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La quantification dans la logique moderne

De
385 pages
Dégager les processus exacts qui sont à l'oeuvre derrière l'acte apparemment simple de quantifier, tel fut et demeure aujourd'hui un des défis majeurs de la logique moderne et de la philosophie du langage. Trop souvent considérée comme achevée dès la Begriffsschrift de G. Frege, la théorie de la quantification est, de fait, le fruit d'une maturation progressive et multiple dans laquelle s'inscrivent des auteurs tels que C.S. Pierce, E. Schröder, B. Russell, T. Skolem, D. Hilbert ou encore S. Lesniewski et A. Tarski.
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La quantification dans la logique moderne

CoBection

« Épiûémologie

et PbiIosophie

des Scienees » dirigée par Angèle Kremer Marietti

)} La collection « Epistémologie et Philosophie des Sciences réunit les ouvrages se donnant pour tâche de clarifier les concepts et les théories scientifiques,. et offiant le travail de ptéci'rer la signification des termes utilisés par les chercheurs dans le cadre des connaissances qui sont les leurs, et tels que 'force\ ~vitesse' ~"accélération\ "particule\ ':oncJe.., etc. EUe incorpore alors certains énoncés au bénéfice d" W1e critérioJogie C8.].1a.bJe e répondre.. 1')()UJ" d tout système scientifique~ aux (,]UeStions (,]ui se posent dans leur contexte conceptuel rnstori(,]Ue~ de façon à déterminer ce qu"est théoriquement et pratiquement la recherche S(..;.entifique considérée: 1) quelles sont les procédures : les conditions théoriques et pratiques des théories invoquées, débouchant sur les résultats; 2) quel eb1..,pour le ~"}~1èmeconsidéré, le &1atut cognitif des principes, lois et théories, assumnt la validité des concepts. Déjà parus Angèle KREMER-MARIETI1., Nietzsche: L llomme et ses labyrinthes, 1999. Angèle KREIMER-MARIETI1, L'>anthropologie positiviste d" Auguste Comte, 1999. Angèle KREMER -MARIEITI, Le projet anthropologique d~Auguste Comte, 1999. Serge LATOUCHE, Fouad N()HRA, Hassan ZA<')UAL, Critique de ]a raison éconOJnique.. 1999. Jean-Charles SACCHI, Sur le développement des théories scientifiques~ 1999. Yvette CONRY,. L'Évolution créatrice d'Henri Bergson. Investigations critiques, 2000. Angèle KREIMER-MARIETI1, La ~'ymbolicité, 200(t Angèle .KREMER MARIEITI (dir.l. Éthique et épistémologie autour du livre Impostures intellootuelles de Soka1 et Bricmont, 2001. Abdelkader BACHTA~ L~épistémolog1e scientifique des Lumières~ 200]. Jean CAZENOBE:; Tecbnogenèse de la télévisiQI4 200 L Jean-Paul JOUARY, L'>art paléolithique, 2001. Angèle KREMER MARIETI1, La philosophie cognitive~ 2002. Angèle .KREMER MARIEITI, Ethique et méta-étbique~ 2002. Michel BOURDEAU (00.).. Auguste Comte et ridée de science de rlKmnne., 2002. Jan SEBESTIK~ Antonia SOULEZ (dir.)~ Le Cerc]e de Vîenne~ 2002. Jan SEBESTIK, Antonia SOULEZ (dir.l. Wittgenstein et la philosophieaujourd~ 2002. Ignace HAAZ,. Le concept de corps chez Ribot et Nietz.~~ 2002_ Pierre-André HUGW, Approche nominaliste de Saussure, 2002. Jean.CJérard ROSSI, La philosophie analytique, 2002. Jacques MICHEL~ La nécessité de Claude BemartL 2002. ~ Abde1kader BACm A:JL espace et le temps chez Ne\\1on et chez KaDt~ 2002. Lucien-SamÎr OULAHBm~ Éthique et épistémologie du nihilisme:> 2002. Anna MANCINL La sagesse de l'ancienne Égypte pour 1'ln1~ 2002. Lucien-Samir OULAHBffi, Le nilùlisme français contempomin, 2003. Annie PETIT (dir.)., Auguste Comte. Trajectoires du positivisme, 2003. Bernadette BENSAUDE-VJNCENT (dir.)~ Bnmo BERNARDI (dH.)., Rousseau et les sciences.. 2003. Angèle KRE1vffiR-MARIETfL Cours sur la première Recberohe Logique de HusserL 2003.

Abdelkader BACHT A, L esprit scientifique et la civilisation ambo-musaImane, 2004.
'>

Rafika BEN J\.1RAD) Principes et causes dans les Analytiques Seconds d'Aristote,: 2004~ d7W) psychanalyste Monique CHARLES~ La Psychanalyse 1 Témoignage et Commentaires
d~W1e analysante:> 2004.

et

Fouad NORRA, L~éducation morale au-delà de la citoyenneté:- 2004. Angèle KREIMER MARIETI1., Épistémologiques,. pbi1osophiques~ anthropologiques,. 2005. Edmundo MORIM DE CARVALHO) Le statut du paradoxe chez Paul Valéry, 2005. Taouflk ('1-IERIF, Éléments d'Esthétique arabo-islamique:: 2005. Pierre-André HUGLO~ Sartre : Questions de méthode., 2005. Michèle PICHON,. Esthétique et épistémologie du naturalisme abstrait~ 2005. Adrian BEJAN7 Sylvie U)RENTE:> La loi oonstructa1e~ 2005.

Sous la direction de

Pierre Jo RA y

La quantification dans la logique moderne

L'Harmattan 5-7,rue de l'ÉcolePolytechnique 75005 Paris FRANCE

L'Harmattan

Hongrie

Kossuth L. u. 14-16 1053 Budapest

L'Harmattan ItaIia Via Degli Artisti, 15 10124 Torino ITALIE

HONGRIE

(Ç)L'Harmattan,

2005

ISBN: 2-7475-8588-3 EAN : 9782747585880

A Florence, Charlotte, Mathilde et Eléonore

Avec le concours

de l'Institut de Logique de l'Université de Neuchâtel
de la Société Suisse de Logique et de Philosophie des Sciences du Centre Romand de Logique, Histoire et Philosophie des Sciences

Avant-propos
Située au cœur des développements modernes en logique, en philosophie du langage et en linguistique, la théorie de la quantification a longtemps souffert de visions partiales. Parmi celles-ci, il en est une, centrale et influente, dont la présence, pour ainsi dire en négatif, dans de larges parties de cet ouvrage justifie son explicitation dans ces premières pages. Dans la préface de sa célèbre anthologie de 19671, J. van Heijenoort affirme en effet qu'en 1879 la Begriffsschrift de G. Frege «présentait au monde, dans une forme achevée, le calcul des propositions et la théorie de la quantification». Si van Heijenoort donnait ainsi à Frege la position historique méritée d'inventeur de la quantification moderne, il contribua pourtant aussi à obscurcir pour de nombreuses années l'influence prépondérante sur les conceptions contemporaines de la quantification qu'eurent des auteurs tels que C. S. Peirce, E. Schroder, B. Russell, T. Skolem, D. Hilbert ou encore S. Lesniewski et A. Tarski. A trop vouloir clarifier les étapes historiques qui marquèrent l'avènement de la logique moderne, on en vient à perdre de vue que nos conceptions contemporaines sont sans conteste le fruit d'une maturation progressive et multiple, dont les motivations prennent leurs racines dans des domaines extrêmement divers de la connaissance. La présente anthologie ne peut évidemment prétendre à une quelconque exhaustivité. Elle vise cependant à fournir au lecteur un accès plus direct et cohérent à une thématique centrale en logique, dont la présence dans la littérature existe essentiellement sous la forme d'articles disséminés dans les revues spécialisées et souvent d'une grande technicité2. S'adressant aussi bien aux chercheurs confirmés

1 Van Heijenoort J. (ed). Froln Frege to Godel. A Source Book in Mathematical Logic /879/93/. Harvard Univ. Press. 1967. 2 Parmi les rares ouvrages consacrés de façon centrale à la quantification, cf. en particulier: Barwise J., Feferman S. (eds). Model-Theoretic Logics. Berlin: Springer. 1985; Gardenfors P. (ed). Generalized Quantifiers. Dordrecht: Reidel. 1987; Bach E. et al. (eds). Quantification in Natural Languages. Dordrecht: Kluwer. 1995; Krynicki M. et al. (eds). Quantifiers: Logics,

