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Modélisation des machines électriques en vue de leur commande : Concepts généraux (Traité EGEM, série Génie électrique)

De
304 pages
Les actionneurs électriques sont présents dans les usines automatisées, dans les moyens de transports et dans de nombreux objets de notre vie quotidienne, et ils doivent avoir un comportement intelligent. Ils sont donc commandés. Les commandes sont basées sur une bonne connaissance des actionneurs, machines électriques et convertisseurs statiques. Cette connaissance est condensée dans des modèles. Les modèles sont évidemment basés sur des lois physiques, mais aussi sur des hypothèses constructives qu'il faut savoir discuter (linéarité, premier harmonique, symétrie). Ce sont ces propriétés qui sont mises à profit dans les modèles directs dont seront déduits les modèles inverses à l'origine des algorithmes de commande. Ce premier volume d'un ouvrage, qui en compte deux (voir ""Modèles pour la commande des actionneurs électriques""), s'intéresse aux concepts généraux qui sous-tendent la modélisation, à commencer par les bases physiques. À l'autre extrémité de l'éventail des modèles se trouvent les modèles dynamiques inspirés par les méthodes de l'automatique (modèles fréquentiels, modèles d'état), pour l'analyse, la simulation et la synthèse des commandes. Les modèles les plus pertinents de la commande de machines s'appuient sur les propriétés vectorielles des modèles physiques qui débouchent sur les transformations les plus utilisées : Clarke, Concordia, Fortescue, Lyon, Ku, et surtout Park et les phaseurs.
Introduction. Conversion électromécanique d'énergie : du phénomène physique à la modélisation dynamique -E. MATAGNE, M. DA SILVA GARRIDO. Introduction. Le phénomène physique. Modélisation dynamique. Équations matricielles des machines électriques. Exemple d'application : la machine synchrone à aimants permanents. Bibliographie. Modèles dynamiques des systèmes en génie électrique -Y. BONNASSIEUX, E. LAROCHE, M.-F. BENKHORIS, J.-P. LOUIS. Introduction. Modèle de synthèse : modèle direct et modèle inverse d'une machine asynchrone (flux rotorique orienté). Modèles d'analyses. Modèle de simulation. Conclusion. Bibliographie. Modélisation physique des machines à courant alternatif -J.-P. LOUIS, G. FELD, S. MOREAU. Introduction. Rappel des lois physiques relatives au champ magnétique et à la conversion d'énergie. Structure des machines tournantes à courant alternatif : description par les forces magnétomotrices. Calcul des inductances des machines à courant alternatif. Description et modélisation des principales machines à courant alternatif. Conclusion. Bibliographie. Propriétés vectorielles des systèmes électriques triphasés -E. SEMAIL, J.-P. LOUIS, G. FELD. Problématique et hypothèses. Les exemples fondamentaux et leurs modèles. Genèse des bases à partir de l'étude des matrices carrées. Genèse des bases à partir de matrices rectangulaires. Phaseur complexe : une autre transformation ? Applications aux exemples. Équations aux tensions et changement de bases. Essai de synthèse : écriture générale des transformations matricielles sous forme décomposée. Transformations généralisées de Park et Ku. Conclusion. Bibliographie. Modélisation des machines à courant alternatif par les phaseurs-J.-P. LOUIS, G. FELD, E. MONMASSON. Introduction : usage des phaseurs en électrotechnique. Les outils physiques et mathématiques, les hypothèses. Une définition des phaseurs temporels, équivalence diphasé-triphasé, cas réel. Inversion des formules, composante homopolaire, reconstitution des grandeurs triphasées. Formes cartésiennes et polaires : phaseur spatio-temporel sous forme réelle. Une définition complexe des phaseurs temporels et spatio-temporels. Détermination directe du phaseur complexe à partir des grandeurs temporelles triphasée. Application au régime permanent. Expressions de la puissance. Modélisation des machines électriques à pôles lisses par les phaseurs, courant magnétisant et champ total. Calcul du flux dans les machines à pôles lisses. Le phaseur mathématique. Conclusion. Bibliographie. Index.
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Modélisation des machines électriques en vue de leur commande© LAVOISIER, 2004
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
ISBN 2-7462-0916-0
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.Modélisation
des machines électriques
en vue de leur commande
concepts généraux
sous la direction de
Jean-Paul LouisIl a été tiré de cet ouvrage
25 exemplaires hors commerce réservés
aux membres du comité scientifique,
aux auteurs et à l’éditeur
numérotés de 1 à 25Modélisation des machines électriques
en vue de leur commande
sous la direction de Jean-Paul Louis
fait partie de la série GÉNIE ÉLECTRIQUE
dirigée par René Le Dœuff et Jean-Claude Sabonnadière
TRAITÉ EGEM
ELECTRONIQUE – GÉNIE ELECTRIQUE – MICROSYSTÈMES
Le traité Electronique, Génie Electrique, Microsystèmes répond au besoin
de disposer d’un ensemble de connaissances, méthodes et outils nécessaires
à la maîtrise de la conception, de la fabrication et de l’utilisation des
composants, circuits et systèmes utilisant l’électricité, l’optique et
l’électronique comme support.
Conçu et organisé dans un souci de relier étroitement les fondements
physiques et les méthodes théoriques au caractère industriel des disciplines
traitées, ce traité constitue un état de l’art structuré autour des quatre
grands domaines suivants :
Electronique et micro-électronique
Optoélectronique
Génie électrique
Microsystèmes
Chaque ouvrage développe aussi bien les aspects fondamentaux
qu’expérimentaux du domaine qu’il étudie. Une classification des différents
articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé
orientent le lecteur vers ses points d’intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi
d’un guide pour ses réflexions ou pour ses choix.
Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont été
choisis pour leur pertinence dans l’avancée des connaissances ou pour la
qualité des résultats obtenus.Liste des auteurs
Mohamed Fouad BENKHORIS Jean-Paul LOUIS
SATIE IREENA
ENS de Cachan École Polytechnique de
l’Université de Nantes
Ernest MATAGNESaint Nazaire
LEI
Université Catholique de LouvainYvan BONNASSIEUX
Louvain la NeuveLPICM
BelgiqueÉcole Polytechnique
Palaiseau
Eric MONMASSON
SATIEManuel da SILVA GARRIDO
Université de Cergy-PontoiseUniversité Technique de
Lisbonne
Sandrine MOREAUPortugal
SATIE Gilles FELD
Département EEA
Eric SEMAILENS de Cachan
L2EP
ENSAMEdouard LAROCHE
LilleLSIIT
Université Louis Pasteur
Strasbourg Table des matiŁres
Introduction........................................ 17
Chapitre 1. Conversion ØlectromØcanique d Ønergie :
du phØnomŁne physique la modØlisation dynamique ............. 27
Ernest MATAGNE, Manuel DA SILVA GARRIDO
1.1. Introduction.................................... 27
1.2. Le phØnomŁne physique ............................ 28
1.3. ModØlisation dynamique 36
1.4. Equations matricielles des machines Ølectriques .............. 42
1.4.1. Equation matricielle Ølectrique ..................... 44
1.4.2. Equation matricielle mØcanique .................... 49
1.5. Exemple d application : la mach ine synchrone aimants permanents . 50
1.5.1. Cas de matØriaux magnØtiques linØaires................ 51
1.5.2. Prise en compte de la saturation dans le cas d enroulements
sinuso?daux .................................... 52
1.6. Bibliographie ................................... 53
Chapitre 2. ModŁles dynamiques des systŁmes en gØnie Ølectrique ..... 55
Yvan BONNASSIEUX, Edouard LAROCHE, Mohamed Fouad BENKHORIS,
Jean-Paul LOUIS
2.1. Introduction 55
2.2. ModŁle de synthŁse : modŁle direct et modŁle inverse
d?une machine asynchrone (flux rotorique orientØ) ............... 57
2.2.1. Introduction : modŁle inverse/modŁle direct ............. 57
2.2.2. ModØlisation de Park de la machine asynchrone........... 58
2.2.2.1. Expression factorisØe et projetØe des flux et du couple . . . 58
2.2.2.2. Changement de repŁre par rotation :
transformation de Park ........................... 61







10 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
2.2.2.3. ReprØsentation d?Øtat continu................... 62
2.2.3. ModŁle de la commande : flux rotorique orientØ .......... 64
2.2.4. ModŁle dynamique de la machine asynchrone ............ 66
2.3. ModŁles d?analyses ............................... 68
2.3.1. Introduction ................................ 68
2.3.2. Approche multimodŁle : cas de la machine asynchrone ...... 69
2.3.2.1. ModŁles tenant compte de la saturation magnØtique ..... 69
2.3.2.2. ModŁles tenant compte des pertes fer .............. 72
2.3.3. Approche par la valeur singuliŁre structurØe :
cas de la machine synchrone .......................... 73
2.3.3.1. Rappel sur la modØlisation de la machine synchrone..... 73
2.3.3.2. Incertitudes paramØtriques .................... 75
2.3.3.3. Erreur de modŁle de l onduleur ................. 80
2.3.3.4. Mise sous forme gØnØralisØe ................... 84
2.3.3.5. Valeur singuliŁre structurØe et µ-analyse............ 84
2.4. ModŁle de simulation .............................. 85
2.4.1. Introduction ................................ 85
2.4.2. Description du systŁme physique.................... 88
2.4.3. ModØlisation des « convertisseurs » .................. 88
2.4.3.1. Redresseur 88
2.4.3.2. Commutateur ............................ 89
2.4.4. ModØlisation du systŁme de puissance ................ 89
2.4.4.1. Equations Ølectriques gØnØrales de base
de la machine synchrone .......................... 90
2.4.4.2. Equations des diffØrents modes de fonctionnement
du systŁme de puissance 91
2.4.5. Calcul de l?inverse de la matrice inductance............. 96
2.4.6. ModŁle simplifiØ du systŁme de puissance en rØgime permanent. 97
2.4.6.1. Equations Ølectriques du mode 2................. 99
2.4.6.2. Equations Ølectriques du mode 3 99
2.5. Conclusion .................................... 100
2.6. Bibliographie ................................... 101
Chapitre 3. ModØlisation physique des machines courant alternatif ... 103
Jean-Paul LOUIS, Gilles FELD, Sandrine MOREAU
3.1. Introduction 103
3.2. Rappel des lois physiques relatives au champ magnØtique
et la conversion d?Ønergie ............................. 105
3.2.1. Le champ ØlectromagnØtique ...................... 105
3.2.1.1. Les vecteurs fondamentaux et les sources du champ ..... 105
3.2.1.2. MatØriaux : lois de comportement macroscopiques...... 106













Table des matiŁres 11
3.2.1.3. Equations de Maxwell dans le cadre de l?approximation
des Øtats quasi permanents dans les systŁmes
de conversion d?Ønergie ........................... 107
3.2.1.4. Circuits Ølectriques et macroscopiques globaux :
hypothŁses pratiques............................. 108
3.2.2. Variables macroscopiques et lois intØgrales ............. 108
3.2.2.1. Les grandeurs macroscopiques utilisØes ............ 108
3.2.2.2. Les Øquations de Maxwell sous forme intØgrale :
conservation du flux et thØorŁme d?AmpŁre ............... 109
3.2.2.3. Force magnØtomotrice et permØance superficielle ...... 111
3.2.3. Le thØorŁme de Faraday pour les circuits filiformes ........ 114
3.2.4. Conversion d?Ønergie........................... 116
3.2.4.1. Energie magnØtique, force et couple ØlectromagnØtique
(convention : « moteur ») .......................... 116
3.2.4.2. Introduction de la co-Ønergie ; nouvelle expression
de la force ................................... 118
3.2.4.3. Cas des machines aimant .................... 119
3.2.4.4. Cas des matØriaux linØaires, confusion entre
l Ønergie magnØtique et la co-Ønergie magnØtique, calcul pratique
des couples ØlectromagnØtiques...................... 119
3.2.4.5. Force sur un conducteur placØ dans le vide et subissant
un champ B : loi de Laplace ........................ 121
3.3. Structure des machines tournantes courant alternatif :
description par les forces magnØtomotrices.................... 122
3.3.1. Structures gØnØrales ........................... 122
3.3.1.1. On cherche maximiser les forces et les diffØrences
de potentiel (ddp)............................... 122
3.3.1.2. Les structures gØomØtriques ØlØmentaires ........... 125
3.3.1.3. PropriØtØs physiques et gØomØtriques mises profit pour
la dØmarche dØbouchant sur la modØlisation des machines Ølectriques . 126
3.3.2. ModØlisation l?aide de l?enroulement diamØtral concentrØ.... 131
3.3.2.1. MØthodologie ............................ 131
3.3.2.2. La gØomØtrie et les propriØtØs fondamentales ......... 131
3.3.2.3. Les grandeurs physiques fondamentales ............ 132
3.3.2.4. PermØance superficielle des machine p les lisses
et p les saillants .............................. 133
3.3.2.5. DØtermination de la force magnØtomotrice crØØe
par l?enroulement concentrØ diamØtral................... 134
3.3.2.6. DØveloppement de la fonction « force magnØtomotrice »
en sØrie de Fourier (r?le des symØtries) .................. 136
3.3.2.7. ThØorie au premier harmonique avec amØlioration
des distributions de courant et coefficient de bobinage ........ 136














12 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
3.3.3. DiffØrents enroulements, reprØsentation idØalisØe
ou symbolique, angles mØcaniques et angles Ølectriques.......... 140
3.3.3.1. Enroulements monophasØs et triphasØs une paire de p les . 140
3.3.3.2. Enroulements multipolaires :
cas des enroulements monophasØs..................... 143
3.3.3.3. Cas des enroulements triphasØs multipolaires ......... 145
3.3.3.4. Cas des enroulements cage ................... 147
3.4. Calcul des inductances des machines courant alternatif 149
3.4.1. But et mØthodologie ........................... 149
3.4.2. Calcul explicite des inductances .................... 153
