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Publications similaires

Histoires de Sciences
Inventions, d´couvertes et savants e

Acteurs de la Science
collection dirig´e par e Richard Moreau Professeur honoraire ` l’Universit´ de Paris XII, a e Correspondant national de l’Acad´mie d’Agriculture de France e La collection Acteurs de la Science comprend des ´tudes sur les e acteurs d’une ´pop´e scientifique qui, depuis le dix-neuvi`me si`cle, e e e e donna ` l’homme l’impression de dominer la nature, ou sur certains a de leurs pr´curseurs ; des in´dits et des r´impressions de textes anciens e e e ´crits par les savants qui firent la Science ou sur eux par leurs pairs ; e des d´bats et des ´valuations sur les d´couvertes les plus marquantes e e e depuis le si`cle des Lumi`res et sur la pratique de la Science. e e D´j` parus : ea
Andr´ Audoyneau, Le Docteur Albert Schweitzer et son hˆpital a e o ` Lambar´n´. L’envers d’un mythe, 2005. e e Jacques Verdrager, L’OMS et le paludisme. M´moires d’un m´decin e e sp´cialiste de la malaria, 2005. e Christian Marais, L’ˆge du plastique. Pr´face de Pierre-Gilles de Gennes, a e 2005. Jean Perdijon, Einstein, la relativit´ et les quanta, 2005. e Lucienne F´lix, R´flexion d’une agr´g´e de math´matiques au XX`me si`cle, e e e e e e e 2005. Lise Brachet, Le professeur Jean Brachet, mon p`re, 2004. e Jacques Risse, Les professions m´dicales en politique (1875-2002), 2004. e Patrice Pinet, Pasteur et la philosophie, 2004. Jean Defrasne, Histoire des Associations fran¸aises, 2004. c Pierre Schuller, La face cach´e d’une vocation, 2004. e Fran¸ois Du Mesnil du Buisson, Penser la recherche. L’exemple de physioloc gie animale, 2003. Michel Cointat,Le Moyen Age moderne : sc`nes de la vie quotidienne au e XX`me si`cle, 2003. e e Robert Sigalea, Johann-Martin Hongberger, m´decin et aventurier de l’Asie, e 2003. Philippe Caspar (sous la dir. de),Maladies sexuellement transmissibles. Sexualit´ et institutions, 2003. e

Suite des titres de la collection en fin de volume.

Le m´tier de chercheur e

Comment fait-on de la recherche scientifique ? Comment trouve-t-on ? Comment les id´es viennent-elles aux chercheurs ? e La cr´ativit´ est-elle inn´e ou peut-on la d´velopper, la cultiver ? e e e e Ce sont des questions que l’on se pose souvent, surtout lorsque l’on n’est pas directement impliqu´ dans la recherche. Disons tout de e suite qu’il n’y a pas de r´ponse ` ces questions, tout simplement e a parce qu’il n’y a pas de recette pour trouver, pour d´couvrir, pour e inventer. Si une telle recette existait, alors il n’y aurait plus besoin (ou presque) de chercheurs ; il suffirait d’appliquer bˆtement e la recette, de tourner la manivelle (ou l’ordinateur, ce qui revient au mˆme) et d’attendre le r´sultat. Je crois plutˆt ` la bonne e e o a ´toile, ` l’inspiration, a l’intuition, a l’analogie, a la d´duction, a la e a ` ` ` e ` synth`se, ` l’illumination soudaine, a la bonne f´e et ` sa baguette e a ` e a magique, au hasard, a l’accident, ` la chance, aux tˆtonnements et ` a a mˆme ` l’erreur, facteurs qui interviennent tous, a plus ou moins e a ` fortes doses, dans toute d´couverte scientifique et, bien entendu, e au travail, souvent acharn´. Yehudi Menuhin (1916-1999) va mˆme e e plus loin quand il ´crit on ne peut atteindre la perfection que si la e recherche devient mode de vie. Il est cependant possible, en s’appuyant sur les t´moignages e dont nous disposons, de faire comprendre ce qu’est la cr´ativit´ e e et comment viennent les id´es nouvelles. Il est ´galement pose e sible de d´crire la m´thode (ou l’absence de m´thode) scientie e e fique. On peut ainsi parvenir, peu a peu, sinon a comprendre ` ` totalement, du moins ` saisir comment se construit la connaisa sance scientifique, comment s’´labore ce que Fran¸ois Jacob∗ (n´ e c e en 1920) appelle la science de nuit par opposition a la science ` de jour qui est pr´sent´e dans les manuels et dans les articles e e

des revues sp´cialis´es. Comme l’a dit E. Rabier dans un discours e e prononc´ ` la Sorbonne a l’occasion de la distribution des prix e a ` du Concours G´n´ral en 1886, c’est faire le plus grand tort aux e e d´couvertes scientifiques, que de les d´tacher de leurs origines et e e de ne voir en elles que la seule v´rit´. D’apr`s l’astronome et e e e math´maticien fran¸ais Pierre Simon de Laplace (1749-1827) la e c connaissance de la m´thode qui a guid´ l’homme de g´nie n’est pas e e e moins utile aux progr`s de la science et mˆme ` sa propre gloire e e a que ses d´couvertes ; cette m´thode en est souvent la partie la plus e e e int´ressante. Et Gottfried Wilhelm Leibniz∗ (1646-1716) ´crivait e il y a une chose plus importante que les belles d´couvertes, c’est e la connaissance de la m´thode par laquelle on les fait. e Il ne faut pas non plus s´parer ces d´couvertes des femmes et e e ` e des hommes qui les ont faites. A d´tacher la science de ses acteurs, on risque de la rendre s`che, inhumaine et uniquement technique. e Il ne faut pas oublier qu’elle fait partie de l’histoire de l’humanit´ e et, qu’avant d’ˆtre devenus des savants, ces acteurs ont ´t´ ene ee fants, adolescents, ´tudiants, qu’ils ont fond´ des familles, eu des e e contacts avec des coll`gues, qu’ils ont pu ˆtre en butte ` des dife e a ficult´s de tous ordres. On verra comment les circonstances et le e hasard ont pu, quelquefois, orienter leur carri`re, leurs recherches e et mˆme toute leur vie. La science n’est pas sortie de nulle part, e elle s’est bˆtie pas ` pas, chacun b´n´ficiant du travail de ses a a e e pr´d´cesseurs, comme nous allons nous en rendre compte. La voie e e vers la d´couverte n´cessite souvent un long d´tour et l’ascene e e sion vers le sommet est difficile. La science progresse lentement. Il faut laisser les connaissances s’accumuler et mˆ rir. Elle est le u fruit d’une multitude de serviteurs, chacun apportant sa pierre a e ` l’´difice collectif. De temps en temps, surgit un esprit hors du commun qui lui fait faire un pas de g´ant. e J’ai donc essay´ de rassembler ici l’histoire d’un certain nombre e de d´couvertes et d’inventions scientifiques, dans des domaines e aussi vari´s que possible. J’esp`re qu’elles donneront une id´e des e e e diff´rents chemins qui peuvent mener ` des r´sultats nouveaux. e a e On verra, a cette occasion, que les processus ne sont pas tr`s ` e diff´rents d’une science ` l’autre. Bien sˆr, les sciences de la nature e a u pr´sentent, dans certains cas, un cˆt´ plus exp´rimental que, par e oe e exemple, les math´matiques, mais nous verrons que l’exp´rience y e e intervient aussi. On verra que le travail du chercheur commence, en g´n´ral, par la pr´paration pendant laquelle il examine toutes e e e 6