AVANT-PROPOS

qu'aux étudiants désireux d'enrichir leurs réflexions en logique, cet ouvrage est l'aboutissement d'un projet consistant à réunir des articles de qualité, propres à mettre en valeur la richesse des sources historiques, ainsi qu'à présenter l'ouverture et la multiplicité des recherches contemporaines sur la quantification. Le choix que nous avons fait de placer en tête d'ouvrage la traduction de deux «classiques», trop peu connus à notre sens dans le domaine francophone, s'inscrit pleinement dans cette perspective. Le premier de ces textes est un large extrait de «On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation» de C. S. Peirce. Publié six ans après la Begriffsschrift, en 1885, cet article fondateur introduit la notation contemporaine des quantificateurs, explicite la relation sémantique que les expressions quantifiées entretiennent avec des chaînes de conjonctions et de disjonctions et présente un traitement remarquablement achevé des formules dites prénexes. Comme le souligne Geraldine Brady, le pouvoir expressif du système présenté par Peirce dans ce texte «est équivalent à notre logique du premier ordre incluant des foncteurs»3. Paru en 1979 sous Ie titre «Logic in the twenties: the nature of the quantifier», le second texte liminaire est dû à Warren D. Goldfarb. Présentée ici avec un addendum inédit de l'auteur, cette étude dense et précise est consacrée aux recherches qui - principalement à l'intérieur du mouvement formaliste hilbertien mais également chez ceux qui en furent les critiques - amenèrent à la conception contemporaine standard de la quantification. Comme le souligne Goldfarb, les logiciens des années vingt nous montrent, aujourd'hui encore, qu'un des défis centraux de la logique moderne consiste à «expliquer les processus profonds qui sont en cause derrière les usages apparemment transparents de la quantification».

Models and Computation I & II. Kluwer. 1995; van der Does 1., van Eijck 1. (eds). Quantifiers, Logic and Language. Stanford: CSLI. 1996. 3 Brady G. From Peirce to Skolem. A neglected Chapter in the History of Logic. Amsterdam: Elsevier. 2000. p. 6.

VIII

AVANT-PROPOS

Quant au corps de l'ouvrage, il est divisé en trois parties. La première, à dominante historique, regroupe les contributions de Volker Peckhaus, Christiane Chauviré, Denis Vernant et Denis Miéville. La deuxième présente des approches contemporaines de la quantification et contient les articles de Manuel Rebuschi, Giovanni Sommaruga, Jean-Yves Béziau et Pierre Joray. Enfin la troisième est consacrée à des applications linguistiques des conceptions logiques de la quantification; s'y trouvent inclus les travaux de Jean-Pierre Desclés, Béatrice Godart-Wendling et Alice ter Meulen. Ajoutons que pour permettre une lecture indépendante des articles, nous avons jugé plus adéquat de joindre à chacun d'eux une bibliographie spécifique. Le lecteur trouvera cependant en fin de volume un index des noms qui facilite l'usage de l'ensemble. *** Ce livre trouve en partie son origine dans le colloque «La quantification» que nous avons organisé avec Gerhard Jager (Université de Berne) à l'Université de Neuchâtel les 10-12 octobre 2002, sous l'égide de l'Institut de logique et de la Société Suisse de Logique et de Philosophie des Sciences. Parmi les auteurs des textes publiés ici, Jean-Yves Béziau, Jean-Pierre Desclés, Alice ter Meulen, Volker Peckhaus, Giovanni Sommaruga et Denis Vernant furent des participants du colloque. Nous voulons leur exprimer notre reconnaissance ainsi qu'à Christiane Chauviré, Béatrice Godart-Wendling, Warren Goldfarb, Denis Miéville et Manuel Rebuschi, qui ont généreusement accepté d'associer leurs compétences à l'entreprise en cours, permettant d'en faire la riche anthologie que nous projetions. Pour terminer, nous tenons encore à remercier chaleureusement Béatrice Godart-Wendling, Nadine Gessler, Denis Miéville et Cédric Degrange pour leur soutien et leurs conseils, toujours précieux et amicaux.
Pierre Joray

IX

Textes liminaires

Sur l'algèbre de la logiquel
(1885)
Charles S. Peirce

[...] La logique des relatifs de première intention
L'algèbre de Boole fournit un langage dans lequel peut être exprimé tout ce qui peut être dit sans parler de plus d'un individu à la fois. Certes, on peut y affirmer qu'une qualité appartient à l'entièreté d'une classe, mais alors seulement une de ces qualités qui appartiennent à chacun des individus pris séparément. La logique des relatifs prend en considération des énoncés portant sur deux ou plus de deux individus à la fois. Pour cela, il convient d'utiliser des indices2. Considérant, tout d'abord, une forme dégénérée de relation, on peut écrire XiYj dans le but de signifier que X est vrai de l' individu i alors que Y l'est de l'individu j. Si z est un symbole relatif, zij signifiera que i est dans la relation en question avec j. De cette façon, on peut exprimer des relations d'une complexité considérable. [...]
1 Le texte présenté Philosophy 180-202. Les élisions Pour le texte intégral, Vol. 5. Indiana ici est un extrait sont indiquées on se reportera de «On the Algebra dans American of Logic: Journal A Contribution to the 7 (1885). S. Peirce. C. et

of Notation»,

paru initialement

of Mathematics of Charles

par [...] et les notes sont des commentaires à Kloesel et al. (éds). Wrintings française,

du traducteur. à Tiercelin

Univ. Press. 1993. 162-190 et, pour une traduction

Thibaud P. (éds). Charles Sanders Peirce, Ecrits logiques. Oeuvres III. Paris: Cerf. A paraître. Z Peirce utilise le terme anglais index (pl. indices) dans deux sens qui ne vont pas toujours pair dans le texte: le plus usuellement, un paramètre et inscrite en position utilisé pour désigner Ox (Xj Xj + XjXj).

de

pour désigner une petite lettre associée à une autre comme inférieure - comme i dans Xi ; le terme est cependant aussi une variable, et qui correspond

un symbole général, ce que nous appelons

dans la suite du texte aux symboles susceptibles

d'être quantifiés

-

comme x dans

CHARLES S. PEIRCE

Venons-en maintenant à la distinction entre quelque et tous, une distinction qui est précisément de même nature que celle entre le vrai et le faux; c'est-à-dire qu'elle est descriptive et non métrique3. Toutes les tentatives pour introduire cette distinction dans l'algèbre de Boole ont plus ou moins été des échecs complets jusqu'à ce que M. Mitchell montre comment cela pouvait s'effectuer. Sa méthode consiste en fait à diviser l'expression complète de la proposition en deux parties: une expression booléenne pure se rapportant à un individu et une partie quantifiante indiquant de quel individu il s'agit4. De cette manière, si k signifie «il est un roi» et h «il est heureux», l'expression booléenne (k +h)
signifie que l' indi vidu dont il est question, ou bien n'est pas un roi, ou bien est heureux5. En appliquant maintenant la quantification, nous pouvons écrire Chaque (k + h)

pour signifier que cela est vrai de n'importe quel individu de l'univers (limité), ou alors
Quelque (k + h)

pour signifier qu'il existe un individu qui, ou bien n'est pas un roi, ou bien est heureux. Ainsi
Quelque (kh) signifie quelque roi est heureux, et

3 Autrement

dit, la distinction

est entre notions tranchées

qui n'admettent

pas de degrés, de la

même manière qu'une proposition ne peut pas être plus ou moins vraie ou plus ou moins fausse. 4 S'appuyant sur l'idée de son élève Mitchell, Peirce va constituer un calcul dont toutes les formules seront dans une forme qualifiée aujourd'hui de prénexe, c'est-à-dire de l'expression. propositionnelle. Les opérations indiquée par une forme où tous les quantificateurs 5 L'interprétation considérées + et la conjonction, font partie d'une chaîne qui domine l'entièreté de la notation booléenne est ici clairement

sont: la négation,

indiquée par surlignage,

la disjonction

non exclusive,

exprimée par la juxtaposition.

