et la partie imaginaire de e dt on a alors∫
d’après ❶ : 0
π ππ πe +1 e +1
t tecostdt =− et esintdt = .∫ ∫2 2
0 0
Conseils 10 ■ ■ Savoir utiliser les rotations.
méthodologiques
On considère 3 points deux à deux distincts A, B et C d’affixes a, b et c.
a) Remarquer que a) Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A si et seulement si :
22
22ca− +−b a = 0 équivaut à () () ca− +−b a = 0.() ()
ca−
=±i.
ba− b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle
ABC soit équilatéral.
b) Utiliser une rotation de centre A
π
d’angle . ±
3
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
10.a) Le triangle ABC est rectangle isocèle en A si et seulement si C est La rotation de centre A etππ
l’image de B par une rotation de centre A et d’angle ou − . d’angle θ est caractérisée par
22
iθl’équation : za′− = e z −a .()Compte tenu de la caractérisation des rotations, cela équivaut à dire que :
ca−=±ib−a .()
ca−
On peut encore l’exprimer en écrivant : =±i (car ab≠ ).
ba−
2Enfin, en remarquant que : zz=± i⇔ =−1 , on en déduit :
ABC est un triangle rectangle isocèle en A si et seulement si :
2
⎛ca− ⎞ 22
=−1, c’est-à-dire, puisqueab≠ : ca− +−b a = 0 .() ()⎜ ⎟⎝ba− ⎠
b) Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si C est l’image de B par
ππ
une rotation de centre A et d’angle ou − .
33
Compte tenu de la caractérisation des rotations, cela équivaut à dire que :
iπ iπ

3 3ca−=e b−a ou ca−=e b−a .() ()
On peut encore l’exprimer en écrivant :
iπ iπ

3 3ca−−−e b a = 0 ou ca−−−e b a = 0.() () () ()
Enfin, en remarquant que xy=⇔00 x= ou y=0 , on en déduit :
ABC est un triangle équilatéral si et seulement si :
iiππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−
33ca−−−e b a ca−−−e b a = 0 = 0 ,⎢() ()⎥ ⎢() () ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22
c’est-à-dire : ca− +−b a −−ca b −a = 0 , ce qui donne après sim-() () ()()
plifications :
22 2ab++c=ab+bc+ca .
49
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Annales
Pour maîtriser les bases
1. Angle au centre et angle inscrit D’après Centrale–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Montrer que si A, B et C sont trois points deux à deux distincts d’un cercle de centre O, la mesure de l’angle au
uruu uuur uruu uuur
centre OB, OC est égale au double de celle de l’angle inscrit AB, AC . On remarquera qu’on peut se ramener() ()
à un cercle de rayon 1.
Conseils méthodologiques. Choisir le repère de sorte que le point A ait pour affixe 1 et utiliser
uruu uuur ⎛ca− ⎞
AB,aAC ≡rg ⎡2π ⎤.() ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ba− ⎠
Par homothétie on peut se ramener à un cercle de rayon 1. On choisit alors le repère
uruu r
orthonormal OO,, Aj . On obtient ainsi a = 1 pour l’affixe de A, et pour B et C des()
iθ iϕaffixes b et c qui s’écrivent : b = e et c = e .
uruu uuur
Pour montrer que la mesure de l’angle au centre α = OB, OC est égale au double()
O Auruu uuur
de celle de l’angle inscrit β = AB, AC il suffit de prouver que()
a b⎛ c − 0 ⎞ ⎛ca− ⎞
arg ≡22arg ⎡ π ⎤ , c’est-à-dire :⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ b − 0 ⎠ ⎝ba− ⎠
C
2 2⎛ ⎞⎛ca− ⎞ b ⎛ca− ⎞ b
arg⎜ × ⎟ ≡02 ⎡ π ⎤ ce qui équivaut encore à ×> 0. B⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎝ba− ⎠ c ⎟ ⎝ba− ⎠ c⎝ ⎠ Figure 3
2 2ϕ⎛ ⎞i ϕ ⎛ ϕ ⎞
2 2 22ii e sin siniϕ iθ iθ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ca− ⎞ b e − 1 e e2 2D’autre part : ×= ×= ⎜ ⎟×= > 0 , d’où le résultat demandé.⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟iθ iϕ θ iϕ⎝ba− ⎠ c e − 1 e e θ⎝ ⎠ θi⎜ ⎟ ⎜ ⎟sin22ise in⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 22
2. Trigonométrie et exponentielle complexe D’après Mines-Ponts––––––––––––––––––––––
On considère trois réels a, b et c. Montrer que :
⎧cosab++cos cosc= 0 ⎧cos2a + ccos22bc+=cos 0
⇒⎨ ⎨
sinsin sinc= 0 sin2abc++sin2 sin2= 0.⎪ ⎪⎩ ⎩
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
2 iab++ciiiab c ()Conseils méthodologiques. Développer eee++ puis factoriser e dans les doubles()
produits.