les faces de son probl`me. Il s’impr`gne de son sujet. Puis vient e e la phase d’incubation o` l’esprit travaille seul, inconsciemment, a u ` partir des informations accumul´es pendant la pr´paration. C’est e e une digestion et une assimilation mentale qui s’effectuent en y incorporant toutes les connaissances acquises pr´alablement, mˆme e e celles qui semblent n’avoir aucun rapport avec la question. Ensuite surgit l’illumination qui, d’apr`s le Littr´, est la connaissance soue e daine, spontan´e, indubitable, comme celle que la vue nous donne e de la lumi`re et des formes sensibles. Cette illumination s’accome pagne, la plupart du temps, de la certitude d’avoir trouv´ la bonne e r´ponse. Cette illumination, qui peut se produire dans les situae tions les plus ´tranges, semble ´chapper ` toute logique et ` toute e e a a analyse. De nombreux t´moignages en font ´tat. Il semble bien e e que la cr´ation artistique passe par des ´tapes analogues. L’illue e mination ne survient pas, en g´n´ral, lors d’un effort intense pour e e r´soudre le probl`me. Le cerveau est bloqu´, comme lorsque l’on e e e cherche un mot qui ne vient pas, et il a besoin de repos. Il faut savoir arrˆter son travail pour prendre du recul ; c’est alors que e l’illumination surgit. La derni`re phase du travail du chercheur e est la v´rification de la validit´ de l’intuition, soit par le biais e e d’exp´riences, pour les sciences de la nature, soit ` l’aide d’une e a d´monstration pour les math´matiques. Mais les id´es les plus bie e e zarres et les plus irrationnelles peuvent se montrer f´condes. La e v´rit´ est sans doute que, dans toute d´couverte, le rationnel et e e e l’irrationnel se cˆtoient. o La beaut´ d’une d´couverte va, en g´n´ral, de pair avec sa e e e e simplicit´. Un mod`le en est la d´monstration de l’irrationalit´ de e e e e la racine carr´e de 2 par les math´maticiens de la Gr`ce antique. e e e On a souvent parl´ de po´sie au sujet des math´matiques. Ce sont e e e souvent les id´es les plus simples, et donc esth´tiquement les plus e e belles, qui apportent les r´sultats les plus int´ressants. Mais la e e simplicit´ et l’´vidence de certaines d´couvertes ne se voient que e e e lorsqu’elles ont ´t´ obtenues. ee On pourrait multiplier les citations de scientifiques et de philosophes qui ont essay´ d’analyser les processus de la cr´ation. e e J’ai pr´f´r´ laisser le lecteur s’en faire une id´e en racontant un eee e ` oe certain nombre de d´couvertes et d’inventions. A cˆt´ des r´cits e e destin´s ` mettre en lumi`re les chemins de la d´couverte, j’ai e a e e plac´, pour leur seul int´rˆt, d’autres aventures scientifiques. Elles e ee illustrent la marche de la science. On peut cependant dire que le 7

d´veloppement d’un travail de recherche selon la m´thode induce e tive se d´compose en trois phases : l’analyse des faits connus, e l’´laboration d’un mod`le et la v´rification du mod`le. Cette e e e e v´rification consiste, dans les sciences de la nature, en de noue velles observations. C’est ce qu’il s’est produit, par exemple, pour la d´viation des rayons lumineux lorsqu’ils passent au voisinage e d’un corps c´leste massif. Cette d´viation avait ´t´ pr´vue par la e e ee e th´orie de la relativit´ et elle fut observ´e lors de l’´clipse de 1919. e e e e Si la v´rification n’est pas concluante, on modifie le mod`le et l’on e e recommence une nouvelle v´rification. En math´matiques, l’obe e tention de r´sultats nouveaux suit ´galement le mˆme sch´ma. En e e e e effet, apr`s avoir analys´ un certain nombre de r´sultats ant´rieurs e e e e et y avoir incorpor´ ses propres remarques, le chercheur en vient e a ` formuler une id´e, il pense qu’un certain r´sultat doit ˆtre vrai. e e e C’est son mod`le. Il essaye alors de le d´montrer. S’il n’y pare e vient pas, il doit rajouter des hypoth`ses, c’est-`-dire modifier e a son mod`le. Puis il reprend sa d´monstration. On proc`de ainsi e e e jusqu’` l’aboutissement et l’on obtient alors ce qui s’appelle un a th´or`me. L’analyse num´rique est la branche des math´matiques e e e e o` s’´laborent et s’´tudient les m´thodes (on dit algorithmes) qui u e e e permettent de r´soudre num´riquement, en g´n´ral de fa¸on ape e e e c proch´e, les probl`mes que les math´matiques classiques ne savent e e e pas r´soudre. Cette r´solution num´rique s’effectue sur ordinae e e teur. La mise au point d’un nouvel algorithme suit, elle aussi, une d´marche inductive ; le mod`le que l’on ´labore est l’algorithme e e e et sa v´rification prend la forme d’essais num´riques effectu´s sur e e e ordinateur. On peut disserter longtemps sur la diff´rence entre d´couverte e e et invention. On d´couvre quelque chose qui pr´existait, comme la e e structure du benz`ne ou l’´lectron, alors que l’on invente quelque e e chose de nouveau, comme un objet, un instrument, une technique ou un vaccin. Cependant la fronti`re entre invention et d´couverte e e est floue ; doit-on dire d’une th´orie nouvelle, comme la relativit´ e e qui rend compte de ph´nom`nes jusqu’alors inexpliqu´s, qu’elle e e e est une invention, puisqu’elle n’existait pas avant sa formulation par Einstein, ou une d´couverte, puisque la nature ob´issait d´j` ` e e eaa ses lois avant que celles-ci n’aient ´t´ explicit´es ? Nous laisserons ee e ce d´bat de cˆt´. e oe De mˆme qu’il existe des branches diverses dans les sciences, e il existe des cat´gories diff´rentes de chercheurs. Il y a ceux, fort e e 8

utiles, qui, une fois lanc´s, suivent une voie trac´e par un maˆ e e ıtre, et ceux qui ouvrent des voies v´ritablement nouvelles, originales et e d’une grande port´e. Il y a ceux qui r´solvent des probl`mes pos´s e e e e et les cr´ateurs d’id´es. Ils y a ceux qui explorent des contr´es e e e vierges et ceux qui partent ` la conquˆte d’un pic montagneux a e rep´r´ par d’autres, ou organisent l’exp´dition. Comme l’a dit le ee e math´maticien Mark Kac (1914-1984) dans son autobiographie e En sciences, de mˆme que dans les autres domaines de l’actie vit´ humaine, il y a deux sortes de g´nies : les ordinaires et les mae e giciens. Un g´nie ordinaire est quelqu’un que vous et moi aurions e pu ´galer, si nous avions seulement ´t´ plusieurs fois meilleurs. e ee Il n’y a aucun myst`re sur la mani`re dont son esprit travaille. e e Une fois que l’on a compris ce qu’il a fait on est certain que nous, ´galement, nous en aurions ´t´ capables. C’est diff´rent avec e ee e les magiciens... Mˆme apr`s avoir compris ce qu’ils ont fait, le e e proc´d´ par lequel ils l’ont fait est compl`tement obscur. e e e Les g´nies ordinaires voient des analogies entre des concepts e ou des r´sultats exp´rimentaux ou th´oriques, tandis que, comme e e e l’a dit le math´maticien polonais Stefan Banach (1892-1945), les e g´nies voient des analogies entre analogies. Les g´nies sont dou´s e e e d’intuition, ils devinent l’existence d’un tr´sor ignor´. Ils savent, e e sans raisonnement, sans analyse, ce qu’il leur importe de savoir et s’orientent spontan´ment dans la direction o` il y a une d´couverte e u e a ` faire. Il y a aussi les esprits logiques et les intuitifs. Certains scientifiques restent solitaires et n’ont que rarement des ´l`ves, ee d’autres fondent une ´cole. Ces diff´rences de temp´rament entre e e e les chercheurs conditionnent, bien entendu, le style des travaux de chacun. Certains sont plus attir´s par la th´orie et d’autres e e par l’exp´rimentation. Certains aiment les larges aper¸us, d’autres e c pr´f`rent ce concentrer sur un probl`me pr´cis. Certains sont ee e e int´ress´s par les applications de leurs d´couvertes et d’autres pas. e e e Il y a une mani`re personnelle de traiter la science et d’en pare ler. Chaque œuvre est unique, personnelle et porte la marque de son cr´ateur. Il y a une vari´t´ infinie de styles en science, comme e ee en art, en litt´rature ou en peinture. Ces diverses cat´gories de e e chercheurs et de styles apportent chacune leur contribution au d´veloppement de la science. Mais, de toute fa¸on, il existe un e c point commun entre tous les types de chercheurs dans toutes les sciences : la passion.

