Histoires de sciences

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Comment fait-on de la recherche scientifique ? Comment les idées viennent-elles aux chercheurs ? Il faut croire à l'intuition, à l'analogie, au hasard, à l'accident, à la chance et même à l'erreur, facteurs qui interviennent tous dans chaque découverte scientifique. En s'appuyant sur des témoignages, ce livre cherche à faire comprendre ce qu'est la créativité et à faire saisir comment se construit la connaissance scientifique. Les circonstances et les hasards qui ont pu orienter les travaux des scientifiques sont mis en lumière dans les biographies de la seconde partie de l'ouvrage.
Publié le : mercredi 1 mars 2006
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EAN13 : 9782336255569
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Histoires de Sciences
Inventions, d´couvertes et savants e

Acteurs de la Science
collection dirig´e par e Richard Moreau Professeur honoraire ` l’Universit´ de Paris XII, a e Correspondant national de l’Acad´mie d’Agriculture de France e La collection Acteurs de la Science comprend des ´tudes sur les e acteurs d’une ´pop´e scientifique qui, depuis le dix-neuvi`me si`cle, e e e e donna ` l’homme l’impression de dominer la nature, ou sur certains a de leurs pr´curseurs ; des in´dits et des r´impressions de textes anciens e e e ´crits par les savants qui firent la Science ou sur eux par leurs pairs ; e des d´bats et des ´valuations sur les d´couvertes les plus marquantes e e e depuis le si`cle des Lumi`res et sur la pratique de la Science. e e D´j` parus : ea
Andr´ Audoyneau, Le Docteur Albert Schweitzer et son hˆpital a e o ` Lambar´n´. L’envers d’un mythe, 2005. e e Jacques Verdrager, L’OMS et le paludisme. M´moires d’un m´decin e e sp´cialiste de la malaria, 2005. e Christian Marais, L’ˆge du plastique. Pr´face de Pierre-Gilles de Gennes, a e 2005. Jean Perdijon, Einstein, la relativit´ et les quanta, 2005. e Lucienne F´lix, R´flexion d’une agr´g´e de math´matiques au XX`me si`cle, e e e e e e e 2005. Lise Brachet, Le professeur Jean Brachet, mon p`re, 2004. e Jacques Risse, Les professions m´dicales en politique (1875-2002), 2004. e Patrice Pinet, Pasteur et la philosophie, 2004. Jean Defrasne, Histoire des Associations fran¸aises, 2004. c Pierre Schuller, La face cach´e d’une vocation, 2004. e Fran¸ois Du Mesnil du Buisson, Penser la recherche. L’exemple de physioloc gie animale, 2003. Michel Cointat,Le Moyen Age moderne : sc`nes de la vie quotidienne au e XX`me si`cle, 2003. e e Robert Sigalea, Johann-Martin Hongberger, m´decin et aventurier de l’Asie, e 2003. Philippe Caspar (sous la dir. de),Maladies sexuellement transmissibles. Sexualit´ et institutions, 2003. e

Suite des titres de la collection en fin de volume.

Le m´tier de chercheur e

Comment fait-on de la recherche scientifique ? Comment trouve-t-on ? Comment les id´es viennent-elles aux chercheurs ? e La cr´ativit´ est-elle inn´e ou peut-on la d´velopper, la cultiver ? e e e e Ce sont des questions que l’on se pose souvent, surtout lorsque l’on n’est pas directement impliqu´ dans la recherche. Disons tout de e suite qu’il n’y a pas de r´ponse ` ces questions, tout simplement e a parce qu’il n’y a pas de recette pour trouver, pour d´couvrir, pour e inventer. Si une telle recette existait, alors il n’y aurait plus besoin (ou presque) de chercheurs ; il suffirait d’appliquer bˆtement e la recette, de tourner la manivelle (ou l’ordinateur, ce qui revient au mˆme) et d’attendre le r´sultat. Je crois plutˆt ` la bonne e e o a ´toile, ` l’inspiration, a l’intuition, a l’analogie, a la d´duction, a la e a ` ` ` e ` synth`se, ` l’illumination soudaine, a la bonne f´e et ` sa baguette e a ` e a magique, au hasard, a l’accident, ` la chance, aux tˆtonnements et ` a a mˆme ` l’erreur, facteurs qui interviennent tous, a plus ou moins e a ` fortes doses, dans toute d´couverte scientifique et, bien entendu, e au travail, souvent acharn´. Yehudi Menuhin (1916-1999) va mˆme e e plus loin quand il ´crit on ne peut atteindre la perfection que si la e recherche devient mode de vie. Il est cependant possible, en s’appuyant sur les t´moignages e dont nous disposons, de faire comprendre ce qu’est la cr´ativit´ e e et comment viennent les id´es nouvelles. Il est ´galement pose e sible de d´crire la m´thode (ou l’absence de m´thode) scientie e e fique. On peut ainsi parvenir, peu a peu, sinon a comprendre ` ` totalement, du moins ` saisir comment se construit la connaisa sance scientifique, comment s’´labore ce que Fran¸ois Jacob∗ (n´ e c e en 1920) appelle la science de nuit par opposition a la science ` de jour qui est pr´sent´e dans les manuels et dans les articles e e

des revues sp´cialis´es. Comme l’a dit E. Rabier dans un discours e e prononc´ ` la Sorbonne a l’occasion de la distribution des prix e a ` du Concours G´n´ral en 1886, c’est faire le plus grand tort aux e e d´couvertes scientifiques, que de les d´tacher de leurs origines et e e de ne voir en elles que la seule v´rit´. D’apr`s l’astronome et e e e math´maticien fran¸ais Pierre Simon de Laplace (1749-1827) la e c connaissance de la m´thode qui a guid´ l’homme de g´nie n’est pas e e e moins utile aux progr`s de la science et mˆme ` sa propre gloire e e a que ses d´couvertes ; cette m´thode en est souvent la partie la plus e e e int´ressante. Et Gottfried Wilhelm Leibniz∗ (1646-1716) ´crivait e il y a une chose plus importante que les belles d´couvertes, c’est e la connaissance de la m´thode par laquelle on les fait. e Il ne faut pas non plus s´parer ces d´couvertes des femmes et e e ` e des hommes qui les ont faites. A d´tacher la science de ses acteurs, on risque de la rendre s`che, inhumaine et uniquement technique. e Il ne faut pas oublier qu’elle fait partie de l’histoire de l’humanit´ e et, qu’avant d’ˆtre devenus des savants, ces acteurs ont ´t´ ene ee fants, adolescents, ´tudiants, qu’ils ont fond´ des familles, eu des e e contacts avec des coll`gues, qu’ils ont pu ˆtre en butte ` des dife e a ficult´s de tous ordres. On verra comment les circonstances et le e hasard ont pu, quelquefois, orienter leur carri`re, leurs recherches e et mˆme toute leur vie. La science n’est pas sortie de nulle part, e elle s’est bˆtie pas ` pas, chacun b´n´ficiant du travail de ses a a e e pr´d´cesseurs, comme nous allons nous en rendre compte. La voie e e vers la d´couverte n´cessite souvent un long d´tour et l’ascene e e sion vers le sommet est difficile. La science progresse lentement. Il faut laisser les connaissances s’accumuler et mˆ rir. Elle est le u fruit d’une multitude de serviteurs, chacun apportant sa pierre a e ` l’´difice collectif. De temps en temps, surgit un esprit hors du commun qui lui fait faire un pas de g´ant. e J’ai donc essay´ de rassembler ici l’histoire d’un certain nombre e de d´couvertes et d’inventions scientifiques, dans des domaines e aussi vari´s que possible. J’esp`re qu’elles donneront une id´e des e e e diff´rents chemins qui peuvent mener ` des r´sultats nouveaux. e a e On verra, a cette occasion, que les processus ne sont pas tr`s ` e diff´rents d’une science ` l’autre. Bien sˆr, les sciences de la nature e a u pr´sentent, dans certains cas, un cˆt´ plus exp´rimental que, par e oe e exemple, les math´matiques, mais nous verrons que l’exp´rience y e e intervient aussi. On verra que le travail du chercheur commence, en g´n´ral, par la pr´paration pendant laquelle il examine toutes e e e 6