4

SUR L'ALGÈBRE

DE LA LOGIQUE

Chaque (kh)

que chaque individu est à la fois un roi et heureux. Les règles qui gouvernent l'usage de cette notation sont manifestes. Les deux propositions
Chaque (x) sont équivalentes Chaque (xy). Des deux propositions Chaque (x) on peut inférer Quelque (xy) [...]. Quelque (y) à Chaque (y)

M. Mitchell donne également de sa notation pour quelque et tous une extension très intéressante et instructive. Il s'agit d'une extension à un univers bidimensionnel, autrement dit, à la logique des relatifs. De façon à rendre ici la notation aussi iconique6 que possible, nous pouvons utiliser L pour quelque, suggérant ainsi une somme, et fI pour tous, suggérant un produit. Ainsi, Li Xisignifie que X est vrai d'un certain individu parmi ceux qui sont dénotés par i ou
Li Xi

= Xi

+ Xj + Xk + etc.

Pareillement,
TIi Xi

fIi Xi signifie que X est vrai de tous ces individus ou
etc.

=Xi Xj Xk'

Si X est une relation simple, fIi fIj x ij signifie que chaque i est en relation avec chaque j, Li fIj Xij qu'un certain i est en relation avec chaque j, fIj Li Xijque pour chaque j, tel ou tel i entretient cette relation avec lui, Li Lj Xij qu'un certain i est en relation avec un certain j. Il
6 Comme iconique représente. Graphes. pour les signes qualifiés lorsqu'elle ressemble, Cf. à ce sujet Thibaud constituant par Peirce d'icônes ou plus précisément dans sa sémiotique, lorsqu'elle une notation est dite à ce qu'elle aux aussi

est analogue,

P. La logique de Charles Sanders

Peirce. De l'Algèbre

Ed. de l'Univ. de Provence.

1975. 166-7. Dans la suite du texte, Peirce nommera

icônes les expressions

des principes ou axiomes de son calcul.

5

CHARLES S. PEIRCE

convient de remarquer que Li Xi et ITi Xi sont seulement semblables à une somme et un produit; ils ne sont pas à strictement parler de la même nature, car les individus de l'univers peuvent être en quantité indénombrable. A ce stade, le lecteur ne trouvera probablement rien de plus aisé pour bien acquérir la notation que de pratiquer un peu de traduction du langage ordinaire dans le langage du système et inversément. Prenons lij pour signifier que i est un amoureux de j et bij pour i est un bienfaiteur dej. Alors
ni ~j lij bij

signifie que tout individu est à la fois un amoureux et un bienfaiteur de quelque chose; et
ni ~j lij bji

que tout individu est un amoureux d'un bienfaiteur de lui-même.
~i ~k nj (lij + bjk)

signifie qu'il y a deux personnes dont l'une aime tout ce qui n'est pas un bienfaiteur de l'autre (qu'il aime ou non certains de ces bienfaiteurs n'est pas explicité). Prenons maintenant gi pour signifier que i est un griffon et Cipour i est une chimère. Il s'ensuit que
~i ITj (gi lij + ëj)

signifie que s'il Y a quelques chimères, alors il y a un griffon qui les aime toutes; tandis que
~i nj gi (lij + ëj)

signifie qu'il y a un griffon et que celui-ci aime toutes les chimères existantes (s'il y en a). D'autre part,
nj ~i gi (lij + ëj)

signifie que des griffons existent (au moins un) et que tel ou tel d'entre eux aime chaque chimère qui pourrait exister; enfin OJ~i (gi lij+ ëj)

6

SUR L'ALGÈBRE

DE LA LOGIQUE

signifie que chaque chimère (s'il y en a) est aimée par un certain griffon ou un autre. Exprimons maintenant: chaque partie du monde, ou bien est atteinte à certains moments par le choléra et à d'autres par la petite vérole (en l'absence du choléra), ou bien n'est jamais atteinte à la fois par la fièvre jaune et la peste. En posant que
Sij
Yij

Cij signifie la partie i est atteinte du choléra au temps j, de la petite vérole" "

Pij
nous écrivons alors
TIi Lj Lk TII (cij ëik Sik + Yu + Pu)

de la fièvrejaune" de la peste

"

.

[00.]

Il convient maintenant de considérer la procédure permettant de travailler avec ce calcul. Il n'est de loin pas vrai que l'unique problème relatif à la déduction soit de pouvoir tirer une conclusion à partir de prémisses données. Au contraire, il est tout aussi important de disposer d'une méthode pour déterminer quelles prémisses entraînent une conclusion donnée. En outre, il y a encore des problèmes de transformation, lorsqu'est donné un ensemble de faits et qu'il convient d'en donner une description en des termes différents d'un genre déterminé. [H.] Je me contenterai cependant ici de montrer comment, lorsqu'un ensemble de prémisses est donné, celles-ci peuvent être unifiées et comment certaines lettres peuvent y être éliminées. Des différentes méthodes qui peuvent être suivies, je donnerai ici celle qui me paraît globalement la plus utile. 1. Les différentes prémisses, préalablement exprimées avec des indices distincts (sans utiliser le même indice dans deux propositions), sont rassemblées, et tous leurs il et L sont reportés à gauche. Ceci peut clairement s'effectuer sur la base de
Li Xi . TIjXj = Li nj XiXj Li Xi . Lj Xj = Li Lj XiXj.
TIiXi. TIjXj

=

TIi TIjXiXj

7

CHARLES S. PEIRCE

2. Sans changer l'ordre des indices d'aucune prémisse, les Il et L appartenant à des prémisses différentes peuvent être déplacés les uns par rapport aux autres, et les L doivent, autant que possible, être reportés à gauche des Il. Pour cela, nous disposons de
Oi OJ xij Li Lj Xij

=
=

OJ Oi xij Lj Li Xij

et aussi de
Li OjXi Yj

=

Oj Li Xi Yj'

Mais cette formule ne vaut pas lorsque i etj ne sont pas séparés. On a cependant7
Li Oj Xij -< Oj Li Xij

.

Il sera ainsi opportun de mettre autant que possible les L à gauche, car à un stade plus avancé du travail, ils pourront être déplacés à droite, mais non pas à gauche. Si, par exemple, les opérateurs de deux prémisses sont Il; Lj Ilk et Lx Ily Lz, nous pouvons les rassembler dans l'un des deux ordres
Lx Oy Lz Oi Lj Ok
Lx Oi Lj Oy Lz nk

,

et, suivant notre choix, nous obtiendrons couramment des conclusions différentes. L'habileté à choisir l'ordre le plus adéquat aura souvent un rôle à jouer. 3. Ensuite, il est parfois souhaitable de manipuler la partie booléenne de l'expression. Les lettres que l'on désire éliminer peuvent l'être à cette étape. Pour ce faire, celles-ci sont remplacées par des relations de seconde intention, telles «autre que», etc. Par exemple, si l'on trouve quelque part dans l'expression
aijk il xyz,

7 Autrement seulement

dit, lorsque i etj apparaissent implication dans le sens indiqué.

dans une même relation, il n'y a pas équivalence,

mais

8

SUR L'ALGÈBRE

DE LA LOGIQUE

on pourra, à l'évidence, le remplacer par
(nix + njy + nkz)

où, conformément à l'usage, n signifie non ou autre que8. Cette troisième étape du processus est souvent tout à fait indispensable et comprend divers procédés. On peut cependant s'en passer entièrement dans les cas ordinaires. 4. L'étape suivante ne sera pas non plus nécessaire dans les situations communes. Elle consiste à faire en sorte que les indices se rapportent, autant qu'il est utile, aux mêmes collections 4' objets. Si la partie quantifiante, ou Quantificateur9, contient Lx et que nous voulions remplacer x par un nouvel indice i, n'apparaissant pas encore dans le Quantificateur et tel que tout x soit un i, nous pouvons alors le faire d'un coup en multipliant simplement chacune des lettres de la partie booléenne ayant x comme indice par Xi. Ainsi, si nous avons «quelque femme est un ange», écrit sous la forme Lwaw, nous pouvons remplacer cette expression par Li (ai Wi). Il sera plus souvent utile de remplacer l'indice d'un rI par un indice plus large; pour ce faire, on additionnera Xi à chacune des lettres ayant x comme indice. Ainsi, si nous avons «tous les chiens sont des animaux et tous les animaux sont des vertébrés», écrits de la manière suivante
TIdad
TIa Va,

où a et a signifient tous deux animal, on trouvera commode de remplacer le dernier indice par un indice i, se rapportant à un objet quelconque, et d'écrire la proposition TI;(il;+ v;).