3.4.2.1. DØfinitions des angles qui repŁrent l inducteur et l induit . . 153
3.4.2.2. DØtermination de l?expression de l?induction ......... 153
3.4.2.3. Calcul du flux ............................ 154
3.4.2.4. DØtermination de l expression de l inductance mutuelle
entre les enroulements δ et γ ........................ 155
3.5. Description et modØlisation des principales machines
? courant alternatif .................................. 156
3.5.1. Description et modØlisation des machines synchrones ....... 156
3.5.1.1. Introduction ............................. 156
3.5.1.2. Machine synchrone p?les lisses (sans amortisseurs) .... 158
3.5.1.3. Machine synchrone p les saillants, excitation bobinØe,
sans amortisseurs ............................... 161
3.5.1.4. Description de la machines p les saillants
avec amortisseurs 163
3.5.1.5. Formules explicites des ØlØments des matrices
de la machine synchrone .......................... 165
3.5.2. Description et modØlisation des machines asynchrones ...... 170
3.5.2.1. GØnØralitØs.............................. 170
3.5.2.2. Les stators des machines asynchrones ............. 170
3.5.2.3. Les diffØrents types de rotors des machines asynchrones . . 171
3.5.2.4. ModØlisation de la machine asynchrone ............ 173
3.5.2.5. Expression du couple de la machine asynchrone ....... 176
3.6. Conclusion .................................... 177
3.7. Bibliographie ................................... 177
Chapitre 4. PropriØtØs vectorielles des systŁmes Ølectriques triphasØs ... 181
Eric SEMAIL, Jean-Paul LOUIS, Gilles FELD
4.1. ProblØmatique et hypothŁses.......................... 181
4.1.1. Une prØsentation gØnØrale des transformations ........... 181
4.1.2. Les hypothŁses physiques ........................ 183
4.1.2.1. Les hypothŁses classiques..................... 183
4.1.2.2. Les Øquations trŁs gØnØrales ................... 184














Table des matiŁres 13
4.2. Les exemples fondamentaux et leurs modŁles ............... 185
4.2.1. Notations des systŁmes triphasØs et diphasØs : Øcriture vectorielle,
Øcriture matricielle ................................ 185
4.2.2. Exemple 0 Une variable privilØgiØe : le systŁme sinuso dal,
triphasØ, ØquilibrØ, direct ............................. 186
4.2.3. Les trois exemples fondamentaux dØcrits par
des opØrateurs matriciels carrØs ......................... 187
4.2.3.1. Exemple 1 Flux propre crØØ par une armature
dans une machine p les lisses (stockage d Ønergie
ØlectromagnØtique) : matrice L ...................... 187p
4.2.3.2. Exemple 2 Gain d un onduleur (modulation
de l Ønergie Ølectrique) : matrice G .................... 187
4.2.3.3. Exemple 3 Flux mutuel (avec conversion d Ønergie) :
matrice M (θ) ................................ 188sr
4.2.4. Les trois exemples complØmentaires, venus de la modØlisation
de la machine synchrone ............................ 189
4.2.4.1. Exemple 4 Excitation d?une machine synchrone :
matrice M (θ) 189sf
4.2.4.2. Exemple 5 Flux propre crØØ par le stator d?une machine
synchrone p les saillants : matrice L (θ) ............... 189ss
4.2.4.3. Exemple 6 Flux mutuel crØØ par l?amortisseur diphasØ
(courants i et i ) d une machine synchron e dans les enroulementsD Q
triphasØs du stator : matrice M (θ) .................. 190sDQ
4.2.5. Equation diffØrentielle : exemple 7................... 190
4.2.6. Des bases de travail « conviviales » 191
4.3. GenŁse des bases ? partir de l?Øtude des matrices carrØes......... 192
4.3.1. Analyse des propriØtØs mathØmatiques ................ 193
4.3.1.1. SymØtrie seule ........................... 193
4.3.1.2. SymØtrie et circularitØ ....................... 194
4.3.1.3. CircularitØ seule, mais les coefficients sont rØels ....... 194
4.3.2. Revue des transformations connues la lumiŁre
des propriØtØs ØnoncØes ............................. 195
4.3.2.1.Transformation par la matrice initiale de Clarke........ 195
4.3.2.2. Transformation par la matrice normØe de Concordia..... 196
4.3.2.3. Transformation par la matrice classique de Fortescue .... 197
4.3.2.4. Note sur la transformØe classique de Fortescue ........ 197
4.3.2.5. Transformation par la matrice normØe de Lyon ........ 198
4.3.2.6. Transformation par les matrices de Park ............ 199
4.3.2.7. Transformation par les matrices complexes de Ku ...... 201
4.4. GenŁse des bases ? partir de matrices rectangulaires ........... 201
4.4.1. Cas de l?exemple 4 (matrice M ) ................... 202sf
4.4.2. Cas de l?exemple 6 (matrice M ).................. 203sDQ
4.5. Phaseur complexe : une autre transformation ?............... 203















14 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
4.5.1. DØfinitions ................................. 203
4.5.2. Justification mathØmatique du phaseur temporel .......... 204
4.5.3. Lien entre phaseur temporel et transformØes de Fortescue,
de Lyon....................................... 205
4.5.4. IntØrŒt/inconvØnient............................ 206
4.6. Applications aux exemples........................... 207
4.6.1. Flux statoriques d une machine synchrone p les saillants
avec amortisseurs 207
4.6.2. Flux statoriques d une machine asynchrone
(machine p?les lisses) ............................. 209
4.6.2.1. Approche classique aux valeurs propres ............ 209
4.6.2.2. Approche vectorielle l?aide du noyau et de l?image .... 210
4.6.2.3. Prise en compte simultanØe des Øquations
aux flux statoriques et rotoriques ..................... 212
4.7. Equations aux tensions et changement de bases .............. 215
4.7.1. RŁgles de dØrivation : approche vectorielle.............. 215
4.7.2. Equations aux tensions sous forme phasorielle............ 216
4.8. Essai de synthŁse : Øcriture gØnØrale des transformations matricielles
sous forme dØcomposØe ............................... 218
4.8.1. GØnØralitØs : les diffØrentes variantes ................. 218
4.8.2. Des matrices de Clarke et de Fortescue gØnØralisØes,
un formalisme unifiØ, relations de cohØrence ................ 220
4.8.3. Des matrices de transformation gØnØralisØes ............. 222
4.8.4. Une classification des matrices ..................... 222
4.8.5. Une dØcomposition des matrices carrØes de dimension 3 × 3 ... 224
4.8.6. Factorisation des systŁmes triphasØs
et des matrices rectangulaires.......................... 226
4.8.7. Forme gØnØrale des transformations triphasØes-diphasØes
de type Clarke-Fortescue............................. 229
4.8.8. Applications de la transformation triphasØ-diphasØ
de type Clarke-Fortescue 230
4.8.9. Rotation des repŁres ........................... 232
4.8.9.1. SchØma fonctionnel associØ la transformation directe . . . 232
4.8.9.2. a fonctionnel associØ la transformation inverse . . . 233
4.8.10. Application des rotations aux systŁmes triphasØs ØquilibrØs directs
en rØgime permanent ............................... 233
4.8.11. Quelques applications des changements de repŁre par rotation . 234
4.8.12. Application aux flux mutuels entre le stator et le rotor
d?une machine asynchrone 235
4.8.13. Application aux expressions des flux
pour une machine synchrone .......................... 236
4.8.14. Application la dØrivation dans les repŁres tournants....... 237
4.9. Transformations gØnØralisØes de Park et Ku ................ 238
















Table des matiŁres 15
4.9.1. GØnØralitØs : transformations dØcomposØes/globales ........ 238
4.9.2. Passage rØels-complexes......................... 241
4.10. Conclusion ................................... 242
4.11. Bibliographie .................................. 243
Chapitre 5. ModØlisation des machines courant alternatif
par les phaseurs ..................................... 247
Jean-Paul LOUIS, Gilles FELD, Eric MONMASSON
5.1. Introduction : usage des phaseurs en Ølectrotechnique .......... 247
5.2. Les outils physiques et mathØmatiques, les hypothŁses 248
