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HENRI POINCARÉ

De
254 pages
Henri Poincaré est d'abord un savant universel et polymorphe. Souvent cité comme mathématicien et physicien, il a été moins étudié sur le plan philosophique. Voici une boussole pour naviguer dans les ouvrages philosophiques de Poincaré : navigation entre les continents scientifiques et la philosophie. Ce voyage donne une idée des interprétations possibles de sa philosophie et conduit à la terra alors incognita qui deviendra plus tard la logique mathématique.
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HENRI POINcARÉ
Les Sciences et la Philosophie

Collection La Philosophie en commun dirigée par S. Douai//er, J. Poulain et P. Vermeren
Nourrie trop exclusivement par la vie solitaire de la pensée, l'exercice de la réflexion a souvent voué les philosophes à un individualisme forcené, renforcé par le culte de l'écriture. Les querelles engendrées par l'adulation de l'originalité y ont trop aisément supplanté tout débat politique théorique. Notre siècle a découvert l'enracinement de la pensée dans le langage. S'invalidait et tombait du même coup en désuétude cet étrange usage du jugement où le désir de tout soumettre à la critique du vrai y soustrayait royalement ses propres résultats. Condamnées également à l'éclatement, les diverses traditions philosophiques se voyaient contraintes de franchir les frontières de langue et de culture qui les enserraient encore. La crise des fondements scientifiques, la falsification des divers régimes politiques, la neutralisation des sciences humaines et l'explosion technologique ont fait apparaître de leur côté leurs faillites, induisant à reporter leurs espoirs sur la philosophie, autorisant à attendre du partage critique de la vérité jusqu'à la satisfaction des exigences sociales de justice et de liberté. Le débat critique se reconnaissait être une forme de vie. Ce bouleversement en profondeur de la culture a ramené les philosophes à la pratique orale de l'argumentation, faisant surgir des institutions comme l'École de Korcula (Yougoslavie), le Collège de Philosophie (Paris) ou l'Institut de Philosophie (Madrid). L'objectif de cette collection est de rendre accessibles les fruits de ce partage en commun du jugement de vérité. Il est d'affronter et de surmonter ce qui, dans la crise de civilisation que nous vivons tous, dérive de la dénégation et du refoulement de ce partage du jugement. Dernières parutions Elfie POULAIN,Franz Kafka: l'enfer du sujet ou l'injustifiabilité de l'existence, 2000. Stanislas BRETON, Philosopher sur la côte sauvage, 2000. Véronique BERGEN, L'ontologie de Gilles Deleuze, 2001. Pall SKULASON, Le cercle du sujet dans la philosophie de Paul Ricœur, 2001.

Collection « La philosophie en commun» dirigée par Stéphane Douailler, Jacques Poulain et Patrice Vermeren

Anne-Françoise

SCHMID

HENRI POINCARÉ
Les Sciences et la Philosophie

Suivi en annexe des textes de Bertrand RUSSELL sur La Science et l 'Hypothèse et sur Science et Méthode

L'Harmattan 5-7, rue de l'École Polytechnique 75005 Paris FRANCE

L'Harmattan Inc. 55, rue Saint-Jacques Montréal (Qc) CANADA H2Y lK9

L'Harmattan Hongrie Hargita u. 3 1026 Budapest HONGRIE

L'Harmattan Italia Via Bava, 37 10214 Torino ITALIE

Autre ouvrage de l'auteur L'Age de l'épistémologie. Science, Ingénierie, Éthique, Paris, Kimé, 1998

@ L'Harmattan, 2001 ISBN: 2-7475-0440-9

A la mémoire de Samuel Gagnebin Mathématicien, physicien et philosophe suisse 1882-1983

Sigles D.P.
F.G.
: Dernières pensées, Flammarion, Paris, 1913 ; pagination de l'édition de 1963, qui comporte quatre articles complémentaires. : «Des fondements de la géométrie », The Monist, janvier 1898. Traduction française (original perdu) de L. Rougier, Chiron, Paris, 1921.

M.L.

: « Les Mathématiqueset la Logique», R.M.M., 13 (1905), p. 815-835 ; R.M.M., 14 (1906), p. 17-34; R.M.M., 14 (1906), p. 294-317 ; et « A propos de la logistique », R.M.M., 14 (1906), p.
866-868. : Revue de métaphysique et de morale. : La Science et l'Hypothèse, Flammarion, Paris, 1902 ; pagination de l'édition de 1932. : Science et Méthode, Flammarion, Paris, 1908; pagination de l'édition de 1909. : Thermodynamique, Carré, Paris, 1892. éd. citée Gauthier-Villars, 1908. : La Valeur de la science, Flammarion, Paris, 1905 ; éd. citée 1970 (colI. livres de poche: «Science de la nature» ).

R.M.M. S.H.

S.M. Th.
V.S.

