Aide-mémoire de mécanique des structures

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Une attention particulière est apportée dans cet ouvrage à l'utilisation de la résistance des matériaux dans les différentes sciences de l'Ingénieur. L'approche est donc transversale avec une revue des performances et de la fiabilité des systèmes mécaniques simples ou complexes et dont les dimensions vont du micromètre à quelques dizaine de mètres. L'étudiant trouvera dans cet Aide-mémoire les principales défintions et les théorèmes généraux utilisés en résistance des matériaux. De nombreux tableaux synthétisent et récapitulent les caractéristiques des principaux cas en résistance des matériaux.

Publié le : mercredi 14 mai 2008
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EAN13 : 9782100539581
Nombre de pages : 224
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Chapitre1
Théorie des poutres
L’objectif de ce premier chapitre est de mettre en place et définir toutes les notions de base en mécanique des milieux continus permettant d’aborder les chapitres suivants traitant de la mécanique des structures, plus commu nément appelée Résistance des Matériaux.
1.1
PRINCIPES DE BASE EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
1.1.1 La notion de contrainte Si un solide est en équilibre sous l’action d’un ensemble de forces, de couples et de liaisons, ce dernier se déformera. La contrainte est l’objet mathématique permettant de quantifier les tensions internes à la matière. Pour définir la notion de contrainte, il suffit de procéder par la méthode des coupures virtuelles du solide étudié. En un point M, isolons une partie du
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Théorie des poutres
solide, défini par un plan de coupure orienté par le vecteur normal sortant −→ au soliden. −→ F −→ −→ −→ C T(M,n) M −→ n
Figure 1.1
En chaque pointMde la surface de coupure, il faut remplacer la par tie du solide manquant par une densité surfacique d’effort sur la coupure représentant l’action de ce dernier sur le solide isolé. Cette densité d’effort, −→ définie localement en un pointMet orientée par une normale sortanten −→ −→ est appelée le vecteur contrainteT(M,n). Le vecteur contrainte dépend −→ linéairement du vecteur unitairen. Il existe donc localement un opérateur linéaire reliant le vecteur contrainte sur un plan à sa normale, c’est le tenseur des contraintess, symétrique du second ordre. Il vient ainsi, −→ T(M,n)=s(M).n La matrice du tenseur des contraintes, relative à la base (ex,ey,ez) prend la forme suivante :   sx xsx ysx z   s=syxsyysyz szxszyszz Il est usuel de représenter graphiquement le tenseur des contraintes dans le plan de Mohr, permettant de séparer les contraintes normales des contraintes de cisaillement. Si on désigne partla contrainte de cisaillement (portée par −→ un vecteurt) etsnla contrainte normale, on peut décomposer le vecteur contrainte en deux contributions : −→ −→ −→ −→ T(M,n)=snn+tt
1.1
Principes de base en résistance des matériaux
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Il existe un repère particulier dans lequel le tenseur des contraintes est dia gonal, c’est le repère principal des contraintes. En notants1,s2ets3les 3 contraintes principales, avecs1<s2<s3, le domaine d’admissibilité du vecteur contrainte est défini par les 3 inéquations suivantes, définissant un ensemble de cercles. 2 t+ (sns2)(sns3)0 2 t+ (sns1)(sns3)0 2 t+ (sns1)(sns2)0
Dans le plan de Mohr, l’admissibilité de la contrainte est visualisée par la zone grisée ciaprès.
s1
t
s2
Figure 1.2
s3
sn
Pour un état plan de contrainte, si on désigne paru, l’angle entre le repère principal des contraintes et le repère dans lequel la matrice du tenseur des contraintes est exprimée, la relation entre les contraintes principales et les différents termes du tenseur des contraintes est s1+s2s2s1 sx x=+.cos(2u) 2 2 s1+s2s2s1 syy=.cos(2u) 2 2 Dunod – La photocopie non autorisée est un délit s2s1 sx y=.sin(2u) 2
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