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Il ne faut pas croire non plus que, pour effectuer des d´couvertes scientifiques, il soit n´cessaire de poss´der une culture e e e encyclop´dique dans un domaine. Ce n’est pas la somme des e connaissances qui entre en jeu, mais la cr´ativit´, la facult´ d’avoir e e e des id´es nouvelles, d’ˆtre capable de voir et d’interpr´ter correce e e tement ce qu’il se passe, ce que l’on observe. L’imagination est plus importante que la connaissance. Il faut une forme de pens´e e qui diff`re de celle qui permet d’enregistrer le savoir, sans ˆtre cae e pable de l’utiliser pour en faire surgir quelque chose de nouveau. D’ailleurs, comme de nombreux chercheurs l’ont fait remarquer, vouloir tout lire, tout connaˆ sur un sujet peut ˆtre n´faste car ıtre e e cela oriente l’esprit dans une certaine voie et peut nuire a l’origi` nalit´ de la pens´e. Il faut ´galement savoir se poser les bonnes e e e questions au bon moment, distinguer ce qui est important de ce qui l’est moins. J’ai pr´f´r´ s´parer l’histoire des d´couvertes de la biographie eee e e des chercheurs qui les ont faites. Cela laisse plus de libert´ au e lecteur pour aller et venir a sa guise. J’ai donn´ les dates de nais` e sance et de d´c`s des personnes cit´es ; cela permet de trouver plus e e e facilement les pages web correspondantes. Puissent ces quelques images de sciences et ces biographies soulever le voile qui entoure les processus de d´couverte scientifique e et, pourquoi pas, faire naˆ des vocations ! ıtre Un ast´risque qui suit le nom d’un personnage indique que sa e biographie est donn´e dans le Chapitre 3. e Remerciements : Je tiens ` remercier ma femme Nicole pour sa a lecture attentive de ce texte, les corrections et les am´liorations e qu’elle a sugg´r´es. Je remercie Renzo Paolo Vedova qui m’a ee ´clair´ sur l’histoire d’Antonio Meucci et de Graham Bell. Le soue e tien de Michela Redivo Zaglia ne s’est jamais d´menti et je lui e suis reconnaissant de son aide constante. Le Professeur Richard Moreau a bien voulu accepter cet ouvrage dans la collection qu’il dirige. Il m’a ´galement fait b´n´ficier de ses vastes connaissances, e e e m’a fait part de nombreuses remarques constructives et m’a dirig´ e vers des sources que je ne connaissais pas. Je lui en sais gr´. Enfin, e je tiens ` remercier toute l’´quipe de l’Harmattan pour son aide a e dans la pr´paration finale du texte. e

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Les sentiers de la d´couverte e
Je vais ici raconter l’histoire d’un certain nombre de d´couvertes scientifiques. Mon but est de montrer que les sene tiers de la d´couverte peuvent ˆtre sinueux, tortueux, souvent e e impr´visibles. La d´couverte peut ˆtre r´fl´chie, mˆrie mais elle e e e e e u peut tout aussi bien ˆtre le fruit du hasard, ou passer par la sue bite illumination avec son sentiment de certitude, ou encore provenir d’erreurs. J’ai aussi ajout´ l’histoire d’un certain nombre de e d´couvertes qui, bien qu’elles n’illustrent pas mon propos, m’ont e sembl´ int´ressantes pour une raison ou une autre. On y verra cere e taines histoires se croiser, montrant ainsi l’influence d’un domaine sur un autre. Quand les scientifiques ont eux-mˆmes racont´ leur d´couverte, e e e la parole leur sera laiss´e. Rien ne vaudra jamais les r´cits de e e premi`re main. e Des ´l´ments biographiques concernant certains savants ee ´voqu´s sont donn´s directement dans les histoires qui suivent. e e e Cependant, une biographie, parfois succincte, des principaux acteurs est fournie dans le Chapitre suivant. Une ast´risque ∗ ` la e a suite d’un nom propre l’indique. Dans chacun des domaines de la science, j’ai essay´, dans la e mesure du possible, de pr´senter les r´cits dans l’ordre chronoloe e gique de la d´couverte majeure. Cependant, cela n’a pas ´t´ toue ee jours possible puisque certaines histoires s’´tendent dans le temps e et mettent en sc`ne de nombreux acteurs. Chacune des histoires e peut ˆtre lue s´par´ment. e e e

Les math´matiques e
La quadrature du cercle
Pour d´signer un probl`me impossible ` r´soudre, une exe e a e pression populaire ´voque la quadrature du cercle. Ce probl`me e e math´matique a cependant ´t´ r´solu vers la fin du dix-neuvi`me e ee e e si`cle, comme nous allons le voir. e En quoi ce probl`me consiste-t-il ? Il s’agit, en faisant usage e seulement d’une r`gle et d’un compas, de construire un carr´ ayant e e la mˆme superficie qu’un cercle donn´. Il est tr`s difficile de savoir e e e qui s’est pos´ le premier cette question. Mais on l’attribue cepene dant ` Anaxagoras de Clazomenae (c. 500 av. J.-C.-c. 428 av. J.a C.). Depuis cette ´poque ce probl`me fascine les math´maticiens e e e professionnels ainsi que de tr`s (et trop !) nombreux amateurs. e En effet, comme le th´or`me de Fermat, l’expos´ du probl`me est e e e e simple et l’on peut facilement s’imaginer que sa solution l’est tout autant, ce qui est loin d’ˆtre le cas. e Il faudrait un livre entier pour mentionner les contributions fausses et celles qui ont pav´ la voie de la solution. Je n’en e ´voquerai que quelques unes, sans entrer dans des d´tails teche e niques. Bien entendu, ce probl`me est li´e ` la nature arithm´tique e e a e du nombre π = 3.1415926535 . . . qui donne le rapport entre la circonf´rence d’un cercle et son diam`tre. e e Hippocrate (c. 460 av. J.-C.-377 av. J.-C.) semble ˆtre le pree mier ` avoir cherch´ ` r´soudre le probl`me. Il s’´tait int´ress´ ` a ea e e e e ea la quadrature d’autre figures g´om´triques mais il savait tr`s bien e e e que sa m´thode ´chouait pour le cercle. D’autres savants grecs, e e moins connus, s’y attaqu`rent ´galement, mais Aristote (384 av. e e J.-C.-322 av. J.-C.) n’appr´ciait pas leurs efforts. e La contribution suivante vint d’Archim`de (287 av. J.-C.-212 e av. J.-C.) dans son travail sur les spirales. Il montra que la surface d’un cercle est ´gale ` celle d’un triangle rectangle ayant ses pee a tits cˆt´s ´gaux respectivement au rayon et ` la circonf´rence du oe e a e cercle. Mais cela ne r´solvait pas pour autant le probl`me. Apole e lonius de Perga (c. 262 av. J.-C.-c. 180 av. J.-C.) utilisa certaines courbes pour quarrer le cercle, comme on dira plus tard, mais on ne sait pas de quelles courbes il s’agissait. Bien qu’ils n’aient pas ´t´ capables de le d´montrer, les math´maticiens grecs ´taient ee e e e persuad´s que le probl`me ´tait insoluble. e e e 12