2
22 2On rappelle que xy++z =+x y+z+22xy+ yz+2zx . Par hypothèses :()
iiiab c −−−iiiab ce++e e = cosab+ cos+ cosc++i sina sinb+ sin c = 0 . De même en conjuguant eee++ = 0 . Donc()
2 2 iiab+ b+ccc i +aiii c iiiab c 222ia ib ic () () ()en développant eee++ on obtient d’abord : eee++ =+e e +e + 2e +e + e ,() () ()
⎛ ⎞
iab++c iab++c 222iiiab c −−−iiiab cpuis en factorisant e dans les doubles produits, il vient : 02=+eee+ +e e +e +e . Par⎜ ⎟1214443444
⎝ ⎠=0222iiiab csuite eee++ = 0 . Enfin, en prenant la partie réelle de chaque membre, on en déduit :
⎧cos222ab++cos cosc=0⎪
. ⎨
sin2abcsin2 sin2= 0⎪⎩
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
3. Calcul de cos et de sin D’après CCP–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝12⎠ ⎝12⎠
On considère les nombres complexes a=+1i et b=− 3i. Déterminer les formes algébrique et
trigonométri⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
que de ab. En déduire les valeurs exactes de cos et de sin .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 12⎠ ⎝ 12⎠
Conseils méthodologiques. Déterminer la forme trigonométrique de a, b et ab.
π⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 ⎛ππ⎞ ⎛ ⎞ i
4Formes trigonométriques : a=+12ii= + = 2cos +i sin = 2 e et⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝44⎠ ⎝ ⎠2 2 ⎝ ⎠
π⎛ ⎞ ⎛ ⎞3 1 ⎛ππ⎞ ⎛ ⎞ − i
6b=−32ii= − =−2cos +−sin = 2e ,⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟2 2 ⎝66⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ππ ⎞ πi − ⎛ ⎞⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎜ ⎟ i⎝46 ⎠ 12ab==22ee 22=22cos +issin .⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎝ 12⎠ ⎝ 12⎠⎝ ⎠
Forme algébrique de ab : ab=+1ii3 − =+ 31+i 31− .()() ()
L’unicité de l’écriture algébrique permet d’identifier partie réelle et partie imaginaire. On obtient alors les expressions sous
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 31+ ⎛ π ⎞ 31−
forme de radicaux de cos et sin : cos = et sin = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 12⎠ ⎝ 12⎠ ⎝ 12⎠ ⎝ 12⎠22 22
51
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4. Image réciproque de l’axe réel D’après Centrale––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
On considère une application f du plan complexe dans lui-même.
2 + i z
À tout point M d’affixe z, , z ≠ 1f fait correspondre le point Nf= M d’affixe Z définie par : Z = . On()
z − 1note zx=+ iyet ZX=+ iY.
a) Calculer X et Y en fonction de x et y.
b) Déterminer l’ensemble E des points M tels que Z soit réel. Montrer que E est un cercle privé d’un point.
Donner son centre et son rayon.
Conseils méthodologiques. a) Mettre Z sous forme algébrique. b) Écrire que M appartient à E équivaut
à Y = 0.
2++iixy 2 −yx+ i2 + i z () ()
a) Exprimons Z à l’aide de x et y : Z = = = .
z − 1 xy+ i − 1 x − 1 + iy() ()
En multipliant le dénominateur par son conjugué il vient :
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤21−yx+iix − −y 2 −yx − 111+ xy+−i x x −−y2 y() () ()() () ()⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Z = = ,
2 22 2xy− 1 + xy− 1 +() ()
2222xy+− ++ix y−x−2y()()
d’où : Z = .
