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5.1
5.1.1
Chapitre5
Signaux aléatoires. Bruit
SIGNAUX ALÉATOIRES
Définitions
Un signal est ditaléatoiresi ses valeurs ou réalisations dépendent du ha-sard et s’il ne possède pas de représentation analytique. Par contre l’obser-vation de ce signal peut être caractérisée par des grandeurs statistiques ou fréquentielles. Considérons un ensemblend’expérimentations ou d’épreuves ou en-core d’enregistrements liés à un même phénomène physique. À chacune de ces épreuves, indicées pari,est associée une fonctions(t) qui repré-sente une réalisation du signal aléatoire ou une trajectoire duprocessus aléatoire, modèle mathématique du signal aléatoire (cf. figure 5.1). Pour t0fixé, l’ensemble des valeurssi(t0) représente les valeurs du signal aléa-toires(t0).
92
Un processus aléatoire, décrivant un si les propriétés statistiques (moyenne, du choix de l’origine du temps.
5Signaux aléatoires. Bruit
signal aléatoire écart type, etc.)
est ditstationnaire sont indépendantes
Il est plus aisé d’obtenir une expérimentation d’un processus sur un temps long que plusieurs épreuves de ce processus lié à un même phé-nomène physique. Le processus est ditergodiquesi les moyennes sur plusieurs réalisations sont équivalentes à des moyennes temporelles cor-respondant à une seule épreuve.
Figure 5.1
0
si(t)
t=t 0
s(t) 1 0
s(t) 3 0
épreuve 1 épreuve 3 épreuve 2
s(t) 2 0
t
Réalisations d’un signal aléatoire provenant de plusieurs épreuves.
Ainsi un processus stationnaire et ergodique pourra être analysé à partir d’une seule expérimentation sur un temps suffisamment long (ces deux propriétés étant vérifiées a posteriori sur les résultats obtenus). Ce signal aléatoire peut être continu (exemple de la figure 5.1) ou discret (nombre de valeurs fini). Étant donné que la plupart des signaux « infor-matif » mesurés et étudiés sont de type continus, nous nous intéresserons ici à cette classe de signaux.
5.1.2
Caractérisations statistiques (cf. annexes)
a) Caractérisation d’un signal aléatoire stationnaire Soit un signal aléatoiresdéfini par sa loi de distribution ou loi de proba-bilitép(s) et considéré comme stationnaire, nous pouvons caractériser ce signal avec les paramètres statistiques suivants (cf. annexes) :
5.1
Signaux aléatoires
– valeur moyenne ou espérance :
93
4 +ms=Esp[s] =s·p(s)·ds(5.1) −∞ valeurquadratiquemoyenneoumomentdordre2: < ?+4 2 2 Esps=s·p(s)·ds(5.2) −∞ – écart quadratique moyen ou moment d’ordre 2 centré ou variance : 4 +2 2 2 sEsp[ s= (sms= () ] sms)·p(s)·ds(5.3) −∞ – écart type :
ss=
2 Esp[(sms) ]
(5.4)
– fonction d’autocorrélation statistique : cette fonction, notéeGs(t),est une indication sur la liaison statistique entre les valeurs du signal aléa- toiresetsmesurées à deux instants séparés det:
Gs(t) =Esp[s(t)·s(tt)] =Esp
 s·s
=
   s·s·p(s,s;t)·ds·ds (5.5)
 Si on considère les variables aléatoiressetscentrées, on parlera de fonction d’autocovariance Covs(t): 2 )] =G(  Covs(t) =Esp[(sms)·(sms st)ms
car ms=ms(stationnarité)  Nous pouvons aussi définir la fonction d’autocovariance normalisée ou en-core coefficient de corrélation ou dans ce cas d’autocorrélationrss(t) : 2 rss(t) = Covs(t)/s(5.6) s
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