les faces de son probl`me. Il s’impr`gne de son sujet. Puis vient e e la phase d’incubation o` l’esprit travaille seul, inconsciemment, a u ` partir des informations accumul´es pendant la pr´paration. C’est e e une digestion et une assimilation mentale qui s’effectuent en y incorporant toutes les connaissances acquises pr´alablement, mˆme e e celles qui semblent n’avoir aucun rapport avec la question. Ensuite surgit l’illumination qui, d’apr`s le Littr´, est la connaissance soue e daine, spontan´e, indubitable, comme celle que la vue nous donne e de la lumi`re et des formes sensibles. Cette illumination s’accome pagne, la plupart du temps, de la certitude d’avoir trouv´ la bonne e r´ponse. Cette illumination, qui peut se produire dans les situae tions les plus ´tranges, semble ´chapper ` toute logique et ` toute e e a a analyse. De nombreux t´moignages en font ´tat. Il semble bien e e que la cr´ation artistique passe par des ´tapes analogues. L’illue e mination ne survient pas, en g´n´ral, lors d’un effort intense pour e e r´soudre le probl`me. Le cerveau est bloqu´, comme lorsque l’on e e e cherche un mot qui ne vient pas, et il a besoin de repos. Il faut savoir arrˆter son travail pour prendre du recul ; c’est alors que e l’illumination surgit. La derni`re phase du travail du chercheur e est la v´rification de la validit´ de l’intuition, soit par le biais e e d’exp´riences, pour les sciences de la nature, soit ` l’aide d’une e a d´monstration pour les math´matiques. Mais les id´es les plus bie e e zarres et les plus irrationnelles peuvent se montrer f´condes. La e v´rit´ est sans doute que, dans toute d´couverte, le rationnel et e e e l’irrationnel se cˆtoient. o La beaut´ d’une d´couverte va, en g´n´ral, de pair avec sa e e e e simplicit´. Un mod`le en est la d´monstration de l’irrationalit´ de e e e e la racine carr´e de 2 par les math´maticiens de la Gr`ce antique. e e e On a souvent parl´ de po´sie au sujet des math´matiques. Ce sont e e e souvent les id´es les plus simples, et donc esth´tiquement les plus e e belles, qui apportent les r´sultats les plus int´ressants. Mais la e e simplicit´ et l’´vidence de certaines d´couvertes ne se voient que e e e lorsqu’elles ont ´t´ obtenues. ee On pourrait multiplier les citations de scientifiques et de philosophes qui ont essay´ d’analyser les processus de la cr´ation. e e J’ai pr´f´r´ laisser le lecteur s’en faire une id´e en racontant un eee e ` oe certain nombre de d´couvertes et d’inventions. A cˆt´ des r´cits e e destin´s ` mettre en lumi`re les chemins de la d´couverte, j’ai e a e e plac´, pour leur seul int´rˆt, d’autres aventures scientifiques. Elles e ee illustrent la marche de la science. On peut cependant dire que le 7

d´veloppement d’un travail de recherche selon la m´thode induce e tive se d´compose en trois phases : l’analyse des faits connus, e l’´laboration d’un mod`le et la v´rification du mod`le. Cette e e e e v´rification consiste, dans les sciences de la nature, en de noue velles observations. C’est ce qu’il s’est produit, par exemple, pour la d´viation des rayons lumineux lorsqu’ils passent au voisinage e d’un corps c´leste massif. Cette d´viation avait ´t´ pr´vue par la e e ee e th´orie de la relativit´ et elle fut observ´e lors de l’´clipse de 1919. e e e e Si la v´rification n’est pas concluante, on modifie le mod`le et l’on e e recommence une nouvelle v´rification. En math´matiques, l’obe e tention de r´sultats nouveaux suit ´galement le mˆme sch´ma. En e e e e effet, apr`s avoir analys´ un certain nombre de r´sultats ant´rieurs e e e e et y avoir incorpor´ ses propres remarques, le chercheur en vient e a ` formuler une id´e, il pense qu’un certain r´sultat doit ˆtre vrai. e e e C’est son mod`le. Il essaye alors de le d´montrer. S’il n’y pare e vient pas, il doit rajouter des hypoth`ses, c’est-`-dire modifier e a son mod`le. Puis il reprend sa d´monstration. On proc`de ainsi e e e jusqu’` l’aboutissement et l’on obtient alors ce qui s’appelle un a th´or`me. L’analyse num´rique est la branche des math´matiques e e e e o` s’´laborent et s’´tudient les m´thodes (on dit algorithmes) qui u e e e permettent de r´soudre num´riquement, en g´n´ral de fa¸on ape e e e c proch´e, les probl`mes que les math´matiques classiques ne savent e e e pas r´soudre. Cette r´solution num´rique s’effectue sur ordinae e e teur. La mise au point d’un nouvel algorithme suit, elle aussi, une d´marche inductive ; le mod`le que l’on ´labore est l’algorithme e e e et sa v´rification prend la forme d’essais num´riques effectu´s sur e e e ordinateur. On peut disserter longtemps sur la diff´rence entre d´couverte e e et invention. On d´couvre quelque chose qui pr´existait, comme la e e structure du benz`ne ou l’´lectron, alors que l’on invente quelque e e chose de nouveau, comme un objet, un instrument, une technique ou un vaccin. Cependant la fronti`re entre invention et d´couverte e e est floue ; doit-on dire d’une th´orie nouvelle, comme la relativit´ e e qui rend compte de ph´nom`nes jusqu’alors inexpliqu´s, qu’elle e e e est une invention, puisqu’elle n’existait pas avant sa formulation par Einstein, ou une d´couverte, puisque la nature ob´issait d´j` ` e e eaa ses lois avant que celles-ci n’aient ´t´ explicit´es ? Nous laisserons ee e ce d´bat de cˆt´. e oe De mˆme qu’il existe des branches diverses dans les sciences, e il existe des cat´gories diff´rentes de chercheurs. Il y a ceux, fort e e 8

utiles, qui, une fois lanc´s, suivent une voie trac´e par un maˆ e e ıtre, et ceux qui ouvrent des voies v´ritablement nouvelles, originales et e d’une grande port´e. Il y a ceux qui r´solvent des probl`mes pos´s e e e e et les cr´ateurs d’id´es. Ils y a ceux qui explorent des contr´es e e e vierges et ceux qui partent ` la conquˆte d’un pic montagneux a e rep´r´ par d’autres, ou organisent l’exp´dition. Comme l’a dit le ee e math´maticien Mark Kac (1914-1984) dans son autobiographie e En sciences, de mˆme que dans les autres domaines de l’actie vit´ humaine, il y a deux sortes de g´nies : les ordinaires et les mae e giciens. Un g´nie ordinaire est quelqu’un que vous et moi aurions e pu ´galer, si nous avions seulement ´t´ plusieurs fois meilleurs. e ee Il n’y a aucun myst`re sur la mani`re dont son esprit travaille. e e Une fois que l’on a compris ce qu’il a fait on est certain que nous, ´galement, nous en aurions ´t´ capables. C’est diff´rent avec e ee e les magiciens... Mˆme apr`s avoir compris ce qu’ils ont fait, le e e proc´d´ par lequel ils l’ont fait est compl`tement obscur. e e e Les g´nies ordinaires voient des analogies entre des concepts e ou des r´sultats exp´rimentaux ou th´oriques, tandis que, comme e e e l’a dit le math´maticien polonais Stefan Banach (1892-1945), les e g´nies voient des analogies entre analogies. Les g´nies sont dou´s e e e d’intuition, ils devinent l’existence d’un tr´sor ignor´. Ils savent, e e sans raisonnement, sans analyse, ce qu’il leur importe de savoir et s’orientent spontan´ment dans la direction o` il y a une d´couverte e u e a ` faire. Il y a aussi les esprits logiques et les intuitifs. Certains scientifiques restent solitaires et n’ont que rarement des ´l`ves, ee d’autres fondent une ´cole. Ces diff´rences de temp´rament entre e e e les chercheurs conditionnent, bien entendu, le style des travaux de chacun. Certains sont plus attir´s par la th´orie et d’autres e e par l’exp´rimentation. Certains aiment les larges aper¸us, d’autres e c pr´f`rent ce concentrer sur un probl`me pr´cis. Certains sont ee e e int´ress´s par les applications de leurs d´couvertes et d’autres pas. e e e Il y a une mani`re personnelle de traiter la science et d’en pare ler. Chaque œuvre est unique, personnelle et porte la marque de son cr´ateur. Il y a une vari´t´ infinie de styles en science, comme e ee en art, en litt´rature ou en peinture. Ces diverses cat´gories de e e chercheurs et de styles apportent chacune leur contribution au d´veloppement de la science. Mais, de toute fa¸on, il existe un e c point commun entre tous les types de chercheurs dans toutes les sciences : la passion.