Quittons maintenant le monde antique. Quelques essais furent faits en Inde, o` les math´matiques ´taient tr`s d´velopp´es, ainsi u e e e e e qu’en Chine o` un math´maticien du nom de Liu Hsing, fils du u e philosophe Liu Hsio attach´ ` la maison imp´riale de la dynastie ea e Han, s’int´ressa ` la question aux alentours de l’an 25. On connaˆ e a ıt les nombreux apports du monde arabe aux math´matiques. Le e probl`me de la quadrature du cercle n’´chappa pas ` leurs invese e a tigations. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965-1040) essaya de convaincre les gens que le probl`me pouvait ˆtre r´solu et il proe e e mettait d’´crire un livre sur ce sujet. Mais, comme le livre n’est e jamais paru, on pense qu’il se rendit compte qu’il n’´tait pas arriv´ e e a ` la solution. En 1050, Franco de Li`ge publia un trait´, De quadratura cire e culi. Il examine trois m´thodes ant´rieures bas´es sur l’hypoth`se e e e e que π est ´gal ` 25/8, 49/16 ou 4. Puis il donne sa construction en e a utilisant 22/7 = 3.142857 . . . pour π. Bien que l’ouvrage ait une grande importance historique, il montre surtout combien le raisonnement math´matique de cette ´poque ´tait loin derri`re celui e e e e des grecs de l’antiquit´. e Bien que fausse, la m´thode de Nicolas de Cusa (1401-1464), e un cardinal allemand n´ dans le dioc`se de Tr`ves, fut l’une des e e e premi`res tentatives s´rieuses. Il utilisait des polygones inscrits et e e circonscrits au cercle et calculait des moyennes. Regiomontanus (1436-1476), un astronome allemand n´ ` K¨nigsberg et auteur e a o d’un trait´ de trigonom´trie, trouva une erreur dans son argue e mentation. De tr`s nombreux math´maticiens du seizi`me si`cle se e e e e pench`rent sur le probl`me et L´onard de Vinci (1452-1519) eut e e e mˆme l’id´e de plusieurs machines pour le r´soudre. e e e Les d´buts du calcul diff´rentiel et int´gral augment`rent, e e e e s’il en ´tait encore besoin, l’int´rˆt des math´maticiens. Une e ee e d´monstration fausse fut donn´e dans un livre de Gr´goire de Saint e e e Vincent (1584-1667) publi´ en 1647. Puis ce fut au tour de James e Gregory (1638-1675) de s’en mˆler. Il utilisait les id´es qu’il avait e e d´velopp´es sur la convergence des suites infinies pour essayer de e e d´montrer l’impossibilit´ de la quadrature du cercle. Il voulait e e montrer que le nombre π ne pouvait ˆtre racine d’un polynˆme e o a ` coefficients entiers, c’est-`-dire que π ´tait un nombre transcena e dant. C’est une ´tape fondamentale vers la solution puisque c’est e en utilisant cette propri´t´ que le probl`me sera r´solu plus tard. ee e e 13

De son cˆt´, Christiaan Huygens (1629-1695) croyait que π ´tait oe e un nombre alg´brique, racine d’un tel polynˆme. e o Un second pas majeur fut franchi par Johann Heinrich Lambert (1728-1777) qui d´montra en 1761 que π ´tait un nombre irrae e tionnel, ce qui veut dire qu’il ne peut pas s’exprimer sous la forme d’une fraction. Mais cela ne r´solvait pas encore notre probl`me. e e Il y avait ` cette ´poque tellement de solutions fausses qui ´taient a e e pr´sent´es ` l’Acad´mie des Sciences que celle-ci d´cida, en 1775, e e a e e de n’en plus examiner aucune. La trisection de l’angle et le mouvement perp´tuel subissaient le mˆme sort. Condorcet ´crivait ` e e e a propos de cette d´cision de l’Acad´mie des Sciences e e Mais le nombre de ceux qui consument une partie de leur vie a ` ces vaines recherches, dont tout le fruit est de nuire a leur fortune ` et trop souvent d’alt´rer leur raison, l’a d´termin´e ` prendre une e e e a r´solution qu’elle a cru propre a les d´tourner de cette occupation. e ` e Elle a craint que, si elle continuait a examiner leurs solutions, elle ` pˆt ˆtre accus´e de les encourager ` s’en occuper, et qu’elle ne se u e e a rendˆ en quelque sorte complice des malheurs qui leur arrivent. ıt La Royale Society de Londres prit la mˆme d´cision. e e e a e En 1873, Charles Hermite∗ (1822-1901) r´ussit ` d´monter la transcendance du nombre e, base des logarithmes n´p´riens. Il utie e lisait pour cela une certaine g´n´ralisation des fractions continues. e e Sa d´monstration ´tait laborieuse (73 pages) et certains points e e ´taient mˆme obscurs. Mais il savait que son approche pouvait e e ` s’appliquer a π. A ce sujet, il ´crivait ` Carl Wilhelm Borchardt ` e a (1817-1880) Je ne me hasarderai point ` la recherche d’une d´monstration a e de la transcendance du nombre π. Que d’autres tentent l’entreprise ; mais croyez m’en, mon cher ami, il ne laissera pas de leur en coˆter quelques efforts. u Au grand ´tonnement d’Hermite et de toute la commue naut´ math´matique internationale, la r´ponse vint, en 1882, du e e e math´maticien allemand Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852e 1939). Une controverse ouverte depuis plus de deux mille ans se terminait ainsi par une r´ponse n´gative. Et cependant, a e e ` l’heure actuelle, certaines personnes cherchent toujours a r´soudre ` e le probl`me de la quadrature du cercle ! e

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Eurˆka e
L’histoire du bain d’Archim`de∗ (287 av. J.-C.-212 av. J.-C.) e est connue de tous. Plutˆt que de la raconter une fois de plus, je o pense qu’il vaut mieux laisser la parole a Marcus Vitruvius Pollio ` (connu sous le nom de Vitruve), architecte et ing´nieur romain du e premier si`cle. Dans son c´l`bre livre De l’architecture, il ´crit e ee e Parmi le grand nombre d’admirables d´couvertes faites par Are chim`de, il faut remarquer celle dont je vais parler, et dans laquelle e il montre une subtilit´ d’esprit presque incroyable. e Lorsque Hi´ron r´gnait ` Syracuse, ce prince, ayant heureusee e a ment r´ussi dans toutes ses entreprises, fit vœu d’offrir, dans un e certain temple, une couronne d’or aux dieux immortels. Il convint, avec un ouvrier, d’une grande somme d’argent pour la fa¸on, et c lui donna l’or au poids. Cet artisan livra son ouvrage le jour qu’il avait promis au roi, qui le trouva parfaitement bien ex´cut´, et la e e couronne, ayant ´t´ pes´e, parut ˆtre du poids de l’or qui avait ee e e ´t´ donn´ ; mais, lorsqu’on fit l’´preuve, on reconnut que l’ouvrier ee e e avait gard´ une partie de l’or, qu’il avait remplac´ par autant d’are e gent dans cette couronne. Le roi fut tr`s offens´ de cette tromperie et, ne pouvant troue e ver de moyen pour convaincre l’ouvrier du vol qu’il avait fait, il pria Archim`de d’en chercher quelqu’un dans son esprit. Un e jour qu’Archim`de, tout pr´occup´ de cette affaire, se mettait au e e e bain, il s’aper¸ut par hasard qu’` mesure qu’il s’enfon¸ait dans le c a c bain l’eau s’en allait par dessus les bords. Cette observation lui fit d´couvrir la raison de ce qu’il cherchait, et, sans tarder davane tage, la joie le transporta tellement qu’il sortit du bain, et courant tout nu ` sa maison, il se mit a crier qu’il avait trouv´ ce qu’il a ` e cherchait, disant en Grec : Eurˆka ! Eurˆka (Je l’ai trouv´ ! Je l’ai e e e trouv´ !). On dit qu’` la suite de cette premi`re d´couverte il fit e a e e faire deux masses de mˆme poids qu’´tait la couronne, l’une d’or e e et l’autre d’argent, qu’il plongea dans un vase plein d’eau la masse d’argent, laquelle, a mesure qu’elle s’enfon¸ait, faisait sortir une ` c quantit´ d’eau ´gale au volume qu’elle avait ; qu’ensuite, l’ayant e e ˆt´e, il remplit de nouveau le vase en y remettant autant d’eau oe qu’il en ´tait sorti, et qu’il avait pris soin de mesurer, ce qui lui e fit connaˆ la quantit´ d’eau qui r´pondait ` la masse d’argent ıtre e e a qu’il avait plac´e dans le vase. Apr`s cette exp´rience, il plongea e e e ´galement la masse d’or dans le mˆme vase plein d’eau, et apr`s e e e 15

