Aide-mémoire de mathématiques de l'ingénieur - 2ème édition

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Cet aide-mémoire contient toutes les formules et les définitions mathématiques utiles à l'ingénieur en formation ou en activité. De nombreuses tables de fonctions ainsi que de lois statistiques sont fournies, permettant de trouver facilement la formule ou la donnée recherchée. Cette seconde édition apporte des compléments sur les distributions, les schémas numériques des équations différentielles et l'analyse numérique matricielle.

Publié le : mercredi 10 février 2010
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EAN13 : 9782100548224
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1ARITHMÉTIQUE ALGÈBRE ET TRIGONOMÉTRIE
1.1 Symboles usuels de l’algèbre Symboles Symboles dits quantificateurs signifie « quel que soit » ; par exempleaE, quel que soitaappartenant àE. signifie « il existe » ; par exempleaE, il existeaappar tenant àE, tel que ... . aE aest un élément de l’ensembleE. aE an’appartient pas àE. EFSymbole de l’inclusion signifiant queF est un sous {FE ensemble deE, c’estàdire contenu dansEet pouvant êtreEluimême. Ensemblevide. EF Intersection deE et deF; ensemble des éléments communs àEet àF. EF RéuniondeEdeF; ensemble des éléments appartenant soit àE, soit àF, soit à leur intersection. CComplémentairedeAsousensemble deE; on a A AC= ∅. A ab=cRelation exprimant quecle résultat de l’opération est interne effectuée suraetbéléments deE:. On trouve aussi ab ;ab;a+b;a.b. * ⊥ ⊥ a e = e a = a eest l’élémentneutre.de l’opération ⊥ ⊥ a a= e aetasont des élémentssymétriques.dans l’opération aRb aetbsatisfont à unerelation binairedésignée parR. yf(x)xélément deEs’applique sury, élément deF. yf(xest) L’application bijective. fogapplication composée signifiantyf [g(x)] ; ne pas confondre avecgofsignifiantyg[f(x)]. amodulonsignifiea+Kn, quel que soitKentier relatif. |aabsolue ou module de| valeur a. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.2
Structures algébriques
1.2 Structures algébriques
A)Groupe: ensembleGnon vide possédant une loi de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ a,b,cG: (ab)c=a (bc) (associativité), ⊥ ⊥ eG,a:ae=ea=a(e, élément neutre), ⊥ ⊥ aG,a:aa=aa=e(a, symétrique), ⊥ ⊥ Groupeabélien:a,bG:ab=ba(commutativité). Propriétés : ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ a,b,cG,ac=bca=b,ca=cba=b(tout élément est régulier) ; ⊥ ⊥ a,bG,xGtel quea x=b:x=a b ⊥ ⊥ etx a=b:x=ba. Sousgroupe :GGest un sousgroupe deGsia,bG:abG(bsymétrique debdansG). B)Anneau: ensembleAmuni de deux lois de composition interne satisfai sant aux axiomes suivants : I.Aest un groupe abélien pour la première loi (addition) : a,b,cA: (a+b) +c=a+ (b+c) ; 0A,a:a +0=0+ a = a; aA,(–a) :a+ (–a) = (–a) +a= 0 ; a,bA:a+b=b+a. II.a,b, cA: (ab)c=a(bcde la multiplication).) (associativité III.a,b, cA:a(b+c) =ab+ac, (a+b)c=ac+bc(distributivité). Anneau unitaire :eA,a:ea=ae=e (e, élément neutre pour la deuxième loi, appelé unité). Anneau d’intégrité :a # 0,b # 0ab # 0 (pas de diviseurs de zéro). Propriétés :a,b: (–a)b=a(–b) = (–ab),a: a.0 = 0.a= 0. C)Corps: ensembleKmuni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I.Kest un groupeabélienpour la première loi (addition). a,b,cK: (a+b) +c=a+(b+c), 0K,a:a+ 0 = 0 +a=a, aK,(–a) :a+(–a) = (–a) +a= 0, a,bK:a+b=b+a.