8 La relation

notée ici nij' signifiant que i et j sont des objets distincts, ne peut en effet être définie que dans la logique de seconde intention. Après avoir défini, dans la suite du texte, la relation d'identité, notée lij' Peirce exprimera que i etj sont distincts par \jO 9 Il convient de remarquer que Peirce utilise le mot Quantificateur, avec une majuscule, désigner toute la partie quantifiante de ses formules prénexes. Le Quantificateur titué d'un ou de plusieurs de ces symboles que nous appelons aujourd'hui des quantificateurs.

pour

est donc cons-

9

CHARLES S. PEIRCE

5. L'étape suivante consiste à multiplier l'entièreté de la partie booléenne par une forme modifiée d'elle-même. On obtient une telle forme en substituant à l'indice d'un il quelque autre indice apparaissant dans le Quantificateur à gauche du il en question. Ainsi, pour
~i nj lij ,

on peut écrirelo
~i nj lij Iii

.

6. Dans l'étape suivante, on manipule une fois encore la partie booléenne. Cette manipulation consiste (1) à additionner à n'importe quelle partie le terme que l'on veut, (2) à supprimer de n'importe quelle partie tel ou tel facteur qu'il nous plaira et (3) à tenir compte de

xx=f,
de sorte que xxy+z=z

x+x=v,
(x + x + y) z = z

.

7. Les il et L du Quantificateur dont l'indice n'apparaît plus dans la partie booléenne sont supprimés. Dans la pratique, la cinquième étape sera combinée avec des manipulations relevant des sixième et septième étapes. Ainsi pourronsnous, si on le désire, passer directement de Li Oj lij à Li Iii .

Les exemples suivants seront ici suffisantsll. Des Prémisses Li ai hi et nj (bj + Cj), éliminons h. Nous écrivons tout d'abord
~i nj ai hi (hj +c)

.

10 Peirce l'expression

ne donne

qu'un

exemple

particulier d'elle-même.

de la transformation

qui consiste

à multiplier le

par une forme modifiée

Ici la forme modifiée

est ~i Ii;, c'est-à-dire universellementj

résultat de l'identification,

dans la formule de départ, de la variable quantifiée quantifiée i. La chose ne peut évidemment

avec la variable existentiellement

se faire que lorsque

le quantificateur universel en question est dominé par l'existentiel. Il Nous ne conservons ici que le premier des deux exemples de Peirce.

10

SUR L'ALGÈBRE

DE LA LOGIQUE

L'application

de la distributivité donne

~i nj ai (hi bj + hi c)

.
un

Mais, on a toujours le droit de supprimer un facteur ou d'insérer terme additionnel. Nous obtenons alors
Li TIj ai (hi bj + c)

.

Par la troisième étape, nous pouvons, si nous le voulons, remplacer hi bj par n;j. Dans un cas, comme dans l'autre, nous procédons à l'identification de j et i et obtenons la conclusion
Li ai Ci

.

[...]
La logique de seconde intention
Considérons désormais la logique des termes pris en un sens Aussi loin que nous l'ayons développée, notre notation montre pas même comment exprimer que deux indices, i et j, une seule et même chose. Pour exprimer l'identité, nous collectif. ne nous dénotent pouvons

adopter un symbole spécial de seconde intention, disons 1, et écrire 1ijo

Mais cette relation d'identité possède des propriétés qui lui sont propres. Selon la première, si i et j sont identiques, alors tout ce qui est vrai de i est vrai également dej. Ceci peut s'écrire12
ni nj {Ïij+ Xi + Xj}
0

L'utilisation de l'indice général d'un symbolel3, ici x, montre que la formule est iconique. Selon l'autre propriété, si tout ce qui est vrai de i est aussi vrai de j, alors i et j sont identiques14. Ceci s'écrit de la manière la plus naturelle comme suit: soit le symbole q, signifiant la

12 Il s'agit de la première des lois sur l'identité de Leibniz, dite indiscernabilité des identiques. 13 Expression assez obscure de Peirce pour décrire x, qui est ici une variable libre de prédicat. 14 Seconde des lois leibniziennes, dite identité des indiscernables.

Il

CHARLES S. PEIRCE

relation qu'une qualité, un symbole, un fait ou un prédicat entretient avec son sujet; alors la propriété que nous voulons exprimer est
TIi TIj ~k (lij + qki qkj).

L'identité est alors définie ainsi 15
lij

= TIk

(qki qkj + qki qkj)

.

En d'autres termes, dire que des choses sont identiques, c'est dire que tout prédicat est ou bien vrai des deux, ou bien faux des deux. Introduire l'idée de qualité pour exprimer l'identité peut apparaître comme un moyen détourné; cependant, cette impression se trouvera changée si l'on songe au fait que qki qkj signifie simplement que i etj appartiennent tous deux à la classe ou collection k. Si nous le voulons, il est possible de faire l'économie du symbole q. Pour cela nous utilisons l'indice d'un symbole16 et mentionnons celui-ci dans le Quantificateur, exactement comme nous le faisons avec les indices placés en position inférieure. Autrement dit, nous pouvons écrire
I ij = TIx (Xi Xj + X; ~)

.

Il convient maintenant d'exprimer les propriétés du symbole q. Celles-ci se trouvent toutes rassemblées par la suivante: étant donnés tous les individus ih i2, i3, etc. et tous les individus j h jb j 3, etc., il existe une collection, une classe ou un prédicat recouvrant tous les i et excluant tous les j sauf ceux qui sont identiques à l'un des i. Ceci peut s'écrire de la manière suivantel7:

15 De même que l'identité deuxième ordre, Peirce

ne peut être définie que dans le calcul moderne cette définition dans sa logique de seconde

des prédicats intention.

du

donne

La loi

d'identité des indiscernables nécessite pour être exprimée une quantification sur les prédicats. 16 Même expression que plus haut (cf. note 13) pour désigner une variable de prédicat qui est cette fois-ci liée dans l'expression 17 En l'absence de démonstration, disant que toutes les propriétés comme le commentateur nance ensembliste, qui suit. il n'est guère possible de comprendre ce que Peirce entend en de q se trouvent rassemblées dans le principe en question. Si, est tenté de le faire, on voit q comme la relation d'apparte-

moderne

il est douteux qu'un tel principe puisse en regrouper toutes les propriétés.

12

SUR L'ALGÈBRE

DE LA LOGIQUE

(TIa Ili)(TIp

TIjp) Lk (Ila Ilr)

III qkia (qkjp + qU'a qljp + qU'aqljp)'

formule dans laquelle i et i' se rapportent au même groupe d'objets. Par ailleurs, la notation utilisée introduit des indices d'indices. Par na nia est indiqué que nous prenons en considération une quelconque collection (indépendamment des i) et, à l'intérieur de celle-ci, tous les i qu'elle contient. Ajoutant une même condition sur les j, la formule exprime que nous pouvons trouver une qualité k que tous les i pris en considération possèdent et que chacun des j considérés possède aussi pour autant que l'on puisse trouver un i qui lui soit identique. La nécessité d'une notation particulière dans cette description traitant des classes en un sens collectif est mise en lumière par la considération suivante: dans un tel discours, il n'est question ni de parler d'un individu singulier (comme dans la logique sans relatifs), ni d'un nombre restreint d'individus pris chacun séparément, mais d'une classe entière et ainsi, peut-être, d'une infinité d'individus. Ceci suggère l'idée d'un terme relatif Xijkl... associé à une série indéfinie d'indices. Bien que de tels termes appartiennent dans la plupart des cas - sinon dans tous - à des formes dégénérées et qu'ils puissent s'exprimer de la façon mentionnée, il semble pourtant préférable de procéder à une décomposition partielle de cette définition. En premier lieu, tout individu peut être considéré comme une classe; ce qui s'écrit ainsi
Ili Lk Ilj qki(ijkj+ Iij).

Nous avons affaire ici à la neuvième icônel8. Ensuite, étant donnée une classe quelconque, il en existe une autre qui inclut tout ce que la première exclut et exclut tout ce que la première inclut; c'est-à-dire
III Lk Ili (qu ij ki + iju qk;)

.