Avertissement
Ce livre est la réédition revue et augmentée d'un ouvrage édité

en 1978, « Une philosophie de savant. Henri Poincaré et la logique
mathématique », avec une nouvelle annexe rassemblant les textes écrits par Russell sur la Science et l'Hypothèse et Science et Méthode. Bien des travaux de toute nature ont été écrits depuis sur Poincaré et sa philosophie. Si nous avons jugé bon cette nouvelle parution, c'est qu'il conserve une particularité qui nous ne semble pas anodine concernant cette œuvre. Il traite en effet des thèses que Poincaré énonce à l'occasion de toutes les disciplines scientifiques en tenant compte du fonctionnement d'ensemble de sa philosophie, et non pas seulement de raisons locales et spécifiques. C'est ainsi par exemple que le conventionnalisme attribué à Poincaré n'est pas ici vu seulement comme une particularité de la philosophie de la géométrie, mais comme une conséquence de l'ensemble de sa logique philosophique. Nos remerciements vont aux professeurs Daniel Christoff, Jean-Blaise Grize et Jean-Toussaint Desanti, ainsi qu'à ceux qui ont publié ce livre dans sa première version, François Maspero et Pierre Raymond, directeur de la collection « Algorithme ». Ils vont également à l'équipe des Archives Poincaré (Université de Nancy2) et à son directeur, Gerhard Heinzmann, et à celle des Archives Russell (McMaster University, Ontario, Canada) et à son directeur honoraire, Kenneth Blackwell, dont les collaborations nous ont été et nous sont toujours précieuses. Plusieurs personnes ont pris part à la mise en forme actuelle de l'ouvrage. Atanas Tchobanov a assuré le suivi et la maintenance informatiques du manuscrit; Raymond Brassier, doctorant de l'Université de Warwick (UK), a recherché et nous a fait parvenir des textes de Russell et de Poincaré difficiles à trouver; Elisabeth

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

Stœsser s'est chargée de la traduction des textes de Russell publiés en annexe. Qu'elles soient toutes ici remerciées. Enfin, la Bertrand Russell Peace Fondation (Nottingham) nous a accordé le droit de traduction des textes de Russell sur Poincaré parus dans les Collected Papers (Routeledge). Qu'elle en soit également remerciée, tout particulièrement Anthony Simpson.

10

Introduction
Henri Poincaré est né le 29 avril 1854 dans une grande famille lorraine. Il s'illustre très tôt en mathématiques, en particulier à l'École Polytechnique où il est reçu premier. Ses travaux scientifiques, riches de près de cinq cents mémoires, touchent tant de problèmes essentiels que son œuvre se confond presque avec les mathématiques de son temps. Ces mémoires sont courts pour la plupart, rédigés d'un trait de plume allant droit à l'essentiel, utilisant des méthodes souvent élaborées pour l'occasion, mettant en évidence à chaque fois des rapports inattendus entre les domaines de recherche. Dans la mesure du possible, Poincaré traite des problèmes dans leur généralité. Il n'est donc pas possible de résumer de façon concise ses œuvres scientifiques, dont il a fait luimême des Analyses partiellement reproduites dans les Il tomes de ses Œuvres (édition Gaston Darboux). Ses travaux les plus importants concernent l'étude des propriétés des fonctions définies sur les équations différentielles - il construit alors les fonctions fuchsiennes et kleinéennes - , et celle, qualitative, des courbes définies par ces équations, qui le conduira à la construction de Analysis situs, devenue la topologie algébrique, résultat qu'il applique immédiatement à l'étude des mouvements des corps célestes (problème des trois corps, puis de la stabilité du système solaire). En théorie des fonctions, il réduit l'étude des fonctions non uniformes d'une variable à celle des fonctions uniformes; il montre qu'une fonction méromorphe de deux variables est le quotient de deux fonctions entières. Il généralise le principe de Dirichlet que, selon ses dires, il ne connaissait pas. En Algèbre, il étudie le premier les procédés de résolution de n équations à n inconnues; en Arithmétique, il étudie les groupes de substitutions qui n'altèrent pas les formes quadratiques ternaires. Partout, il se