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
II.K(privé de 0) est un groupe pour la deuxième loi (multiplication). a,b,cK: (ab)c=a(bc), eK,a:ea=ae=a, –1 –1 –1 a# 0,a:aa=aa=e, III.a,b, cK:a(b+c) =ab+ac, (a+b)c=ac+bc. Corps commutatif (ou droit) : la deuxième loi est commutative.
1.3
Calculs dans l’ensemble des
nombres réels
1.3.1 Exposants et radicaux Exposants :p,qentiers positifs, négatifs ou nuls,aetbréels différents de 0 1 –p p q p+q a° = 1,a=,a a=a, p a p p a a p q pq p p p  (a) =a, (ab) =a b,=.  p b b Radicaux :n,qentier positifs,pentier relatif,aetbréels q q nq n q a=ba=b,a=a p nq np q p q m a=a=a=a.
m,mrationnels,aetbréels positifs 1 m mm+mm m mm –m aa=a, (a)= a,a=, m m m a a a m m m  (ab) =ab,=.  m b b 1.3.2 Identités usuelles 2 2 2 (a± b)=a±2a b+b 2 2 ab=(a+b) (ab) 2 2 a+b ab     a b= –     2 2 3 3 2 2 3 (a± b)=a±3a b+3a b± b © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
2 2 1 2nii j (a+a++a)=a+2a a 1in1i<jn 3 3 2 a+a++a= a+a a +a a a ( ) 3 6 1 2nii ji j k 1in1i<jn1i<j<kn pp!k k 1n (a+a++a)=aa, 1 2n1n k!…k! 1n k,k,,k 1 2n sommation étendue à tout ensemble d’entiersk, ...,k positifs ou nuls tels 1n quek+ ... +k=p. 1n Division par (x±a) n n n– 1x– 2p np– 1n– 1 x – a= (x – a) (x+ax+ ∙∙∙ +a x+ ∙∙∙ +a).
Identité de Lagrange : 2 2 2 2 2 2 2 (a+ b + c)(a+ b+ c)– (aa+ bb+ cc) = 2 2 2 = (bccb) + (caac) + (abba) .
Théorème de Bezout. –– Si 2 polynômesA etBpremiers entre eux, sont il existe un polynômeu de degré < à celui deBet un polynômev de degré <Atels que l’on aitAu+ Bv =1.
1.3.3 Sommations usuelles
Progressions arithmétiques :apremier terme, rraison, nnombre de termes. Somme desnpremiers termesS=a+(a+r)++(a+(n1)r.)[2a+(n1)r]n S= 2 er Progressions géométriques :q =raison,a =1 terme, n1 Somme desnpremiers termesS=a+a q++aq. n q1 S=aq1
1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
Limite deSquandq < 1etn→ ∞: a S= 1q Produit desnpremiers termes : n n2 P=(a l)=(a l).
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
Sommations sur nombres entiers Somme desnpremiers nombres entiers : n(n+1) S= 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + (n– 1) +n=1 2 Somme des carrés desnpremiers nombres entiers : 2 2 2 2 2n(n+1) (2n+1) S+ 2 + 3 = 1 + ∙∙∙ + (n+– 1) n=2 6 Somme des cubes desnpremiers nombres entiers : 2 3 3 3 3 3n(n+1)2 S+ ∙∙∙ + (= 1 + 2 + 3 n– 1) +n== (S) . 3 1 2 Somme des quatrièmes puissances desnpremiers nombres entiers : 2 4 4 4 4 4n(n+1)(2n+1) (3n+3n1) S= 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + (n– 1) +n=4 30 Somme des nombres impairs : 2 1 + 3 + 5 + ∙∙∙ + (2n– 3) + (2n– 1) =n. Somme des nombres pairs : 2 + 4 + 6+∙∙∙+2n =2nS = (n +1). 1 Somme des carrés des nombres impairs : 2 2 2 2n(2n1) (2n+1) 1 + 3 + 5 + ∙∙∙ + (2n– 1) =3 Somme des carrés des nombres pairs : 2 2 22n(n+1) (2n+1) 2 + 4 + ∙∙∙ + (2n) =3 Somme des cubes des nombres impairs : 3 3 3 3 2 2 1 + 3 + 5 + ∙∙∙ + (2n– 1) =n(2n– 1). © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