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Il ne faut pas croire non plus que, pour effectuer des d´couvertes scientifiques, il soit n´cessaire de poss´der une culture e e e encyclop´dique dans un domaine. Ce n’est pas la somme des e connaissances qui entre en jeu, mais la cr´ativit´, la facult´ d’avoir e e e des id´es nouvelles, d’ˆtre capable de voir et d’interpr´ter correce e e tement ce qu’il se passe, ce que l’on observe. L’imagination est plus importante que la connaissance. Il faut une forme de pens´e e qui diff`re de celle qui permet d’enregistrer le savoir, sans ˆtre cae e pable de l’utiliser pour en faire surgir quelque chose de nouveau. D’ailleurs, comme de nombreux chercheurs l’ont fait remarquer, vouloir tout lire, tout connaˆ sur un sujet peut ˆtre n´faste car ıtre e e cela oriente l’esprit dans une certaine voie et peut nuire a l’origi` nalit´ de la pens´e. Il faut ´galement savoir se poser les bonnes e e e questions au bon moment, distinguer ce qui est important de ce qui l’est moins. J’ai pr´f´r´ s´parer l’histoire des d´couvertes de la biographie eee e e des chercheurs qui les ont faites. Cela laisse plus de libert´ au e lecteur pour aller et venir a sa guise. J’ai donn´ les dates de nais` e sance et de d´c`s des personnes cit´es ; cela permet de trouver plus e e e facilement les pages web correspondantes. Puissent ces quelques images de sciences et ces biographies soulever le voile qui entoure les processus de d´couverte scientifique e et, pourquoi pas, faire naˆ des vocations ! ıtre Un ast´risque qui suit le nom d’un personnage indique que sa e biographie est donn´e dans le Chapitre 3. e Remerciements : Je tiens ` remercier ma femme Nicole pour sa a lecture attentive de ce texte, les corrections et les am´liorations e qu’elle a sugg´r´es. Je remercie Renzo Paolo Vedova qui m’a ee ´clair´ sur l’histoire d’Antonio Meucci et de Graham Bell. Le soue e tien de Michela Redivo Zaglia ne s’est jamais d´menti et je lui e suis reconnaissant de son aide constante. Le Professeur Richard Moreau a bien voulu accepter cet ouvrage dans la collection qu’il dirige. Il m’a ´galement fait b´n´ficier de ses vastes connaissances, e e e m’a fait part de nombreuses remarques constructives et m’a dirig´ e vers des sources que je ne connaissais pas. Je lui en sais gr´. Enfin, e je tiens ` remercier toute l’´quipe de l’Harmattan pour son aide a e dans la pr´paration finale du texte. e

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Les sentiers de la d´couverte e
Je vais ici raconter l’histoire d’un certain nombre de d´couvertes scientifiques. Mon but est de montrer que les sene tiers de la d´couverte peuvent ˆtre sinueux, tortueux, souvent e e impr´visibles. La d´couverte peut ˆtre r´fl´chie, mˆrie mais elle e e e e e u peut tout aussi bien ˆtre le fruit du hasard, ou passer par la sue bite illumination avec son sentiment de certitude, ou encore provenir d’erreurs. J’ai aussi ajout´ l’histoire d’un certain nombre de e d´couvertes qui, bien qu’elles n’illustrent pas mon propos, m’ont e sembl´ int´ressantes pour une raison ou une autre. On y verra cere e taines histoires se croiser, montrant ainsi l’influence d’un domaine sur un autre. Quand les scientifiques ont eux-mˆmes racont´ leur d´couverte, e e e la parole leur sera laiss´e. Rien ne vaudra jamais les r´cits de e e premi`re main. e Des ´l´ments biographiques concernant certains savants ee ´voqu´s sont donn´s directement dans les histoires qui suivent. e e e Cependant, une biographie, parfois succincte, des principaux acteurs est fournie dans le Chapitre suivant. Une ast´risque ∗ ` la e a suite d’un nom propre l’indique. Dans chacun des domaines de la science, j’ai essay´, dans la e mesure du possible, de pr´senter les r´cits dans l’ordre chronoloe e gique de la d´couverte majeure. Cependant, cela n’a pas ´t´ toue ee jours possible puisque certaines histoires s’´tendent dans le temps e et mettent en sc`ne de nombreux acteurs. Chacune des histoires e peut ˆtre lue s´par´ment. e e e

Les math´matiques e
La quadrature du cercle
Pour d´signer un probl`me impossible ` r´soudre, une exe e a e pression populaire ´voque la quadrature du cercle. Ce probl`me e e math´matique a cependant ´t´ r´solu vers la fin du dix-neuvi`me e ee e e si`cle, comme nous allons le voir. e En quoi ce probl`me consiste-t-il ? Il s’agit, en faisant usage e seulement d’une r`gle et d’un compas, de construire un carr´ ayant e e la mˆme superficie qu’un cercle donn´. Il est tr`s difficile de savoir e e e qui s’est pos´ le premier cette question. Mais on l’attribue cepene dant ` Anaxagoras de Clazomenae (c. 500 av. J.-C.-c. 428 av. J.a C.). Depuis cette ´poque ce probl`me fascine les math´maticiens e e e professionnels ainsi que de tr`s (et trop !) nombreux amateurs. e En effet, comme le th´or`me de Fermat, l’expos´ du probl`me est e e e e simple et l’on peut facilement s’imaginer que sa solution l’est tout autant, ce qui est loin d’ˆtre le cas. e Il faudrait un livre entier pour mentionner les contributions fausses et celles qui ont pav´ la voie de la solution. Je n’en e ´voquerai que quelques unes, sans entrer dans des d´tails teche e niques. Bien entendu, ce probl`me est li´e ` la nature arithm´tique e e a e du nombre π = 3.1415926535 . . . qui donne le rapport entre la circonf´rence d’un cercle et son diam`tre. e e Hippocrate (c. 460 av. J.-C.-377 av. J.-C.) semble ˆtre le pree mier ` avoir cherch´ ` r´soudre le probl`me. Il s’´tait int´ress´ ` a ea e e e e ea la quadrature d’autre figures g´om´triques mais il savait tr`s bien e e e que sa m´thode ´chouait pour le cercle. D’autres savants grecs, e e moins connus, s’y attaqu`rent ´galement, mais Aristote (384 av. e e J.-C.-322 av. J.-C.) n’appr´ciait pas leurs efforts. e La contribution suivante vint d’Archim`de (287 av. J.-C.-212 e av. J.-C.) dans son travail sur les spirales. Il montra que la surface d’un cercle est ´gale ` celle d’un triangle rectangle ayant ses pee a tits cˆt´s ´gaux respectivement au rayon et ` la circonf´rence du oe e a e cercle. Mais cela ne r´solvait pas pour autant le probl`me. Apole e lonius de Perga (c. 262 av. J.-C.-c. 180 av. J.-C.) utilisa certaines courbes pour quarrer le cercle, comme on dira plus tard, mais on ne sait pas de quelles courbes il s’agissait. Bien qu’ils n’aient pas ´t´ capables de le d´montrer, les math´maticiens grecs ´taient ee e e e persuad´s que le probl`me ´tait insoluble. e e e 12

