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Algèbre 1ère année - option scientifique

De
304 pages

La collection de référence des prépas commerciales. Cet ouvrage propose :
- Un cours très complet, clair et précis, illustré de nombreux exemples
- Une méthodologie importante, proposant l'essentiel des savoir-faire et leur mise en oeuvre
- De très nombreux exercices résolus, classés par thème, de difficulté progressive.

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Chapitre 1 . Notions de base. A. Démonstration par récurrence . . B. Ensembles. . . . . . . . . . C. Applications . . . . . . . . . D. Calcul de sommes . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . .
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76 79 85 87 95 103 107
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Chapitre 3 . Espaces vectoriels et applications liné aires. A. Espaces vectoriels – Sousespaces vectoriels . . . . . . . . . . . . B. Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Somme de sousespaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . D. Applications liné aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 9 12 17 22 23 25
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34 39 47 54 58
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Chapitre 5 . Calcul matriciel. . . . A. Espace lm(K). . . . . . . vectorien,p B. Produit matriciel . . . . . . . . . . C. Ensemble des matrices carré es d’ordren.
Chapitre 2 . Nombres complexes Polynô mes. A. Propriétés fondamentales deC. . . . . . . . . . B. EnsembleK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . .
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158 163 165
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Sommaire
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122 128 131 136 142 145
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33
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Chapitre 4 . Espaces vectoriels de dimension finie. A. Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . B. Sousespaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . C. Rangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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172 174 177 184 189
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D. Transposition . . . E. Rang d’une matrice . Méthodes. . . . . . Exercices. . . . . . Solutions des exercices.
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258 270 280 285
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257
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215 216
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Chapitre 6 . Systèmes d’équations linéaires. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 8 . Algorithmique A. Programmation . . . . . . B. Méthodes numériques. . . . Exercices. . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . .
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Chapitre 7 . Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. . . . . . A. Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . B. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . C. Diagonalisation des matrices carré es . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 1
Notions
de
base
A. Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B. Ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.Appartenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.. Opérations sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.Restriction  Prolongement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Injection  Surjection  Bijection . 5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fonction indicatrice d’une partie de E D. Calcul de sommes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Formule du binôme 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sommes doubles . . Méthodes :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L’essentiel . . . Exercices niveau 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Exercices niveau 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9 9 9 10
12 12 12 13 13 16
17 17 19 22 23 24 25
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Chapitre 1 : Notions de base
(2)Soitn>1:SupposonsR(n)vraie et montrons queR(nþ1)est vraie. 1 1 1n1 þ    þ þ ¼ þcarR(n)est vraie: 12n(nþ1) (nþ1)(nþ2)nþ1(nþ1)(nþ2) 2 n1n(nþ2)þ1(nþ1)nþ1 þ ¼ ¼ ¼ nþ1(nþ1)(nþ2) (nþ1)(nþ2) (nþ1)(nþ2)nþ2
Exemple 1 1 1 1n Montrons que pour toutn2N,¼þ þ    þ . 12 23n(nþ1)nþ1 1 1n SoitR(n)la propriété : «¼þ    þ ».. Icin0¼1: 12n(nþ1)nþ1 1 1 1 1 (1)R(1)est vraie car :¼et¼. 112 2 þ1 2
récurrence
Remarque La méthode 1 n’est utilisable que si la dé monstration de «R(nþ1)est vraie » n’utilise que le fait queR(n)est vraie et pasR(n1)vraie. . . Sinon, il faut utiliser la mé thode suivante.
Démonstration
A.
par
.n02N, le plus souventn0¼0ou1:
8
Butrifiée pour tout: Démontrer qu’une propriété qui dépend d’un entier naturel est vé n>n0:
.n02N,p2N Le plus souvent : n0¼0, ou1 etp¼0ou1.
Exemple 2 Soit l ðanÞn>0a suite définie para0¼1,a1¼ 1etanþ2þanþ1an¼0pour tout n2N: Montrons queanest un entier relatif pour toutn2N: SoitR(n)la propriété : «an2Z». (1)R(0)etR(1)se.sont vraies par hypothè (2)Soitn>1:SupposonsR(0),R(1),. . .,R(n)vraies et montrons queR(nþ1)est vraie. anþ1¼ anþan1,an2Zetan12ZcarR(n)etR(n1)sont vraies, doncanþ12ZetR(nþ1)est vraie. Conclusion:R(n)est vraie pour toutn2N:
DoncR(nþ1)est vraie. Conclusion: pour toutn2N,R(n)est vraie.
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Méthode 1 SoitR(n)une propriété dépendant de l’entier natureln: 1)On montre queR(n0)est vraie.. 2)Pour un entiernquelconque tel quen>n0, on suppose queR(n)est vraie et on montre qu’alorsR(nþ1)est vraie. On peut en conclure que pour toutn>n0,R(n)est vraie.
Méthode 2 SoitR(n)une propriété dépendant de l’entier natureln: 1)On montre queRðnÞ,. . .,RðnþpÞsont vraies. 0 0 2)Pourn>n0þp, on suppose queRðn0Þ,. . .,Rðn0þpÞ,. . .,R(n)sont vraies. et on montre qu’alorsR(nþ1)est vraie. On peut en conclure que pour toutn>n0,R(n)est vraie.
B.
p .x2Q,x¼ q p2Z avec q2N
Ensembles
Remarque 1 Si par définition, on avait eua1¼et si on avait oublié de considérerR(1)(qui est fausse 2 dans ce cas !), on aurait obtenu une conclusion fausse.
Ensembles
1.Appartenance Un ensembleEest défini lorsque pour tout objetx, on peut dire sixest élément deEou si & xn’est pas élément deE. Sixest élément deE, on dit quexappartient àEet on notex2E. Sixn’appartient pas àE, on notex62E. Deux ensembles sontégauxs’ils sont constitués des mêmes éléments. & On peut définir un ensembleEen énumérant ses éléments ou en définissant une propriété & quicaractériseses éléments, c’estàdire vérifiée par les éléments deE, et seulement par les éléments deE. Par exemple:E¼2, 4, 6, 8}{ 0, ¼{x2N=xpair etx<10 }: Par définition, l’ensemble vide ne contient aucun é lément, il est noté[. &
Notations usuelles pour les ensembles de nombres N: ensemble des entiers naturels, & [1,n]: ensemble des entiers naturels compris entre1etn, & Z: ensemble des entiers relatifs, & Q: ensemble des nombres rationnels,. & R: ensemble des nombres ré els, & C: ensemble des nombres complexes. &
2.Inclusion SoitEetFdeux ensembles.
Fest inclus dansElorsque tout élément deFest élément deE. On note alorsFEet on dit queFest unepartie deEou unsousensemble deE. L’ensemble des parties deEest notép(E). Par convention,[2p(E)pour tout ensembleE.
Pour montrer que
EF
E6F
E¼F
on peut montrer que
;x2E,x2F
9x2E,x62F
EFetFE
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