5.2.1. HypothŁses physiques, les forces magnØtomotrices ......... 248
5.2.2. Forces magnØtomotrices rØsultantes et outils matriciels rØels . . . 249
5.2.3. Outils matriciels complexes....................... 250
5.2.4. HypothŁse de linØaritØ, permØance superficielle
et induction dans l?entrefer ........................... 251
5.3. Une dØfinition des phaseurs temporels, Øquivalence diphasØ-triphasØ,
cas rØel ......................................... 252
5.4. Inversion des formules, composante homopolaire, reconstitution
des grandeurs triphasØes ............................... 254
5.5. Formes cartØsiennes et polaires : phaseur spatio-temporel
sous forme rØelle ................................... 254
5.6. Une dØfinition complexe des phaseurs temporels et spatio-temporels . 256
5.7. DØtermination directe du phaseur complexe partir
des grandeurs temporelles triphasØes ........................ 257
5.8. Application au rØgime permanent....................... 259
5.9. Expressions de la puissance .......................... 260
5.9.1. Forme rØelle ................................ 261
5.9.2. Forme complexe.............................. 261
5.10. ModØlisation des machines Ølectriques p les lisses
par les phaseurs, courant magnØtisant et champ total .............. 262
5.10.1. Phaseurs temporels et spatio-temporels au stator et au rotor . . . 262
5.10.2. Champ total et courant magnØtisant ................. 264
5.10.2.1. Champ total temporel ...................... 264
5.10.2.2. Champ total et courant magnØtisant en rØgime permanent . 264
5.10.2.3. Cham magnØtisant
en rØgime transitoire quelconque ..................... 266
5.10.3. Extension l?excitation rotorique en courant continu ....... 268
5.11. Calcul du flux dans les machines p?les lisses .............. 270
5.11.1. Calcul du flux principal dans une phase ............... 270
5.11.2. Application : flux principal dans un stator ............. 271
5.11.2.1. DØtermination du phaseur associØ aux flux.......... 271














16 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
5.11.2.2. Equivalence des phaseurs .................... 273
5.11.3. Application : modŁle du flux statorique
dans une machine asynchrone ......................... 273
5.11.4. Application : modŁle du flux rotorique
dans une machine asynchrone 274
5.11.5. Application : modŁle du flux statorique
dans une machine synchrone .......................... 275
5.12. Le phaseur mathØmatique........................... 276
5.12.1. DØfinition et discussion 276
5.12.2. Inversion ................................. 278
5.12.3. Applications au rØgime permanent sinuso?dal ........... 279
5.12.4. Applications l?onduleur de tension triphasØ............ 280
5.12.5. Applications la modØlisation de la machine asynchrone .... 284
5.13. Conclusion ................................... 289
5.14. Bibliographie .................................. 290
Index ............................................ 293







Introduction
Les modŁles des machines Ølectriques
en vue de leur commande :
les concepts gØnØraux
Les systŁmes Ølectriques occupent dØsormais un vaste espace de la vie sociale,
tant dans la vie professionnelle et industrielle, que dans la vie quotidienne et
familiale. Les actionneurs Ølectriques ont trouvØ leurs premiŁres places dans
l industrie : il fallait que des machines travaillent vite et bien. Si la premiŁre
rØvolution industrielle a utilisØ des machines hydrauliques et thermiques, la
modernisation technologique s est faite sous le signe de l Ølectrification. Les
actionneurs Ølectriques avaient un bon rendement ; ils faisaient moins de bruit, et
surtout, ils pouvaient obØir avec rapiditØ et souplesse aux ordres venus des systŁmes
intelligents nØs avec les premiers automates mØcaniques, puis ØlectromØcaniques,
puis Ølectroniques, enfin informatiques. On a logiquement vu appara tre ces actionneurs
de fa on massive dans les transports guidØs, trains et mØtros, et nos modernes TGV
ont en quelques annØes prØsentØ un raccourci saisissant de l hi stoire des actionneurs
Ølectriques : la premiŁre gØnØration de ces trains grande vitesse a utilisØ des
moteurs courant continu, la deuxiŁme a eu recours des moteurs synchrones
autopilotØs associØs des convertisseurs thyristors, la troisiŁme s est emparØ des
moteurs asynchrones contr le vectoriel associØ des onduleurs GTO.
On pourrait faire le mŒme historique propos des moteurs utilisØs pour la
commande d axe dans l?industrie : les machines-outils, les machines spØciales, les
robots, aprŁs avoir utilisØ des moteurs hydrauliques, puissants mais malhabiles, ont

Introduction rØdigØe par Jean-Paul LOUIS.18 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
utilisØ eux aussi, et par ordre d?apparition, des moteurs courant continu, puis des
moteurs synchrones, enfin des moteurs asynchrones. C?est que ces machines
pouvaient Œtre pilotØes avec beaucoup de finesse et permettaient aussi bien
d effectuer des travaux exigeant des puissances Ønormes, comme en sidØrurgie, que
des travaux exigeant dØlicatesse et dextØritØ, comme en robotique.
Ce panorama est effectuØ grands pas et ignore, par exemple, d autres branches
qui relŁvent plut t des services, comme l usage de petits moteurs pas pas dans les
programmateurs de dispositifs ØlectromØnagers. C est que les moteurs Ølectriques
ont pØnØtrØ tous les domaines possibles, sans s?imposer totalement cependant. Nous
savons que la voiture tout Ølectrique n exis te encore que de fa on bien marginale,
cause des problŁmes posØs par le stockage de l?Ønergie Ølectrique. Mais l?aventure la
plus excitante que nous vivons en ce dØbut du troisiŁme millØnaire concerne la
montØe de l Ølectrification dans les moyens de transport : dans les voitures
automobiles, qui contiennent des dizaines de (petits) moteurs, dans les navires, dans
les avions. On con oit tous les jours des moteurs pour de nouvelles applications, et
tous ces moteurs doivent Œtre commandØs.
D autres traitØs EGEM s attacheront d Øcrire les outils matØriels qui ont permis
aux machines de pouvoir Œtre commandØes. Citons rapidement quelques grands
domaines : linstrumentation , l Ølectronique de puissance et la micro-Ølectronique.
En Ølectronique de puissance, les deux grands premiers composants semi-
conducteurs (aprŁs les premiers composants tubes, aujourd hui bien oubliØs,
comme les redresseurs vapeur de mercure), les diodes et les thyristors, ont permis
de concevoir des convertisseurs qui ont autorisØs d abord, l?alimentation des
moteurs courant continu avec des tensions variables, puis des moteurs synchrones,
autopilotØs, avec des courants frØquences Øgal ement variables, synchronisØs avec
la position du rotor des moteurs. Il fallait donc, Øgalement, des capteurs et des outils
de traitement de signal associØs. La nouvelle grande Øtape a ØtØ rendue possible par
les nouveaux composants de puissance : les transistors avec toutes ses dØclinaisons
(IGBT, MOS, GTO). On a pu alors la fois associer des puissances de plus en plus
ØlevØes, avec des frØquences Øgalement de plus en plus ØlevØes. On a eu la
possibilitØ d?alimenter les machines courant alternatif avec des onduleurs grande
souplesse d utilisation et on a pu, effectivement, implanter les nouvelles stratØgies
de contrle vectoriel ; cette stratØgie est issue, en fait, de la commande des machines
synchrones, mais cette fois-ci, il fallait l appliquer aux si exigeants moteurs
asynchrones. A cette Øtape, il fallait, en plus, disposer d?outils de calculs en temps
rØel, et si l on se souvient av ec Ømotion des services rendus par l Ølectronique
analogique, les commandes modernes n?ont rØellement pu s imposer que lorsque
l?on a disposØ de la puissance de calculs en temps rØel des microprocesseurs et des
processeurs de traitement de signaux (DSP). On pouvait enfin concevoir des
algorithmes de commande complexe, implantables, basØs sur une connaissance fine
des modŁles des machines Ølectriques.
