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Aide-Mémoire - Mathématiques - 2e éd.

De
352 pages
Cet ouvrage regroupe toutes les définitions, résultats et formules qu'un étudiant en L1/L2 ou un élève en classes préparatoires se doit de connaître. Des remarques, des mises en garde et des conseils en font un outil de travail particulièrement efficace. 
Dans cette nouvelle édition entièrement révisée, les probabilités ont été ajoutées .
 
 

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DanielFredon
AIDE-MÉMOIRE Mathématiques Licence Prépa
e 2édition
Photographie de couverture : © orangeberry  fotolia.com
© Dunod, 2004, 2014 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 9782100710430
Table des matières
Analyse dans
1. Nombres réels 2. Généralités sur les fonctions numériques 3. Limites et continuité 4. Fonctions dérivables 5. Fonctions usuelles 6. Suites numériques 7. Intégrales définies 8. Calcul des primitives 9. Formules de Taylor 10. Intégrales généralisées 11.Équationsdiérentielles 12. Séries numériques
n Analyse dans
13. Espaces vectoriels normés n 14. Calcul diérentiel dansR 15. Optimisation d’une fonction numérique 16. Intégrales multiples 17. Intégrales curvilignes 18. Intégrales de surface 19. Suites et séries de fonctions 20. Séries entières 21. Séries de Fourier 22. Intégrales dépendant d’un paramètre
7 11 15 23 29 38 44 50 54 60 65 76
82 92 99 103 110 114 117 121 127 131
Algèbre générale 23. Rudiments de logique 24. Ensembles 25. Applications 26. Relations 27. Entiers naturels 28. Structures algébriques 29. Arithmétique dansZ 30. Nombres complexes 31. Polynômes 32. Fractions rationnelles
Algèbre linéaire et multilinéaire 33. Espaces vectoriels 34. Applications linéaires 35. Matrices 36. Systèmes linéaires 37. Déterminants 38. Réduction des endomorphismes 39. Dualité 40. Formes bilinéaires et quadratiques 41. Espaces préhilbertiens 42. Espaces vectoriels euclidiens 43. Espaces vectoriel hermitiens
Géométrie
44. Géométrie ane réelle 45. Calcul vectoriel 46. Géométrie euclidienne du plan et de l’espace 47. Courbes paramétrées
134 138 141 144 147 152 161 165 171 177
180 186 190 198 203 208 214 217 221 228 234
237 243 246 258
48. Propriétés des courbes 49. Surfaces
Calcul des probabilités
50. Calcul des probabilités 51. Variables aléatoires 52. Lois usuelles 53. Convergences et approximations 54. Estimation, tests statistiques Table 1 : fonction de répartition deN(0,1) Table 2 : écart réduit deN(0,1) Table 3 : lois de Student Index
263 267
273 280 287 293 297 308 309 310 310
1
Nombres
réels
1. Premières propriétés
1.1 Corps ordonné On dit que l’ensembleRdes nombres réels est : uncorpspour dire qu’il est muni de deux opérations+et×, avec toutes les propriétés dont vous avez l’habitude (cf.chap. 30) ; uncorps ordonnépour dire que la relation d’ordre6est compatible avec+ et×, c’estàdire : aRbRcRa6b=a+c6b+c aRbRc>0a6b=ac6bc
1.2 Règles de calcul   n X n n k nk (x+y)=x y k k=0
  n n! (binôme) où= k k!(nk)!
n1 X n n nk1k xy=(xy)x y. k=0 1.3 Valeur absolue La valeur absolue d’un nombre réela, notée|a|, est définie par : |a|=asia>0 ;|a|=asia60. étéisPropraRbR |a|>0 ;|a|=0⇐⇒a=0 ;|ab|=|a| |b| |a+b|6|a|+|b|;|a| − |b|6|ab|
1.4 Propriété d’Archimède SoitaRetb>0 . Alors il existekNtel quebk>a.
Analyse dans
8
Analyse dans
1.5 Partie entièr é Etant donné un nombre réelx, il existe un plus grand entier relatif, notéx, tel quex6x. On l’appelle la partie entière dex. On a donc, par définition :x6x<x+1. Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x<0; par exemple⌊−4,3=5.