Somme des cubes des nombres pairs : 3 3 3 3 2 2 2 + 4 + 6 + ∙∙∙ +(2n)=2n(n+ 1). Sommes tirées de la relation : n+1 2nx1 1 +x+x+ ∙∙∙ +x=(progression géométrique). x1 Dérivons : n+1n 2n– 1n x(n+1)x+1 1 + 2x+ 3x+ ∙∙∙ +nx=,x1 . 2 1(x1) Faisonsx=: 2 2 3nn+21+ + +∙∙∙+ =4 1– ,   2n1n+1 2 2 2 2 1 2 3nn+2n+2 ou+ + +∙∙∙+ =2 1– =2–   2 3n n+1n 2 2 2 2 2 2 En dérivant encore une fois, on a : n+1n 2n –2dn x(n+1)x+1 2 + 2.3x +3.4x+ ∙∙∙ +n(n– 1)x == 2 dx (x1) n+1n2n1 n(n1)x2x(x1)+n(n+1)x2 =3 (x1) 1 1 1 En faisantx=et en multipliant paret, on a les sommes : 2 2 2 2 2 3n3 2 2.3 3.4n(n1)+n+4 + + +∙∙∙+ =2– , 2 3n1n1 2 2 2 2 2 2 2 2.3 3.4n(n1)2n+3n4 + + +∙∙∙+ =2– 2 3 4n n 2 2 2 2 2 Sommations de la formeS= n(n1). (n+1)n(n1) S= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ∙∙∙ +n(n– 1) =, 12 3 (n+1)n(n1) (n2) S= 1.2.3 + 2.3.4 + ∙∙∙ + (n– 2)(n– 1)n=, 123 4 ......................................................................................................... (n+1)n(n1)∙∙∙(nk+1) S=12...k k+1
1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.4 Numération binaire
1 Sommations de la formeS=n(n1) 1 1 11 11 S= + +∙∙∙+ = – =1–   1 1.2 2.3n(n1)n1n n 1 1 1 11S= + +∙∙∙+ = 1– , 2   1.3 3.5(2n+1) (2n+3)2 2n+3 2 1 1 1 1nn2 1 1 S= + +∙∙∙+ = = – 3 2 1.2.3 2.3.4(n2) (n1)n22 4 n(n1) 2n2n 1.4 Numération binaire En numération binaire il n’y a que 2signes (que l’on désigne généralement par 0 et 1). Tout nombre, en numération binaire, s’exprime par une suite de termes formés de 0 et de 1 qui, multipliés par les puissances de 2successives, donnent la représentation décimale du nombre. Exemple : 23 = 16+4+2+1 = 4 3 2 1 0 = 2×1+2×0+2×1+2×1+2×1 = 1 0 1 1 1. Pour transformer en binaire un nombre exprimé en décimal, il faut commencer par diviser ce nombre par la plus haute puissance de 2 y contenue, diviser le reste par la plus haute puissance de 2contenue dans ce reste, etc. Puissances de 2.Exemple : Transformer 365en numération binaire. 0 2 = 1 1 2 = 2 La plus haute puissance de 2 contenue : 2 8 2 = 4 dans 365 est 256 = 2, reste 109 ; 3 6 2 = 8 dans 109 est 64 = 2, reste 45 ; 4 5 2 = 16 dans 45 est 32 = 2, reste 13 ; 5 3 2 = 32 dans 13 est 8 = 2, reste 5 ; 62 2 = 64 dans 5 est 4 = , reste 1 ; 7 0 2 = 128 dans l est 1 = 2, reste 0 ; 8 2 = 256 9 2 = 512 10 8 7 6 5 4 2 = 1 024 365 = 2×1+2×0+2×1+2×1+2×0+ 11 3 2 1 0 2 = 2 048+2×1+2×1+2×0+2×1 12 2 = 4 096 13 2 = 8 192 =1 0 1 1 0 1 1 0 1. Etc. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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