??Introduction 19
Avec le concept de modŁle, on arrive au c ur du projet de cet ouvrage. Ce terme
recouvre en pratique des dØmarches trŁs gØnØrales. Pendant longtemps, la
communautØ du gØnie Ølectrique-Ølectrotechnique a particularisØ ce terme pour la
modØlisation des systŁmes ØlectromagnØtiques en vue de la rØalisation de logiciels
informatiques incluant des algorithmes par des ØlØments finis. Or, la modØlisation
est une activitØ scientifique qui est la fo is trŁs gØnØrale, mais qui a des buts
chaque fois trŁs particuliers. EnumØrons quelques exemples. Ainsi, lorsque l on
modØlise un systŁme en vue de son diagnostic, le modØlisateur va souvent
s intØresser des comportements dØfectueux qui peuvent Œtre permanents, mais qui
sont souvent fugitifs. Par contre, lorsque l on modØlise en vue de loptimisation (cas
habituel des concepteurs de composants ou d objets), on s?intØresse plut t aux
meilleurs fonctionnements que l?on veut rendre pØrennes. Les concepteurs
d algorithmes de contr le vont tout naturellement s intØresser des modØlisations en
rØgime transitoire en vue de la commande. Les performances des systŁmes
automatisØs, qui ont tellement permis l augmentation de la productivitØ industrielle
ou l amØlioration de la vie quotidienne, sont largement basØes sur la connaissance
que l on a de ces dispositifs. Cette connaissance est matØrialisØe par des modŁles. Ce
sont eux qui font l?objet du prØsent ouvrage.
Toute modØlisation relŁve d un choix stratØgique de la part du modØlisateur. On
peut rŒver l utopie du modŁle parfait qui contiendrait toutes les informations
possibles sur un objet, un composant, un dispositif, un systŁme. Ce modŁle, qui
permettrait tout la fois la conception de l?objet, sa fabrication, son optimisation, sa
commande et son diagnostic, serait un modŁle d?une complexitØ effarante, et son
utilisation pratique serait en fait impossible. La loi dØconomie s impose. Un modŁle
ne doit guŁre contenir que les informations qui sont pertinentes et qui seront
rØellement utilisØes par le concepteur qui utilisera le modŁle. Cette remarque est
fondamentale lorsque l on s attaque une modØlisation. Quels sont les phØnomŁnes
qu il faut introduire dans son modŁle ? Le modØlisateur doit donc Œtre un expert qui
doit mettre son expertise au service d?une stratØgie de choix.
Chaque champ scientifique a ses spØcificitØs. Le champ de la commande
des systŁmes Ølectriques est au carrefour de plusieurs spØcialitØs. Si l on considŁre
les composants utilisØs c tØ des machines Ølectriques, nous avons vu que
la commande des machines a bØnØficiØ des apports de l?Ølectronique de puissance et
de la micro-Ølectronique. Ces deux spØcialitØs font l objet d?autres traitØs EGEM, et
nous ne ferons ici ou l? que quelques brŁves incursions dans ces domaines.
Sur le plan des mØthodes, et l? nous nous rapprochons du programme de ce livre,
la commande de machines Ølectriques peut Œtre considØrØe comme se situant ?
l intersection de deux disciplines : l Ølectrotechnique , qui fournit le champ applicatif
et les objets techniques considØrØs, et l automatique , qui fournit des mØthodes
gØnØrales pour concevoir des algorithmes de commande. Disons le autrement pour la
??20 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
modØlisation en vue de la commande : l Ølectrotechnique fournira au modØlisateur
les lois physiques issues des lois des circuits Ølectriques, des circuits magnØtiques et
de la conversion d Ønergie, qui seront la base de ses modŁles ; l?automatique
fournira les structures mathØmatiques, fonctions de transfert, Øquations d Øtat, qui
seront la base des mØthodes de conception des algorithmes de commande.
Des choix stratØgiques ont orientØ la communautØ des ingØnieurs et des
scientifiques. De l?Ølectrotechnique, il fallait retenir un certain nombre de lois
physiques, mais il fallait Øgalement choisir le niveau de finesse, pour obtenir le
« bon modŁle » : assez prØcis pour rendre les services que l on attend, et assez
simple pour Œtre utilisable. On se doute que sur ce point, l expertise du modØlisateur
est essentielle. Il devra savoir exactement quel est le but recherchØ, de fa on
dØfinir les critŁres auxquels ses modŁles devront obØir. La prØcision des modŁles est
souvent une apprØciation subjective et en fonction des applications, les performances
exigØes seront trŁs disparates : la prØcision de la rotation de la commande d axe
d?une machine-outil est Øvidemment bien supØrieure la prØcision demandØe pour la
rotation d?un ventilateur de refroidissement. Tous les aspects devront Œtre pris en
compte, depuis la durØe de l Øtude, jusqu au coßt des composants qui seront utilisØs.
L aspect social est donc un ØlØment importa nt, ØlØment que la science a bien du mal
prendre en compte de maniŁre formalisØe et rigoureuse. L ambition de cet ouvrage
est de prØsenter un panorama des modŁles utilisØs pour la commande classique, et
diffØrentes approches donneront aux lecteurs les spØcificitØs prendre en compte
lors d une modØlisation spØcifique.
Cet ouvrage comprend deux volumes. Le premier, ModØlisation des machines
Ølectriques en vue de leur commande. Concepts gØnØraux, s intØresse aux concepts
gØnØraux de la modØlisation en vue de la commande. Le deuxiŁme, ModŁles pour
la commande des actionneurs Ølectriques, s?attache des modØlisations plus
spØcifiques. Nous prØsentons ici la composition du premier volume.
Les deux premiers chapitres ont pour but de montrer la largeur du spectre des
modŁles auxquels peuvent avoir recours les concepteurs de commande. Le premier
chapitre, « Conversion ØlectromØcanique d Ønergie : du phØnomŁne physique
la modØlisation dynamique » par Ernest Matagne et Manuel da Silva Garrido,
s intØresse aux concepts fondamentaux de la physique de la conversion d?Ønergie. Il
prØsente les phØnomŁnes physiques avec l?aide du formalisme lagrangien, partir de
rØsultats historiques dus Maxwell et PoincarØ dans un contexte local, qui permet de
prØsenter les circuits Ølectriques filiformes et les circuits linØiques, ce qui permet de
donner une modØlisation gØnØrale, applicable aussi bien aux machines courant
alternatif qu aux machines prØsentant des contacts glissants comme les machines
courant continu. Cette approche introduit l important concept qu est la co-Ønergie.
