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1ARITHMÉTIQUE ALGÈBRE ET TRIGONOMÉTRIE
1.1 Symboles usuels de l’algèbre Symboles Symboles dits quantificateurs signifie « quel que soit » ; par exempleaE, quel que soitaappartenant àE. signifie « il existe » ; par exempleaE, il existeaappar tenant àE, tel que ... . aE aest un élément de l’ensembleE. aE an’appartient pas àE. EFSymbole de l’inclusion signifiant queF est un sous {FE ensemble deE, c’estàdire contenu dansEet pouvant êtreEluimême. Ensemblevide. EF Intersection deE et deF; ensemble des éléments communs àEet àF. EF RéuniondeEdeF; ensemble des éléments appartenant soit àE, soit àF, soit à leur intersection. CComplémentairedeAsousensemble deE; on a A AC= ∅. A ab=cRelation exprimant quecle résultat de l’opération est interne effectuée suraetbéléments deE:. On trouve aussi ab ;ab;a+b;a.b. * ⊥ ⊥ a e = e a = a eest l’élémentneutre.de l’opération ⊥ ⊥ a a= e aetasont des élémentssymétriques.dans l’opération aRb aetbsatisfont à unerelation binairedésignée parR. yf(x)xélément deEs’applique sury, élément deF. yf(xest) L’application bijective. fogapplication composée signifiantyf [g(x)] ; ne pas confondre avecgofsignifiantyg[f(x)]. amodulonsignifiea+Kn, quel que soitKentier relatif. |aabsolue ou module de| valeur a. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.2
Structures algébriques
1.2 Structures algébriques
A)Groupe: ensembleGnon vide possédant une loi de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ a,b,cG: (ab)c=a (bc) (associativité), ⊥ ⊥ eG,a:ae=ea=a(e, élément neutre), ⊥ ⊥ aG,a:aa=aa=e(a, symétrique), ⊥ ⊥ Groupeabélien:a,bG:ab=ba(commutativité). Propriétés : ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ a,b,cG,ac=bca=b,ca=cba=b(tout élément est régulier) ; ⊥ ⊥ a,bG,xGtel quea x=b:x=a b ⊥ ⊥ etx a=b:x=ba. Sousgroupe :GGest un sousgroupe deGsia,bG:abG(bsymétrique debdansG). B)Anneau: ensembleAmuni de deux lois de composition interne satisfai sant aux axiomes suivants : I.Aest un groupe abélien pour la première loi (addition) : a,b,cA: (a+b) +c=a+ (b+c) ; 0A,a:a +0=0+ a = a; aA,(–a) :a+ (–a) = (–a) +a= 0 ; a,bA:a+b=b+a. II.a,b, cA: (ab)c=a(bcde la multiplication).) (associativité III.a,b, cA:a(b+c) =ab+ac, (a+b)c=ac+bc(distributivité). Anneau unitaire :eA,a:ea=ae=e (e, élément neutre pour la deuxième loi, appelé unité). Anneau d’intégrité :a # 0,b # 0ab # 0 (pas de diviseurs de zéro). Propriétés :a,b: (–a)b=a(–b) = (–ab),a: a.0 = 0.a= 0. C)Corps: ensembleKmuni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I.Kest un groupeabélienpour la première loi (addition). a,b,cK: (a+b) +c=a+(b+c), 0K,a:a+ 0 = 0 +a=a, aK,(–a) :a+(–a) = (–a) +a= 0, a,bK:a+b=b+a.
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
II.K(privé de 0) est un groupe pour la deuxième loi (multiplication). a,b,cK: (ab)c=a(bc), eK,a:ea=ae=a, –1 –1 –1 a# 0,a:aa=aa=e, III.a,b, cK:a(b+c) =ab+ac, (a+b)c=ac+bc. Corps commutatif (ou droit) : la deuxième loi est commutative.