2 2xy− 1 +
2222xy+− xy+−x− 2y
En séparant partie réelle et partie imaginaire il vient alors : X = et Y = .
2 22 2xy− 1 + xy− 1 +() ()
22xy+−x− 2y
b)Pour z ≠ 1: ZY∈⇔ = 0. E est donc l’ensemble des points M vérifiant : = 0, c’est-à-dire
2 2xy− 1 +()
22xy+−x−20y= et xy,,≠ 10 .() ()
22 2 2De plus : xy+−x−20y= ⇔x−x+−y 2y =0. En mettant chaque tri-()()
nôme sous forme canonique on obtient : Remarque
2⎡ ⎤⎛ 1⎞ 1 2⎡ ⎤ 2 222 ⎢ ⎥xx− +−y 20y=⇔ x− − +−y 1 −10= . 2()() (()⎜ ⎟ xx− +−y y =R() ()⎢ ⎥ 0 0⎝ 2⎠ 4 ⎣ ⎦⎢ ⎥
⎣ ⎦ est l’équation du cercle de centre
2
⎛ 1⎞ 2 5 Ωxy, et de rayon R.()00Finalement : ME∈⇔ x− +−y 1 = et xy,,≠ 10 .() () ()⎜ ⎟⎝ 2⎠ 4
⎛ 1 ⎞ 5
E est donc le cercle de centre Ω ,1 et de rayon privé du point A 10, .()⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ 2
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
5. Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire D’après Centrale––––––––––––––––––––––––––––––––
n
*Soit n un entier naturel. Montrer que, pour tout zz, , ...,z ∈ , on a l’équivalence des deux propositions() ()12 n
suivantes :
n n
a) zz= .k k∑∑
k==11 k
iθb) ∃∈θπ ⎤−,,π ⎤ ∀∈kn1, ,z =ze .kk⎦ ⎦
Cela s’interprète géométriquement en disant qu’on a égalité dans l’inégalité triangulaire si et seulement si les
points d’affixes z sont tous sur la même demi-droite d’origine O.k
n⎛ ⎞
Conseils méthodologiques. Dans le sens ab))⇒ , poser θ = Arg z en remarquant que⎜ ⎟∑ k
⎝ ⎠k=1
n n
iθzz=≠ 0 . Multiplier ensuite par l’égalité a) par e et prendre la partie réelle pour conclure.∑∑k k
k==11 k
n n
iθ iθba))⇒ Si : ∃∈θπ ⎤−,,π ⎤ ∀∈kn1, , zz= e , alors zz= e etkk ∑∑k k⎦ ⎦
k==11 k
Remarquen n
en prenant le module de chaque membre zz= . L’implication ba))⇒ est∑∑k k
k==11 k Ce résultat se généralise au cas où
donc immédiate. nzz, , ...,z ∈ . Il suffit()12 nn⎛ ⎞
d’appliquer la démonstration pré-ab))⇒ On pose tout d’abord : ∀∈kn1, , θ = Argz et θ = Arg z . Il⎜ ⎟kk ∑ k
cédente aux nombres complexes⎝ ⎠k=1
n n non nuls et ensuite de remarquer
iθ iθks’ensuit que ∀∈kn1, ,z =ze et que : zz= e avec θ ∈−⎤ ππ, ⎤ etkk ∑∑k k k que les nombres complexes qui⎦ ⎦
k==11 k sont nuls peuvent aussi s’écrire :
iiθθθπ∈−⎤ ,π ⎤. zz==00e = e .⎦ ⎦ kk
n n
iθkOn en déduit que zz= e . Avec ces notations :∑∑k k
k==11 k
n n n n
i()θθ −θ−iiθθ − iθ kkzzz==ee e=ze . L’égalité a) équivaut donc à :∑∑k k ∑ k ∑ k
k=11 k= k=1 k=1
n n n
i()θθ − i()θθ −k ⎡ k ⎤zze = c’est-à-dire : z10− e = . En prenant la partie∑∑k k ∑ k ⎣ ⎦
k=11 k= k=1
n
⎡ ⎤réelle de chaque membre, il vient : z10−−cosθθ = . Une somme de()∑kk⎣ ⎦{124443444
k=1 ≥0 ≥0
réels positifs est nulle si et seulement si tous ces réels sont nuls. Compte tenu du
fait que z > 0 il en résulte que ∀∈kn11,, −cosθθ − =0. Par suite()k k Remarque
∀∈kn10,,θθ − ≡ ⎡2π ⎤.k ⎣ ⎦
Le seul multiple de 2π qui
Puisque θπ∈−⎤,,π ⎤ etθ∈−⎤ππ ⎤, le réel θθ − est un multiple de 2π qui appar-k k⎦ ⎦ ⎦ ⎦ appartient à l’intervalle
⎤−22ππ, ⎡ est 0.tient à ⎤−22ππ, ⎡. On peut en déduire que : ∀∈kn1, ,θθ = . D’où le résultat. ⎦ ⎣k⎦ ⎣
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6. Équation trigonométrique D’après CCP––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Résoudre l’équation d’inconnue x réelle : 33cosxx−=sin .
