Exercices et problèmes de mathématiques pour l'ingénieur

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Cet ouvrage se propose d'accompagner l'étudiant en Licence et l'élève ingénieur dans leur assimilation des connaissances. Dans chaque chapitre, le lecteur trouvera :
Un rappel de cours concis ;
Des énoncés d'exercices répartis en deux catégories : Des applications directes du cours, classées par ordre de difficulté croissante et qui suivent l'ordre d'exposition des notions dans le cours. Des problèmes plus sophistiqués permettant de généraliser les concepts.
Une rubrique «Du mal à démarrer ?» : Pour chaque question, une indication est proposée afin d'aider l'étudiant à démarrer la résolution de l'exercice.
Les solutions détaillées.
A la fin de chaque solution, une rubrique «Ce qu'il faut retenir de cet exercice» propose un bilan méthodologique.

Publié le : mercredi 25 février 2009
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EAN13 : 9782100539376
Nombre de pages : 288
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OUTILS
MATHÉMATIQUES DE BASE
RAPPELS DE COURS
1.1
RAPPELS DANALYSE
a) Intégrales généralisées Définitions   R f(x)d x=limf(x)d x R→∞ a a   b b f(x)d x=limf(x)d xsifnon bornée enx=a e0 a a+e
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Si ces limites existent, on dit que l’intégrale correspondante converge (ou est convergente), sinon elle diverge (ou est divergente). Exemple l’intégrale de Riemann(dans les deux cas ci-dessous on aa>0) : 1 à l’infinidxconverge sia>1et diverge sinon a x a a 1 en zérodxconverge sia<1et diverge sinon. a x 0 On en déduit uncritère de convergencetrès utile : 1 si pourx∼ ∞on a:f(x)alors l’intégralef(x)dxconverge sia>1;et diverge sinon a x a a 1 si pourx0on a:f(x)alors l’intégralef(x)dxconverge sia<1et diverge sinon. a x 0
Par extension on définit (définition au sens standard)   c R f(x)d x=limf(x)d x+ limf(x)d xpourcborné quelconque. R→∞R→∞ −∞ −R c   b ceb f(x)d x=limf(x)d x+ limf(x)d xsifnon bornée enx=c]a,b[ e0e0a a c+e
Chapitre 1
Outils mathématiques de base
On utilise souvent une définition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de lapartie principale(ou valeur principale) de Cauchy   R PPf(x)d x=limf(x)d x R→∞ −∞ −R     b ceb PPf(x)d x=limf(x)d x+f(x)d xsifnon bornée enx=c]a,b[ e0 a a c+e
Si l’intégrale converge au sens standard elle converge aussi en partie principale et les deux défi nitions donnent la même valeur de l’intégrale. Une intégrale peut converger en PP sans converger au sens standard.
b) Séries Séries numériques On appelle somme partielle de rangNd’une série numérique de terme généralunla somme :
N SN=un n=0
La série converge et a pour sommeSsi la suiteSNa une limite bornée :S=limSNet on note : N→∞
S=un n=0
Unecondition nécessairelimde convergence est que un=0 ; la convergence de la série de terme n→∞ général|un|entraîne celle de la série de terme généralunqui est alors qualifiée d’absolument convergente. Exemples 1 1.soitz(x)=(fonctionzde Riemann) ; cette fonction est définie (iela série converge) x n n=1 pourx>1; n 2.lasérie géométriquederaisonq:qest convergente pour|q|<1et a pour somme n=0 1 . 1q
Critè res de convergence pour une série à termes positifs (un0) : un+1 ®critère de d’Alembert : soitL=Silim . L<; si1 la série converge L>1 la série n→∞ un diverge ;
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1.1. Rappels d’analyse
1/n ®critère de Cauchy : soitL=lim (unSi) . L<; si1 la série converge L>1 la série n→∞ diverge ; un ®limcritère de comparaison : si =Lavec 0<L<alors les deux séries de terme vn n→∞ généralunetvnsont de même nature. n Pour une série alternéeun=(1)anavecan>a le critère de Leibniz : si à partir d’un0 on rangNla suiteanlimest monotone décroissante et an=0 (condition nécessaire) alors la série n→∞ converge.
Séries de fonctions Le terme général est une fonction :xun(x). De ce fait la somme de la série est aussi une fonc tionxS(x). Àxfixé on est ramené à une série numérique. La convergence de la série est alors assujettie à la valeur de la variable (convergence simple). On parle dedomaine de convergence. S’il existe une série numériqueconvergenteà termes positifsantelle qu’à partir d’un rangNon a|un(x)|anx[a,b] alors la série de terme généralun(x) estuniformément (et absolument) convergentedans [a,b] et la somme de la série est une fonction continue dans cet intervalle (critère de Weierstrass).
n Cas particulier : les séries entièresun(x)=anx an Le domaine de convergence est l’intervalle ]R,R[ oùR=appelélim est rayon de   n→∞ an+1 convergencede la série (dansCle domaine de convergence est un disque de rayonR). Dans le domaine de convergence la somme d’une série entière est une fonction continue. La série est dérivable et intégrable terme à terme.
Exemples de séries entières
n x n=0
n x n! n=0
n x n n=1
1 = 1x
x =e
=ln(1x)
|x|<1
|x|<
|x|<1
2n nx (1) (2n)! n=0
2n+1 nx (1) (2n+ 1)! n=0
=cosx
=sinx
|x|<
|x|<
c) Équations différentielles Il existe des méthodes générales de résolution dans un petit nombre de cas rappelés cidessous : Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Chapitre 1
Outils mathématiques de base
Équations du premier ordreF(x,y,y)=0 les équations aux variables séparables : l’équation peut être mise sous la formef(y)d y=g(x)d x et intégrée directement ; les équations linéaires : elles sont de la forme
a0(x)y+a1(x)y=f(x)   a1(x) la solution générale est de la forme :y(x)=ay1(x) +y0(x) oùy1(x)=expd x a0(x) est une solution de l’équation sans second membre,aune constante arbitraire ety0(x) une solution particulière de l’équation complète, qui peut s’obtenir parvariation de la constante: xf(x) y0(x)=y1(x)d x. ′ ′ a0(x)y1(x)
Équations linéaires du second ordre à coefficients constants ′′ ′ a0y+a1y+a2y=f(x) r x L’équation sans second membre se résout en posanty(x)=erRouCest déterminé par identification. La solution particulière de l’équation complète s’obtient par identification selon la forme du second membre ou par la méthode de variation de la constante.
1.2
LES FONCTIONS UTILISÉES EN PHYSIQUE
Fonctionscontinuesoucontinues par morceaux, à dérivées continues ou continues par morceaux k Une fonction est de classeCsur un intervalleI(éventuellementR) si elle est continue surIainsi que seskpremières dérivées. Une fonctionCest indéfiniment dérivable. Une fonction continue par morceaux a des discontinuités de première espèce (de saut fini) et est continue sur les intervalles délimités par les discontinuités. Exemples
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1 0 1.la fonction valeur absoluet→ |t|estCpar morceaux car elle est continue (C) et sa dérivée première est continue par morceaux ; 2.la fonction (ou échelon) deHeaviside
u:tu(t)
= =
0pourt<0 1pourt>0
0 est continue par morceaux (ouC;par morceaux) 3.les fonctionscausalessont nulles pourt<0. Elles satisfont l’identitéf=ufuest la fonction de Heaviside.
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