l’avoir retir´e, il mesura de nouveau l’eau qui ´tait sortie, et il e e trouva que la masse d’or n’avait pas fait sortir autant d’eau, et que la diff´rence en moins ´tait ´gale ` la diff´rence du volume de e e e a e la masse d’or compar´e au volume de la masse d’argent qui ´tait e e de mˆme poids ; ensuite, il remplit encore le vase, et cette fois, e il y plongea la couronne, qui fit sortir plus d’eau que la masse d’or qui ´tait de mˆme poids n’en avait fait sortir, et moins que e e la masse d’argent n’en avait d´plac´. Calculant enfin, d’apr`s ces e e e exp´riences, de combien la quantit´ d’eau que la couronne avait e e fait sortir ´tait plus grande que celle que la masse d’or avait aussi e fait sortir, il connut combien il y avait d’argent mˆl´ avec l’or, et ee fit voir clairement ce que l’ouvrier avait d´rob´. e e Archim`de avait trouv´ comment obtenir le volume d’un objet e e de forme quelconque. La physique avait ainsi fourni une m´thode e g´n´rale de r´solution de toute une classe de probl`mes que les e e e e math´matiques ne savaient (et ne savent toujours pas) r´soudre ! e e

Le calcul infinit´simal e
La d´couverte du calcul infinit´simal doit ˆtre partag´e entre e e e e Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz∗ (16461716). Dans une lettre ` Guillaume de L’Hospital, Marquis de a Sainte-Mesme, (1661-1704), ce dernier raconte comment s’effectua cette d´couverte e J’avais pris depuis longtemps plaisir a chercher les sommes des ` s´ries de nombres et je m’´tais servi, pour cela, des diff´rences, e e e d’apr`s un th´or`me assez connu, que dans une s´rie d´croissante e e e e e ` l’infini, le premier terme est ´gal ` la somme de toutes ses a e a diff´rences. Cela m’avait donn´ ce que j’appelais le triangle hare e monique, oppos´ au triangle arithm´tique de Pascal. Car Pascal e e avait montr´ comment on peut donner les sommes des nombres e figur´s, qui proviennent en cherchant les sommes et les sommes e des sommes des termes de la progression harmonique naturelle ; et moi, je trouvais que les fractions des nombres figur´s sont e les diff´rences et les diff´rences des diff´rences des termes de la e e e progression harmonique naturelle, et qu’ainsi on peut donner les sommes des s´ries des fractions figur´es, comme e e 1 1 1 1 + + + + ··· 1 3 6 10 16

et 1 1 1 1 + + + + ··· 1 4 10 21 Reconnaissant donc cette grande diff´rence, et voyant come ment, par le calcul de Descartes, l’ordonn´e de la courbe peut e ˆtre exprim´e, je vis que pour les quadratures ou les sommes e e des ordonn´es n’est autre chose que trouver une ordonn´e dont e e la diff´rence soit proportionnelle ` l’ordonn´e donn´e. Je recone a e e nus aussi bientˆt que trouver les tangentes n’est autre chose que o diff´rencier, et trouver les quadratures n’est autre chose que some mer, pourvu qu’on suppose les diff´rences incomparablement pee tites. Je vis aussi que n´cessairement les grandeurs diff´rentielles e e se trouvent hors de la fraction, et qu’ainsi on peut donner les tangentes sans se mettre en peine des irrationnelles et des fractions. Et voil` l’histoire de l’origine de ma m´thode, methodus differena e tialis. Quant a Newton, il fut guid´ par une analogie m´canique ` e e J’appellerai fluentes, ces quantit´s que je consid`re comme e e croissantes ou d´croissantes graduellement et ind´finiment ; et je e e les repr´senterai par u, x, y et z. Quant aux vitesses que chacune e des fluentes re¸oit du mouvement g´n´rateur (vitesses que j’apc e e pelle fluxions), je les exprimerai par les lettres surmont´es d’un e point u, x, y et z. ˙ ˙ ˙ ˙ On voit combien les associations d’id´es peuvent ˆtre fruce e tueuses.

Les m´thodes de Monte-Carlo e
Il est difficile de donner une d´finition pr´cise des m´thodes e e e de Monte-Carlo car ce terme englobe des m´thodes de calcul tr`s e e diverses. Cependant, l’un de leurs points communs est l’utilisation de ph´nom`nes al´atoires (c’est-`-dire qui d´pendent du hae e e a e sard). Comme les calculs doivent, le plus souvent, ˆtre effectu´s e e sur ordinateur ce ph´nom`ne consiste, la plupart du temps, en des e e nombres tir´s au hasard suivant une loi de probabilit´ donn´e. e e e On peut dire qu’une m´thode de Monte-Carlo est une m´thode e e qui consiste ` remplacer un probl`me de nature tout ` fait a e a d´terministe, difficile ` r´soudre, par un probl`me plus simple e a e e 17

mais de nature al´atoire. Les param`tres du probl`me probabie e e liste seront associ´s ` ceux du probl`me d´terministe. La solue a e e tion du probl`me d´terministe sera calcul´e de fa¸on approch´e ` e e e c e a partir des caract´ristiques statistiques du probl`me al´atoire. La e e e pr´cision du r´sultat obtenu d´pendra ´videmment de la pr´cision e e e e e de l’analogie entre les deux probl`mes. e Il ne faut pas confondre m´thode de Monte-Carlo et simue lation. Par simulation on entend, en g´n´ral, la reproduction e e pure et simple d’un ph´nom`ne de nature al´atoire (alors que le e e e ph´nom`ne est d´terministe dans une m´thode de Monte-Carlo). e e e e Par exemple, la synchronisation des feux de circulation dans une ville rel`ve de la simulation car les divers flots d’automobiles dans e chaque rue sont de nature al´atoire. e Les m´thodes de Monte-Carlo sont largement utilis´es pour e e r´soudre de nombreux probl`mes ; en math´matiques appliqu´es, e e e e pour la r´solution des syst`mes d’´quations lin´aires, le calcul e e e e d’int´grales d´finies ou l’int´gration d’´quations aux d´riv´es pare e e e e e tielles ; en physique, pour la transmission des particules et, en particulier, l’´quation de transport des neutrons ; en chimie, pour e l’´tude de la p´n´tration d’un liquide dans un milieu poreux ; e e e en astronomie, pour calculer la dur´e de vie d’une com`te ; en e e ´lectronique, pour la r´solution en temps des d´tecteurs Ge(Li), e e e etc. Historiquement, la premi`re m´thode de Monte-Carlo semble e e avoir ´t´ la m´thode de Buffon pour d´terminer la valeur de π. On ee e e laisse tomber au hasard une aiguille sur un r´seau de parall`les e e ´quidistantes ; le rapport du nombre de fois o` l’aiguille coupe e u l’une des parall`les au nombre total d’exp´riences r´alis´es est e e e e proportionnel a la valeur de π. Buffon consid´rait cela seulement ` e comme un jeu et non pas comme un probl`me math´matique. e e Comme Monsieur Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir, Buffon se servait d’une m´thode de Monte-Carlo sans en avoir e conscience. C’est pour cela qu’il ne peut ˆtre cr´dit´ de son invene e e tion. Je raconterai cependant cette histoire. Georges Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788) est universellement connu pour ses travaux de naturaliste. Son Histoire naturelle comporte trente-six volumes. Mais ce que l’on sait moins, c’est qu’il publia aussi des travaux de math´matiques. Il traduisit e l’ouvrage d’Isaac Newton (1642-1727) sur la m´thode des fluxions e