22Conseils méthodologiques. Pour transformer axcos+=bsinx c , factoriser ab+ .
⎛ ⎞3 1 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 3
33cosxx−=sin ⇔2 cosx− sinx=⇔3 cos cosxx− sin sin =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟2 2 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2⎝ ⎠
⎧ππ ⎧x ≡02⎡ π ⎤+≡x ⎡2π ⎤⎪ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎛ππ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪66⇔+cos x = cos ⇔ ⇔ .⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π⎝66⎠ ⎝ ⎠ πππ ou x ≡− ⎡2π ⎤⎪ ⎪ ⎣ ⎦ou +≡x − ⎡2π ⎤⎣ ⎦ ⎩ 3⎪⎩66
⎧ π ⎫
L’ensemble des solutions de l’équation est donc : Sk=∈2 π//kU −+ 2kπk∈ que l’on peut écrire :{} ⎨ ⎬
3⎩ ⎭
⎛ π ⎞
S=−2πU + 2π .⎜ ⎟⎝ 3 ⎠
7. Sommes trigonométriques D’après Mines-Ponts–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n n⎛ ⎞n
2Calculer les sommes suivantes : a) , A = cos kx b) .Bk= cos (x)()n ∑ ∑⎜ ⎟k⎝ ⎠k=0 k=0
n⎡ ⎤⎛n⎞
ikθ 2Conseils méthodologiques. a) Écrire A = Re ⎢ e ⎥ . b) Linéariser cos (kx).n ∑ ⎜ ⎟k⎢ ⎝ ⎠ ⎥k=0⎣ ⎦
n n n⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ k
iikx xa) A = Re ⎢ cos kx + isin kx ⎥ = Re ⎢ e ⎥ = Re ⎢ e ⎥.() () ()n ∑ ∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟k k k⎢ ⎝ ⎠ ⎥⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥k=0 k=0 k=0⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
n n⎡ ⎤x nx⎛ ⎞ ⎛ ⎞i x ⎛ x ⎞ i⎢ ⎥ixn nLa formule du binôme de Newton permet d’écrire : 2 2 .A=+Re ⎡(12e ) ⎤ = Re e cos = 2 cos Re en ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥2 ⎝ 2 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦n
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
nPar conséquent : A = 2 cos cos n .n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝22⎠ ⎝ ⎠
n n n n⎡ ⎤⎡ cos(21kx) + ⎤ 1 n + 1
i2kxb) B = =+cos(2kx) . Or .cos 2kx = Re ⎢ e ⎥()n ∑ ∑ ∑∑⎢ ⎥2 2 2 ⎢ ⎥⎣ ⎦k==00 k 0 k==0 k 0⎣ ⎦
2i xPremier cas : x ∈π. Alors e = 1 , et Bn=+ 1 .n
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
2i xDeuxième cas : x ∉π. Alors e ≠ 1 par conséquent la somme des termes d’une suite géométrique
n 21inx+() sinnx+ 11 − e ()
i2kx inxdonne : e = = e .∑ 2i x1 − e siin x
k=0
n n⎡ ⎤ sinnxn + 1()
i2kxOn peut en déduire que : cos 2kx = Re ⎢ e ⎥ = cosnx .()∑∑ sin x⎢ ⎥k==0 k 0⎣ ⎦
sin(nx++1) n 1
Donc si x ∉π : B = cosnx + .n
2sin x 2
8. Des racines n-ièmes D’après Centrale––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
nn
⎛ z − i ⎞ ⎛ z + i ⎞
*Soit θπ∈⎤0, ⎡ et n ∈ . Résoudre l’équation : + = 2cosθ .⎦ ⎣ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ z + i ⎠ ⎝ z − i ⎠
1
Conseils méthodologiques. Se ramener à X+= 2cosθ .