Quittons maintenant le monde antique. Quelques essais furent faits en Inde, o` les math´matiques ´taient tr`s d´velopp´es, ainsi u e e e e e qu’en Chine o` un math´maticien du nom de Liu Hsing, fils du u e philosophe Liu Hsio attach´ ` la maison imp´riale de la dynastie ea e Han, s’int´ressa ` la question aux alentours de l’an 25. On connaˆ e a ıt les nombreux apports du monde arabe aux math´matiques. Le e probl`me de la quadrature du cercle n’´chappa pas ` leurs invese e a tigations. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965-1040) essaya de convaincre les gens que le probl`me pouvait ˆtre r´solu et il proe e e mettait d’´crire un livre sur ce sujet. Mais, comme le livre n’est e jamais paru, on pense qu’il se rendit compte qu’il n’´tait pas arriv´ e e a ` la solution. En 1050, Franco de Li`ge publia un trait´, De quadratura cire e culi. Il examine trois m´thodes ant´rieures bas´es sur l’hypoth`se e e e e que π est ´gal ` 25/8, 49/16 ou 4. Puis il donne sa construction en e a utilisant 22/7 = 3.142857 . . . pour π. Bien que l’ouvrage ait une grande importance historique, il montre surtout combien le raisonnement math´matique de cette ´poque ´tait loin derri`re celui e e e e des grecs de l’antiquit´. e Bien que fausse, la m´thode de Nicolas de Cusa (1401-1464), e un cardinal allemand n´ dans le dioc`se de Tr`ves, fut l’une des e e e premi`res tentatives s´rieuses. Il utilisait des polygones inscrits et e e circonscrits au cercle et calculait des moyennes. Regiomontanus (1436-1476), un astronome allemand n´ ` K¨nigsberg et auteur e a o d’un trait´ de trigonom´trie, trouva une erreur dans son argue e mentation. De tr`s nombreux math´maticiens du seizi`me si`cle se e e e e pench`rent sur le probl`me et L´onard de Vinci (1452-1519) eut e e e mˆme l’id´e de plusieurs machines pour le r´soudre. e e e Les d´buts du calcul diff´rentiel et int´gral augment`rent, e e e e s’il en ´tait encore besoin, l’int´rˆt des math´maticiens. Une e ee e d´monstration fausse fut donn´e dans un livre de Gr´goire de Saint e e e Vincent (1584-1667) publi´ en 1647. Puis ce fut au tour de James e Gregory (1638-1675) de s’en mˆler. Il utilisait les id´es qu’il avait e e d´velopp´es sur la convergence des suites infinies pour essayer de e e d´montrer l’impossibilit´ de la quadrature du cercle. Il voulait e e montrer que le nombre π ne pouvait ˆtre racine d’un polynˆme e o a ` coefficients entiers, c’est-`-dire que π ´tait un nombre transcena e dant. C’est une ´tape fondamentale vers la solution puisque c’est e en utilisant cette propri´t´ que le probl`me sera r´solu plus tard. ee e e 13

De son cˆt´, Christiaan Huygens (1629-1695) croyait que π ´tait oe e un nombre alg´brique, racine d’un tel polynˆme. e o Un second pas majeur fut franchi par Johann Heinrich Lambert (1728-1777) qui d´montra en 1761 que π ´tait un nombre irrae e tionnel, ce qui veut dire qu’il ne peut pas s’exprimer sous la forme d’une fraction. Mais cela ne r´solvait pas encore notre probl`me. e e Il y avait ` cette ´poque tellement de solutions fausses qui ´taient a e e pr´sent´es ` l’Acad´mie des Sciences que celle-ci d´cida, en 1775, e e a e e de n’en plus examiner aucune. La trisection de l’angle et le mouvement perp´tuel subissaient le mˆme sort. Condorcet ´crivait ` e e e a propos de cette d´cision de l’Acad´mie des Sciences e e Mais le nombre de ceux qui consument une partie de leur vie a ` ces vaines recherches, dont tout le fruit est de nuire a leur fortune ` et trop souvent d’alt´rer leur raison, l’a d´termin´e ` prendre une e e e a r´solution qu’elle a cru propre a les d´tourner de cette occupation. e ` e Elle a craint que, si elle continuait a examiner leurs solutions, elle ` pˆt ˆtre accus´e de les encourager ` s’en occuper, et qu’elle ne se u e e a rendˆ en quelque sorte complice des malheurs qui leur arrivent. ıt La Royale Society de Londres prit la mˆme d´cision. e e e a e En 1873, Charles Hermite∗ (1822-1901) r´ussit ` d´monter la transcendance du nombre e, base des logarithmes n´p´riens. Il utie e lisait pour cela une certaine g´n´ralisation des fractions continues. e e Sa d´monstration ´tait laborieuse (73 pages) et certains points e e ´taient mˆme obscurs. Mais il savait que son approche pouvait e e ` s’appliquer a π. A ce sujet, il ´crivait ` Carl Wilhelm Borchardt ` e a (1817-1880) Je ne me hasarderai point ` la recherche d’une d´monstration a e de la transcendance du nombre π. Que d’autres tentent l’entreprise ; mais croyez m’en, mon cher ami, il ne laissera pas de leur en coˆter quelques efforts. u Au grand ´tonnement d’Hermite et de toute la commue naut´ math´matique internationale, la r´ponse vint, en 1882, du e e e math´maticien allemand Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852e 1939). Une controverse ouverte depuis plus de deux mille ans se terminait ainsi par une r´ponse n´gative. Et cependant, a e e ` l’heure actuelle, certaines personnes cherchent toujours a r´soudre ` e le probl`me de la quadrature du cercle ! e

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Eurˆka e
L’histoire du bain d’Archim`de∗ (287 av. J.-C.-212 av. J.-C.) e est connue de tous. Plutˆt que de la raconter une fois de plus, je o pense qu’il vaut mieux laisser la parole a Marcus Vitruvius Pollio ` (connu sous le nom de Vitruve), architecte et ing´nieur romain du e premier si`cle. Dans son c´l`bre livre De l’architecture, il ´crit e ee e Parmi le grand nombre d’admirables d´couvertes faites par Are chim`de, il faut remarquer celle dont je vais parler, et dans laquelle e il montre une subtilit´ d’esprit presque incroyable. e Lorsque Hi´ron r´gnait ` Syracuse, ce prince, ayant heureusee e a ment r´ussi dans toutes ses entreprises, fit vœu d’offrir, dans un e certain temple, une couronne d’or aux dieux immortels. Il convint, avec un ouvrier, d’une grande somme d’argent pour la fa¸on, et c lui donna l’or au poids. Cet artisan livra son ouvrage le jour qu’il avait promis au roi, qui le trouva parfaitement bien ex´cut´, et la e e couronne, ayant ´t´ pes´e, parut ˆtre du poids de l’or qui avait ee e e ´t´ donn´ ; mais, lorsqu’on fit l’´preuve, on reconnut que l’ouvrier ee e e avait gard´ une partie de l’or, qu’il avait remplac´ par autant d’are e gent dans cette couronne. Le roi fut tr`s offens´ de cette tromperie et, ne pouvant troue e ver de moyen pour convaincre l’ouvrier du vol qu’il avait fait, il pria Archim`de d’en chercher quelqu’un dans son esprit. Un e jour qu’Archim`de, tout pr´occup´ de cette affaire, se mettait au e e e bain, il s’aper¸ut par hasard qu’` mesure qu’il s’enfon¸ait dans le c a c bain l’eau s’en allait par dessus les bords. Cette observation lui fit d´couvrir la raison de ce qu’il cherchait, et, sans tarder davane tage, la joie le transporta tellement qu’il sortit du bain, et courant tout nu ` sa maison, il se mit a crier qu’il avait trouv´ ce qu’il a ` e cherchait, disant en Grec : Eurˆka ! Eurˆka (Je l’ai trouv´ ! Je l’ai e e e trouv´ !). On dit qu’` la suite de cette premi`re d´couverte il fit e a e e faire deux masses de mˆme poids qu’´tait la couronne, l’une d’or e e et l’autre d’argent, qu’il plongea dans un vase plein d’eau la masse d’argent, laquelle, a mesure qu’elle s’enfon¸ait, faisait sortir une ` c quantit´ d’eau ´gale au volume qu’elle avait ; qu’ensuite, l’ayant e e ˆt´e, il remplit de nouveau le vase en y remettant autant d’eau oe qu’il en ´tait sorti, et qu’il avait pris soin de mesurer, ce qui lui e fit connaˆ la quantit´ d’eau qui r´pondait ` la masse d’argent ıtre e e a qu’il avait plac´e dans le vase. Apr`s cette exp´rience, il plongea e e e ´galement la masse d’or dans le mˆme vase plein d’eau, et apr`s e e e 15

