Modèles et raisonnements qualitatifs

Jean-Marie Doublet, Philippe Dague, Francis Castanie, Claude Foulard, Henri Maître, Louise Travé-Massuyès, Bernard Dubuisson, Jean-Charles Pomerol, Jean-Marie Pierrel, Guy Pujolle

Description

Les chapitres 1 à 7 exposent les différents formalismes qualitatifs. Les chapitres 1, 2 et 3 présentent respectivement l'algèbre des signes, le raisonnement sur les ordres de grandeur et le raisonnement sur les intervalles. Ils sont illustrés et comparés

Introduction. L'algèbre des signes -J.-.L Dormoy, L. Travé-Massuyès. Le raisonnement sur les ordres de grandeur -L. Travé-Massuyès, Ph. Dague, N. Piera (décédé), N. Agell, F. Prats, M. Sanchez, A. Missier. Raisonnement sur les intervalles -O. Lhomme. L'exemple de l'échangeur de chaleur -Ph Dague, L. Travé-Massuyès. Intervalles modaux -E. Gardenyes, M.-A. Sainz. Raisonnement asymptotique par les ordres de croissance -A. Missier. Raisonnement causal en physique qualitative -Ph. Dague, L. Travé-Massuyès. Simulation qualitative -H. de Jong. Simulation semi-qualitative et application à la détection de défauts -J. Armengol, L. Travé-Massuyès, J. Vehi. Index.

Sujets

• Arts visuels
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• Mathématiques appliquées
• Automatique
• Science formelle
• Mathématiques
• Mathematics
• Sciences

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 01 octobre 2003
• Nombre de lectures: 47
• EAN13: 9782746226029
• Licence : Tous droits réservés
• Langue: Français

Extrait

Introduction

Fournir des modèles qui représentent les systèmes physiques est une pré- occupation commune à tous les domaines scientifiques et de lingénieur. Cependant, un modèle est contraint par les connaissances disponibles et doit être adapté à la tâche pour laquelle il a été conçu, qui peut être de très haut niveau. Les limitations des modèles numériques traditionnels face à ces besoins laissent une place auxmodèles qualitatifsdont les caractéristiques sont les suivantes :  les modèles qualitatifs savent gérer les connaissances incertaines et imprécises ;  les résultats fournis par un modèle qualitatif équivalent à une représentation compacte dune infinité de résultats numériques ;  les prédictions qualitatives appréhendent les distinctions qualitatives signifi- catives du comportement du système ;  les primitives de modélisation permettent une interprétation intuitive.

Afin dillustrer ces idées, prenons deux exemples. Le premier concerne un modèle statique macroéconomique et illustre comment on peut extraire des informations significatives à partir dun modèle exhibant seulement les tendances.

Le second prend en compte des aspects dynamiques et illustre sur un régulateur de pression le type dabstraction effectué par lapproche qualitative.

1 Considérons le modèle macroéconomique suivant :

1. Cet exemple est tiré de : L ANCASTER K., « The solution of comparative static problems », Quaterly Journal of Economics, vol. 80, p. 278-295, 1966.

18 Modèles et raisonnements qualitatifs

 D(r, Y)−S(Y)=0   Y − C(r, Y, u) = L  I(r, Y) = L 

avec : S,D: fonctions doffre et de demande de monnaie I,Cfonctions dinvestissement et de dépense : Y : revenu L:investissement r: taux dintérêt uindicateur dépargne (intervenant dans la fonction dépense). :

Les propriétés du système décrit par le modèle ci-dessus en réponse à de petites variations autour de son point déquilibre dépendent de la solution du système déquations suivant, obtenu par différentiation :

 (D−S ) ∂ Y+D ∂ r=0 Y Y r   (1 − C Y ) ∂ Y − ∂ L − C r ∂ r − C u ∂ u = 0  I ∂ Y − ∂ L + I ∂ r = 0  Y r

oùS , D , , C , C , I D , C , Ireprésentent les dérivées partielles par rapport aux Y Y r Y r u Y r ) e présente la variation variables notées en indice (par exemple, D= t ∂ v re Y 2 ∂ Y dune variablev.

Dans la pratique de léconomie, la connaissance des dérivées partielles est peu précise et on nen connaît souvent que le signe. Mais quel type dinformation peut- on déduire de cette information qualitative ? Intéressons-nous à une augmentation de lindicateur dépargne ( ∂ u= +) et considérons la configuration suivante :

D= , (1 C) = +,C= ,I= ,C= , r Y rru

dans les deux cas suivants :  cas 1 := 0S ) = +, I (D  Y Y Y  cas 2 := , I = +(D  S ) Y Y Y

2. Bien que la notation δ vsoit plus communément utilisée, on choisit ∂ vpour rester homogène avec la notation employée dans la littérature du raisonnement qualitatif et qui est reprise dans les chapitres suivants, notamment le chapitre 1.

Introduction 19

pour lesquels le modèle précédent, réécrit sous forme dunsystème linéaire qualitatif(ou SLQ, comme défini au chapitre 1), devient :

 +  +   0 

0  

Cas 1

   ∂ Y   0          + ∂ L=+          r   0   ∂ +      

Cas 2

0  

   ∂ Y   0       + ∂ L=         r   ∂ 0     

Du point de vue technique, ce problème se ramène à la résolution dun système du type :Ax=b, oùA est une matricem × nformée des dérivées partielles,b un vecteurm × 1 etxvecteur le n × 1de variables endogènes. Pour cela, un calcul matriciel fondé sur une algèbre des signes fut conçu par les économistes. Dans le premier cas, la résolution du SLQ fournit une solution unique :

[ ∂ Y ∂ L ∂ r] = [ + ]

qui exprime que laugmentation de lépargne implique toujours une baisse du revenu et des taux dintérêt et une hausse des investissements (ce qui est un résultat classique en économie). Dans le deuxième cas, nous obtenons deux solutions :

[ ∂ Y ∂ L ∂ r] = [  +] ou [+ + ]

qui indiquent que laugmentation de lépargne peut se traduire par les éventualités suivantes :  une baisse du revenu et des investissements associée à une hausse des taux dintérêt ;  une hausse du revenu et des investissements associée à une baisse des taux dintérêt.

On se rend donc compte de la richesse de linformation qui peut être obtenue à partir dune connaissance initiale en apparence aussi pauvre que celle portant sur les signes des dérivées partielles des variables.

Considérons maintenant lexemple dun régulateur de pression (sans friction), dont le mécanisme est illustré par la figure 1, tiré de la littérature du raisonnement qualitatif de lintelligence artificielle, et montrons que lévolution dun tel système, de nature continue, peut être appréhendée en termes discrets, en définissant des états et des événements qui déclenchent des transitions entre états. Cest en effet le point de vue adopté par lapproche qualitative qui se situe à un niveau intermédiaire entre les modèles à événements discrets et les modèles continus : lespace détat est discrétisé en un nombre fini détats et les transitions entre ces états respectent des contraintes de continuité.