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Matrices
RAPPEL DE COURS
2
n×n n×n n×n n×n SoitA=(ai j) une matrice deR(ouC).Aestinversibles’il existeBR(ouC) 1 telle queA B=B A=I, notationB=A. LerangdeAest le nombre de vecteurs colonnes (ou lignes) indépendants ; notationrg(A).Le rang est la dimension de la plus grande matrice carrée de déterminant non nul extraite de A. LenoyaudeAest l’ensemble des vecteursXtels queA X=0 ; notation Ker(A). n n Un réel ou un complexelest unevaleur propredeAetVR(ouC),Vnon nul, un vecteur propre associésiAV=lV.Les valeurs propres deAsont les racines du polynôme det(AX I)=0. L’ensemble des valeurs propres deAest lespectrede la matrice ; notation s(A). n×n ACest inversible à l’une des conditions nécessaires et suffisantes suivantes :0n’est pas valeur propre oudet(A)=0ou Ker(A)={0}ou rang(A)=n. n×n AestdiagonalisabledansCs’il existe une matrice inversiblePCet une matrice diagonale n×n1 DdansCtelles quePP A =D. Dans ce cas les valeurs propres deAsont sur la diagonale deD, les vecteurs propres sont les colonnes deP.Apeut être diagonalisable dansRsiDetP n×n sont dansR.Aest diagonalisable si et seulement si il existe une base{u1, . . . ,un}de vecteurs propres. n×n n×n Décomposition de Jordan : SoitAC, il existe une matricePCinversible telle que ⎛ ⎞ ⎛ ⎞l1 0. . .0 Jk1(l1) 0. . .0 . . 0l1.. . . . 10Jk2(l2).. . . . . .et l P A P=, oùJk(l)=. . .0esli ⎜ ⎟. . . . . ⎜ ⎟ .. .0. ...l1 0. . .0Jk(l) 0. . . . . .0l sont les valeurs propres de A. T AestsymétriquesiA=Aou encoreai j=ajipour toutietjde 1, . . . ,n. n×n SiARest symétrique, alors ses valeurs propres sont réelles,Aest diagonalisable dans R; dans ce caset on peut choisir une base orthonormée de vecteurs propres Pest unitaire i.e. 1T T P=PP A P et =D.
8
2Matrices
n×T Tn n ARestdéfinie positivesi pour toutXR,XX A 0 etX A X=0X=0. SiA est définie positive alorsAest inversible. n×n n×n Méthode de Gauss : SiAR(ouC) est inversible, il existe une matrice de permutation (inversible)Pet 2 matricesLetU,Létant triangulaire inférieure à diagonale unité,Uétant triangulaire supérieure, telles queP A=LU.Le systèmeA X=bse transforme enLU X=Pb et on résout successivementLY=PbpuisU X=Y. n×n Factorisation de Cholesky : SiARest symétrique et définie positive, il existe une unique T matriceCtriangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs telle queA=C C. S’il est impossible de donner un rappel complet du cours sur les matrices en quelques lignes, on retrouvera aussi des propriétés dans les chapitres suivants : changement de base, localisation des valeurs propres dans les disques de Gershgorin, matrices tridiagonales, matrices à diagonale dominante, méthodes itératives de résolution des systèmes (problème 11.1) etc.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
Le premier paragraphe ci-dessous est une liste de petits exercices qui, sans faire le question, permet de se (re)familiariser avec le calcul matriciel. Dans le deuxième, Matlabpour diagonaliser une matrice et calculer ses puissances. Enfin le dernier méthode de la puissance qui permet généralement d’approcher la plus grande valeur module. Il s’agit à nouveau de découvrir un certain nombre d’outils deMatlab.
2.1 Premiers calculs 1.Inversion 1 2 0 0 1 2 . . SoitA=. . .. . .0 0. . .. . . 1 0
1 Montrer queA= . 0
. . . 0 . . . 1 0
2 1 . . .
0 . n×n R. 0 2 1
4 2 . . . 0
. . .
. . . 4 . . . 1 . . .
j1 (2) . . . . . .
ji (2) . . . 0 0
. . . . . .
. . . . . . 1 0
n1 (2) n2 (2) . . ni (2) . 2 1
tour de la on utilise illustre la propre en
Énoncés des exercices
9
2.Matrice triangulaire inversible n×n1 SiARest inversible et triangulaire supérieure, montrer queAest triangulaire supérieure. Préciser la diagonale. 3.Inverse d’une matrice et valeurs propres n×n1 Montrer que siARest inversible, les valeurs propres deAsont les inverses des valeurs propres deA. 4.Décomposition de Cholesky ⎛ ⎞ 4 0 2 0 0 4 0 2 Montrer que la matriceA=est définie positive. Déterminer la décomposition de ⎝ ⎠ 2 0 5 0 0 2 0 5 Cholesky. Vérifier avecMatlab. Tester aussi la décomposition de Schur avecMatlab. 5.Matrice définie positive et valeurs propres n×n Montrer que siARest symétrique et définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives. 6.Perturbation du second membre d’un système  "  " 1 0 0 0 10 SoientA=etDA=´=10 ;DAest une perturbation deA. Si 2 1´´ ´  " 1 b=, on définitXetX+DXparA X=bet (A+DA)(X+DX)=b. CalculerXet montrer 1  " 0 queDX. 1 Des détails sur ces perturbations sont donnés au chapitre suivant.
2.2 Valeurs propres et puissances, un exemple ⎛ ⎞ 1 3 0 4 4 3 1 ⎝ ⎠ Soit la matriceA=0 . À l’aide deMatlab, 4 4 1 3 0 4 4 1.Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deA. Les noms anglais sont eigenvalues et eigenvectors... et on peut consulter l’aide en ligne. 2.Construire une matrice de passage qui rendAdiagonale. hotocopie non autorisée est un délit 3.Calculer l’inverse de la matrice de passage. a p 4.Vérifier la diagonalisation en effectuant des produits matriciels. – L n 5.En déduire limn→∞A. Dunod 100 6.Le vérifier en calculantAdirectement.
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