Analyse complexe pour la Licence 3

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Cours et exercices corrigés sur la théorie des fonctions d'une variable complexe, mettant en valeur la position privilégiée de l'analyse complexe, située entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

Publié le : vendredi 28 juillet 2006
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EAN13 : 9782100527786
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AVANTPROPOS
Table
des
CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES 1.1 Notations et rappels 1.2 Limite supérieure et limite inférieure 1.3 Généralités sur les séries numériques 1.4 Séries à termes positifs 1.5 Convergence absolue 1.6 Règles de Cauchy et de d’Alembert 1.7 Séries alternées
1.8 Séries semiconvergentes 1.9 Série produit 1.10 Convergence associative ou commutative 1.11 Intégrales et séries
Exercices Solutions des exercices
matières
CHAPITRE 2 •SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 2.1 Convergence simple 2.2 Convergence uniforme 2.3 Continuité 2.4 Dérivabilité 2.5 Intégrabilité
XI
1 2 4 6 8 10 11 12 13 14 17
19 20
23 24 25 25 27
4.2
4.1
4.3
Exercices Solutions des exercices
5.2
Rappels
5.1
Fonction exponentielle
Définition des fonctions analytiques
Rayon de convergence
3.2
Déterminations continues du logarithme
CHAPITRE 5 •FONCTIONS HOLOMORPHES
Principe du prolongement analytique
Principe des zéros isolés
Conditions de CauchyRiemann
Autres déterminations continues
Fonctions circulaires et hyperboliques
2.6
2.7
Exercices Solutions des exercices
VI
Continuité et intégrabilité
Fonctions développables en série entière
3.5
3.3
Dérivabilité
3.4
3.1
CHAPITRE 3 •SÉRIES ENTIÈRES
Exercices Solutions des exercices
5.4
5.3
Séries de fonctions
Convergence normale
Quelques exemples
3.8
3.7
Exercices Solutions des exercices
40
45
Généralités
3.6
CHAPITRE 4 •FONCTIONS ANALYTIQUES
Analyse complexe pour la Licence 3
28
29
35
30 31
39
38
36
54 54
58
59
62
64
65 66
42
43
46 47
50
52
52
Solutions des exercices
7.2
77
109
7.1
Principe du maximum
Table des matières
Intégration complexe
CHAPITRE 6 •ANALYTICITÉ ET HOLOMORPHIE
6.1
Arcs et chemins
6.2
Indice
6.3
Solutions des exercices
6.4
Existence des primitives
8.5
Séries de fonctions méromorphes
Théorème de l’indice
Singularités isolées
CHAPITRE 8 •FONCTIONS MÉROMORPHES
7.3
Lemme de Schwarz et applications
CHAPITRE 7 •PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES
Inégalités de Cauchy et conséquences
VII
71
72
67
69
82 83
84
79
89
91
85
87
99
98
94 95
106
104
102
101
112 113
107
7.5
Exercices
7.4
8.6
Théorème de Rouché
8.7
Inversion locale
8.8
Solutions des exercices
Exercices
8.2
Holomorphie et intégration
Suites et séries
8.3
8.1
Fonctions méromorphes
Théorème des résidus
8.4
Un point de topologie
6.6
Exercices
Analyticité des fonctions holomorphes
Fonctions circulaires réciproques
6.5
VIII
CHAPITRE 9 •PRODUITS INFINIS 9.1 Produits infinis de nombres complexes 9.2 Produits infinis de fonctions holomorphes
Exercices Solutions des exercices
CHAPITRE 10 •HOMOTOPIE ET HOLOMORPHIE 10.1 Homotopie et simple connexité 10.2 Primitive le long d’un arc 10.3 Indice 10.4 Formule de Cauchy 10.5 Séries de Laurent 10.6 Les généralisations
Exercices Solutions des exercices
Analyse complexe pour la Licence 3
CHAPITRE 11 •HOLOMORPHIE ET PARTIES LOCALEMENT FINIES 11.1 Produit canonique de Weierstrass
11.2 Applications 11.3 Idéaux
Exercices Solutions des exercices
CHAPITRE 12 •REPRÉSENTATION CONFORME 12.1 Topologie 12.2 Un résultat d’isomorphisme 12.3 Conservation des angles
Exercices Solutions des exercices
CHAPITRE 13 •QUELQUES GRANDS CLASSIQUES 13.1 Théorèmes de Picard 13.2 Théorème de Runge
Exercices Solutions des exercices
116 119 123 124
126 130 132 135 137 140 142 143
145 147 150 152 153
154 157 159 160 162
164 169 176 177
Table des matières
CHAPITRE 14 •FONCTIONS HARMONIQUES 14.1 Premières propriétés
14.2 Représentation intégrale
Exercices Solutions des exercices
CHAPITRE 15 •QUELQUES CALCULS D’INTÉGRALES 15.1 Quelques lemmes
15.2 Quelques méthodes
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
INDEX
IX
179 181
184 185
186 188
197
199
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