Il s'agit de la dixième icônel9. Ensuite, étant données deux classes quelconques, il en existe une troisième qui inclut tout ce que l'une ou

18 Cette neuvième

icône - c'est-à-dire

principe ou axiome - affirme en d'autres termes que pour

chaque individu, il existe une classe qui ne contient que cet individu. 19 Ce principe affirme l'existence d'une classe complémentaire à toute classe donnée.

13

CHARLES S. PEIRCE

l'autre inclut et exclut ce qui est exclu à la fois par l'une et par l'autre; c'est-à-dire
TII nm Lk n; (qu qk; + qm; qk; + ilu ilm; ilk;).

Il s'agit de la onzième icône20. Enfin, étant données deux classes quelconques, il existe une classe qui inclut tout ce qui est dans la première, ainsi que l'un, quelconque, des individus de la seconde qui ne seraient pas inclus dans la première, et rien d'autre; c'est-à-dire TII TIm TI; Lk nj {q Ii + il + q (q kj + ii lj) } .
m; ki

Ceci constitue la douzième icône21. De façon à montrer comment s'appliquent ces formules, supposons que nous disposions de la donnée suivante: tout est ou bien vrai de i, ou bien faux dej. Nous écrivons cela
TIk (qki + il kj)

.

Par la dixième icône, nous avons
ni Lk (qli lJki + lJli qki)(qlj lJkj + lJlj qkj).

Le produit de ces deux formules est alors
TII Lk (qki iiu + qlj iik)'

ou encore, en éliminant le terme k
TII (lJu + ql).

En multipliant ceci par la donnée initiale et en identifiant 1 avec k, on obtient finalement
TIk (qki qkj + iiki lJkj).

Il doit sans doute être possible de trouver une méthode plus directe pour obtenir ce résultat22.
20 L'union de deux classes existe. 21 Cette dernière icône correspond successeur.

à une sorte spéciale d'union qui se rapproche

de la notion de

En effet, le principe affirme en substance

qu'on peut enrichir une classe donnée d'un

unique individu quelconque que cette classe ne contient pas (si un tel individu existe). 22 Le résultat est: de «toute propriété de j est une propriété de i» s'ensuit «i etj sont identiques»,

14

SUR L'ALGÈBRE

DE LA LOGIQUE

Exactement de la même manière que q signifie la relation du prédicat au sujet, il nous faut disposer d'un autre symbole, prenons par exemple r, pour signifier la relation conjointe liant une relation simple à ses termes. Ainsi rjaisignifiera que i entretient la relation a avec j. Bien entendu r aura une série de propriétés similaires à celles de q. Il est pourtant remarquable que les usages des deux symboles sont assez différents. En l'occurrence, l'utilité principale de r est de nous permettre d'exprimer: le nombre d'une classe est au moins aussi grand que celui d'une autre classe23.Ceci peut se faire de plusieurs manières différentes. Ainsi, pouvons-nous écrire, en premier lieu, que pour tout a il y a un b tel que
La TIi Lj TIh {ai + bj rjai (rjail + ah + lih)}

.

Cependant, par une icône analogue à la onzième ci-dessus, nous avons
na TIp Ly TIu TIv (ruuv ruyv + rufJv ruyv +

r uuv r upv r uyv).

Sur la base de ceci et par une icône analogue à la dixième, nous obtenons la formule générale
TIa TIp Ly TIu TIv {ruuv rupv ruyv + r uyv (r uuv + r upv) } .

Substituons maintenant au à ru~v et multiplions la formule ainsi obtenue par la première des trois formules écrites juste ci-dessus. En identifiant u avec h et v avec j, nous obtenons24
La TIi Lj TIh {ai + bj rjai (rjail + lih)}.

Bien que cette expression soit passablement plus simple, la meilleure façon d'exprimer une telle proposition passe cependant par l'utilisation de la lettre c, utilisée comme symbole d'une correspondance biunivoque. De la sorte, c sera un symbole défini par les trois formules suivantes25:
23 Par nombre d'une classe, il faut évidemment entendre sa cardinalité. 24 Le second 1: de cette formule doit évidemment s'écrire, comme nous l'avons l'indice j et non h, comme dans le texte de Peirce. 25 Les deux premières formules spécifient que toute relation qui satisfait troisième que toute relation biunivoque satisfait c.

fait ici, avec

c est biunivoque,

la

15

CHARLES S. PEIRCE

Ila Ilu Ilv Ilw (Ca + 'uav + 'uaw + Ivw) Ila Ilu Ilv Ilw (Ca + 'uaw + 'vaw + luv)
na Lu Lv Lw (ca + ruav ruaw Ïvw + ruaw rvaw Ïuv).

Grâce au symbole ainsi défini, nous pouvons proposition considérée sous la forme26 La Ili Lj Ca(ai + bj rjai)'

désormais

écrire la

[...] Maintenant, dire qu'une collection d'objets est finie revient à dire que, si nous parcourons la classe en passant d'un objet à l'autre, nous reviendrons alors nécessairement à un des objets déjà passés en revue; ceci revient à dire que, si chaque élément de la collection entretient une quelconque relation biunivoque avec un élément de la collection, alors chacun des éléments est aussi image par cette même relation d'un certain élément de la collection. [Pour une classe x], cela s' écrit27
IIp Ilu Lv Ls Il, {ë p + iu + Xv rupv + Xs (i, + ',{3s))

.

[...]
(Traduction de l'anglais et notes par P. Joray)

26 Rappelons

que cette proposition

est «la cardinalité

de la classe a est au moins aussi grande formule, qui exprime: il existe une

que celle de la classe b». Celle-ci est rendue par la présente

relation biunivoque telle que tout élément de a entretient cette relation avec un élément de b. 27 Cette caractérisation est très proche de la notion de finitude attribuée à Dedekind: collection est finie si et seulement si elle n'est en correspondance biunivoque parties strictes. L'article se clôt par l'examen d'un argument parvient à valider en ajoutant une prémisse exprimant incomplet

une

avec aucune de ses

de De Morgan que Peirce

la finitude d'une certaine classe.

16

Logique dans les années vingt: la nature du quantificateurt1
Warren D. Goldfarb

On dit souvent, à juste titre, que l'œuvre de Frege constitue le point d'origine de la logique moderne. En effet, non seulement Frege décrivit la prédication polyadique, la négation, la conditionnelle et le quantificateur comme les éléments de base de la logique, mais il introduisit également l'idée de système formel et soutint que, pour rendre pleinement précises les démonstrations mathématiques, il convenait de les exprimer dans un langage formel gouverné par des règles syntaxiques explicites. En conséquence, Frege fut souvent considéré comme ayant dégagé toutes les notions centrales qui forment notre compréhension de la quantification. Evoquant «la sémantique qu'introduisit [Frege] pour les formules du langage de la logique des prédicats», Michael Dummett écrit, par exemple, dans un ouvrage récent consacré à Frege: «On obtient une interprétation d'une telle formule (...) en assignant aux constantes non logiques primitives de cette formule des entités de genres adéquats (...) Cette procédure correspond exactement à celle du traitement sémantique moderne de la logique des prédicats» (Dummett 1973: 89-90). Il affirme même que «Frege aurait disposé
t Paru sous Ie titre «Logic in the twenties: the nature of the quantifier» dans THE JOURNAL OF

SYMBOLIC LOGIC Vol. 44, Num. 3, Sept. 1979.351-368. d'un addendum inédit de l'auteur, avec l'aimable for Symbolic Logic (ndt). 1 Cet article, qui constitue un essai interprétatif révisée d'une conférence lic Logic et de l'American 1977. Mes remerciements mentaires. Philosophical