Cette approche justifie l existence de modŁles dynamiques et la possibilitØ de
reprØsentations matricielles lorsque l?on se situe dans certaines limites de prØcision.Introduction 21
L hypothŁse de linØaritØ, au sens de la non-saturation des matØriaux magnØtiques,
est tout particuliŁrement discutØe. L?autre extrØmitØ de l Øventail de la modØlisation
est prØsentØe par le second chapitre, « ModŁles dynamiques des systŁmes en gØnie
Ølectrique », par Yvan Bonnassieux, Edouard Laroche, Mohamed Fouad Benkhoris
et Jean-Paul Louis, qui donne un panorama de modŁles plus proches des mØthodes
de l?automatique. On y prØsente des exemples de modŁles de synthŁse qui sont basØs
sur la notion de modŁles directs et de modŁles inverses et qui dØbouchent, sinon
exactement sur des algorithmes de commande, du moins sur une structure thØorique
de commande. Les algorithmes de commande proprement dits offrent un large choix
aux concepteurs de commande : rØgulateurs PI industriels, commande en fourchette
ou en mode glissant, commandes optimales, commandes robustes, etc., le choix est
infini. Les modŁles de synthŁse sont fatalement assez idØalisØs (qualificatif subjectif
qui dØpend fortement de l?expertise du modØlisateur). On distinguera ce type de
modØlisation des modŁles danalyse qui peuvent Œtre plus prØcis, donc plus lourds, et
qui servent ? juger des performances thØoriques des modŁles idØalisØs utilisØs pour
la synthŁse. Un bon exemple de ce point de vue est donnØ par la valeur singuliŁre
structurØe, introduite par la communautØ automatique qui se prØoccupe de la
robustesse de ses algorithmes de commande lorsque ses modŁles sont incertains ou
imprØcis. La connaissance que l Ølectrotechnici en possŁde sur les modŁles physiques
des machines est Øvidemment un prØcieux atout pour introduire dans ces modŁles
des incertitudes rØalistes, ni trop optimistes − qui conduisent de mauvaises
commandes, par exemple peu stables −, ni trop pessimistes − ce qui conduit des
commandes peu performantes. Encore plus prØcis sont les modŁles de simulation qui
cherchent introduire un maximum de connaissances physiques dans la
modØlisation. Celle-ci peut donc Œtre lourde, puisque les simulations n?ont pas pour
but d?effectuer la synthŁse de commandes, mais de vØrifier, par la simulation
d essais types (l aussi, l?expertise du concepteur est un guide nØcessaire), que les
commandes synthØtisØes l aide des outils prØcØdents, ont bien les performances
exigØes par le cahier des charges (rapiditØ, stabilitØ, robustesse). L exemple traitØ
concerne lassociation convertisseur-machine et touche donc l?Ølectronique de
puissance. En effet, les modŁles de synthŁse et d analyse idØalisent souvent le
fonctionnement du convertisseur statique, trop complexe. La simulation de tels
ensembles posent des problŁmes trŁs spØcifiques, et difficiles traiter, qui exigent
souvent le recours des logiciels spØcialisØs.
Les trois autres chapitres de ce premier volume ont pour ambition de dØtailler les
outils classiquement utilisØs pour modØliser en rØgime dynamique les actionneurs
courant alternatif, c?est- -dire les machines synchr ones et asynchrones qui dØtr nent
depuis quelques lustres les machines courant continu : celles-ci ont rendu de
grands services. Bonne dynamique, facilitØ de la commande, elles avaient toutes les
qualitØs pour aider au dØmarrage de l industrialisation automatisØe moderne. Mais
ces qualitØs Øtaient liØes la prØsence du collecteur mØcanique, dispositif gØnial,
mais fragile, qui exige de la surveillance et de l?entretien, et qui est interdit
???22 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
dans certains environnements sensibles (humiditØ, poussiŁres, gaz inflammables).
L autopilotage rØalisØ par l ensemble collecteur-b alais est avantageusement rØalisØ
sur les machines courant alternatif par un ensemble constituØ d un capteur de
position, d un convertisseur statique et d?une commande adØquate. Ce collecteur
Ølectronique ? l?avantage de la robustesse, de ne pas rØclamer de surveillance et de
ne pas crØer de dangereuses Øtincelles dans des environnement sensibles. Mais le
collecteur Ølectronique avait l?inconvØnient d exiger une trŁs bonne Ølectronique de
puissance et d importants moyens de calculs en temps rØel. Ces conditions se sont
rØalisØes tout au long des annØes 1980. Cela a permis une extraordinaire croissance
de l?usage de ces actionneurs dans le monde moderne. Leur modØlisation est donc
une nØcessitØ absolue.
Les modØlisations prØsentØes dans cet ouvrage sont considØrØes comme classiques,
mais elles ont l?ambition d ouvrir vers des modØlisations moins classiques ; par
ailleurs, ce sont elles qui sont la base de la grande majoritØ des commandes
modernes de machines. Cela signifie que l on prØsente en prioritØ les hypothŁses
physiques qui sont la base des Øquations utilisØes par toute la communautØ des
ingØnieurs et des chercheurs. C?est le r le du troisiŁme chapitre, « ModØlisation
physique des machines courant alternatif », par Jean-Paul Louis, Gilles Feld et
Sandrine Moreau, qui a une double ambition : prØsenter physiquement les machines
courants alternatifs et leurs Øquations physiques, mais aussi de prØciser les
hypothŁses qui sont adoptØes pour leur Øcriture. Celles-ci peuvent Œtre briŁvement
rØsumØes en quelques mots : linØaritØ, premier harmonique et symØtrie. Le
modØlisateur doit savoir ce que signifient ces hypothŁses pour conna tre le degrØ de
prØcision, ou d imprØcision, qu il introduit dans ses modŁles. Un « commandeur de
machines » doit avoir quelques notions sur la physique des objets qu il commande.
Il doit savoir que des phØnomŁnes physiques sont habituellement nØgligØs par les
modŁles classiques : lhypothŁse de linØaritØ signifie, principalement, que l?on
nØglige la saturation des matØriaux magnØtiques, mais aussi l effet de peau, les
pertes ferromagnØtiques (et tout ce qui pourrait trop compliquer le modŁle : on fait
donc, en fait, toutes les hypothŁses ad hoc pour rester dans un cadre considØrØ
comme simple) ; l hypothŁse du premier harmonique signifie que l?on suppose que
les champs dans l entrefer ont une distribution sinuso dale et que l on nØglige donc
les harmoniques d espace et les effets des encoches ; la symØtrie signifie que toutes
les phases d une armature (s tator, rotor) sont identiques et simplement dØcalØes dans
l espace et que l on nØglige les dØfaut s qui pourraient appara tre lors de la
construction ou lors d un accident. Le modØlisateur doit savoir comment ces
modŁles sont Øtablis s il veut comprendre ce qu?apportent les modŁles « non
classiques ». Ces derniers sont fatalement difficiles classifier puisqu ils dØpendent
de phØnomŁnes, plus ou moins difficiles introduire, que le modØlisateur, guidØ par
son expertise, a dØcidØ de prendre en compte pour amØliorer la prØcision de ses
modŁles et, donc, les performances de ses algorithmes de commande. Le deuxiŁme
volume, ModŁles pour la commande des actionneurs Ølectriques, prØsentera deux
?Introduction 23
exemples d extension de ce type de modØlisation des cas non classiques : au cas
des machines synchrones distribution de champ non sinuso dales (chapitre 3,
second volume), puis au cas des machines asynchrones en rØgime saturØ (chapitre 7,
second volume). D autres extensions mØ riteraient d Œtre considØrØes : machines
dissymØtriques cause de dØfauts (problŁme de diagnostic), effet de peau pour
l Øtude des effets des frØquences d alimenta tion ØlevØes (par exemple, celles qui sont
dues au dØcoupage MLI des convertisseurs), etc.