2. Intervalles 2.1 Définitions Poura6b, le segment, [a;b] est défini par : [a;b]={xR;a6x6b} On utilise souvent la propriété : c[a,b]⇐⇒ ∃t[0,1]c=ta+(1t)b. On définit de même les autres types d’intervalles : ]a;b[, [a;b[, ]a,b], ]a,+[, [a,+[, ]− ∞,b[, ]− ∞,b], ]− ∞,+[=R. 2.2 Propriété caractéristique Une partieAdeRest un intervalle si, et seulement si : aAbA a<c<b=cA. 2.3 Voisinage d’un point SoitaR. Une partieVdeRest un voisinage deasi elle contient un intervalle ouvert centré sura. 3. Ordre dansR 3.1 Majoration, minoration Définitions SoitAune partie deR. On dit queaest un majorant deAsix6apour toutx deA. Si, en plus,aA, alorsaest le plus grand élément deA, noté maxA. SiAadmet un majorant, on dit queAest majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée.
1Nombres réels
9
Unicité Si une partie non vide deRadmet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister. Surveillez votre vocabulaire :unmajorant,leplus grand élément.
Cas particulier des entiers naturels Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. Toute partie non vide majorée deNadmet un plus grand élément.
3.2 Borne supérieure, inférieure Définitions La borne supérieure deAest le plus petit élément (s’il existe) de l’ensemble des majorants deA. La borne inférieure deAest le plus grand élément (s’il existe) de l’ensemble des minorants deA. Caractérisation Mest la borne supérieure deAsi, et seulement si, on a, à la fois : xA x6M, c’estàdire queMest un majorant ; ε >0xA Mε <x, c’estàdire queMεn’est pas un majorant. mest la borne inférieure deAsi, et seulement si, on a, à la fois : xA m6x, c’estàdire quemest un minorant ; ε >0xA x<m+ε, c’estàdire quem+εn’est pas un minorant.
Remarque SiAadmet un plus grand élément, alors c’est la borne supérieure deA. SiAadmet un plus petit élément, alors c’est la borne inférieure deA. Théorème d’existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) deRadmet une borne supérieure (resp. inférieure).
Analyse dans
10
Analyse dans
3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble notéRobtenu à partir deRpar l’adjonction de deux éléments notés−∞et+. On prolonge àRla relation d’ordre en posant pour toutaR: −∞<a<+. On définit ainsi la droite numérique achevée dont le plus grand élément est +, le plus petit élément−∞. Et le théorème précédent se généralise : Toute partie non vide deRadmet une borne supérieure et une borne inférieure dansR. 4. Points à caractère topologique SoitaRetEune partie non vide deR. 4.1 Point adhérent Le pointaest adhérent àEsi tout voisinage deacontient un point deE. L’ensemble des points adhérents àEse noteE. C’est l’adhérence deE. On a toujoursEE. SiE=E, on dit queEest une partie fermée. SiE=R, on dit queEest dense dansR. 4.2 Point d’accumulation Le pointaest un point d’accumulation deEsi tout voisinage deacontient un point deEdiérent dea. Un point d’accumulation est nécessairement adhérent àE. Siaest un point adhérent sans être point d’accumulation, c’est un point isolé. Théorème de BolzanoWeierstrass Toute partie infinie et bornée deRadmet au moins un point d’accumulation. 4.3 Point intérieur Le pointaest un point intérieur deEs’il existe un intervalle ouvert centré sur ainclus dansE, c’estàdire siEest un voisinage dea. L’ensemble des points intérieurs deEse noteE. C’est l’intérieur deE. ◦ ◦ On a toujoursEE. SiE=E, on dit queEest une partie ouverte.
Un pour Un
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