Repris ici dans une version augmentée @ 1979 Association autorisation de l'éditeur, sur l'histoire de la logique, est une version for SymboIe 29 avril

invitée tenue lors d'une session conjointe Association, vont à Burton Dreben et Michael

de l'Association à Chicago,

Western Division, Friedman

pour leurs utiles com-

WARREN D. GOLDFARB

dans ses réflexions des concepts nécessaires pour développer la notion de complétude d'une formalisation de la logique, ainsi que celle de son caractère fondé (...) pourtant, il ne le fit pas» (ibid: 82). Cette appréciation courante de l'œuvre de Frege est à mon sens assez trompeuse car, malgré les immenses réussites de Frege, le chemin qui devait mener à une maîtrise de la théorie de la quantification fut un des plus ardus. L'acquisition d'une telle maîtrise et la formulation de ces notions qui sont aujourd'hui monnaie courante dans la discussion des systèmes logiques fut en fait l'objet de bien des recherches durant les années mil neuf cent vingt. Afin de comprendre ce que furent les contributions de cette période, de saisir aussi quelles en furent les difficultés et les confusions auxquelles elles durent faire face, je me pencherai en premier lieu sur les deux écoles principales de logique qui marquèrent les années précédant cette période: d'une part l'école logiciste, représentée par Frege et Russell, d'autre part le courant algébriste issu des travaux de Schroder. En replaçant les développements que connut la logique dans leur contexte historique, mon but est ici de comprendre comment chaque contribution fut perçue par son auteur et quelle en fut la réception à l'époque de sa publication - une époque dans laquelle, assez souvent, les concepts que nous utiliserions pour formuler les contributions en question étaient loin d'être clairs2. Sans doute, Frege et Russell considéraient-ils le quantificateur comme un des constituants centraux de leurs systèmes logiques et s'ils introduisirent une notation symbolique dans le but de représenter la tournure «pour tout», ils discutèrent également longuement la question: pour tout quoi? La réponse dépendait alors de la sorte de variable liée par le quantificateur: pour Frege, il convenait de parler de tous les objets ou de toutes les fonctions; pour Russell, de tous les individus ou de toutes les fonctions propositionnelles d'un certain ordre. Les domaines de quantification, comme nous le disons, étaient alors fixés
2 Notre but est différent de celui qui consiste à distinguer les idées mathématiques seulement essentielles à devenir clair

qui furent avancées à chaque étape. Ce que furent ces idées commence avec du recul et lorsque les résultats conceptuels ont été posés.

18

LOGIQUE

DANS LES ANNÉES VINGT:

LA NATURE DU QUANTIFICATEUR

à l'avance, une fois pour toutes, et l'univers du discours était toujours compris comme l'univers lui-même, stratifié d'une manière appropriée. Pour Frege et Russell, les propositions de la logique ne pouvaient contenir aucun constituant non logique. Ils en excluaient en effet toute marque schématique susceptible d'endosser telle ou telle valeur différente: toute possibilité de réinterpréter un quelconque signe était donc exclue. Comme le dit Frege, «Mon intention n'a pas été de représenter par des formules une logique abstraite, mais d'exprimer un contenu par des signes écrits de la façon la plus précise et la plus claire qu'il soit possible par l'usage de mots» (Frege 1882: 1). De même, pour Frege et Russell (du moins, pour ce dernier, avant d'avoir été influencé par les doctrines de Wittgenstein), la logique traite-t-elle de quelque chose: en l'occurrence de tout. Les lois de la logique ont bien un contenu: elles sont les lois les plus générales de ce qui constitue l'univers. «La logique est en rapport avec le monde réel tout aussi bien que la zoologie, elle l'est simplement selon des modes plus généraux et abstraits» (Russell 1919: 169). Ce sont là une partie des raisons qui expliquent qu'aucune frontière n'ait été tracée dans les systèmes logicistes entre ce qui relève de la logique du premier ordre et ce qui se situe en dehors de celle-ci. Bien entendu, cette distinction est facile à imposer: il suffit de ne retenir du système de Frege, ou de celui de Russell, que la partie excluant toute variable d'un type supérieur à deux, ainsi que les quantificateurs autres que ceux portant sur des objets ou des individus. Ce fragment correspondrait alors grosso modo à notre théorie de la quantification, et ce que nous appelons validité correspondrait à la vérité d'une formule où toutes les variables de type supérieur seraient quantifiées universellement (cette correspondance resterait cependant inexacte dans la mesure où des variations de l'univers du discours continueraient à être exclues3). Selon le point de vue logiciste, cependant, en
3 Ainsi, si l'axiome coup Russell), formules de l'infini de Russell se révélait faux (une possibilité ne capterait pas les formules qui préoccupait beaules A

cette correspondance

valides,

mais seulement existant.

valides dans des univers de cardinalité

n, où n est le nombre des individus

19

WARREN D. GOLDFARB

adoptant une telle distinction, nous ne faisons que porter notre attention sur un fragment de la logique et nous nous donnons simplement une vue limitée de celle-ci. Nous ne mettons pas en évidence de cette façon le système des pures inférences quantificationnelles applicables à n'importe quel champ. Le fragment obtenu est celui qui contient les lois logiques relatives aux objets ou aux individus; mais aucune de ces lois ne nous dit quoi que ce soit d'applicable à d'autres genres d'entités. Cette application est exclue du fait des types spécifiques attachés aux variables qui apparaissent dans ces lois et parce qu'aucune variable ne peut prendre ses valeurs sur la classe de toutes les entités (cette restriction étant quelque peu obscurcie par le recours de Russell à l'ambiguïté de type, c'est-à-dire l'usage de signes de variable dont le type n'est pas spécifié). En bref, un des aspects centraux de notre conception de la théorie de la quantification reste inexprimable en des termes frégéens ou russelliens. La théorie de la quantification est en effet pour nous un schématisme général ou une logique sous-jacente, une logique que nous pouvons appliquer à n'importe quelle partie des mathématiques, de la manière suivante: après avoir spécifié un vocabulaire et exprimé des axiomes propres dans ce vocabulaire, on obtient les résultats relatifs à ce champ particulier des mathématiques par l'usage des axiomes quantificationnels et des règles d'inférence. Notre conception de la logique enferme l'idée d'une généralité complète des vérités logiques. Or, ces vérités logiques ne sont pas conçues comme les vérités les plus générales concernant les éléments logiques; leur généralité doit s'entendre comme le fait qu'elles ne sont restreintes à aucun sujet particulier, qu'elles ne parlent d'aucune entité ou d'aucune sorte d'entités en particulier et que leur applicabilité ne dépend en aucune manière des choses que nous désirons investiguer. Aucun fragment des systèmes de Frege ou Russell ne possède cette sorte de généralité.

noter que les «individus» au sens de Russell ne comprennent pas d'entités mathématiques, celles-ci devant être construites à des niveaux de types supérieurs. C'est la raison pour laquelle on ne peut être assuré a priori de l'existence d'une infinité d'individus.

20

LOGIQUE

DANS LES ANNÉES VINGT:

LA NATURE

DU QUANTIFICA

TEUR

Jusqu'ici, j'ai essayé de montrer pourquoi notre conception de la théorie de la quantification ne peut pas entièrement, et d'une manière naturelle, s'inscrire dans le cadre logiciste. Il existe pourtant une raison plus subtile qui empêche les logicistes d'aborder la logique comme nous le faisons: le fait qu'ils ne soulèvent absolument aucune question métasystématique sérieuse. Pour eux, la logique se réduisait au système: les résultats de la logique constituaient tout simplement les vérités logiques et devaient être dérivables dans le système. Ainsi Russell pouvait-il écrire très sérieusement, dans son introduction à la seconde édition des Principia Mathematica (1925), que depuis la première édition la plus grande avancée en logique mathématique avait été la découverte de la barre de Sheffer - avancée qui permettait une simplification purement interne. Le but de l'entreprise logiciste est de montrer que les mathématiques, et en particulier l'arithmétique, ne sont rien d'autre que la logique: autrement dit, qu'il n'existe aucune entité spécifiquement mathématique, ni aucun mode de raisonnement propre aux mathématiques (contrairement à ce que soutenait Poincaré au sujet de l'induction mathématique). Une telle entreprise fondationnelle aurait été entachée de vices si les développements qu'elle contient avaient été menés à bien sur la base d'une théorie intuitive d'arrière-plan, une théorie située hors du système formel, c'est-à-dire hors de ce qui avait été établi comme constituant la logique. Souvent, en effet, Russell ne semble pas même avoir saisi le caractère intelligible de la démarche consistant à sortir du système et à utiliser une logique intuitive dans le cadre d'arguments métasystématiques. Discutant, par exemple, la possibilité d'obtenir des résultats d'indépendance pour les axiomes du calcul des propositions, il écrit: Il faut observer ici que la méthode qui consiste à supposer qu'un
axiome est faux et à tirer les conséquences de cette supposition