l’avoir retir´e, il mesura de nouveau l’eau qui ´tait sortie, et il e e trouva que la masse d’or n’avait pas fait sortir autant d’eau, et que la diff´rence en moins ´tait ´gale ` la diff´rence du volume de e e e a e la masse d’or compar´e au volume de la masse d’argent qui ´tait e e de mˆme poids ; ensuite, il remplit encore le vase, et cette fois, e il y plongea la couronne, qui fit sortir plus d’eau que la masse d’or qui ´tait de mˆme poids n’en avait fait sortir, et moins que e e la masse d’argent n’en avait d´plac´. Calculant enfin, d’apr`s ces e e e exp´riences, de combien la quantit´ d’eau que la couronne avait e e fait sortir ´tait plus grande que celle que la masse d’or avait aussi e fait sortir, il connut combien il y avait d’argent mˆl´ avec l’or, et ee fit voir clairement ce que l’ouvrier avait d´rob´. e e Archim`de avait trouv´ comment obtenir le volume d’un objet e e de forme quelconque. La physique avait ainsi fourni une m´thode e g´n´rale de r´solution de toute une classe de probl`mes que les e e e e math´matiques ne savaient (et ne savent toujours pas) r´soudre ! e e

Le calcul infinit´simal e
La d´couverte du calcul infinit´simal doit ˆtre partag´e entre e e e e Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz∗ (16461716). Dans une lettre ` Guillaume de L’Hospital, Marquis de a Sainte-Mesme, (1661-1704), ce dernier raconte comment s’effectua cette d´couverte e J’avais pris depuis longtemps plaisir a chercher les sommes des ` s´ries de nombres et je m’´tais servi, pour cela, des diff´rences, e e e d’apr`s un th´or`me assez connu, que dans une s´rie d´croissante e e e e e ` l’infini, le premier terme est ´gal ` la somme de toutes ses a e a diff´rences. Cela m’avait donn´ ce que j’appelais le triangle hare e monique, oppos´ au triangle arithm´tique de Pascal. Car Pascal e e avait montr´ comment on peut donner les sommes des nombres e figur´s, qui proviennent en cherchant les sommes et les sommes e des sommes des termes de la progression harmonique naturelle ; et moi, je trouvais que les fractions des nombres figur´s sont e les diff´rences et les diff´rences des diff´rences des termes de la e e e progression harmonique naturelle, et qu’ainsi on peut donner les sommes des s´ries des fractions figur´es, comme e e 1 1 1 1 + + + + ··· 1 3 6 10 16

et 1 1 1 1 + + + + ··· 1 4 10 21 Reconnaissant donc cette grande diff´rence, et voyant come ment, par le calcul de Descartes, l’ordonn´e de la courbe peut e ˆtre exprim´e, je vis que pour les quadratures ou les sommes e e des ordonn´es n’est autre chose que trouver une ordonn´e dont e e la diff´rence soit proportionnelle ` l’ordonn´e donn´e. Je recone a e e nus aussi bientˆt que trouver les tangentes n’est autre chose que o diff´rencier, et trouver les quadratures n’est autre chose que some mer, pourvu qu’on suppose les diff´rences incomparablement pee tites. Je vis aussi que n´cessairement les grandeurs diff´rentielles e e se trouvent hors de la fraction, et qu’ainsi on peut donner les tangentes sans se mettre en peine des irrationnelles et des fractions. Et voil` l’histoire de l’origine de ma m´thode, methodus differena e tialis. Quant a Newton, il fut guid´ par une analogie m´canique ` e e J’appellerai fluentes, ces quantit´s que je consid`re comme e e croissantes ou d´croissantes graduellement et ind´finiment ; et je e e les repr´senterai par u, x, y et z. Quant aux vitesses que chacune e des fluentes re¸oit du mouvement g´n´rateur (vitesses que j’apc e e pelle fluxions), je les exprimerai par les lettres surmont´es d’un e point u, x, y et z. ˙ ˙ ˙ ˙ On voit combien les associations d’id´es peuvent ˆtre fruce e tueuses.

Les m´thodes de Monte-Carlo e
Il est difficile de donner une d´finition pr´cise des m´thodes e e e de Monte-Carlo car ce terme englobe des m´thodes de calcul tr`s e e diverses. Cependant, l’un de leurs points communs est l’utilisation de ph´nom`nes al´atoires (c’est-`-dire qui d´pendent du hae e e a e sard). Comme les calculs doivent, le plus souvent, ˆtre effectu´s e e sur ordinateur ce ph´nom`ne consiste, la plupart du temps, en des e e nombres tir´s au hasard suivant une loi de probabilit´ donn´e. e e e On peut dire qu’une m´thode de Monte-Carlo est une m´thode e e qui consiste ` remplacer un probl`me de nature tout ` fait a e a d´terministe, difficile ` r´soudre, par un probl`me plus simple e a e e 17

mais de nature al´atoire. Les param`tres du probl`me probabie e e liste seront associ´s ` ceux du probl`me d´terministe. La solue a e e tion du probl`me d´terministe sera calcul´e de fa¸on approch´e ` e e e c e a partir des caract´ristiques statistiques du probl`me al´atoire. La e e e pr´cision du r´sultat obtenu d´pendra ´videmment de la pr´cision e e e e e de l’analogie entre les deux probl`mes. e Il ne faut pas confondre m´thode de Monte-Carlo et simue lation. Par simulation on entend, en g´n´ral, la reproduction e e pure et simple d’un ph´nom`ne de nature al´atoire (alors que le e e e ph´nom`ne est d´terministe dans une m´thode de Monte-Carlo). e e e e Par exemple, la synchronisation des feux de circulation dans une ville rel`ve de la simulation car les divers flots d’automobiles dans e chaque rue sont de nature al´atoire. e Les m´thodes de Monte-Carlo sont largement utilis´es pour e e r´soudre de nombreux probl`mes ; en math´matiques appliqu´es, e e e e pour la r´solution des syst`mes d’´quations lin´aires, le calcul e e e e d’int´grales d´finies ou l’int´gration d’´quations aux d´riv´es pare e e e e e tielles ; en physique, pour la transmission des particules et, en particulier, l’´quation de transport des neutrons ; en chimie, pour e l’´tude de la p´n´tration d’un liquide dans un milieu poreux ; e e e en astronomie, pour calculer la dur´e de vie d’une com`te ; en e e ´lectronique, pour la r´solution en temps des d´tecteurs Ge(Li), e e e etc. Historiquement, la premi`re m´thode de Monte-Carlo semble e e avoir ´t´ la m´thode de Buffon pour d´terminer la valeur de π. On ee e e laisse tomber au hasard une aiguille sur un r´seau de parall`les e e ´quidistantes ; le rapport du nombre de fois o` l’aiguille coupe e u l’une des parall`les au nombre total d’exp´riences r´alis´es est e e e e proportionnel a la valeur de π. Buffon consid´rait cela seulement ` e comme un jeu et non pas comme un probl`me math´matique. e e Comme Monsieur Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir, Buffon se servait d’une m´thode de Monte-Carlo sans en avoir e conscience. C’est pour cela qu’il ne peut ˆtre cr´dit´ de son invene e e tion. Je raconterai cependant cette histoire. Georges Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788) est universellement connu pour ses travaux de naturaliste. Son Histoire naturelle comporte trente-six volumes. Mais ce que l’on sait moins, c’est qu’il publia aussi des travaux de math´matiques. Il traduisit e l’ouvrage d’Isaac Newton (1642-1727) sur la m´thode des fluxions e