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

sert de la théorie des groupes discontinus ou continus (en particulier des groupes de Lie) selon qu'il travaille sur les fonctions fuchsiennes ou sur des questions de géométries euclidiennes ou non-euclidiennes. Dès 1886, il occupe à la Sorbonne la chaire de Physique mathématique, puis celle de mécanique céleste et d'astronomie jusqu'à sa mort, le 12 juillet 1912. Ses cours publiés touchent la plupart des problèmes importants de la physique d'alors (probabilités, théorie du potentiel, thermodynamique, électricité et optique, théorie mathématique de la lumière, théorie analytique de la propagation de la chaleur, télégraphie sans fil, etc.). On lui doit une théorie des marées. Ses contributions les plus connues portent sur la mécanique céleste (il en a laissé trois volumes sans compter divers mémoires), où il étudie les conditions de convergence des séries utilisées dans la prévision des phénomènes astronomiques, et sur l'électrodynamique des corps en mouvement où il expose sa théorie de la relativité à partir des travaux de Lorentz; il y établit le groupe appelé «groupe de Poincaré» en physique. Sa philosophie des sciences a des caractéristiques tout à fait remarquables, non seulement quant à son contenu, mais quant à son organisation générale: elle est construite de telle sorte qu'elle permet le plus d'effets avec un minimum de moyens. En cela, elle atteint une sorte de perfection, qui la rapproche de l'idéal de l'économie de pensée. Cette perfection fait système avec plusieurs caractéristiques qui ont été relativement peu soulignées: 1) c'est une philosophie tout à fait systématique, qui élabore toujours les mêmes moyens pour des problèmes analogues; 2) c'est une philosophie régionale, parce qu'elle offre des formes de pensée philosophique spécifiques pour chaque discipline scientifique. Pour comprendre la philosophie des sciences de Poincaré, il faut comprendre ces deux caractéristiques ensemble. Elle se donne les moyens de penser toute la science, telle que la connaissait Poincaré. 12

Introduction

Ces deux caractéristiques mettent Poincaré à la charnière de deux mondes: celui de la philosophie des sciences classiques, qui élabore une image générale de la science, celui d'une épistémologie plus technique qui cherche, pour chacune des disciplines, les caractéristiques particulières qui la distingue des autres et permet de rendre compte de ses particularités. Sa philosophie des sciences est ainsi le lieu d'une tension, dont l'équilibre n'est possible que sous la forme de sa perfection. Elle est comme une surface minimale que le moindre choc pourrait détruire; mais elle est solide par sa systématicité. C'est dire qu'une fois élaborée, elle n'a pas changé. Ce qui s'est modifié, ce sont les objets et les contenus des sciences, non pas la structure philosophique. Cet aspect est très sensible par exemple dans les deux polémiques qui l'ont opposé à Bertrand Russell, la première, sur les fondements de la géométrie, la seconde sur la valeur de la logique mathématique. Au cours de chacune d'elles, les positions philosophiques de Bertrand Russell ont subi de multiples aménagements, voire des changements tout à fait fondamentaux, alors que celles de Poincaré dans le même moment restaient stables. Cette architecture de la philosophie de Poincaré a été peu explicitée, elle n'est pas visible au premier regard. Sa philosophie ne se dit pas elle-même, elle fait voir des contenus scientifiques. La conséquence la plus visible sur ses interprétations a été que chacun l'a comprise en fonction de sa discipline de prédilection, à travers la physique, ou la géométrie, ou ses positions quant à l'arithmétisation des mathématiques, mais non pas dans son fonctionnement d'ensemble. L'effet en a été un éventail systématique et répétitif, en fonctions des positions occupées, de ces interprétations. Elles hésitent entre idéalisme, pragmatisme, positivisme, inductivisme, empirisme, mais ces caractéristiques restent relativement stables en fonction de la discipline de prédilection de l'interprète. L'un des aspects les plus visibles de 13

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

cette déformation a été de comprendre ce que l'on a appelé plus tard le « conventionnalisme » de Poincaré comme dépendant de sa seule philosophie de la géométrie, sans que soient pris en compte ni ses raisons ni ses effets dans l'ensemble de sa philosophie. C'est là une caractéristique des interprétations d'une philosophie qui embrasse un champ scientifique très vaste avec une économie de moyens peu ordinaire. Ces moyens relèvent dans l'ensemble et très généralement du «kantisme », alors l'horizon philosophique général en France. Poincaré le connaît bien: il est introduit dans les milieux philosophiques par le mariage de sa sœur Aline avec le philosophe Émile Boutroux, avec lequel il collabore de plusieurs façons. C'est ainsi, par exemple, qu'il écrira un appendice scientifique à l'édition de Boutroux de La Monadologie de Leibniz. Si Poincaré n'a pas fait d'études de philosophie, il en sera finalement passablement averti à travers les problèmes discutés par les philosophes français de son temps. Les caractéristiques remarquables de la philosophie des sciences de Poincaré imposent donc de ne pas l'interpréter en fonction une nouvelle fois d'une discipline, mais en fonction de celle-ci et de ses relations aux autres. La variété des interprétations s'expliquera alors d'elle-même, et la place très particulière de Poincaré dans la philosophie des sciences classique et l'épistémologie naissante se comprendra beaucoup plus aisément. Mais il faut se donner les moyens de comprendre comment il se donne la distinction des disciplines; cela est plus difficile et demande une sorte de suspension du jugement. Car la donnée des disciplines ne va pas de soi. La façon dont Poincaré scientifique a travaillé, cherchant des analogies entre domaines plus qu'en élaborant des théories spéciales, montre que la question de la différenciation des disciplines est une question à la fois intéressante et fondamentale. Ses travaux scientifiques touchent à tous les domaines, de façon à se jouer de leurs limites convenues. C'est ainsi qu'il a pu proposer une mécanique algébrique, restée 14