Le troisiŁme chapitre prØsente donc les outils physiques qui permettent d?Øtablir
les Øquations classiques des machines co urant alternatif : la force magnØtomotrice,
la permØance superficielle, par exemple. ConcrŁtement, on peut estimer que l?on a
modØlisØ une machine Ølectrique lorsque l on a dØterminØ la loi qui relie les flux
dans les enroulements des phases avec les courants. Avec les hypothŁses classiques,
ces lois sont linØaires et ce chapitre donne les expressions des inductances propres
et mutuelles. De cette connaissance, on peut dØduire aisØment les expressions des
lois Ølectriques de la machine ainsi que l expression de son couple ØlectromagnØtique ,
ce qui rØpond au problŁme posØ. Cette prØsentation est faite sur la base d une
certaine idØalisation : si les lois physiques fondamentales sont prØsentØes, de
nombreux aspects technologiques importants (sur la rØalisation des enroulements ou
sur les fuites) ne peuvent pas Œtre dØtaillØs ; ces questions sont normalement traitØes
dans des ouvrages consacrØs aux aspects techniques et constructifs des machines
Ølectriques. Le chapitre 3 dØtaille les modŁles des machines asynchrones stator et
rotor triphasØs, et celui des machines synchrones p les lisses et p les saillants,
avec ou sans amortisseurs. Ces modŁles dØbouchent sur des Øquations matricielles,
comme cela est annoncØ dans le premier chapitre.
Les Øquations Ølectriques ainsi obtenues (et qui sont les Øquations physiques)
sont trŁs fortement non linØaires, beaucoup trop pour que l?on puisse les traiter
eefficacement tel quel. Il existe, depuis le milieu du XX siŁcle, une sØrie d outils
mathØmatiques pour les transformer, afin de les mettre sous une forme utilisable,
disons « quasi linØaire ». Le nom de Park est attachØ ces techniques mathØmatiques,
mais d?autres scientifiques ont apportØ des outils, (Miss) Clarke, Fortescue, Lyon,
Ku, pour se limiter ceux dont les Øquations seront effectivement exploitØes dans le
chapitre 4, « PropriØtØs vectorielles des systŁmes Ølectriques triphasØs », par Eric
Semail, Jean-Paul Louis et Gilles Feld. Les simplifications mathØmatiques sont
basØes sur une mØthode bien connue en mathØmatiques, celle du changement
de rØfØrentiel, ou de repŁres, dØduit de l examen des sous-espaces propres et
des valeurs propres des matrices qui ont ØtØ dØterminØes prØcØdemment. Les
machines classiques, nous l?avons vu, sont censØes rØpondre plusieurs hypothŁses.
En outre, ces machines sont supposØes construites l?aide d?enroulements
monophasØs, diphasØs ou triphasØs prØsentant des symØtries. L espace triphasØ, dit
aussi « rØfØrentiel a-b-c », est celui des Øquations physiques rØelles, dont nous avons
dit qu elles Øtaient trop complexes. Pourtant ces modŁles ont des symØtries, et24 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
celles-ci donnent aux matrices des modŁles des structures tout fait particuliŁres.
Ces matrices peuvent Œtre carrØes ou rectangulaires. Les matrices carrØes font
appara tre deux sous-espaces propres particuliŁrement intØressants : une droite
vectorielle qui dØfinit la direction homopolaire, et un plan diphasØ, orthogonal la
droite vectorielle homopolaire. On peut alors effectuer des changements de repŁre
qui permettent de dØfinir des machines Øquivalentes complŁtement dØcouplØes : une
machine homopolaire qui ne participe pas la conversion d Ønergie , et une
machine diphasØe responsable de la conversion dØnergie . On dØfinit donc des
transformations triphasØ/diphasØ (nommØes ainsi puisque l on ignore souvent les
composantes homopolaires) : on dØfinit des rØfØrentiels qui restent liØs aux espaces
physiques et que l?on nomme « rØfØrentiels α β ». Puis il appara t qu une rotation
dans le plan diphasØ permet de simplifier au maximum les Øquations magnØtiques
et Ølectriques. Au total, on dØfinit la transformation de Park qui Øcrit les Øquations
de la machine dans un rØfØrentiel diphasØ en rotation, appelØ : rØfØrentiel d q ,
oø les composantes relatives de Park sont appelØes d (pour direct), et q (pour
« en quadrature »).
Les propriØtØs gØomØtriques qui permettent ces efficaces changements de repŁres,
sont Øtroitement liØes aux hypothŁses physiques, en particulier la distribution
sinuso?dale des champs et la symØtrie. Ces hypothŁses, que l on appelle aussi
hypothŁses de Park, dØfinissent en fait la machine idØale : si l on alimente ses
phases avec des courants sinuso daux , le couple ØlectromagnØtique est constant et
son amplitude est rØglable. Cette machine est dite « bien construite ». Ces machines
idØales ont ØtØ modØlisØes de multiples fa ons et de nombreuses variantes des
modŁles existent, mais nous considØrons que celles-ci sont toutes strictement
Øquivalentes, et que c est par convenance pers onnelle qu un modØlisateur utilisera
un certain type de modØlisation plut t qu un autre.
Par contre, pour les machines qui ne rØpondent pas ces hypothŁses, il faudra
trouver d autres transformations, non classiques (un exemple est donnØ dans le
chapitre 3 du second volume).
Nous nous sommes appuyØs sur les propriØtØs des matrices carrØes (matrice des
inductances d un stator de machine synchrone ou asynchrone ; matrices des
mutuelles entre le stator triphasØ et le rotor triphasØ d?une machine asynchrone ;
matrice de gain d?un onduleur de tension) qui peuvent Œtre diagonalisØes au sens
classique du terme. Mais nous rencontrons aussi des matrices rectangulaires que l on
ne peut pas diagonaliser. Et il peut Œtre intØressant de ne pas diagonaliser
complŁtement une matrice carrØe, par exemple quand une valeur propre est nulle et
que l on n Øcrit pas les termes destinØs s annuler. Nous utiliserons alors un
formalisme dß E.J. Gudefin, qui « factorisait » ces matrices. Les factorisations
sont des pseudo-diagonalisations dont elles ont les propriØtØs essentielles : facilitØ
des manipulations algØbriques, en particulier pour les inversions. Ce formalisme
??Introduction 25
matriciel avec ces factorisations a de grands intØrŒts pØdagogiques (par exemple,
un enseignant peut aisØment faire entiŁrement tous les calculs matriciels devant
ses Øtudiants), et il permet en outre de donner des interprØtations gØomØtriques et
des formalismes entrØe-sortie non ambigus, avec des Øquivalents des schØmas
fonctionnels appliquØs ces systŁmes multivariables non triviaux que sont les
machines courant alternatif.
De fa on schØmatique, nous pouvons af firmer qu il existe deux mØthodes de
modØlisation. La premiŁre mØthode fait appel un formalisme rØel, et la
transformation triphasØ/diphasØ (+ homopolaire) utilise la matrice de Clarke, ou sa
variante normØe dite matrice de Concordia, et la matrice de rotation rØelle. Celle-ci
est de manipulation trŁs aisØe : elle est en particulier facilement inversible. Ce
formalisme, globalement appelØ transformation de Park, est particuliŁrement utilisØ
pour modØliser les machines synchrones, surtout lorsqu elles sont p?les saillants.
Les Øquations obtenues sont « presque linØaires » et ont ØtØ inventØes principalement
pour Øtudier les rØgimes transitoires dans les alternateurs lorsque ceux-ci sont
soumis de fortes perturbations, comme les courts-circuits. Mais il est apparu que le
modŁle de Park donne un modŁle direct facile inverser : cette modØlisation a donc
ØtØ stratØgique dans le dØveloppement des mØthodes de commande modernes dites
« contr le vectoriel ».