1.3
Calculs dans l’ensemble des
nombres réels
1.3.1 Exposants et radicaux Exposants :p,qentiers positifs, négatifs ou nuls,aetbréels différents de 0 1 –p p q p+q a° = 1,a=,a a=a, p a p p a a p q pq p p p  (a) =a, (ab) =a b,=.  p b b Radicaux :n,qentier positifs,pentier relatif,aetbréels q q nq n q a=ba=b,a=a p nq np q p q m a=a=a=a.
m,mrationnels,aetbréels positifs 1 m mm+mm m mm –m aa=a, (a)= a,a=, m m m a a a m m m  (ab) =ab,=.  m b b 1.3.2 Identités usuelles 2 2 2 (a± b)=a±2a b+b 2 2 ab=(a+b) (ab) 2 2 a+b ab     a b= –     2 2 3 3 2 2 3 (a± b)=a±3a b+3a b± b © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
2 2 1 2nii j (a+a++a)=a+2a a 1in1i<jn 3 3 2 a+a++a= a+a a +a a a ( ) 3 6 1 2nii ji j k 1in1i<jn1i<j<kn pp!k k 1n (a+a++a)=aa, 1 2n1n k!…k! 1n k,k,,k 1 2n sommation étendue à tout ensemble d’entiersk, ...,k positifs ou nuls tels 1n quek+ ... +k=p. 1n Division par (x±a) n n n– 1x– 2p np– 1n– 1 x – a= (x – a) (x+ax+ ∙∙∙ +a x+ ∙∙∙ +a).
Identité de Lagrange : 2 2 2 2 2 2 2 (a+ b + c)(a+ b+ c)– (aa+ bb+ cc) = 2 2 2 = (bccb) + (caac) + (abba) .
Théorème de Bezout. –– Si 2 polynômesA etBpremiers entre eux, sont il existe un polynômeu de degré < à celui deBet un polynômev de degré <Atels que l’on aitAu+ Bv =1.
1.3.3 Sommations usuelles
Progressions arithmétiques :apremier terme, rraison, nnombre de termes. Somme desnpremiers termesS=a+(a+r)++(a+(n1)r.)[2a+(n1)r]n S= 2 er Progressions géométriques :q =raison,a =1 terme, n1 Somme desnpremiers termesS=a+a q++aq. n q1 S=aq1
1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
Limite deSquandq < 1etn→ ∞: a S= 1q Produit desnpremiers termes : n n2 P=(a l)=(a l).
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
Sommations sur nombres entiers Somme desnpremiers nombres entiers : n(n+1) S= 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + (n– 1) +n=1 2 Somme des carrés desnpremiers nombres entiers : 2 2 2 2 2n(n+1) (2n+1) S+ 2 + 3 = 1 + ∙∙∙ + (n+– 1) n=2 6 Somme des cubes desnpremiers nombres entiers : 2 3 3 3 3 3n(n+1)2 S+ ∙∙∙ + (= 1 + 2 + 3 n– 1) +n== (S) . 3 1 2 Somme des quatrièmes puissances desnpremiers nombres entiers : 2 4 4 4 4 4n(n+1)(2n+1) (3n+3n1) S= 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + (n– 1) +n=4 30 Somme des nombres impairs : 2 1 + 3 + 5 + ∙∙∙ + (2n– 3) + (2n– 1) =n. Somme des nombres pairs : 2 + 4 + 6+∙∙∙+2n =2nS = (n +1). 1 Somme des carrés des nombres impairs : 2 2 2 2n(2n1) (2n+1) 1 + 3 + 5 + ∙∙∙ + (2n– 1) =3 Somme des carrés des nombres pairs : 2 2 22n(n+1) (2n+1) 2 + 4 + ∙∙∙ + (2n) =3 Somme des cubes des nombres impairs : 3 3 3 3 2 2 1 + 3 + 5 + ∙∙∙ + (2n– 1) =n(2n– 1). © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels
Somme des cubes des nombres pairs : 3 3 3 3 2 2 2 + 4 + 6 + ∙∙∙ +(2n)=2n(n+ 1). Sommes tirées de la relation : n+1 2nx1 1 +x+x+ ∙∙∙ +x=(progression géométrique). x1 Dérivons : n+1n 2n– 1n x(n+1)x+1 1 + 2x+ 3x+ ∙∙∙ +nx=,x1 . 2 1(x1) Faisonsx=: 2 2 3nn+21+ + +∙∙∙+ =4 1– ,   2n1n+1 2 2 2 2 1 2 3nn+2n+2 ou+ + +∙∙∙+ =2 1– =2–   2 3n n+1n 2 2 2 2 2 2 En dérivant encore une fois, on a : n+1n 2n –2dn x(n+1)x+1 2 + 2.3x +3.4x+ ∙∙∙ +n(n– 1)x == 2 dx (x1) n+1n2n1 n(n1)x2x(x1)+n(n+1)x2 =3 (x1) 1 1 1 En faisantx=et en multipliant paret, on a les sommes : 2 2 2 2 2 3n3 2 2.3 3.4n(n1)+n+4 + + +∙∙∙+ =2– , 2 3n1n1 2 2 2 2 2 2 2 2.3 3.4n(n1)2n+3n4 + + +∙∙∙+ =2– 2 3 4n n 2 2 2 2 2 Sommations de la formeS= n(n1). (n+1)n(n1) S= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ∙∙∙ +n(n– 1) =, 12 3 (n+1)n(n1) (n2) S= 1.2.3 + 2.3.4 + ∙∙∙ + (n– 2)(n– 1)n=, 123 4 ......................................................................................................... (n+1)n(n1)∙∙∙(nk+1) S=12...k k+1
1  Arithmétique Algèbre et trigonométrie
1.4 Numération binaire
1 Sommations de la formeS=n(n1) 1 1 11 11 S= + +∙∙∙+ = – =1–   1 1.2 2.3n(n1)n1n n 1 1 1 11S= + +∙∙∙+ = 1– , 2   1.3 3.5(2n+1) (2n+3)2 2n+3 2 1 1 1 1nn2 1 1 S= + +∙∙∙+ = = – 3 2 1.2.3 2.3.4(n2) (n1)n22 4 n(n1) 2n2n 1.4 Numération binaire En numération binaire il n’y a que 2signes (que l’on désigne généralement par 0 et 1). Tout nombre, en numération binaire, s’exprime par une suite de termes formés de 0 et de 1 qui, multipliés par les puissances de 2successives, donnent la représentation décimale du nombre. Exemple : 23 = 16+4+2+1 = 4 3 2 1 0 = 2×1+2×0+2×1+2×1+2×1 = 1 0 1 1 1. Pour transformer en binaire un nombre exprimé en décimal, il faut commencer par diviser ce nombre par la plus haute puissance de 2 y contenue, diviser le reste par la plus haute puissance de 2contenue dans ce reste, etc. Puissances de 2.Exemple : Transformer 365en numération binaire. 0 2 = 1 1 2 = 2 La plus haute puissance de 2 contenue : 2 8 2 = 4 dans 365 est 256 = 2, reste 109 ; 3 6 2 = 8 dans 109 est 64 = 2, reste 45 ; 4 5 2 = 16 dans 45 est 32 = 2, reste 13 ; 5 3 2 = 32 dans 13 est 8 = 2, reste 5 ; 62 2 = 64 dans 5 est 4 = , reste 1 ; 7 0 2 = 128 dans l est 1 = 2, reste 0 ; 8 2 = 256 9 2 = 512 10 8 7 6 5 4 2 = 1 024 365 = 2×1+2×0+2×1+2×1+2×0+ 11 3 2 1 0 2 = 2 048+2×1+2×1+2×0+2×1 12 2 = 4 096 13 2 = 8 192 =1 0 1 1 0 1 1 0 1. Etc. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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