Introduction

longtemps oubliée, et qui a trouvé des applications récentes en ingénierie. Les solutions qu'il a trouvées à des problèmes arithmétiques ont été immédiatement appliquées à un problème apparemment aussi éloigné que celui de la stabilité du système solaire. C'est donc par la question de la distinction des disciplines que nous élaborerons une interprétation de sa philosophie, dégageant par là même le prisme de ses interprétations possibles. En revanche, nous procéderons comme si nous ne connaissions pas les spécificités des disciplines. C'est une suspension du jugement, nécessaire si l'on veut comprendre sa philosophie, et pas seulement les contenus scientifiques véhiculés par elle. La question des disciplines et de leur organisation est le lieu où s'organisent en effet chez Poincaré les liens entre les démarches scientifiques et la philosophie. C'est pour avoir trop cherché les solutions qu'il a données pour chacune des disciplines supposées déjà constituées, que l'on a laissé échapper la façon dont il les pense, systématiquement, en fonction d'une philosophie «minimale ». Nous utilisons évidemment cette expression non pas pour suggérer qu'il s'agirait d'une philosophie pauvre, trop pauvre, mais par analogie avec celle d' «art minimal », et pour signifier qu'elle ne se dit par pour elle-même mais pour ses «objets ». L'analogie entre la philosophie de Poincaré et sa pratique scientifique, est fondée dans la simplicité et l'universalité de son schème philosophique. Il ne s'agit pas pour lui d'élaborer un système: il fait plutôt usage de positions kantiennes réinterprétées et simplifiées pour la compréhension des relations mutuelles des disciplines scientifiques entre elles. La philosophie n'est donc pas autre chose qu'une généralisation à partir des sciences, ou plutôt une réflexion si générale qu'elle ne laisse plus de place aux équations, parce que les conditions sous lesquelles celles-ci ont un sens n'ont plus cours. Certains de ses textes classés comme philosophiques sont presque semblables à certains textes 15

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

scientifiques lorsqu'on les a privés de leurs équations: ainsi en est-il de certains textes de la Thermodynamique transposés dans La Science et l'Hypothèse. C'est une autre façon de voir sa philosophie comme « minimale », et son étude devient du coup très utile pour la compréhension de la façon dont la philosophie intègre des fragments de sciences. La philosophie de Poincaré fonctionne comme si l'on mettait entre parenthèses les caractères spéculatifs de la philosophie pour mieux manifester ses rapports aux autres disciplines. C'est cet ensemble de rapports que nous allons manifester et systématiser. Cette suspension permet un certain nombre d'observations simples. Tout d'abord, dans ses écrits « philosophiques », Poincaré a toujours classé les contenus scientifiques dans le même ordre: arithmétique, algèbre, analyse, géométrie, mécanique, physique mathématique, physique expérimentale. Nous avons fait l'hypothèse que cet ordre était régulateur dans la façon dont il voit les analogies entre disciplines. Mais il est en même temps recteur quant à la façon de construire une philosophie des sciences. Une philosophie « minimale» trouve aussi ses effets « philosophiques» par l'ordre même dans lequel elle organise ses « éléments ». Une autre observation est qu'un concept élaboré à propos d'une discipline particulièrement a des effets dans l'ensemble de la pensée des disciplines. Une troisième observation est qu'un texte « philosophique» peut être presque semblable à un texte « scientifique» privé de ses équations. Nous allons donc chercher à la fois comment Poincaré pense chaque discipline en fonction de cet ordre, et comment il élabore sa philosophie dans le même mouvement. Aussi bien en philosophie qu'en sciences, Poincaré a écrit de façon rapide, et des textes souvent courts. Son idée de mécanique algébrique, par exemple, ne prend que quelques pages dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences. Ses écrits philosophiques ont été souvent, dans leur premier jet, des écrits 16

