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Algèbre et analyse 2e année - option économique

De
288 pages

La collection de référence des prépas commerciales. Cet ouvrage propose :
- Un cours très complet, clair et précis, illustré de nombreux exemples
- Une méthodologie importante, proposant l'essentiel des savoir-faire et leur mise en oeuvre
- De très nombreux exercices résolus, classés par thème, de difficulté progressive.

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Sommaire
Chapitre 1  ■
Analyse
Suites et séries réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2  ■
Intégrale sur un segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices :énoncés, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 3 Comparaison des fonctions :  ■ formules de Taylor, développements limités. . . . . Exercices :énoncés, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4  ■
Intégrales impropres (ou généralisées). . . . . . . . .
Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5  ■
Fonctions numériques de deux variables réelles .
Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algèbre
Chapitre 6 Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ■ Métodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices :énoncés, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 7 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ■ Métodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices :énoncés, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 8 Réduction des endomorphismes  ■ et des matrices carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices :énoncés, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
1
2
4
5
3
0
49 63
8
3
9
5
107
116
127
145 150
169
179 183
223 237
283
CHAPITRE 1Suites et séries réelles
A. Suites récurrentes du typeuf(u). . . . . . . . . . . . . . . n+1n 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Théorèmes . 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Représentation graphique 3.Travaux pratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Séries réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.Suite réelle et accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Série de Riemann C. Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Comparaisons 3.Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6 6 6 7 9 9 10 12 12 12 13
14 16
Chapitre 1 : Suites et séries réelles
6
A. Suites récurrentes du typeun+1f(un)
1.Théorèmes
Théorème 1 Soit(u)une suite dont tous les termes appartiennent à un intervalleIn net soitfune fonction définie surI. u Si(n)converge verset sifest continue en, f(u)f(). alors la suite (n) converge vers
En appl ème aux suites récurrentes du typen f(u) iquant ce théoru+ 1n, suivant :
Théorème 2 u( Soit( )une suite récurrente du typeuu f n). n nn+ 1 Si la suite(u)converge verset si la fonctionfest continue en, n alorsest solution de l’équationf(x)x.
on obtient le résultat
Ce deuxième théorème permet de trouver l’éventuelle limite d’une suite de ce type, il ne reste plus alors qu’à démontrer que cette suite converge : soit en montrant que la suite(u)converge vers0, n soit en utilisant le théorème sur les suites monotones. Exemple d’application Soit la suiteudéfinie par : 1 . u1etn,un+1n u-0 u n Une récurrence élémentaire montre queuest définie suret strictement positive (les deux propriétés étant ici liées). 1 L’équationxx-n’a pas de solution dans, le théorème2permet d’en déduire que x un’a pas de limite dans. uu+Commeuest strictement croissante (n,n+ 1n), on en déduit quuediverge vers.
2.Représentation graphique fEn utilisant la courbe associée à la fonction , notéef, on se propose de représenter la suite (u)définie paruf(u)sur l’axe des abscisses du repère orthonormé dans lequel n n+1n on a tracé. f La droite d’équationyxpermet de rapporter les points de l’axe des ordonnées à l’axe des abscisses et met en évidence l’éventuelle limite de la suite qui est l’abscisse d’un point d’inter-section de cette droite avecf.
Exemples
1)
yx
f
Suites récurrenSteusitdesurtéycpuerreuntes dufty(pue) n1n
yx f
  u u u u u u u 0 1 2 3 2 1 0 0 0 Sur les deux figures,est la représentation graphique d’une même fonctionfmonotone f croissante. Dans les deux cas,(u)est monotone (et elle converge vers), mais selon le choix n deu(uouu),(u)est croissante ou décroissante. 0 0 0n
2)
yx
f
u uu u 0 2 3 1 0 D’après ce graphique, on peut penser que les deux suites extraites(u)et(u)sont 2n2n+1 u adjacentes, donc qu’elles convergent vers la même limite et donc que(n)converge vers. Plus généralement, lorsquefest monotone décroissanteffest monotone croissante. (u)u Les deux suites2net(2n+ 1),qui sont définies par la relation de récurrence f(u)k+ 1sont donc monotones. Dans ce cas, pour que la suitensoit convergente, ufk,(u) il faut que les deux suites2net2n+ 1soient convergentes et qu’elles aient la même limite. (u) (u) Illustrons des situations dans lesquelles la suiteunne converge pas : ( )
f
f
u u u u uu uu4 0 1 5 0 2 1 3 0 0 … …u u  2 3 – dans le cas,unest périodique ; ( ) –dans le cas, même si les deux suites extraitesu2net2n+ 1convergent, elles ( ) (u) n’auront pas la même limite etndiverge. u 3.Travaux pratiques 1) Étudier la suite définie par :0et,n+ 1n. u0nuu2 Remarquons tout d’abord que pour tout entier natureln,u0; donc si(u)converge, n n sa limite est positive. + + Notonsf la fonction définie surparf(x)x2;f étant continue sur, + (u(sin)converge vers), alors est solution de l’équationxx2. 2 est donc la solution positive de l’équationxx20, c’est-à-dire2. Une représentation graphique montrerait que(u)converge en croissant vers2. n
7
Chapitre 1 : Suites et séries réelles
Cette méthode fournit une estimation de l’écart entre le termenet la limite. u
8
re 1méthode – Démontrons que(un)est croissante : 1 donc0u1 u2u et commef est croissante, on a : n n+ 1n n+ 1c’est-à-diren+ 1n+ 2. uuf(u)f(u)u u n,uu On a donc démontré par récurrence :n n+ 1 et la suite(un)est croissante. (u) – Démontrons par récurrence quenest majorée par2: u2 0 u2(u)f(2)u2 et sin, alorsfnc’est-à-diren+ 1. On a donc :n,un2. – La suite(n)qui est croissante et majorée est convergente et on sait que sa limite est2. u e 2méthode On peut vérifier que la fonctionfsatisfait les deux propriétés suivantes : (1)f([0,2])[0,2] (2)x[0,2],f(x)x. u[0,2)] ( De la propriété(1), on peut déduire :n,n; doncunest bornée ; et de la propriété(2):n,n+ 1n; doncnest croissante. uu(u) Il en résulte que(un)est convergente. e 3méthode u Plutôt que de démontrer que(n)est croissante et majorée, on peut montrer directement (u) quen2converge vers0; en effet : u2 n -u2n+ 1 u22 n 1 u2-u2 d’où :n,n+ 1n. 2 On en déduit par récurrence : n 1    2-u2 n,0un0  2 et d’après le théorème d’encadrement :lim(n2)0. u n+2 1nu1-. 2) Étudier la suite définie par :u0et,n+1u n – Démontrons tout d’abord par récurrence que tous lesunsont strictement positifs : u0 0 2 siu0, alorsu1-0 n n+ 1 u n donc :n,u0. n 2 D’autre part, la fonctionfdéfinie surparf(x)1-est strictement décroissante + x et par conséquent la fonctionffest strictement croissante sur+. Tous lesuétant strictement positifs etfétant continue sur, on sait que n+ 2 ( ) 0 siunvérifieconverge vers , alors et1-d’où2. – Démontrons par récurrence que(u)est croissante : 2n 5 on au1etu- d’oùuu 0 2 0 2 3 f(u)f f(u) et siuu, alorsf2n2n+ 2puisqufefest croissante 2n2n+ 2 c’est-à-dire2n+ 2 2n+4. uu Ainsi : u + 2et la suite(2n)est croissante. n,u2n2nu