-

méthode qui s'est avérée admirable dans des cas comme celui des axiomes des parallèles - n'est ici pas utilisable universellement. En effet, tous nos axiomes sont des principes de déduction; s'ils sont vrais, les conséquences qui sembleront suivre par l'emploi d'un principe opposé, ne s'ensuivront pas réellement, de sorte que les arguments s'appuyant sur la fausseté supposée d'un axiome sont ici
sujets à des erreurs de raisonnement particulières (Russell 1903: 15). 21

WARREN D. GOLDFARB

Cette absence d'intelligibilité doit être intrinsèque au programme logiciste. Si le système constitue le langage logique universel, alors il ne peut y avoir de position externe depuis laquelle on puisse examiner et discuter le système. Plus que simplement indésirables, les considérations métasystématiques sont donc illégitimes. C'est ce que Harry Sheffer appelait «la situation logocentrique» (Sheffer 1926) et qui a constitué, à mon sens, une grande partie des motivations du Tractatus de Wittgenstein4. Pour Frege et Russell, l'aboutissement de la formalisation est alors quelque chose de plus limité que ce que nous pouvions supposer. Leur volonté était de rendre compte des mathématiques de telle manière que tous les principes utilisés dans l'argumentation mathématique soient explicités. La formalisation nous permet de faire ceci; grâce à des règles de transformation précises, nous voyons exactement de quoi dépend chacune des étapes. La précision ainsi que la possibilité de vérifier les preuves formelles sans savoir ce que les formules signifient sont essentielles simplement pour s'assurer qu'aucun principe n'ait été utilisé sans être dûment explicité. Cela ne signifie pas, en fin de compte, que nous devions considérer les règles comme ininterprétées. La quantification joue un rôle central dans cette codification de nos principes de raisonnement. L'introduction des quantificateurs nous permet en effet de disposer de principes qui ont affaire avec l'infini. «Un concept infiniment complexe (...) ne peut certainement pas être manipulé par l'intelligence humaine; mais des collections infinies peuvent être manipulées sans introduire aucun concept de complexité infinie» (Russell 1903: 73). La signification de nos signes relève seulement d'une complexité finie (bien que la chose puisse souvent échapper à celui qui travaille sur les parties les plus embourbées des Principia Mathematica). Grâce à l'usage de signes munis d'une telle
(II')

4 Il se peut qu'un «logocentrisme» similaire sous-tende la curieuse position de Frege, selon laquelle «seules des pensées vraies peuvent constituer des prémisses d'inférences» (Frege 1906: 425).

22

LOGIQUE

DANS LES ANNÉES VINGT:

LA NATURE

DU QUANTIFICA

TEUR

signification intelligible, les être humains finis que nous sommes raisonnent sur l'infini. Cependant, la nature de cette signification du quantificateur, bien que d'une complexité seulement finie, ne peut pas être caractérisée par une explication donnée de l'extérieur, aucune explication de ce genre ne pouvant avoir de valeur5. Bien plutôt, c'est par la façon dont les signes sont utilisés que la signification du quantificateur est donnée, c'est-à-dire par les règles d'inférence logiques. La nature du quantificateur est ainsi caractérisée par ce que les Principia nous autorisent à faire avec lui. Pratiquement durant la même période, une approche complètement différente de la logique fut explorée par Schroder et ses continuateurs. Cette tradition en algèbre de la logique remonte aux travaux de Boole sur le calcul des classes, un calcul qui est aussi interprétable en termes de propositions. S'appuyant sur les travaux antérieurs de Peirce, Schroder développe, dans le troisième volume de ses Vorlesungen über die Algebra der Logik (1895), le calcul des relatifs (i.e. des relations). Les quantificateurs y sont définis comme certaines sommes et certains produits pouvant être infinis et portant sur des individus ou des relations. La notion de preuve formelle reste absente de ces recherches qui traitent plutôt de questions comme: étant donnée une équation portant sur deux expressions du calcul, celle-ci peut-elle être
satisfaite dans différents domaines

-

i.e. est-ce les relations

sur le

domaine qui rendent vraie l'équation? On trouve ici un équivalent de notre notion de satisfaisabilité des formules logiques. Pourtant, Schroder ne parvient pas à dégager dans son travail toute la force de cette notion. Il existe en algèbre de la logique une constante confusion
5 Il ne faut pas se laisser tromper son appareil «sémantique» aspect analogues,
à la lettre,

par le verbiage car elle contient et Ramsey.

accompagnant des violations

chez Russell des restrictions confronté

l'introduction

de

formel.

Cette prose ne peut pas constituer par Wittgenstein

une explication,

et encore moins une de types. Cet à des difficultés (Frege 1892: prises
de la

pour le système, comme l'illustre

fut souligné

Frege se trouva

son célèbre «le concept cheval n'est pas un concept»

196). Sur ce sujet, il écrit à regret «par une sorte de nécessité du langage, mes expressions,
trahissent la pensée

(...) je

réalise

parfaitement

dans

ces cas que je suis tributaire

volonté du lecteur, et il y faut bien un grain de sel» (ibid: 204).

23

WARREN D. GOLDFARB

entre les interprétations du calcul en termes de classes et en termes de propositions, avec en fin de compte un poids plus important accordé à la seconde interprétation. Schroder chercha à intégrer l' entièreté de l'algèbre dans une forme incluant uniquement les opérations ensemblistes sur les relations (comme le produit relatif et les opérations du même genre) et excluant le recours aux quantificateurs. Dans cette forme, le lien entre le calcul et la prédication tend à disparaître, car les signes de relation apparaissent seuls, sans indices marquant leurs arguments. (Souvent, pour éliminer ces indices, Schroder traite simplement les individus comme s'ils étaient des relations de plein droit. Cette stratégie conduit à des confusions et des erreurs; cf. à ce sujet le compte rendu de Frege 1895). L'attention de Schroder s'est portée sur les lois qui régissent les relations dans divers univers et non sur le gain obtenu en expressivité par la définition de la quantification dans le cadre de sa méthode algébrique (méthode qu'il faut bien admettre comme suspecte). Résolument inscrit dans l'école de Schroder, Lowenheim prouve en 1915 son célèbre théorème établissant que toute formule satisfaisable est satisfaisable sur un domaine dénombrable. Pour ce faire, Lowenheim distingue nettement - au contraire de Schroder - la quantification portant sur des individus de la quantification portant sur des relations, délimitant ainsi la classe des expressions du premier ordre (précisons que le mot allemand est Zlihlausdrücke, l'usage anglais ffirst-order expressions] indiquant probablement par avance des réponses à certaines questions historiques). De ce fait, la terminologie de Lowenheim peut aisément être rendue à l'aide des notions de formules quantificationnelles et de satisfaisabilité de ces formules6. Pourtant, il est trompeur de parler de Lowenheim comme s'il avait été en complète possession de la théorie des modèles pour la logique du
6 Suivant en cela l'usage de Schroder, Lowenheim mais d'équations pondrait représentant entre expressions.

ne traite pas d'expressions

prises séparément,

Ce que nous appelons

une formule du premier ordre corres-

à une équation prenant la formule pour membre gauche et «I» pour membre droit (<<I»

l' entièreté du domaine). Cette formulation montre, une fois encore, la confusion faite entre les interprétations du calcul en termes de classes et en termes de propositions.