Introduction

polémiques ou tout au moins discutant des conceptions admises sur les sciences. Ses livres philosophiques les plus célèbres ont été composés à partir d'articles publiés dans des revues, en particulier la Revue de Métaphysique et de Morale à laquelle il est resté fidèle. Les Fondements de la géométrie, publiés plus tard en français en un volume, ont eux aussi été publiés pour une revue américaine (The Monist). C'est par la suite que ces interventions ponctuelles ont été organisées selon un ordre non arbitraire et invariable. Nous allons suivre l'ordre de Poincaré pour comprendre sa philosophie, à une exception près. Une place spéciale revient à sa discussion d'une «nouvelle discipline» - appelée plus tard «logique mathématique» - qu'il n'admet pas comme telle et réduit aux fondements de l'arithmétique. Cette exception vient de ce que nous prenons au sérieux l'ordre des disciplines: il est si serré chez Poincaré qu'il n'est pas possible d'en admettre de nouvelles. Seules des combinaisons et des analogies entre les disciplines classiques peuvent expliquer des recherches nouvelles. Néanmoins, cette «nouvelle» discipline lui pose un problème fondamental et le fait s'engager dans la discussion. Et cette discussion est importante pour comprendre des textes plus anciens sur la définition et le raisonnement par induction (cf. La Science et l'Hypothèse). Nous avons donc consacré un chapitre spécial à la longue polémique qu'il a consacrée à la logique mathématique. Nous ne pourrons alors « comparer» les textes de Poincaré à ce que nous savons institutionnellement des disciplines. Pour comprendre leur spécificité et leur place, nous avons ici pour seule donnée le texte de Poincaré. Nous allons reconstruire à partir de celui-ci la façon dont il les pensait. Cette «construction» n'est pas en contradiction avec sa pensée, bien au contraire, elle est nécessaire si l'on veut bien comprendre la place de Poincaré entre une philosophie des sciences générale et une épistémologie régionale, place qu'il a lui-même inventée et qui a eu tant d'importance pour le développement même de l'épistémologie. 17

Henri

Poincaré, les Sciences et la Philosophie

Dans les chapitres qui concerneront individuellement les disciplines, nous ferons apparaître le texte original à la façon d'une « basse continue », les répétitions et les différenciations permettant la construction continue de leur concept. Cette suspension philosophique explique le choix de laisser être les phrases de Poincaré parmi celles qui permettent une différenciation. Elle se justifie par son attitude qui procède par construction plutôt que par analyse des domaines supposés préexistantsl. D'un point de vue pratique, cette méthode permettra de saisir les préoccupations de Poincaré d'un livre à l'autre: La Science et l'Hypothèse (1902), Science et Méthode (1905) , La Valeur de la science (1908) soit des trois livres «philosophiques» dont il a organisé l'ordre luimême, à partir d'articles parus ailleurs. Dernières Pensées (1913) est un recueil posthume. La suspension philosophique que nous pratiquons du contenu des disciplines au profit de leur existence et de leur ordre tels qu'en décide Poincaré met en question les interprétations traditionnelles de son œuvre. Comme nous l'a fait remarquer le mathématicien Georges de Rabm, l'inventivité de Poincaré a été si vaste, que l'on peut à peu près tout dire sur lui, du bien et/ou du mal en fonction des disciplines considérées. Il ne s'agira plus de savoir ici s'il a bien pensé ou non en fonction de telle ou telle question ou discipline. Ce qui nous importe, c'est justement que de telles questions se posent en fonction de points de vues disciplinaires étroits. S'il s'agit ici de critique, c'est au sens philosophique où les limites de chacun de ces points de vues donne lieu à un ensemble spécifique de problèmes. C'est à la fois une philosophie générale et une spécification des régions de la science qu'il nous offre, à partir d'instruments repris à la philosophie des sciences classiques - c'est là, à notre avis, son apport le plus important dans le champ de la philosophie des sciences. C'est donc lui que nous allons prendre ici
1 Voir HEINZMANN, 1985, p. 21.

18

Introduction

au sérieux, et non pas les jugements que l'on pourrait porter par exemple sur sa réception de la logique. Nous n'avons pas supposé de positivité factuelle qui ait pu nous servir de point de repère dans l'analyse de ses textes mais une systématique des distinctions entre les disciplines qu'il se donne. Et c'est également cette systématique qui nous a donné la règle permettant d'élaborer ce qui spécifiait ses textes philosophiques et les distinguait de ses textes scientifiques. Nous exemplifions ainsi le problème de la spécification d'une philosophie par son rapport aux sciences dans l'interprétation qu'elle donne d'une autre philosophie. C'est pourquoi notre livre apparaîtra comme une sorte d'auto-déconstruction de son texte, en fonction de ses répétitions, de ses régularités thématiques, de ses modes classificatoires. Cette façon de faire rend impossible une critique directe du texte de Poincaré. On ne peut en effet l'accuser du manque de tel ou tel concept au nom du trop plein de représentations anciennes. Qu'il n'ait pas voulu prendre en compte le statut des algorithmes dans la logique ou celui des clauses finales des définitions par induction comme on l'a fait parfois remarquer, n'est pas un manque de compréhension; sa pratique de la théorie des groupes le montre à l'évidence. Cette lecture de Poincaré nous a fait voir une analogie profonde entre sa philosophie des sciences et sa façon de travailler dans les sciences ou sa pratique. On sait comment il a été marqué par la théorie des groupes. II le soulignait en disant que l'idée de groupe était innée à notre esprit et il a fait un usage remarquable des groupes de Lie en montrant qu'ils étaient en relation biunivoque avec les géométries non-euclidiennes, ce qui faisait voir immédiatement que celles-ci étaient en principe en nombre infini. Il a élaboré l'une de ces dernières, celle dont la surface est une hyperboloïde à une nappe. Si l'on regarde les résumés annuels de ses travaux pour les comptes rendus de l'Académie des Sciences, on le voit trouver des analogies presque immédiates d'une discipline à l'autre, si proches ou si éloignées soient-elles les 19