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et l’agr´menta d’une longue pr´face. Il ´crivit trois notes dans lese e e quelles il critiquait un travail d’Alexis Clairaut (1713-1765) qui pr´conisait d’ajouter un terme correctif a la loi d’attraction unie ` verselle de Newton. Enfin, il publia un ouvrage de 175 pages intitul´ Des probabilit´s de la dur´e de vie. e e e C’est dans un autre livre, Essai d’arithm´tique morale, de 1777 e qu’il propose son jeu de l’aiguille. On lance une aiguille sur un parquet constitu´ de lames parall`les puis l’on compte le nombre e e de fois o` l’aiguille est tomb´e ` cheval sur deux lames. Voici ce u e a qu’il ´crit e L’Analyse est le seul instrument dont on se soit servi jusqu’` a ce jour dans la science des probabilit´s, pour d´terminer et fixer e e les rapports du hasard ; la G´om´trie paraissait peu propre a un e e ` ouvrage aussi d´li´ ; cependant si l’on y regarde de pr`s, il sera fae e e cile de reconnaˆ que cet avantage de l’Analyse sur la G´om´trie ıtre e e est tout ` fait accidentel, et que le hasard selon qu’il est modifi´ et a e conditionn´, se trouve du ressort de la G´om´trie aussi bien que e e e celui de l’Analyse ; pour s’en assurer, il suffira de faire attention que les jeux et les questions de conjecture ne roulent ordinairement que sur les rapports de quantit´s discr`tes ; l’esprit humain plus e e familier avec les nombres qu’avec les mesures de l’´tendue les a e toujours pr´f´r´s ; les jeux en sont une preuve, car leurs lois sont ee e une arithm´tique continuelle ; pour mettre donc la G´om´trie en e e e possession de ses droits sur la science du hasard, il ne s’agit que d’inventer des jeux qui roulent sur l’´tendue et sur ses rapports, e ou calculer le petit nombre de ceux de cette nature qui sont d´j` ea trouv´s ; le jeu du franc-carreau peut nous servir d’exemple : voici e ses conditions qui sont fort simples... Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divis´ par des joints parall`les, on jette en l’air une baguette, e e et que l’un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parall`les du parquet, et que l’autre au contraire parie que la e baguette croisera quelques-unes de ces parall`les ; on demande le e sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille a coudre ou une ´pingle sans tˆte. ` e e On estime donc la probabilit´ pour que l’aiguille coupe e l’une des raies de ce parquet. Comme on peut le d´montrer e math´matiquement cette probabilit´ est ´gale ` π. Le calcul de e e e a la valeur de π est bien un probl`me d´terministe. On a remplac´ e e e 19

ce calcul par une analogie probabiliste dont on calcule les propri´t´s statistiques (ici c’est une moyenne). Si l’aiguille est de ee longueur 2a et si la distance entre deux lattes est de 2b, avec bien entendu a plus petit que b, alors la probabilit´ pour que e l’aiguille coupe une raie du parquet est ´gale ` 2a/πb. Buffon e a donna une d´monstration g´om´trique de ce r´sultat. Voici une e e e e d´monstration fort simple due a Emile Borel∗ (1871-1956). On e ` ´ commence par remarquer que le nombre moyen d’intersections d’une aiguille de forme quelconque avec les bords des lattes est proportionnel a la longueur 2a de l’aiguille et inversement propor` tionnel ` la largeur 2b des lattes. Ce nombre est donc donn´ par a e une expression de la forme Ca/b, o` C est une constante qu’il faut u d´terminer. Prenons, pour cela, une aiguille circulaire de diam`tre e e b. Elle a pour longueur πb. Quelle que soit la fa¸on dont elle tombe, c elle coupe toujours deux fois une raie du parquet, d’o` 2 = Cπb/b u et on en d´duit que C = 2/π. La probabilit´ est donc finalement e e 2a/πb. Pour obtenir la valeur exacte de π il faudrait r´aliser une infie nit´ de lancers. Cependant, plus on effectue de lancers et plus l’on e se rapproche de la valeur de π avec une bonne probabilit´. C’est e ainsi qu’en 1850, le math´maticien et astronome suisse Johann e Rudolf Wolf (1816-1893) effectua 5000 lancers avec un rapport a/b = 0.8 et trouva 2532 intersections, d’o` π = 3.1596. On a calu cul´ que pour obtenir une pr´cision de 1/1000 avec une probabilit´ e e e de 95% il faudrait effectuer environ 9 millions de lancers. Ce n’est cependant que vers la fin de la seconde guerre mondiale que les m´thodes de Monte-Carlo se sont d´velopp´es ; le e e e nom de Monte-Carlo d´signait ` l’origine un dossier secret de e a l’op´ration Overlord (le d´barquement du 6 juin 1944 en Nore e mandie). Ces m´thodes furent utilis´es d’abord par le physicien e e Enrico Fermi∗ (1901-1954) et les math´maticiens Stanislaw Ulam∗ e (1909-1984), Nicholas Constantine Metropolis (1915-1999), Mark Kac (1914-1984) et surtout John von Neumann (1903-1957) qui cherchaient ` calculer les valeurs propres associ´es ` l’´quation de a e a e Schr¨dinger et ` r´soudre des probl`mes de diffusion de particules. o a e e Comme nous allons le voir, c’est Ulam qui en fut le principal inventeur alors qu’il s´journait a l’hˆpital o`, pour passer le temps, e ` o u il faisait des exp´riences de ce type. e

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Stanislaw Ulam est un math´maticien d’origine polonaise qui e ´ ´migra aux Etats-Unis avant la seconde guerre mondiale et pare ticipa ` Los Alamos ` la construction de la bombe atomique. Il a a est, entre autres travaux math´matiques de grande importance, le e v´ritable inventeur des m´thodes dites de Monte-Carlo. Donnons e e lui la parole L’id´e de ce qui fut plus tard appel´ m´thode de Monte-Carlo e e e me vint alors que je jouais au solitaire pendant ma maladie. Je m’aper¸us qu’il pouvait ˆtre beaucoup plus utile dans la pratique c e pour avoir une id´e de la probabilit´ d’un d´nouement gagnant du e e e jeu de solitaire de disposer les cartes, ou de faire des exp´riences e avec le proc´d´ et de noter simplement quelle est la proportion e e de gains, plutˆt que d’essayer de calculer toutes les possibilit´s o e de combinaisons qui sont en nombre croissant exponentiellement tellement grand que, sauf dans des cas tr`s ´l´mentaires, il n’y a e ee aucune fa¸on de l’estimer... Dans un probl`me quelque peu comc e pliqu´, l’essai r´el est mieux qu’une ´tude de toutes les suites de e e e possibilit´s. e Il me vint a l’id´e que cela pouvait ´galement ˆtre vrai dans ` e e e tous les processus mettant en jeu des ramifications d’´v´nements, e e comme dans la production et la multiplication ult´rieure des neue trons dans certaines sortes de mat´riaux contenant de l’uranium e ` ou d’autres ´l´ments fissiles. A chaque ´tape du processus, il y ee e a de nombreuses possibilit´s d´terminantes pour le sort du neue e tron... On peut ´crire les ´quations diff´rentielles ou les ´quations e e e e int´gro-diff´rentielles pour les moyennes, mais les r´soudre ou e e e mˆme obtenir une id´e approximative des propri´t´s de la solue e ee tion, est une toute autre affaire. L’id´e ´tait d’essayer des milliers de telles possibilit´s et, e e e ` chaque ´tape, de choisir au hasard, au moyen d’un nombre a e al´atoire avec une probabilit´ convenable, le sort ou le type e e d’´v´nement qui viendra a la queue, pour parler ainsi, au lieu de e e ` consid´rer toutes les branches. Apr`s avoir ´tudi´ les histoires pose e e e sibles de seulement quelques milliers, on aura un bon ´chantillon e et une r´ponse approximative au probl`me. e e C’est l`, le type mˆme d’une attitude d’exp´rimentateur chez a e e ` un math´maticien. A partir de 1943 les m´thodes de Montee e Carlo ont ´t´ ´tendues ` des probl`mes importants avec le ee e a e d´veloppement des ordinateurs. Les premiers utilisateurs pene saient qu’en r´p´tant un nombre ´lev´ de fois des s´quences e e e e e 21

d’op´rations tr`s courtes ils pourraient r´soudre, sans grande e e e ´tude pr´alable et ` peu de frais, des probl`mes complexes pour e e a e lesquels les sp´cialistes manquaient. Cependant la r´alit´ n’´tait e e e e pas si simple et les r´sultats ´taient souvent tr`s ´loign´s de la e e e e e solution par insuffisance du nombre d’´preuves al´atoires (il n’est e e pas rare qu’il en faille plusieurs millions !). Ce fut a partir de 1951 ` que les probl`mes de pr´cision furent ´tudi´s et que les m´thodes e e e e e de Monte-Carlo entr`rent dans l’ˆge adulte. Elles reposent sur de e a solides bases de statistique et de probabilit´. Elles sont toujours e utilis´es ` l’heure actuelle. e a