24

LOGIQUE

DANS LES ANNÉES VINGT:

LA NATURE

DU QUANTIFICATEUR

premier ordre: en premier lieu, ce qui lui manquait était d'avoir pu dégager toute l'importance du langage objet dans la formalisation des mathématiques. L'absence de règles formelles d'inférence l'empêchait d'utiliser le calcul des relations pour mener à bien des axiomatisations au sens que ce terme prend dans les systèmes formels. De plus, Lowenheim ne formule aucune notion modèle-théorétique de conséquence logique. Toute question consistant à déterminer si une équation s'ensuit de certaines autres équations peut, dit-il, «être exprimée par une équation relationnelle» (1915: 242)7. En fait, il traite toujours d'équations prises une à une et ne prend jamais en considération la satisfaisabilité conjointe d'ensembles d'équations. Ainsi, Lowenheim manquait-il d'une notion générale - même sous une forme sémantique - de théorie mathématique formalisée, notion susceptible d'englober des systèmes munis d'une infinité d'axiomes8. En l'absence d'une telle notion, la possibilité reste restreinte d'accéder à des codifications du premier ordre des mathématiques. Lowenheim ne semble pas même avoir reconnu l'importance du fragment du premier ordre, dont il venait justement de fournir une délimitation. Ainsi, par exemple, il ne tira de son théorème aucune des conséquences saisissantes et presque paradoxales qui occupèrent par la suite le centre de l'attention. Au lieu de cela, il présente après sa preuve une équation nécessitant que l'univers soit indénombrable - une équation du deuxième ordre, naturellement. Plus que des considérations fondationnelles, ce sont des considérations algébriques qui semblent avoir soutenu l'intérêt de Lowenheim pour le fragment du premier ordre du calcul des relations. (C'est d'ailleurs sans doute cet arrière-fond algébrique qui permit à Lowenheim d'obtenir son résultat
7 La pagination (1967). 8 Bien entendu, mathématiques. discuter

donnée ici se rapporte,

pour tous les textes qui y sont repris, à van Heijenoort

nous savons maintenant Disposer d'une Cependant,

qu'une

axiomatisation de conséquence systèmes

finie suffit à la formalisation ne serait pas nécessaire restent inaccessibles

des pour

notion générale d'autres

cette formalisation.

cela ne pouvait

guère être saisi en 1915 et, de toutes logiques - parmi

façons, sans une telle notion générale, ceux-ci, tous les systèmes importants

précédant von Neumann (1925).

25

WARREN D. GOLDFARB

remarquable, ainsi que l'idée profonde et nécessaire à sa preuve d'étendre une équation relationnelle pour construire un univers. Sous une forme affinée, cette idée prendra une importance centrale dans les travaux de Skolem et Herbrand; cf. infra pp. 38-9). Cependant, Lowenheim considérait que l'entièreté des mathématiques pouvait être formulée dans le calcul des relations: Tout théorème des mathématiques (...) peut s'écrire sous la forme d'une équation relationnelle; le théorème mathématique est ainsi vrai ou faux lorsque l'équation est satisfaite ou non. Effectuer cette transformation de théorèmes mathématiques quelconques en équations relationnelles est, je crois, à la portée de quiconque connaît l' œuvre de Whitehead et Russell (1915: 246)9.

Il est difficile de saisir ce que Lowenheim entendait signifier par cette remarque. Ce que j'ai dit précédemment indique qu'il ne traitait pas le système des Principia comme une théorie formalisée du premier ordrelo. Mais le problème est alors d'utiliser le calcul des relations dont les variables prennent leurs valeurs uniquement sur les individus d'un domaine et sur les ensembles et relations d'individus - pour effectuer ce qui dans les Principia est fait avec des ensembles de types supérieurs. On trouve des éclaircissements sur ce point dans un article bien plus tardif (1940), où Lowenheim soutient que les mathématiques peuvent être «schroderisées». Afin de codifier les ensembles d'ensembles (et les ensembles de type encore supérieur), Lowenheim introduit l'idée qu'un individu d'un domaine puisse «représenter» un ensemble d'individus. Evidemment, tous les ensembles d'individus ne peuvent pas être «représentés» de cette façon, et ainsi des principes d'existence
9 Lowenheim fait, encore plus tôt, une remarque semblable, mais sans se référer aux Principia, dans sa dernière phase de dévelop-

dans son compte

rendu de A. Padoa, La logique déductive

pement (Lowenheim 1913). 10 De fait, la reconnaissance «many-sorted» Herbrand prédication place. Je n'ai connaissance compréhension

de la théorie des types comme constituant un système de «type supérieur» œuvre publiée, tardive est probablement formulation à des ensembles. d'aucune

formellement

un système avant de de

et non intrinsèquement

fut lente à se mettre en d'axiomes traitant

où une telle vue soit explicitée, due à l'absence du système comme

(1928). Cette reconnaissance dans les Principia plutôt que d'appartenance

et à celle d'une

26

LOGIQUE

DANS LES ANNÉES VINGT:

LA NATURE

DU QUANTIFICATEUR

spécifiques doivent-ils être ajoutés. C'est-à-dire que chaque énoncé portant sur des ensembles de type supérieur est traduit dans le calcul des relations par l'adjonction de principes (du deuxième ordre) concernant l'existence des représentants. La sélection de ces principes se fait d'une manière ad hoc, en vue d'adapter le domaine pris en considération. Il n'existe pas d'ensemble fixé de principes, ni de règle générale pour la sélection des principes dans les cas particuliers; il n' y a donc aucune délimitation de la quantité d'information intuitive concernant le domaine, nécessitant d'être représentée formellement. Ainsi, même en supposant que Lowenheim ait formé cette idée dans la première période de son travaiPI, il semble évident qu'en 1915, il ne pouvait avoir une vue claire de ce que recouvre une formalisation des mathématiques. Il n'avait pas saisi cette notion de représentation formelle qui impose que tout contenu intuitif du discours mathématique soit complètement explicité, ainsi que les relations inférentielles entre les énoncés mathématiques. Les insuffisances que j'ai relevées dans les deux traditions qui ont marqué le début de la logique moderne peuvent être résumées de la manière suivante: pour obtenir la métamathématique à partir de l'approche de Russell, nous devons ajouter ce qui relève du «méta», c'est-à-dire la possibilité d'examiner les systèmes logiques d'un point de vue externe; pour obtenir la métamathématique à partir de l'algèbre de la logique, nous devons ajouter ce qui relève du «mathématique», c'est-à-dire une appréciation précise de la manière dont le système doit être utilisé en vue de codifier les mathématiques et donc de ce qui fait que nos analyses métasystématiques puissent être à propos des mathématiques. En s'appuyant partiellement sur la réunion de ce qu'ils avaient appris des deux traditions, les logiciens des années vingt sont finalement parvenus à codifier le point de vue moderne sur la logique. Je

11 Lowenheim relativement

relève

dans (1940) que s'il n'était des Principia,

pas allé dans tous les détails

dans (1915)

à la codification

c'est qu'il pensait que le recours à des représentants

était par trop «banal».

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WARREN D. GOLDFARB

discuterai ici essentiellement de Skolem et Hilbert, ajoutant quelques brèves remarques sur Herbrand et Gode!. En 1920, Skolem publie sa preuve d'une extension du théorème de Lowenheim. Bien qu'il reprenne en grande partie la notation de Schroder, il introduit quelques modifications importantes de la terminologie. Par exemple, plutôt que d'expressions du premier ordre, il parle de propositions du premier ordre (Ziihlaussagen), qu'il traite directement et non dans des équations. Les symboles spéciaux signifiant le domaine entier ou la classe nulle ne sont plus mis en évidence. Tout ceci renforce l'interprétation propositionnelle de la notation schroderienne: les expressions sont comprises comme assertant que des individus entretiennent ou non telles ou telles relations; elles sont ainsi prédicatives. De plus, les quantificateurs ne sont plus assimilés à des sommes et à des produits; leurs manipulations «algébriques», qui étaient loin d'être claires, ne sont plus utilisées. Skolem reconnaît que les quantificateurs doivent être traités d'une manière spécifique. A ce stade, Skolem prouve la version suivante du théorème: tout modèle d'un ensemble dénombrable de propositions du premier ordre contient un sous-modèle dénombrable de ces propositions. Ce faisant, Skolem s'appuie nécessairement sur l'axiome du choix. Il passe de la satisfaction d'une proposition dans un univers à l'existence de fonctions de Skolem pour les variables existentielles. Ces fonctions se comportent de la façon suivante: prenant pour arguments les valeurs auxquelles se rapportent les quantificateurs universels desquels un quantificateur existentiel est dépendant, la fonction de Skolem fournit une valeur pour la variable existentielle qui rend vraie la proposition. Il s'agit là d'un déplacement remarquablement perspicace, aussi naturel qu'il puisse nous apparaître. Ce que demande le quantificateur existentiel, c'est-à-dire qu'il y ait des x avec une certaine propriété, est reformulé à l'aide d'une fonction qui va «piquer» un tel x. Le lien entre quantificateurs et fonctions de choix ou, plus précisément, entre dépendance quantificationnelle et fonctions de choix est au cœur de la vue qu'avaient les logiciens classiques sur la nature de la

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