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

unes des autres, un peu comme si chacun de ses résultats était un élément d'un groupe de permutations. Ces analogies avaient plus d'importance à ses yeux que le statut même de la théorie. La théorie intéressait peu Poincaré en tant que telle, et il n'a élaboré que peu de théories proprement dites - une théorie des marées, une théorie de la relativité en particulier. Mais son œuvre reste importante surtout par le nombre impressionnant d'idées qu'il a laissées dans tous les domaines dont il traite dans sa philosophie, et qui ne sont pas seulement mathématiques. Il travaillait si l'on peut dire immédiatement à même la matière scientifique, passant d'un point de savoir à l'autre presque sans difficulté. Les analogies et les raccourcis qu'il propose constamment dans ses cours en sont un indice. En cela, il reste un savant très différent d'Einstein qui a consacré sa vie à l'élaboration d'une théorie - un peu comme Leibniz se distingue de Spinoza.

20

Chapitre I
Les mathématiques2
Poincaré a écrit entre 1893 et 1912 (année de sa mort) une quinzaine d'articles et de conférences sur les mathématiques. Dans ces textes, il ne définit guère les mathématiques pour elles-mêmes; il en donne plutôt des spécifications au moyen de mises en relations avec diverses instances et disciplines dont il nous faut analyser la nature et le rôle. Nous avons pris le parti dans ce chapitre d'analyser ces spécifications dans leur ordre chronologique d'apparition dans les textes. Une étude exhaustive des articles nous contraindrait en effet à d'interminables redites, car Poincaré reprend souvent les mêmes problèmes en en modifiant l'exposé selon les circonstances et l'auditoire auquel il s'adresse.
A. Mathématiques et expérience3

Qu'est-ce que le continu mathématique? telle est la question posée au début de cet article. En un premier temps, Poincaré y répond par un exposé de la théorie des coupures de Dedekind qui permet de définir certains symboles, les nombres incommensurables, comme mode de répartition des nombres commensurables. Mais cette construction théorique, correcte du point de vue mathématique, ne suffit pas à Poincaré:
2 Dans ce chapitre, nous parlons des mathématiques à l'exclusion de la géométrie qui sera traitée plus loin, pour des raisons qui tiennent aux conceptions de Poincaré. 3 Cf. «La Grandeur mathématique et l'Expérience », Revue de métaphysique et de morale, 1893, p. 26-34; modifié dans La Science et l'Hypothèse, p. 29-44.

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

« Mais se contenter de cela, ce serait trop oublier l'origine de ces symboles; il reste à expliquer comment on a été conduit à leur attribuer une sorte d'existence concrète. [...] On en vient alors à se demander si la notion de continu mathématique n'est pas tout simplement tirée de l'expérience. Si cela était, les données brutes de l'expérience, qui sont nos sensations, seraient susceptibles de mesure» (S.H., 34). Ce texte nous apprend que l'expérience est définie par son rapport aux sensations; qu'elle n'intervient pas à l'intérieur de la théorie mathématique exposée; que son rapport avec les mathématiques se pose sous le couvert d'une autre question, celle de l'origine des notions. Cet article n'est donc pas une simple vulgarisation de la théorie des coupures: le propos de Poincaré est de définir une relation entre cette théorie et l'expérience. Quelle est la nature de ce lien? Voici ce qu'en dit Poincaré: « En résumé, l'esprit a la faculté de créer des symboles, et c'est ainsi qu'il a construit le continu mathématique, qui n'est qu'un système particulier de symboles. Sa puissance n'est limitée que par la nécessité d'éviter toute contradiction; mais l'esprit n'en use que si l'expérience lui en fournit une raison. Dans le cas qui nous occupe, cette raison était la notion du continu physique, tirée des données brutes des sens» (S.H., 40). Ces lignes répondent à notre question, curieusement, en la déplaçant: au rapport théorie mathématique-expérience est substitué celui de l'esprit, comme faculté de créer des symboles, à l'expérience. Cette substitution est très révélatrice: nous voyons que le lien entIe la théorie du continu mathématique et l'expérience n'est pas spécifique à cette théorie; nous sommes bien à l'extérieur de cette théorie, mais non à son extérieur; la question posée au début de l'article est un prétexte pour introduire une thèse de portée beaucoup plus générale, vis-à-vis de laquelle la théorie

exposée n'est qu'un « système particulier de symboles», n'est que
« le cas qui nous occupe ». En d'autIes termes, la construction du 22