X
n
⎛ z − i ⎞ 1
On va poser X = pour se ramener à l’équation X+= 2cosθ .⎜ ⎟⎝ z + i ⎠ X
21 XX+−12 cosθ
2On résout en écrivant : X+= 2cosθ ⇔ = 0 ce qui équivaut à XX−+21cosθ=0 et X ≠ 0.
X X
2
2 2Le trinôme précédent a pour discriminant : Δ= 44cos θ − =−4 sin θ = 2isinθ . Les solutions de cette équation()
iθ − iθdu second degré sont donc : X=+cosθθisin et X=−cosθθisin , c’est-à-dire : X = e et X = e . En remar-1 2 1 2
1
iθ − iθquant que 0 n’est pas solution, on obtient alors l’équivalence : X+= 2cosθ⇔ X= e ou X = e . Enfin en
remX
n n
⎛ z − i ⎞ ⎛ z − i ⎞
iθ − iθplaçant X par sa valeur, l’équation initiale est équivalente à : = e ou = e .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ z + i ⎠ ⎝ z + i ⎠n
⎛ z − i ⎞ z − i
iθ n iθRésolvons d’abord = e qui peut s’écrire Z = e en posant Z = . En se servant de la forme trigonomé-⎜ ⎟⎝ z + i ⎠ z + i
θπ+ 2k
iα nniθtrique Z = ρ e , on obtient Z=⇔e,ρα= 1 et = aveckn∈−01 . En d’autres termes :
n
θπ+2k
i
n iθ nZk=⇔e,∃∈01n−,Z=e . Il en résulte les équivalences suivantes :
n i⎛ z − i ⎞ z − i θ +2kπ()iθ n=⇔e,∃kn∈01−, = e⎜ ⎟⎝ z + i ⎠ z + i Remarque
ii⎛ ⎞ ⎛ ⎞()θπ+2k ()θ +2kπ
n n ce qui donne⇔∃kn∈01,,− 1−e z=+i1e Puisque⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θπ∈⎤00,,⎡ etkn∈−1 , on⎦ ⎣i()θπ+2k i a :n θπ+2k1 + e ()
nles solutions , car e ≠ 1 vu le choix dez =iaveckn∈−01, θπ+22k n −1i
θπ+2k() 0 < < ππ< 2
n1 − e n n
θπ∈⎤0, ⎡ donc le dénominateur ne s’annule pas. i⎦ ⎣ θπ+2k()
ndonc .e ≠ 1
55
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reANNALES M&A MATHS-INFORMATIQUE 1 ANNÉE MPSI
i()θπ+2k
2nFinalement en factorisant e au numérateur et au dénominateur on aboutit à :
⎛θπ+ 2k ⎞
cos ⎜ ⎟⎝ 2n ⎠ ⎛ ⎞θ ++ 2kπ
z =− =−cotan aveckn∈−01, . Le changement de θ en −θ permet d’obtenir les solutions⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ 2n ⎠θπ+ 2k
sin ⎜ ⎟⎝ 2n ⎠
n
⎛ ⎞z − i − iθde = e et de conclure.⎜ ⎟⎝ z + i ⎠
Pour approfondir
9. Polynôme de Tchebychev de seconde espèce D’après CCP––––––––––––––––––––––––––––––––––
nSoit θ un réel et un élément de .
a) Calculer sin4θ sous forme d’un produit de sinθ par un polynôme en cosθ .
b) Montrer dans le cas général que sin(n + 1)θ s’écrit en fonction de sinθ, cosθ et n sous la forme
sinnU+ 1θθ= sin cosθ où U désigne un polynôme.() ()n n
Conseils méthodologiques. Utiliser les formules de Moivre et du binôme de Newton.