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et l’agr´menta d’une longue pr´face. Il ´crivit trois notes dans lese e e quelles il critiquait un travail d’Alexis Clairaut (1713-1765) qui pr´conisait d’ajouter un terme correctif a la loi d’attraction unie ` verselle de Newton. Enfin, il publia un ouvrage de 175 pages intitul´ Des probabilit´s de la dur´e de vie. e e e C’est dans un autre livre, Essai d’arithm´tique morale, de 1777 e qu’il propose son jeu de l’aiguille. On lance une aiguille sur un parquet constitu´ de lames parall`les puis l’on compte le nombre e e de fois o` l’aiguille est tomb´e ` cheval sur deux lames. Voici ce u e a qu’il ´crit e L’Analyse est le seul instrument dont on se soit servi jusqu’` a ce jour dans la science des probabilit´s, pour d´terminer et fixer e e les rapports du hasard ; la G´om´trie paraissait peu propre a un e e ` ouvrage aussi d´li´ ; cependant si l’on y regarde de pr`s, il sera fae e e cile de reconnaˆ que cet avantage de l’Analyse sur la G´om´trie ıtre e e est tout ` fait accidentel, et que le hasard selon qu’il est modifi´ et a e conditionn´, se trouve du ressort de la G´om´trie aussi bien que e e e celui de l’Analyse ; pour s’en assurer, il suffira de faire attention que les jeux et les questions de conjecture ne roulent ordinairement que sur les rapports de quantit´s discr`tes ; l’esprit humain plus e e familier avec les nombres qu’avec les mesures de l’´tendue les a e toujours pr´f´r´s ; les jeux en sont une preuve, car leurs lois sont ee e une arithm´tique continuelle ; pour mettre donc la G´om´trie en e e e possession de ses droits sur la science du hasard, il ne s’agit que d’inventer des jeux qui roulent sur l’´tendue et sur ses rapports, e ou calculer le petit nombre de ceux de cette nature qui sont d´j` ea trouv´s ; le jeu du franc-carreau peut nous servir d’exemple : voici e ses conditions qui sont fort simples... Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divis´ par des joints parall`les, on jette en l’air une baguette, e e et que l’un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parall`les du parquet, et que l’autre au contraire parie que la e baguette croisera quelques-unes de ces parall`les ; on demande le e sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille a coudre ou une ´pingle sans tˆte. ` e e On estime donc la probabilit´ pour que l’aiguille coupe e l’une des raies de ce parquet. Comme on peut le d´montrer e math´matiquement cette probabilit´ est ´gale ` π. Le calcul de e e e a la valeur de π est bien un probl`me d´terministe. On a remplac´ e e e 19

ce calcul par une analogie probabiliste dont on calcule les propri´t´s statistiques (ici c’est une moyenne). Si l’aiguille est de ee longueur 2a et si la distance entre deux lattes est de 2b, avec bien entendu a plus petit que b, alors la probabilit´ pour que e l’aiguille coupe une raie du parquet est ´gale ` 2a/πb. Buffon e a donna une d´monstration g´om´trique de ce r´sultat. Voici une e e e e d´monstration fort simple due a Emile Borel∗ (1871-1956). On e ` ´ commence par remarquer que le nombre moyen d’intersections d’une aiguille de forme quelconque avec les bords des lattes est proportionnel a la longueur 2a de l’aiguille et inversement propor` tionnel ` la largeur 2b des lattes. Ce nombre est donc donn´ par a e une expression de la forme Ca/b, o` C est une constante qu’il faut u d´terminer. Prenons, pour cela, une aiguille circulaire de diam`tre e e b. Elle a pour longueur πb. Quelle que soit la fa¸on dont elle tombe, c elle coupe toujours deux fois une raie du parquet, d’o` 2 = Cπb/b u et on en d´duit que C = 2/π. La probabilit´ est donc finalement e e 2a/πb. Pour obtenir la valeur exacte de π il faudrait r´aliser une infie nit´ de lancers. Cependant, plus on effectue de lancers et plus l’on e se rapproche de la valeur de π avec une bonne probabilit´. C’est e ainsi qu’en 1850, le math´maticien et astronome suisse Johann e Rudolf Wolf (1816-1893) effectua 5000 lancers avec un rapport a/b = 0.8 et trouva 2532 intersections, d’o` π = 3.1596. On a calu cul´ que pour obtenir une pr´cision de 1/1000 avec une probabilit´ e e e de 95% il faudrait effectuer environ 9 millions de lancers. Ce n’est cependant que vers la fin de la seconde guerre mondiale que les m´thodes de Monte-Carlo se sont d´velopp´es ; le e e e nom de Monte-Carlo d´signait ` l’origine un dossier secret de e a l’op´ration Overlord (le d´barquement du 6 juin 1944 en Nore e mandie). Ces m´thodes furent utilis´es d’abord par le physicien e e Enrico Fermi∗ (1901-1954) et les math´maticiens Stanislaw Ulam∗ e (1909-1984), Nicholas Constantine Metropolis (1915-1999), Mark Kac (1914-1984) et surtout John von Neumann (1903-1957) qui cherchaient ` calculer les valeurs propres associ´es ` l’´quation de a e a e Schr¨dinger et ` r´soudre des probl`mes de diffusion de particules. o a e e Comme nous allons le voir, c’est Ulam qui en fut le principal inventeur alors qu’il s´journait a l’hˆpital o`, pour passer le temps, e ` o u il faisait des exp´riences de ce type. e

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Stanislaw Ulam est un math´maticien d’origine polonaise qui e ´ ´migra aux Etats-Unis avant la seconde guerre mondiale et pare ticipa ` Los Alamos ` la construction de la bombe atomique. Il a a est, entre autres travaux math´matiques de grande importance, le e v´ritable inventeur des m´thodes dites de Monte-Carlo. Donnons e e lui la parole L’id´e de ce qui fut plus tard appel´ m´thode de Monte-Carlo e e e me vint alors que je jouais au solitaire pendant ma maladie. Je m’aper¸us qu’il pouvait ˆtre beaucoup plus utile dans la pratique c e pour avoir une id´e de la probabilit´ d’un d´nouement gagnant du e e e jeu de solitaire de disposer les cartes, ou de faire des exp´riences e avec le proc´d´ et de noter simplement quelle est la proportion e e de gains, plutˆt que d’essayer de calculer toutes les possibilit´s o e de combinaisons qui sont en nombre croissant exponentiellement tellement grand que, sauf dans des cas tr`s ´l´mentaires, il n’y a e ee aucune fa¸on de l’estimer... Dans un probl`me quelque peu comc e pliqu´, l’essai r´el est mieux qu’une ´tude de toutes les suites de e e e possibilit´s. e Il me vint a l’id´e que cela pouvait ´galement ˆtre vrai dans ` e e e tous les processus mettant en jeu des ramifications d’´v´nements, e e comme dans la production et la multiplication ult´rieure des neue trons dans certaines sortes de mat´riaux contenant de l’uranium e ` ou d’autres ´l´ments fissiles. A chaque ´tape du processus, il y ee e a de nombreuses possibilit´s d´terminantes pour le sort du neue e tron... On peut ´crire les ´quations diff´rentielles ou les ´quations e e e e int´gro-diff´rentielles pour les moyennes, mais les r´soudre ou e e e mˆme obtenir une id´e approximative des propri´t´s de la solue e ee tion, est une toute autre affaire. L’id´e ´tait d’essayer des milliers de telles possibilit´s et, e e e ` chaque ´tape, de choisir au hasard, au moyen d’un nombre a e al´atoire avec une probabilit´ convenable, le sort ou le type e e d’´v´nement qui viendra a la queue, pour parler ainsi, au lieu de e e ` consid´rer toutes les branches. Apr`s avoir ´tudi´ les histoires pose e e e sibles de seulement quelques milliers, on aura un bon ´chantillon e et une r´ponse approximative au probl`me. e e C’est l`, le type mˆme d’une attitude d’exp´rimentateur chez a e e ` un math´maticien. A partir de 1943 les m´thodes de Montee e Carlo ont ´t´ ´tendues ` des probl`mes importants avec le ee e a e d´veloppement des ordinateurs. Les premiers utilisateurs pene saient qu’en r´p´tant un nombre ´lev´ de fois des s´quences e e e e e 21

d’op´rations tr`s courtes ils pourraient r´soudre, sans grande e e e ´tude pr´alable et ` peu de frais, des probl`mes complexes pour e e a e lesquels les sp´cialistes manquaient. Cependant la r´alit´ n’´tait e e e e pas si simple et les r´sultats ´taient souvent tr`s ´loign´s de la e e e e e solution par insuffisance du nombre d’´preuves al´atoires (il n’est e e pas rare qu’il en faille plusieurs millions !). Ce fut a partir de 1951 ` que les probl`mes de pr´cision furent ´tudi´s et que les m´thodes e e e e e de Monte-Carlo entr`rent dans l’ˆge adulte. Elles reposent sur de e a solides bases de statistique et de probabilit´. Elles sont toujours e utilis´es ` l’heure actuelle. e a