Les 11Ulthématiques

continu fonctionne comme exemple illustrant et justifiant une affirmation où entrent en jeu deux instances étrangères à l'exposé de la théorie: l'esprit et l'expérience. Bref, au début de l'article, nous pouvions croire avoir affaire à un discours de mathématiques, puis à un discours se jouant à ses bords; enfin nous voyons qu'il ne porte pas directement sur les mathématiques, qu'il ne les défmit pas, mais bien plutôt qu'il les situe entre deux instances extérieures. Extériorité: cette image spatiale ne désigne pas une simple configuration; ce que nous avons appelé ici extériorité - pour rendre compte à la fois du déroulement du texte et de la nonspécification de ces notions par rapport à la théorie mathématique exposée - est en réalité l'effet d'une différence beaucoup plus fondamentale: celle de leur fonctionnement. En effet, contrairement aux concepts mathématiques construits à l'intérieur d'une théorie démonstrative, le sens des notions d'expérience et d'esprit ne leur vient pas d'une définition ou d'une démonstration, mais d'une référence à deux réalités données, respectivement les sensations et les facultés intellectuelles créatrices de symboles, réalités non articulées à telle théorie considérée, mais qui, à l'égard des théories mathématiques en général, jouent un triple rôle de localisation, de construction et de justification. C'est pourquoi nous

avons appelé ces deux notions « instances». Notre thèse, que nous
spécifierons au cours de notre exposé, est que ce fonctionnement est de type proprement philosophique. Dans le premier texte que nous avons cité (S.H., 34), la notion d'expérience est introduite à propos du problème de l'origine des symboles mathématiques. Nous pouvons voir maintenant que ce problème, qui a préoccupé Poincaré jusqu'à la fin de sa vie, n'est autre que celui du lien entre les mathématiques et l'expérience ou l'esprit. Cette question va donc se jouer entièrement dans l'espace philosophique que nous venons de définir; elle ne peut avoir de solution que dans le champ déjà délimité par les deux instances; si 23

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

l'expérience n'est pas à l'origine des symboles mathématiques, ce sera l'esprit; une troisième solution est possible, mais elle ne peut être qu'un intermédiaire entre les deux premières. Quels sont les arguments qui décideront de la solution? Chose curieuse à première vue, mais qui confirme notre interprétation, les mathématiques ne sont pas décisives dans le choix de la solution -, le problème, posé en des termes philosophiques, est résolu par le jeu réciproque de ces mêmes termes. Voici l'argumentation de Poincaré: les résultats immédiats de l'expérience contredisent souvent le principe selon lequel deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles; par conséquent, les mathématiques ne peuvent être une simple représentation de nos sensations; d'autre part, une nécessité de nature psychologique nous contraint à résoudre cette contradiction existant entre les données de l'expérience et les principes logiques de notre esprit: «Les résultats bruts de l'expérience peuvent donc s'exprimer par les relations suivantes: A=B, B=C, A<C qui peuvent être regardées comme la formule du continu physique. Il y a là, avec le principe de contradiction, un désaccord intolérable, et c'est la nécessité de le faire cesser qui nous a contraints à inventer le continu mathématique. On est donc forcé de conclure que cette notion a été créée de toutes pièces par l'esprit, mais que c'est l'expérience qui lui en a fourni l'occasion. Nous ne POUVOI1S croire que ces deux quantités égales à une même troisième ne soient pas égales entre elles, et c'est ainsi que nous sommes amenés à supposer que A est différent de B et B de C,
4

Des sensations contiguës sont indiscernables. Poincaré en donne presque

toujours le même exemple: nous ne pouvons pas discerner, sans balance, un poids de 10 g d'un poids de Il g, ni un poids de Il g d'un poids de 12 g, alors que le poids de 10 g nous semble plus léger que celui de 12 g. 24

Les mathématiques

mais que l'imperfection de nos sens ne nous avait pas permis de discerner. » (S.H., 35). Une telle solution assigne une tâche aux mathématiques à l'intérieur de cet espace philosophique: celle de lever les contradictions de l'expérience par un « artifice », la création de