Les quaternions
Un nombre complexe c est form´ par un couple de nombres : e le premier, a, s’appelle sa partie r´elle et le second, b, est sa pare √ tie imaginaire. Le nombre c s’´crit c = a + ib o` i = −1. Ces e u nombres furent introduits par le math´maticien italien de Bologne, e Raffaele Bombelli (1526-1572). Le nombre c peut se repr´senter e comme un point dans le plan avec une abscisse a et une ordonn´e e b. Un nombre complexe a ainsi une repr´sentation g´om´trique e e e comme ´tant le vecteur joignant l’origine au point c du plan dans e l’espace de dimension deux. Cette construction est due ` John a Wallis (1616-1703) en 1685, mais Wallis ne savait pas comment repr´senter g´om´triquement les op´rations arithm´tiques sur les e e e e e nombres complexes. Pour cela, apr`s un premier essai dˆ ` Henri e ua K¨hn (1690-1769) en 1756, il fallut attendre les travaux du dau nois Caspar Wessel (1745-1818) en 1798 et surtout ceux du suisse Jean Robert Argand (1768-1822) qui publia en 1806 un Essai sur une mani`re de repr´senter les quantit´s imaginaires dans e e e les constructions g´om´triques. Ces travaux pass`rent presque ine e e aper¸us. Ce n’est qu’apr`s les travaux de Carl Friedrich Gauss c e (1777-1855) et surtout ceux de Augustin Louis Cauchy (17891857) que les nombres complexes furent accept´s. e On peut cependant l´gitimer l’existence des nombres come plexes sans avoir recours ` cette interpr´tation g´om´trique. C’est a e e e ainsi qu’en 1837, William Rowan Hamilton∗ (1805-1865) justifia les nombres complexes comme des couples de nombres r´els sur e lesquels il d´finit l’addition et la multiplication. Hamilton voulait e ´tendre ces r´sultats aux vecteurs de l’espace ` trois dimensions et e e a 22

cherchait un calcul alg´brique qui puisse s’interpr´ter dans cet ese e pace. Il faut alors consid´rer des triplets de nombres ` la place de e a couples. Mais c’est en faisant l’inventaire des propri´t´s que ces triee plets doivent v´rifier qu’il s’aper¸oit qu’il faut, en fait, consid´rer, e c e non pas des triplets, mais des quadruplets de nombres. Hamilton inventa les quaternions le 16 octobre 1843 et communiqua sa d´couverte ` son ami John Thomas Graves (1806-1870) d`s le jour e a e suivant. En d´livrant les op´rations alg´briques de la commutae e e tivit´, sa d´couverte marqua un grand pas dans l’´volution vers e e e l’alg`bre moderne. e Hamilton consid´ra, d`s le d´but, que c’´tait l` sa plus belle e e e e a d´couverte scientifique et il augura qu’il passerait le reste de sa e vie ` en explorer les cons´quences. Il est clair qu’il pensait que les a e quaternions joueraient, dans l’espace a trois dimensions, un rˆle ` o analogue aux nombres complexes dans le plan. Il se lan¸a dans ces c recherches avec un grand z`le qui ne se d´mentit jamais. Quelque e e temps avant sa mort survenue le 2 septembre 1865, il d´crivait e ainsi sa d´couverte dans une lettre ` son fils Archibald e a En octobre 1843, ´tant r´cemment revenu d’un congr`s de la e e e British Association ` Cork, le d´sir de d´couvrir les lois de multia e e plication des triplets me reprit avec une certaine force et une certaine ardeur, qui s’´taient assoupies quelques ann´es, mais ´tait e e e alors sur le point d’ˆtre couronn´e et dont je vous ai parfois parl´. e e e Chaque matin, au tout d´but du mois en question, quand je dese cendais pour le petit d´jeuner, votre fr`re William Edwin et vous e e mˆme aviez l’habitude de me demander : alors, Papa, pouveze vous multiplier les triplets ? Ce ` quoi j’´tais toujours oblig´ de a e e r´pondre, avec un triste hochement de tˆte, non, je peux seulement e e les additionner et les soustraire. Mais le seizi`me jour du mˆme e e mois - qui tombait un lundi et un jour de conseil de la Royal Irish Academy - j’allais a pied pour y assister et pr´sider et votre ` e m`re marchait avec moi en suivant le Royal Canal vers lequel elle e avait ´t´ peut-ˆtre pouss´e ; et bien qu’elle me parlˆt de temps ` ee e e a a autre, un courant de fond de pens´es se d´roulait cependant dans e e mon esprit, qui produisit a la fin un r´sultat dont ce n’est pas ` e trop de dire que j’en sentis tout de suite l’importance. Un circuit ´lectrique sembla se former et une ´tincelle jaillit, pr´curseur e e e (comme je l’entrevis imm´diatement) de nombreuses ann´es ` vee e a nir de pens´es et de travail dans une direction pr´cise, par moie e mˆme si elles me sont accord´es, ou tout au moins par d’autres e e 23

si je suis autoris´ ` vivre assez longtemps pour communiquer la e a d´couverte. Je sortis sur le champ un carnet qui existe encore et e je pris une note s´ance tenante. Je ne pus pas plus r´sister ` l’ime e a pulsion - aussi anti-philosophique que cela puisse ˆtre - de graver e avec un couteau sur une pierre de Brougham Bridge, alors que nous passions dessus, la formule fondamentale avec les symboles i, j, k i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1, qui contient la solution du probl`me mais naturellement, comme e toute inscription, elle a ´t´ effac´e depuis longtemps [` la place, ee e a une plaque comm´more l’´v´nement]. Une note plus durable, cee e e pendant, reste sur les livres du conseil de l’Acad´mie pour ce jour e (16 octobre 1843) qui rappelle le fait que j’ai alors demand´ et e obtenu l’autorisation de pr´senter un article sur les quaternions a e ` la premi`re r´union g´n´rale de la session ; cette lecture eut bien e e e e lieu en cons´quence le 13 novembre suivant. e En 1844, paraissait le livre de Hermann G¨nther Grassmann u (1809-1877). Il y exposait un proc´d´ de calcul sur les vecteurs e e de l’espace ` un nombre quelconque de dimensions. On lui doit la a notion d’ind´pendance lin´aire et les d´finitions de dimension d’un e e e espace vectoriel et de sous-espace vectoriel. Son œuvre ne sera appr´ci´e qu’apr`s sa red´couverte par Giuseppe Peano (1858e e e e 1932).