4
a) En développant cos44θθ+ i sin =+cosθ i sinθ par la formule du binôme de Newton, il vient :() ()()
43 2234cos44θθ+ i sin =+cosθ4icosθ sinθ−6cosθ sinncθθ−+4iossinθsinθ .() ()
Ce qui donne, en identifiant les parties imaginaires :
33 3 2sin44θθ=−=−cos sinθ 4 cosθ sinθθ4 cos sinθ 4 cosθθθ 1 − cos sinθ()
2ou encore : sin44θθ=−sin cosθ2cosθ 1 .()
b) On généralise le raisonnement précédent :
n+1
⎛ ⎞n+1 nk+−1 kn+1
cos()nn+11θθ++i sin()=+()cosθ i sinθ = ⎜ ⎟()cosθθ (i sin)∑ k⎝ ⎠
k=0
np+−12 2p np−22p+1⎛n+1⎞ ⎛ n+1 ⎞
= cosθθ i sin + cosθθ i sin ,() ( ) () ( )∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ⎟⎝ 2p ⎠ ⎝21p+ ⎠
02≤≤ pn+1 02≤+pn1≤+1
p p p
22p 21pp+ 2or : ii = =−1 et ii==i −1i . D’où :() () ()
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤np+11 n + 1n+ −22pp p n + 1 np−+22p1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟cosθθ+ i sin =−1 cosθ sinθ+−i 1 cosθθ sin .() ⎢() () () ⎥ ⎢() () ( ) ⎥∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟2p 21p +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦02≤≤ pn+1 02≤+ p 1≤+≤n 1
22En identifiant les parties imaginaires, en factorisant sinθ et en utilisant l’identité sinθθ=−1 cos , on obtient :
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Nombres complexes et trigonométrie Chapitre 2
⎛ ⎞⎡ ⎤n + 1 p
⎜ ⎟ np−22sin n + 1θθ= sin cos θ cosθ − 1 .() ⎢ () ⎥∑ ⎜ ⎟21p +⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦02≤≤ pn
⎛ ⎞n + 1 p
⎜ ⎟ np−22On a alors sinnU+ 1θθ= sin cosθ avec U = XX − 1 . Le polynôme U est appelé() () ()n n n∑ ⎜ ⎟21p +⎝ ⎠02≤≤ pn
n-ième polynôme de Tchebychev de seconde espèce.
⎛ n⎞
Conseils méthodologiques. Si p est un entier : 02≤+pn1≤ +1⇔0≤p≤E .⎜ ⎟⎝ 2⎠
za−
10. Image réciproque de cercles par z a D’après Centrale–––––––––––––––––––––––
zb−
Dans le plan complexe, on considère A et B deux points distincts d’affixes respectives a et b. On note Γ le cercle
de centre O et de rayon k > 0, et f l’application qui fait correspondre au point M d’affixe z le point M′ d’affixe
za−
z′ = . L’objet de cette étude est de déterminer l’image réciproque de Γ par f. Pour cela, on va commencer
zb−
par rappeler quelques notions élémentaires de géométrie plane.
uruuu uuuur
a) Quel est l’ensemble des points M vérifiant : MA.MB = 0 ?
MA
b)M=>k 0 ?
MB
c) Quelle est alors l’image réciproque par f du cercle de centre O et de rayon k ?
Conseils méthodologiques. a) Utiliser la relation de Chasles avec le milieu du segment ⎡AB⎤. b) Élever⎣ ⎦
au carré, factoriser puis se servir de barycentres. c) Se servir de a) et b).
a) Soit I le milieu du segment ⎡AB⎤. On a alors en utilisant la relation de Chasles :⎣ ⎦
uruuu uuuur uuur uuu r uuur uruuuuur uuu r uuur uur
22MA..MB=⇔0 MI+ IA MI + IB=⇔00MI+ IA . MI − IA=⇔ MIII =A . L’ensemble des points M véri-()() ()()
uruuu uuuur
fiant : MA.MB = 0 est donc le cercle de centre I et de rayon IA, c’est-à-dire le cercle de diamètre ⎡AB⎤.⎣ ⎦
MA
b) Premier cas : k = 1. L’ensemble des points M vérifiant = 1 est la médiatrice de ⎡AB⎤.⎣ ⎦MB
uruuu uuuur uruuu uuuur uuuur uuuur2 2MA
2Deuxième cas : k ≠ 1. On a alors : =⇔kMA =kMB et M≠⇔B MA+ kMB MA − kMB = 0 et MB≠ .()()
MB
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