nouveaux symboles, qui permettent de « concilier l'intuition avec
l'analyse» (S.H., 44). Cette tâche localise plus précisément les mathématiques dans notre configuration; leur source, c'est l'esprit. Mais aussi elle les justifie: les mathématiques ne sont pas arbitraires, elles ont quelque chose à voir avec la réalité, quoiqu'elles en soient systématiquement distinguées, puisqu'elles ne sont pas une science expérimentale (cf. ~S., 34). Nous avons vu maintenant comment Poincaré situe les mathématiques dans l'espace clos que nous avons discerné. Cette localisation a-t-elle des effets sur les théories mathématiques? C'est là une question épistémologique par excellence. De nouveau, les caractéristiques internes aux mathématiques n'ont pas de pertinence pour l'examen de cette question: les arguments décisifs sont d'ordre psychologique. Tout d'abord, une telle localisation permet de poser certaines exigences pour l'exposé d'une théorie; nous pouvons ainsi distinguer les traits qui définissent une « bonne» théorie: elle doit paraître naturelle et justifiée; elle doit donc garder quelques traces de son origine et de son histoire, c'est-à-dire de ses démarcations progressives par rapport à l'expérience commune. C'est là un thème invariable chez Poincaré; cette préoccupation n'apparaît pas seulement dans des écrits adressés à des psychologues ou à des pédagogues. 1899 : «Or, pour comprendre une théorie, il ne suffit pas de constater que le chemin que l'on a suivi n'est pas coupé par un obstacle, il faut se rendre compte des raisons qui l'ont fait choisir. Pourra-t-on donc jamais dire qu'on comprend une théorie si on 25

Henri Poincaré, les Sciences et la Philosophie

veut lui donner d'emblée sa forme définitive, celle que la logique impeccable lui impose, sans qu'il reste aucune trace des tâtonnements qui y ont conduit? Non, on ne la comprendra pas réellement, on ne pourra même la retenir, ou on ne la retiendra qu'à force de l'apprendre par cœur» (<< Logique et l'Intuition dans la La science mathématique et dans l'enseignement », Œuvres, t. Il, p. 132). 1900 : «Voyons ce qui est arrivé, par exemple, pour l'idée de fonction continue. Au début, ce n'était qu'une image sensible, par exemple, celle d'un trait continu tracé à la craie sur un tableau noir. Puis elle s'est épurée peu à peu, bientôt on s'en est servi pour construire un système compliqué d'inégalités, qui reproduisait pour ainsi dire toutes les lignes de l'image primitive; quand cette construction a été terminée, on a décintré, pour ainsi dire, on a rejeté cette représentation grossière qui lui avait momentanément servi d'appui et qui était désormais inutile; il n'est plus resté que la construction elle-même, irréprochable aux yeux du logicien. Et cependant, si l'image primitive avait totalement disparu de notre souvenir, comment devinerions-nous par quel caprice toutes ces inégalités se sont échafaudées de cette façon les unes sur les autres? » ('\1:8.,36-37). Et, plus loin : « [...] les anciennes notions intuitives de nos pères, même lorsque nous les avons abandonnées, impriment encore leur forme aux échafaudages logiques que nous avons mis à leur place» ('V:S., 37). Voici encore un texte de 1912 où nous voyons ces exigences philosophiques intervenir concrètement dans le choix entre deux définitions mathématiques de la dimension: « Pour nous qui tirons la notion du continu, à n dimensions, non de la définition analytique précitée, mais de je ne sais quelle source plus profonde, cette opération [changement de coordonnées] 26

Les mathématiques

est toute naturelle; nous sentons qu'elle n'altère pas ce qu'il y a d'essentiel dans le continu. Pour ceux, au contraire, qui ne connaîtraient le continu que par la définition analytique, l'opération serait licite sans doute, mais baroque et mal justifiée. Enfm, cette définition fait bon marché de l'origine intuitive de la notion de continu et de toutes les richesses que recèle cette notion. Elle rentre dans le type de ces définitions qui sont devenues si fréquentes dans la mathématique, depuis qu'on tend à « arithmétiser » cette science. Ces définitions, irréprochables [...] au point de vue mathématique, ne sauraient satisfaire le philosophe. Elles remplacent l'objet à définir et la notion intuitive de cet objet par une construction faite avec des matériaux plus simples; on voit bien alors qu'on peut effectivement faire cette construction avec ces matériaux, mais on voit en même temps qu'on pourrait en faire tout aussi bien beaucoup d'autres; ce qu'elle ne laisse pas voir, c'est la raison profonde pour laquelle on a assemblé ces matériaux de cette façon et non pas d'une autre»
(D.P., 137-138).

Notons que la définition inductive donnée plus loin par Poincaré se fonde sur des notions mathématiques. C'est donc bien la philosophie qui opère ici le choix entre deux définitions mathématiques. Ensuite et surtout, cette localisation a aussi des effets dans la délimitation de ce qui est mathématique et de ce qui ne l'est pas; ici, il ne s'agit plus d'une exigence philosophique portant sur l'exposé de la théorie, mais d'une intervention philosophique dans le scientifique. Poincaré désigne tout à fait explicitement cette intervention en 1912 dans sa polémique contre les partisans du formalisme logique. La raison de cette intervention se trouve de nouveau être de nature essentiellement psychologique: il y a chez les mathématiciens des tendances mentales opposées qui conçoivent les objets mathématiques d'un point de vue philosophique différent; d'après Poincaré, cela explique le fait que 27