Les g´om´tries non euclidiennes e e
En physique, de nombreuses th´ories nouvelles, comme la ree lativit´ ou la th´orie des quanta, sont n´es parce qu’un chere e e cheur suffisamment audacieux d´cida d’un coup d’abandonner e une hypoth`se sur laquelle ´tait bˆtie la th´orie ancienne pour e e a e une autre sur laquelle il allait construire sa nouvelle th´orie. e Le cas est plus rare en math´matiques o` toutes les proposie u tions sont d´montr´es les unes ` partir des autres et o` aucun e e a u r´sultat, aucune hypoth`se ne repose sur une exp´rience sensoe e e rielle. Tout est juste et certain. Il existe cependant des exceptions dont l’une est la g´om´trie qui est fond´e sur un certain nombre e e e d’axiomes ind´montrables mais que le bon sens nous dit d’ace cepter comme vrais sans d´monstration. Ainsi s’exprimait Henri e Poincar´∗ (1854-1912) e 24

Toute conclusion suppose des pr´misses ; ces pr´misses ellese e mˆmes ou bien sont ´videntes par elles-mˆmes et n’ont pas besoin e e e de d´monstration ou bien ne peuvent ˆtre ´tablies qu’en s’appuyant e e e sur d’autres propositions, et comme on ne saurait remonter ainsi a ` l’infini, toute science d´ductive, et en particulier la g´om´trie, doit e e e reposer sur un certain nombre d’axiomes ind´montrables. Tous les e trait´s de g´om´trie d´butent donc par l’´nonc´ de ces axiomes. e e e e e e Parmi eux, le c´l`bre axiome des parall`les d’Euclide qui dit ee e que, par un point ext´rieur ` une droite, on ne peut faire passer e a qu’une et qu’une seule droite parall`le ` celle-ci. e a On a longtemps cherch´ ` d´montrer cet axiome jusqu’au jour ea e o` il fut prouv´ que cette d´monstration ´tait impossible. Puisque u e e e la d´monstration est impossible, que se passe-t-il si l’on remplace e cet axiome des parall`les par sa n´gation ? C’est la question que se e e pos`rent presque simultan´ment Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e e ı en 1824, J´nos Bolyai∗ (1802-1860) en 1825 et Nicola¨ Ivanovitch a Lobatchevski (1792-1856) en 1826. Tous les trois purent obtenir, a ` partir des nouveaux axiomes, un syst`me logique de propositions e sans contradictions. Ainsi, a cˆt´ de la g´om´trie euclidienne clas` oe e e sique, il y avait place pour des g´om´tries diff´rentes, non euclie e e diennes. Ce fait ´tait tellement inattendu, extraordinaire et e r´volutionnaire que Gauss ne le publia jamais. Dans une e lettre adress´e en 1929 ` Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) il e a ´crit : J’ai peur des criaillements des ignorants. e J´nos Bolyai publia ses r´sultats en appendice d’un livre de a e e e son p`re, Wolfgang Bolyai∗ (1775-1856), lui-mˆme math´maticien e de renom. J´nos Bolyai ne fut jamais ni critiqu´ ni attaqu´ en a e e public. Les seuls affrontements qu’il eut ` subir furent ceux avec a son p`re qui n’acceptait pas ses id´es. e e Il en alla tout autrement pour Lobatchevski. Ayant soumis ses r´sultats ` l’Acad´mie des Sciences de Saint-P´tersbourg, Mikhail e a e e Vasilevich Ostrogradski (1801-1862) d´clara : L’´tude t´moigne e e e de si peu de soin qu’elle reste, pour sa plus grande partie, inintelligible...[ce travail] ne m´rite pas l’attention de messieurs les e Acad´miciens. Ostrogradski fit mˆme publier dans le journal Le e e fils de la patrie un article anonyme, mais r´dig´ par un journaliste e e r´actionnaire notoire, dans lequel il ´crivait : on se demande poure e quoi on ´crit et surtout on publie de telles fantasmagories. Malgr´ e e

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l’intervention de coll`gues, Lobatchevski fut d´mis en 1846 de sa e e charge de Recteur de l’Universit´ de Kazan et relev´, un an plus e e tard, de son titre de Professeur et de tous les autres postes universitaires qu’il occupait. Il fallut attendre les ann´es 1870 et Bernhard Riemann∗ (1826e 1866) pour que les g´om´tries non euclidiennes soient accept´es. e e e On connaˆ leur rˆle primordial dans le d´veloppement de la relatiıt o e vit´ g´n´rale. Riemann ´tait d’ailleurs tout a fait conscient du lien e e e e ` entre ces nouvelles g´om´tries et la physique puisqu’il ´crivait dans e e e son travail Hypoth`ses qui servent de fondement ` la g´om´trie : e a e e La question de la validit´ des hypoth`ses de la G´om´trie dans e e e e l’infiniment petit est li´e avec la question du principe intime des e rapports m´triques dans l’espace... Il faut donc, ou que la r´alit´ e e e sur laquelle est fond´ l’espace forme une vari´t´ discr`te, ou que e ee e le fonctionnement des rapports m´triques soit cherch´ en dehors e e de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui. La r´ponse ` ces questions ne peut s’obtenir qu’en partant de la e a conception des ph´nom`nes, v´rifi´e jusqu’ici par l’exp´rience, et e e e e e que Newton a prise pour base, et en apportant ` cette conception a les modifications successives, exig´es par les faits qu’elle ne peut e pas expliquer. Opinion proph´tique s’il en fut ! e

Stieltjes et les fractions continues
Quand un sujet de math´matiques est trop difficile ` ´tudier e ae directement, on peut essayer de deviner sa solution par l’observation de cas particuliers. C’est, en quelque sorte, une d´marche e exp´rimentale. La d´monstration g´n´rale vient ensuite. Tous les e e e e math´maticiens ont un jour proc´d´ de cette mani`re, il n’y a rien e e e e d’extraordinaire a cela. Nous allons donner des exemples de cette ` e attitude. Thomas Jan Stieltjes∗ (1856-1894) est un math´maticien d’origine hollandaise qui fit carri`re ` Toulouse. Une grande partie e a de son travail touchait aux fractions continues. Une fraction continue est une fraction dont le d´nominateur e est un nombre plus une fraction. Le d´nominateur de cette noue velle fraction est lui-mˆme un nombre plus une autre fraction et e ainsi de suite jusqu’` l’infini. Les fractions continues ont une hisa toire qui remonte aux premiers ages des math´matiques et leur ˆ e 26

importance dans l’histoire de cette science a ´t´ tout a fait fondaee mentale. La compr´hension des d´tails math´matiques qui suivent e e e n’a que peu d’importance pour saisir l’attitude exp´rimentale des e math´maticiens. e Dans sa volumineuse correspondance avec Charles Hermite∗ (1822-1901), Stieltjes ´crit, le 3 mai 1894 e ` l’´gard des fractions P /P et P /P , je vous avouerai que A e je n’ai point la pr´tention d’´claircir un sujet aussi difficile par la e e r´flexion et par l’imagination seules. Je proc´derai comme les nae e turalistes, en appelant au secours l’observation. Pour le moment donc, je fais des calculs num´riques, assez laborieux, en cherchant e toutes les fractions convergentes pour quelques cas particuliers jusqu’` P = 200 et P = 500... C’est seulement lorsque j’aurai amass´ a e de cette fa¸on un grand mat´riel que je pourrai commencer a trac e ` vailler s´rieusement sur cette mati`re. Je ne sais point du tout si e e cela me m`nera ` quelque chose, mais je veux en avoir le cœur e a net. Le 13 mai, Hermite r´pond e Je me sens tout joyeux de vous savoir en si bonne disposition que vous vous transformez en naturaliste pour observer les ph´nom`nes du monde arithm´tique. Votre doctrine est la mienne ; e e e je crois que les nombres et les fonctions de l’analyse ne sont pas le produit arbitraire de notre esprit ; je pense qu’ils existent en dehors de nous avec le mˆme caract`re de n´cessit´ que les choses de e e e e la r´alit´ objective, et que nous les rencontrons ou les d´couvrons, e e e et les ´tudions, comme les physiciens, les chimistes et les zooloe gistes,... Il ne faut pas s’´tonner de cette attitude de Stieltjes. En effet, e pour stimuler l’imagination et entrevoir une r`gle g´n´rale, il est e e e souvent n´cessaire de voir les objets math´matiques que l’on mae e nipule. L’une des fa¸ons d’y arriver est de se livrer ` des calculs c a num´riques. e La correspondance entre Hermite et Stieltjes est une mine de renseignements pour qui s’int´resse ` l’histoire de la pens´e sciene a e tifique. Voici un autre exemple emprunt´ ` une lettre de Stieltjes ea du 31 mai 1894. Il montre que des analogies entre diff´rents sujets e peuvent ˆtre fructueuses e Je suis un peu fatigu´ et peu propre au travail en ce moment, e ce qui me contrarie beaucoup, parce que je suis hant´ par une e 27

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