Les quaternions
Un nombre complexe c est form´ par un couple de nombres : e le premier, a, s’appelle sa partie r´elle et le second, b, est sa pare √ tie imaginaire. Le nombre c s’´crit c = a + ib o` i = −1. Ces e u nombres furent introduits par le math´maticien italien de Bologne, e Raffaele Bombelli (1526-1572). Le nombre c peut se repr´senter e comme un point dans le plan avec une abscisse a et une ordonn´e e b. Un nombre complexe a ainsi une repr´sentation g´om´trique e e e comme ´tant le vecteur joignant l’origine au point c du plan dans e l’espace de dimension deux. Cette construction est due ` John a Wallis (1616-1703) en 1685, mais Wallis ne savait pas comment repr´senter g´om´triquement les op´rations arithm´tiques sur les e e e e e nombres complexes. Pour cela, apr`s un premier essai dˆ ` Henri e ua K¨hn (1690-1769) en 1756, il fallut attendre les travaux du dau nois Caspar Wessel (1745-1818) en 1798 et surtout ceux du suisse Jean Robert Argand (1768-1822) qui publia en 1806 un Essai sur une mani`re de repr´senter les quantit´s imaginaires dans e e e les constructions g´om´triques. Ces travaux pass`rent presque ine e e aper¸us. Ce n’est qu’apr`s les travaux de Carl Friedrich Gauss c e (1777-1855) et surtout ceux de Augustin Louis Cauchy (17891857) que les nombres complexes furent accept´s. e On peut cependant l´gitimer l’existence des nombres come plexes sans avoir recours ` cette interpr´tation g´om´trique. C’est a e e e ainsi qu’en 1837, William Rowan Hamilton∗ (1805-1865) justifia les nombres complexes comme des couples de nombres r´els sur e lesquels il d´finit l’addition et la multiplication. Hamilton voulait e ´tendre ces r´sultats aux vecteurs de l’espace ` trois dimensions et e e a 22

cherchait un calcul alg´brique qui puisse s’interpr´ter dans cet ese e pace. Il faut alors consid´rer des triplets de nombres ` la place de e a couples. Mais c’est en faisant l’inventaire des propri´t´s que ces triee plets doivent v´rifier qu’il s’aper¸oit qu’il faut, en fait, consid´rer, e c e non pas des triplets, mais des quadruplets de nombres. Hamilton inventa les quaternions le 16 octobre 1843 et communiqua sa d´couverte ` son ami John Thomas Graves (1806-1870) d`s le jour e a e suivant. En d´livrant les op´rations alg´briques de la commutae e e tivit´, sa d´couverte marqua un grand pas dans l’´volution vers e e e l’alg`bre moderne. e Hamilton consid´ra, d`s le d´but, que c’´tait l` sa plus belle e e e e a d´couverte scientifique et il augura qu’il passerait le reste de sa e vie ` en explorer les cons´quences. Il est clair qu’il pensait que les a e quaternions joueraient, dans l’espace a trois dimensions, un rˆle ` o analogue aux nombres complexes dans le plan. Il se lan¸a dans ces c recherches avec un grand z`le qui ne se d´mentit jamais. Quelque e e temps avant sa mort survenue le 2 septembre 1865, il d´crivait e ainsi sa d´couverte dans une lettre ` son fils Archibald e a En octobre 1843, ´tant r´cemment revenu d’un congr`s de la e e e British Association ` Cork, le d´sir de d´couvrir les lois de multia e e plication des triplets me reprit avec une certaine force et une certaine ardeur, qui s’´taient assoupies quelques ann´es, mais ´tait e e e alors sur le point d’ˆtre couronn´e et dont je vous ai parfois parl´. e e e Chaque matin, au tout d´but du mois en question, quand je dese cendais pour le petit d´jeuner, votre fr`re William Edwin et vous e e mˆme aviez l’habitude de me demander : alors, Papa, pouveze vous multiplier les triplets ? Ce ` quoi j’´tais toujours oblig´ de a e e r´pondre, avec un triste hochement de tˆte, non, je peux seulement e e les additionner et les soustraire. Mais le seizi`me jour du mˆme e e mois - qui tombait un lundi et un jour de conseil de la Royal Irish Academy - j’allais a pied pour y assister et pr´sider et votre ` e m`re marchait avec moi en suivant le Royal Canal vers lequel elle e avait ´t´ peut-ˆtre pouss´e ; et bien qu’elle me parlˆt de temps ` ee e e a a autre, un courant de fond de pens´es se d´roulait cependant dans e e mon esprit, qui produisit a la fin un r´sultat dont ce n’est pas ` e trop de dire que j’en sentis tout de suite l’importance. Un circuit ´lectrique sembla se former et une ´tincelle jaillit, pr´curseur e e e (comme je l’entrevis imm´diatement) de nombreuses ann´es ` vee e a nir de pens´es et de travail dans une direction pr´cise, par moie e mˆme si elles me sont accord´es, ou tout au moins par d’autres e e 23

si je suis autoris´ ` vivre assez longtemps pour communiquer la e a d´couverte. Je sortis sur le champ un carnet qui existe encore et e je pris une note s´ance tenante. Je ne pus pas plus r´sister ` l’ime e a pulsion - aussi anti-philosophique que cela puisse ˆtre - de graver e avec un couteau sur une pierre de Brougham Bridge, alors que nous passions dessus, la formule fondamentale avec les symboles i, j, k i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1, qui contient la solution du probl`me mais naturellement, comme e toute inscription, elle a ´t´ effac´e depuis longtemps [` la place, ee e a une plaque comm´more l’´v´nement]. Une note plus durable, cee e e pendant, reste sur les livres du conseil de l’Acad´mie pour ce jour e (16 octobre 1843) qui rappelle le fait que j’ai alors demand´ et e obtenu l’autorisation de pr´senter un article sur les quaternions a e ` la premi`re r´union g´n´rale de la session ; cette lecture eut bien e e e e lieu en cons´quence le 13 novembre suivant. e En 1844, paraissait le livre de Hermann G¨nther Grassmann u (1809-1877). Il y exposait un proc´d´ de calcul sur les vecteurs e e de l’espace ` un nombre quelconque de dimensions. On lui doit la a notion d’ind´pendance lin´aire et les d´finitions de dimension d’un e e e espace vectoriel et de sous-espace vectoriel. Son œuvre ne sera appr´ci´e qu’apr`s sa red´couverte par Giuseppe Peano (1858e e e e 1932).

