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Analyse 1ère année - option scientifique

De
400 pages

La collection de référence des prépas commerciales. Cet ouvrage propose :
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Chapitre 2 . Suites réelles. A. Rappels . . . . . . . . . B. Convergence d’une suite ré elle C. Limite d’une suite dansR. . . D. Comparaison des suites . . . Méthodes. . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . .
132 137 142 144 149 155 160
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Chapitre 1 . Notions de base. . . A. Vocabulaire usuel relatif aux fonctions B. Fonctions usuelles . . . . . . . .
Sommaire
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182 184 192 197
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Chapitre 3 . Fonctions d’une variable : limite et continuité. A. Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E. Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 4 . Fonctions d’une variable : dé rivation. A. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . C. Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 5 . Intégration sur un segment. A. Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . B. Intégrale d’une fonction continue sur un segment . C. Primitivation et inté gration . . . . . . . . . . D. Calcul des primitives et des inté grales . . . . . .
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286 289 292 296 300 306
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Chapitre 7 . Séries numériques A. Généralités . . . . . . . . . . B. Séries à termes positifs . . . . . C. Séries de référence . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . .
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Chapitre 6 . Formules de Taylor dé veloppements limités. A. Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326 330 339 344 347
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285
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248 250 255 260 265
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Méthodes. . . . . . Exercices. . . . . . Solutions des exercices.
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201 211 218
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Chapitre 8 . Fonctions numériques de deux variables réelles. 2 A. Rappels surR– Éléments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B. Fonctions deRdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 1
Notions
de
base
A. Vocabulaire usuel relatif aux fonctions. . . . . . 1.Parité – Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . 3.. . . . . . . . . . . . . . .Fonctions monotones 4.. . . . . . . . . . . . .Restriction d’une fonction 5.Image et image réciproque d’une partie par une fonction . B. Fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . 1.. . . . . . . . . . . . . . . . .Valeur absolue 2.. . . . . . . . . . . . . . . . .Partie entière . 3.. . . . . . . . . . . . . . .Logarithme népérien 4.Exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.Croissances comparées des fonctions logarithme népérien, exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . . 7.Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . .
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8 8 9 9 9 9
11 11 11 11 12 13
13 13
7
Chapitre 1 : Notions de base
A.
8
Vocabulaire
usuel
relatif
aux
fonctions
Dans ce paragraphe,fdésigne une fonction deRdansR,Dson domaine de dé finition,Iun intervalle inclus dansDetcla courbe représentative def. 1.PériodicitéParité – festpairelorsque : pour toutx2 D,x2 Detf(x)¼f(x). &
x
f(x)
O
x
Le tracé decs’effectue pour lesxpositifs 0 et est complété par symétrie par rapport ày Oy:
festimpairelorsque : pour toutx2 D,x2 Detf(x)¼ f(x). &
x
f(x)
O
f(x)
x
Le tracé decs’effectue pour lesxpositifs et est complété par symétrie par rapport àO:
festpériodiquede périodeTlorsque : pour toutx2 D,xþT2 Det & f(xþT)¼f(x).
f(x+T)= f(x)
T
O
M
x
T
M
x + T 2T
0 ~ Mest l’image deMpar la translation de vecteurTi. L’étude defse fait donc sur un intervalle de longueurT. On trace la portion de courbe correspondante, puis on effectue les translations ~ de vecteurkTi(k2Z):
.metMne doivent pas dépendre dex.
Vocabulaire usuel relatif aux fonctions
2.Fonctions bornées On dit que : festmajoréesurIlorsqu’il existeM2Rtel que :;x2I,f(x)<M. & festminoréesurIlorsqu’il existem2Rtel que :;x2I,f(x)>m:. & festbornéesurIlorsquefest majorée et minorée surI; donc : & fest bornée surIlorsqu’il existeMtel que :;x2I,jf(x)j<M: fest positive surIlorsque :;x2I,f(x)>0: & fest négative surIlorsque :;x2I,f(x)<0: &
3.Fonctions monotones On dit que : festcroissantesurIlorsque : & 020 0 ;(x,x)2I,(x<x¼)f(x)<f(x) ):
feststrictement croissantesurIlorsque : & 020 0 ;(x,x)2I,(x<x¼)f(x)<f(x) ):
festdécroissantesurI(resp.strictement décroissantesurI) lorsque : & 020 00 0 ;(x,x)2I,(x<x¼)f(x)>f(x))[resp:(x<x)f(x)>f(x))]:
festmonotone(resp.strictement monotone) surIlorsquefest croissante ou décrois & sante surI(resp. strictement croissante ou strictement dé croissante surI):
Pour montrer quefest monotonetudier le signe de son taux d’accroissement, on peut é 0 f(x)f(x) 0 (xx):Par exemple : 0 xx 0 f(x)f(x) 020 fest croissante surI()>0pour tout(x,x)2Itel quexx: 0 xx
4.Restriction d’une fonction On appellerestriction defà la partieAdeR, la fonction notéefqui à toutxdeD \A & jA associe le réelf(x)¼f(x): jA
Par exemple: pffiffiffiffiffiffi 2 Soitf(x)¼x: þ fest définie parf(x)¼xpour toutx2R: þ þ jRjR fest définie parf(x)¼ xpour toutx2R:   jRjR
5.Image et image réciproque d’une partie par une fonction SoitEun ensemble etfune fonction deEdansR. SoitAune partie deE:On appelleimage deAparf, l’ensemble des images parfdes & éléments deA. On le notef(A).
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