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50 problèmes d'analyse

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232 pages
Destiné aux étudiants en Masters de mathématiques ou préparant les concours de l'enseignement, cet ouvrage rassemble 50 problèmes corrigés. Bien qu'organisés thématiquement, les problèmes font en général appel simultanément à des connaissances diverses. Des indications de corrections sont proposées avant d'aborder les corrigés détaillés. Ces derniers sont suivis de commentaires qui les éclairent. Le tout forme un véritable manuel de mathématiques.
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Énoncés des 50 problèmes
Nous donnons cidessous les énoncés. Bien quetotalement indépendantsentre eux, ils ont été regroupés par thèmes principaux.
1.1 INÉGALITÉS FONCTIONNELLES Un point de vue très fécond consiste à considérer les fonctions (d’une ou de plusieurs variables réelles par exemple) comme des éléments d’un espace vectoriel normé, ou parfois comme des points d’un espace affine normé. L’idée de base consiste à essayer de transposer à ces espaces, en général de dimension infinie, les résultats n « habituels » dansRpour en déduire des résultats sur les fonctions auxquelles on s’était initialement intéressé. Un exemple classique est le théorème du point fixe de Picard qui permet, lorsqu’il est invoqué sur un espace vectoriel normécompletde fonctions, de montrer l’existence de solutions pour une équation différentielle (voir par exemple le problème 36). Ces espaces vectoriels où vivent les fonctions en ques 1n tion —C([a,b];R),C(R,R), . . .— sont de dimensioninfinie. Deux différences essentielles apparaissent alors : ces espaces ne sont pas forcément complets, c’est justement cette propriété qui est cruciale pour l’application du théorème de point fixe de Picard, on dispose sur ces espaces de plusieurs normes qui n’ont aucune raison d’être équivalentes entre elles. Dans cette première série de problèmes, il s’agit d’établir diverses relations entre normes sur des espaces de fonctions réelles d’une variable réelle. Le problème 5 n est consacré à certaines inégalités de Sobolev pour les fonctions définies surR. Ces inégalités sont des outils très puissants pour l’étude des équations aux dérivées partielles, notamment celles de la physique mathématique : équation de la chaleur, équation de Schrödinger, équations de NavierStokes, etc. Nous renvoyons aussi aux commentaires à ce problème à la page 76.
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1Énoncés des 50 problèmes
Énoncé 1 1 Soitu∈ C([0,1];R) avecu(0)=u(1)=0.   1 1 22 1.1.1. Montrer queu(x)d x4u(x)d x. 0 0 1 12 1.1.2. NotonsS={u∈ C([0,1];R),u(0)=u(1)=0,u(x)d x=1}.On admet 0 qu’il existevStel que   1 1 2 2 v(x)d x=maxw(x)d x.() wS 0 0
Expliquer pourquoi l’existence d’un telvn’est pas immédiate. 2 1.1.3. Montrer que seulesdeuxfonctionsv∈ C([0,1])Speuvent vérifier (). 1 2 Calculer alorsc0v(x)d x. 0 1 1.1.4. Montrer que pour toutu∈ C([0,1];R) avecu(0)=u(1)=0 on a   1 1 1 22 u(x)d xu(x)d x. 2 p 0 0
1.1.5. Montrer cette inégalité sans faire l’hypothèse qu’il existevSvérifiant (). 2 En déduire alors qu’il existev∈ C([0,1])Svérifiant ().
Énoncé 2 Soituune application continue et 2ppériodique deRdansR. On désigne paruk 2p 1ikx le nombre complexeuk=u(x)xe d pourkZ. On note alorsQ(u)= 2p0 2 |k||uk| ∈[0,+]. kZ 2.1.1. Montrer queQ(u) peut être effectivement égal à +. 2p 2 2.1.2. PourtR,on désigne parw(t) le nombre|u(x+t)u(x)|d x.Montrer 0 quewest continue surR. w(t) 2.1.3. Montrer que2dt=aQ(u) oùaest une constante indépendante deu. 0t 1 2.1.4. Montrer que siu∈ C(R,R) alors   2p2p2 du 2 2 Q(u)bu(x)d x(x)d x() d x 0 0
best une constante indépendante deu. 2.1.5. Quelle est la meilleure constante dans () ?
1.1Inégalités fonctionnelles
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Énoncé 3 Soituune application continue et 2ppériodique deRdansR. On désigne 2p 1ikx parukle nombre complexeu(x)xe d pourkZ. On note alors 2p0  1/22 2 2 1/2 |u|=|uk|,||u||=( (1 +k)|uk|) et kZkZ 2 1/2 [u]=( (1 +|k|)|uk|) (certains de ces nombres pouvant être infinis). kZ 1/2 1/2 3.1.1. Montrer qu’il existeC1indépendant deutelle que [u]C1|u| ||u||. 3.1.2. Montrer qu’il existeC2indépendant deutelle que 1/2 1/2 sup|u(x)|C2|u| ||u||. xR
3.1.3. Montrer que l’assertion suivante est fausse : il existeC3indépendant deutelle que sup|u(x)|C3[u]. xR 3.1.4. Montrer qu’il existeC4indépendant deutelle que   1/2 ||u|| sup|u(x)|C4[u+] log 1 . [u] xR
Énoncé 4 À toute fonctionfcontinue et 2ppériodique deRdansR(on note alors f∈ Cper(R,Ron associe la suite de ses coefficients de Fourier notés) ), 2p 1inx ˆ f(n)=f(x)xe d .Soit alorsAl’ensemble des fonctionsftelles 2p0 ˆ que|f(n)|<. nZ ˆ 4.1.1. Montrer queA, muni de la norme||f||A=|f(n)|, est complet. nZ 4.1.2. Montrer queAest une algèbre pour la multiplication. 4.1.3. Montrer queAest dense dansCper(R,R) muni de la norme de la convergence uniforme et queA=Cper(R,R). 4.1.4. Soita]0,1].On dit quef∈ Cper(R,R) appartient àLi pasi |f(x)f(y)| [f]a=sup<. a x=y|xy| On munit l’espaceLi pade la norme ˆ ||f||a=|f(0)|+ [f]a. 1 Montrer que pour touta],1],Li paAet qu’il existeCRtel que 2 Dunod – La photocopie non autorisée est un délit fLi p,||f||C| aA|f||a.