Mais la matrice de rotation rØelle n est pas diagonale, et de nombreux modØlisateurs
prØfŁrent la diagonaliser complŁtement, ce qui fait appara tre des exponentiels
complexes, effectivement trŁs aisØs ? manipuler, surtout que la grande tradition de
l ØlectricitØ a habituØ ses utilisateurs au maniement des grandeurs complexes. C est
aussi un moyen trŁs pratique pour dØfinir des schØmas Øquivalents. On est amenØ
utiliser alors la deuxiŁme mØthode, qui fait appel un formalisme complexe, et la
transformation triphasØ/diphasØ (+ homopolaire) utilise la matrice de Fortescue
(bien connue des Ølectrotechniciens pour son usage dans l Øtude des systŁmes
triphasØs dØsØquilibrØs), ou sa variante normØe, la matrice de Lyon, et la matrice de
rotation complexe. Les modŁles obtenus sont alors remarquablement diagonaux,
mais contiennent en fait les mŒmes informations que les modŁles rØels, diphasØs, qui
leurs sont strictement Øquivalents (un vecteur de dimension 2 contient les mŒmes
informations qu?un nombre complexe avec sa partie rØelle et sa partie imaginaire).
Le formalisme complexe est particuliŁrement agrØable avec les machines p?les
lisses, ce qui explique son succŁs international pour la modØlisation des machines
asynchrones. Pour les grandeurs obtenues aprŁs les transformØes de Fortescue (ou de
Lyon) et la rotation complexe, nous obtenons les composantes relatives de Ku,
appelØes f-b (f pour forward), et b pour backward).
En pratique, la composante homopolaire est souvent nulle : elle ne participe
qu la crØation de pertes Joule et on l? Ølimine facilement avec les montages trois
fils (la composante homopolaire est proportionnelle la somme des courants, qui est
?26 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
nulle). Par ailleurs, les composantes diphasØes complexes, Øtant issues d?Øquations
physiques rØelles, sont conjuguØes l?une par rapport l?autre. La deuxiŁme
composante complexe diphasØe peut donc se dØduire facilement de la premiŁre, et de
nombreux auteurs n utilisent que la premiŁre composante diphasØe complexe, sous
le nom de phaseurs. Les modŁles obtenus sont d?une utilisation conviviales.
Le cinquiŁme chapitre, « ModØlisation des machines courant alternatif par les
phaseurs », par Jean-Paul Louis, Gilles Feld et Eric Monmasson, prØsente cet outil
trŁs populaire. Mais nous insistons sur le fait que les reprØsentations complexes et
rØelles sont strictement Øquivalentes, que leurs manipulations sont, en fait,
complŁtement similaires, et que ce sont les habitudes des modØlisateurs qui
dØterminent les choix de ces modŁles. L ex istence de diffØrentes variantes est aussi
liØe l utilisation (ou non) de transformØes triphasØ/diphasØ normØes. Si l on
n?utilise pas une transformØe normØe, l expression de la puissance n est pas
conservØe, ce qui a un effet sur l expre ssion du couple ØlectromagnØtique, tandis que
les transformØes normØes conservent l?expression de la puissance, ce qui est prØfØrØ
par certains modØlisateurs (mais pas par tous).
L existence de toutes ces variantes explique la grande variØtØ de modŁles (tous
Øquivalents, insistons bien sur ce point !) que l on rencontre dans la littØrature
internationale, ce qui peut perturber les lecteurs dØbutants. C est pourquoi les
chapitres 4 et 5 prØsentent un certain nombre de ces variantes, tout en insistant sur
les propriØtØs communes. En particulier, pour nous, les phaseurs s identifient
exactement avec la premiŁre composante diphasØe de Fortescue (ou de Lyon) si l?on
reste dans un repŁre liØ aux bobinages rØels, ou avec la premiŁre composante de Ku
(forward) si l?on se place dans un repŁre qui a tournØ par rapport au repŁre des
bobinages rØels. Certains auteurs parlent leur sujet de « transformØe un axe ».
Nous l?avons dit, ces mØthodes de modØlisation ont pour but de dØfinir des
modŁles directs aisØs inverser , les modŁles inverses Øtant un outil trŁs puissant
pour concevoir des machines en articulant la fois les nØcessitØs physiques exigØes
par la commande de machines et les exigences des mØthodes de l automatique. Les
applications l Øtudes spØcifiques des m odŁles directs et inverses appliquØs aux
machines synchrones et asynchrones feront l objet du volume 2 de cet ouvrage.
Les auteurs remercient les collŁgues qui leur ont fourni des figures et des
photographies : Yacine Amara, Jean-Paul Caron, Abderrezzak Rezzoug, Jean-Luc
Thomas, ainsi que la sociØtØ Alstom qui a autorisØ la publication de certaines
photographies. Chapitre 1
Conversion ØlectromØcanique d Ønergie :
du phØnomŁne physique
la modØlisation dynamique
1.1. Introduction
La modØlisation des dispositifs ØlectromØcaniques fait appel deux types de modŁle :
les modŁles de type « champ », ou modŁles locaux, et les modŁles de type « circuit », ou
modŁles globaux.
Les modŁles de type « champ », ou modŁles locaux, prennent en compte la
rØpartition spatiale des phØnomŁnes ; ils utilisent des grandeurs locales, c est- -dire
qui peuvent prendre des valeurs en chaque point de l espace, comme la densitØ de
courant, le champ magnØtique, la distribution de vitesse, etc. Ces modŁles ont donc
un nombre infini de degrØs de libertØ. Ils sont utilisØs pour la conception de
dispositifs, mais leur mise en uvre es t normalement trop lourde pour qu ils
puissent Œtre exploitØs directement dans un algorithme de commande.
Au contraire, les modŁles de type « circuit », ou modŁles globaux, utilisent des
grandeurs globales, comme le courant, la tension, la vitesse de rotation dun corps,
etc. Ces modŁles n ont qu un nombre fini de degrØs de libertØ, ce qui autorise leur
utilisation dans la commande de machines.
L introduction des modŁles globaux peut se faire de fa on dØductive partir des
modŁles locaux. Cette mise en correspondance des modŁles locaux et globaux aurait

Chapitre rØdigØ par Ernest MATAGNE et Manuel DA SILVA GARRIDO.
?28 ModØlisation et commande. Concepts gØnØraux
l avantage d Øclaircir le lie n entre les deux types de modŁle, ce qui est utile pour
fixer les conditions de validitØ du modŁle global, ainsi qu en conception de
dispositifs. Nous nous sommes laissØs guider lors de la dØfinition des variables
globales par cette correspondance. L intØrŒt de la prØsenter en dØtail dans un
ouvrage consacrØ la commande de mach ines nous a cependant semblØ marginal, et
nous prØfØrons donc, partir de la section 1.3, adopter une introduction plus
axiomatique des modŁles globaux.
Puisque les machines Ølectriques couramment utilisØes sont du type magnØtique,
nous allons par la suite considØrer uniquement les systŁmes ØlectromØcaniques inductifs.
1.2. Le phØnomŁne physique
La premiŁre tentative pour Øtablir, de fa on axiomatique, un modŁle global des
systŁmes ØlectromØcaniques est due Maxw ell, qui a utilisØ pour cela les Øquations
de Lagrange [MAX 73]. Ainsi, considØrons un circuit Ølectrique inductif (Øventuellement
dØformable) parcouru par un courant i et possØdant un seul degrØ de libertØ
mØcanique θ.
Figure 1.1. Circuit Ølectrique un de grØ de libertØ mØcanique
Le circuit peut Œtre ØtudiØ comme un systŁme lagrangien, ayant comme coordonnØes
gØnØralisØes :
q = θ q = ∫ i dτ [1.1]1 2
et comme lagrangien :
2•1 [1.2]Λ = J θ + Λ e
2
oø J est le moment d inertie mØcanique et Λ est le lagrangien d origine Ølectrique.e
Dans le cas des circuits inductifs qui nous intØressent, le lagrangien dorigine
Ølectrique se rØduit la fonction de co-Ønergie magnØtique, dØfinie par :
?