Les g´om´tries non euclidiennes e e
En physique, de nombreuses th´ories nouvelles, comme la ree lativit´ ou la th´orie des quanta, sont n´es parce qu’un chere e e cheur suffisamment audacieux d´cida d’un coup d’abandonner e une hypoth`se sur laquelle ´tait bˆtie la th´orie ancienne pour e e a e une autre sur laquelle il allait construire sa nouvelle th´orie. e Le cas est plus rare en math´matiques o` toutes les proposie u tions sont d´montr´es les unes ` partir des autres et o` aucun e e a u r´sultat, aucune hypoth`se ne repose sur une exp´rience sensoe e e rielle. Tout est juste et certain. Il existe cependant des exceptions dont l’une est la g´om´trie qui est fond´e sur un certain nombre e e e d’axiomes ind´montrables mais que le bon sens nous dit d’ace cepter comme vrais sans d´monstration. Ainsi s’exprimait Henri e Poincar´∗ (1854-1912) e 24

Toute conclusion suppose des pr´misses ; ces pr´misses ellese e mˆmes ou bien sont ´videntes par elles-mˆmes et n’ont pas besoin e e e de d´monstration ou bien ne peuvent ˆtre ´tablies qu’en s’appuyant e e e sur d’autres propositions, et comme on ne saurait remonter ainsi a ` l’infini, toute science d´ductive, et en particulier la g´om´trie, doit e e e reposer sur un certain nombre d’axiomes ind´montrables. Tous les e trait´s de g´om´trie d´butent donc par l’´nonc´ de ces axiomes. e e e e e e Parmi eux, le c´l`bre axiome des parall`les d’Euclide qui dit ee e que, par un point ext´rieur ` une droite, on ne peut faire passer e a qu’une et qu’une seule droite parall`le ` celle-ci. e a On a longtemps cherch´ ` d´montrer cet axiome jusqu’au jour ea e o` il fut prouv´ que cette d´monstration ´tait impossible. Puisque u e e e la d´monstration est impossible, que se passe-t-il si l’on remplace e cet axiome des parall`les par sa n´gation ? C’est la question que se e e pos`rent presque simultan´ment Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e e ı en 1824, J´nos Bolyai∗ (1802-1860) en 1825 et Nicola¨ Ivanovitch a Lobatchevski (1792-1856) en 1826. Tous les trois purent obtenir, a ` partir des nouveaux axiomes, un syst`me logique de propositions e sans contradictions. Ainsi, a cˆt´ de la g´om´trie euclidienne clas` oe e e sique, il y avait place pour des g´om´tries diff´rentes, non euclie e e diennes. Ce fait ´tait tellement inattendu, extraordinaire et e r´volutionnaire que Gauss ne le publia jamais. Dans une e lettre adress´e en 1929 ` Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) il e a ´crit : J’ai peur des criaillements des ignorants. e J´nos Bolyai publia ses r´sultats en appendice d’un livre de a e e e son p`re, Wolfgang Bolyai∗ (1775-1856), lui-mˆme math´maticien e de renom. J´nos Bolyai ne fut jamais ni critiqu´ ni attaqu´ en a e e public. Les seuls affrontements qu’il eut ` subir furent ceux avec a son p`re qui n’acceptait pas ses id´es. e e Il en alla tout autrement pour Lobatchevski. Ayant soumis ses r´sultats ` l’Acad´mie des Sciences de Saint-P´tersbourg, Mikhail e a e e Vasilevich Ostrogradski (1801-1862) d´clara : L’´tude t´moigne e e e de si peu de soin qu’elle reste, pour sa plus grande partie, inintelligible...[ce travail] ne m´rite pas l’attention de messieurs les e Acad´miciens. Ostrogradski fit mˆme publier dans le journal Le e e fils de la patrie un article anonyme, mais r´dig´ par un journaliste e e r´actionnaire notoire, dans lequel il ´crivait : on se demande poure e quoi on ´crit et surtout on publie de telles fantasmagories. Malgr´ e e

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l’intervention de coll`gues, Lobatchevski fut d´mis en 1846 de sa e e charge de Recteur de l’Universit´ de Kazan et relev´, un an plus e e tard, de son titre de Professeur et de tous les autres postes universitaires qu’il occupait. Il fallut attendre les ann´es 1870 et Bernhard Riemann∗ (1826e 1866) pour que les g´om´tries non euclidiennes soient accept´es. e e e On connaˆ leur rˆle primordial dans le d´veloppement de la relatiıt o e vit´ g´n´rale. Riemann ´tait d’ailleurs tout a fait conscient du lien e e e e ` entre ces nouvelles g´om´tries et la physique puisqu’il ´crivait dans e e e son travail Hypoth`ses qui servent de fondement ` la g´om´trie : e a e e La question de la validit´ des hypoth`ses de la G´om´trie dans e e e e l’infiniment petit est li´e avec la question du principe intime des e rapports m´triques dans l’espace... Il faut donc, ou que la r´alit´ e e e sur laquelle est fond´ l’espace forme une vari´t´ discr`te, ou que e ee e le fonctionnement des rapports m´triques soit cherch´ en dehors e e de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui. La r´ponse ` ces questions ne peut s’obtenir qu’en partant de la e a conception des ph´nom`nes, v´rifi´e jusqu’ici par l’exp´rience, et e e e e e que Newton a prise pour base, et en apportant ` cette conception a les modifications successives, exig´es par les faits qu’elle ne peut e pas expliquer. Opinion proph´tique s’il en fut ! e

Stieltjes et les fractions continues
Quand un sujet de math´matiques est trop difficile ` ´tudier e ae directement, on peut essayer de deviner sa solution par l’observation de cas particuliers. C’est, en quelque sorte, une d´marche e exp´rimentale. La d´monstration g´n´rale vient ensuite. Tous les e e e e math´maticiens ont un jour proc´d´ de cette mani`re, il n’y a rien e e e e d’extraordinaire a cela. Nous allons donner des exemples de cette ` e attitude. Thomas Jan Stieltjes∗ (1856-1894) est un math´maticien d’origine hollandaise qui fit carri`re ` Toulouse. Une grande partie e a de son travail touchait aux fractions continues. Une fraction continue est une fraction dont le d´nominateur e est un nombre plus une fraction. Le d´nominateur de cette noue velle fraction est lui-mˆme un nombre plus une autre fraction et e ainsi de suite jusqu’` l’infini. Les fractions continues ont une hisa toire qui remonte aux premiers ages des math´matiques et leur ˆ e 26

importance dans l’histoire de cette science a ´t´ tout a fait fondaee mentale. La compr´hension des d´tails math´matiques qui suivent e e e n’a que peu d’importance pour saisir l’attitude exp´rimentale des e math´maticiens. e Dans sa volumineuse correspondance avec Charles Hermite∗ (1822-1901), Stieltjes ´crit, le 3 mai 1894 e ` l’´gard des fractions P /P et P /P , je vous avouerai que A e je n’ai point la pr´tention d’´claircir un sujet aussi difficile par la e e r´flexion et par l’imagination seules. Je proc´derai comme les nae e turalistes, en appelant au secours l’observation. Pour le moment donc, je fais des calculs num´riques, assez laborieux, en cherchant e toutes les fractions convergentes pour quelques cas particuliers jusqu’` P = 200 et P = 500... C’est seulement lorsque j’aurai amass´ a e de cette fa¸on un grand mat´riel que je pourrai commencer a trac e ` vailler s´rieusement sur cette mati`re. Je ne sais point du tout si e e cela me m`nera ` quelque chose, mais je veux en avoir le cœur e a net. Le 13 mai, Hermite r´pond e Je me sens tout joyeux de vous savoir en si bonne disposition que vous vous transformez en naturaliste pour observer les ph´nom`nes du monde arithm´tique. Votre doctrine est la mienne ; e e e je crois que les nombres et les fonctions de l’analyse ne sont pas le produit arbitraire de notre esprit ; je pense qu’ils existent en dehors de nous avec le mˆme caract`re de n´cessit´ que les choses de e e e e la r´alit´ objective, et que nous les rencontrons ou les d´couvrons, e e e et les ´tudions, comme les physiciens, les chimistes et les zooloe gistes,... Il ne faut pas s’´tonner de cette attitude de Stieltjes. En effet, e pour stimuler l’imagination et entrevoir une r`gle g´n´rale, il est e e e souvent n´cessaire de voir les objets math´matiques que l’on mae e nipule. L’une des fa¸ons d’y arriver est de se livrer ` des calculs c a num´riques. e La correspondance entre Hermite et Stieltjes est une mine de renseignements pour qui s’int´resse ` l’histoire de la pens´e sciene a e tifique. Voici un autre exemple emprunt´ ` une lettre de Stieltjes ea du 31 mai 1894. Il montre que des analogies entre diff´rents sujets e peuvent ˆtre fructueuses e Je suis un peu fatigu´ et peu propre au travail en ce moment, e ce qui me contrarie beaucoup, parce que je suis hant´ par une e 27

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