Introduction au calcul scientifique par la pratique

De
Publié par

L'ouvrage est consacré à l'étude de quelques problèmes issus de la physique, de la mécanique, de la chimie, du traitement de l'image, etc. A chaque fois, la méthode appliquée est la même : modélisation mathématique du problème, outils et techniques d'analyse numérique nécessaires à la résolution (avec rappels de cours et exercices intermédiaires), algorithmes de calcul, programmation des algorithmes et mise en oeuvre dans l'environnement Matlab. Certains programmes sont téléchargeables directement à partir du site web dunod.com.

Publié le : mardi 1 février 2005
Lecture(s) : 148
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782100528493
Nombre de pages : 304
Voir plus Voir moins
Cette publication est uniquement disponible à l'achat
Projet1
Approximation numérique de quelques équations aux dérivées partielles modèles
Fiche du projet Difficulté :1 Notions développées :Équations différentielles linéaires : méthodes d’intégration numérique, schémas aux différences finies : schémas d’Euler, de RungeKutta. Domaines d’application :Phénomènes de transport, diffusion, propagation d’ondes.
Le but de ce projet est de mettre en évidence les propriétés mathématiques et phy siques des équations aux dérivées partielles (EDP), présentées sous la forme la plus simple possible. En fait, il ne s’agit pas d’un véritable projet, basé sur un problème bien défini, mais plutôt d’une somme d’exercices théoriques qui visent à familiari ser le lecteur avec quelques techniques de base de discrétisation et d’intégration des EDP. Nous commençons par présenter ces techniques dans le cas simple des équa tions différentielles ordinaires (EDO), pour les étendre ensuite aux EDP modèles (équation de convection, des ondes, de la chaleur). Une attention particulière sera
2
Projet 1
Approximation numérique de quelques équations...
accordée à l’analyse des schémas numériques (précision, stabilité, dissipation) et à la comparaison des résultats numériques avec les solutions exactes.
1.1 DISCRÉTISATION D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ORDINAIRE Considérons l’équation différentielle ordinaire (EDO) : trouver une fonction déri m vableu: [0,T]→R, solution de   u(t) =f t,u(t),(1.1) m Test un réel strictement positif etfest une fonction continue de [0,T]×Rà m valeurs dansR. Définition 1.1On appelle problème de Cauchy, le couplage de l’EDO (1.1) et d’une condition initiale u(0) =u0,(1.2) m où u0est un vecteur deR.
Nous renvoyons à un cours sur les équations différentielles, par exemple, [Crou zeix et Mignot, 1989], [Demailly, 1996], [Delabrière et Postel, 2004], pour tout ce qui concerne l’existence et l’unicité d’une solution du problème de Cauchy (1.1) (1.2). Dans cette première partie du projet, nous présentons des méthodes numé riques simples pour calculer une approximation de la solution dans le cas scalaire (on dit aussi 1D),m= 1. Puisque l’ordinateur ne peut renvoyer qu’un nombre fini de u résultats, la résolution numé un+1 solution numérique rique du problème de Cau un chy (1.1)(1.2) va commencer solution exacte par choisir les points de cal u u(t ) n+1 cult0,t1, . . . ,tNde l’intervalle 1 u(tn) I= [0,T]. On définit ainsi une discrétisation(ou un maillage) de l’intervalleI. La distribu u 0t tion équidistante (ou uniforme) 0tt t T 1 n n+1 des points de calcul est la h plus simple et elle sera utilisée dans ce chapitre : l’intervalle Figure 1.1Discrétisation d’une EDO. I= [0,T] est divisé enNin tervallesInde même longueur h=T/N(hest appelé pas de discrétisation). On poseIn= [tn,tn+1] avectn=nh (t0= 0,tN=T, voir la figure 1.1). L’approximation numérique consiste à construire
1.1
Discrétisation d’une équation différentielle ordinaire
3
(N) (N) une suite (dépendant deN) de valeurs discrètesu, . . .uapprochant les valeurs 0N u(t0), . . .u(tN) de la solution exacteu(t) aux mêmes points de calcul. On prendra (N) toujoursu=u0pour vérifier la condition initialeu(t0) =u0. Pour simplifier la 0 (N) pa présentation, on notera par la suiteunrun.
1.1.1 Construction de schémas numériques Après la discrétisation de l’intervalle de définitionI, il faut trouver une relation nous permettant de calculer les valeursun,n= 1, . . . ,N. Cette relation (schéma numé rique) est obtenue endiscrétisantl’opérateur différentiel intervenant dans l’EDO (rappelons que le schéma démarre de la valeuru0, fixée par la condition initiale). On distingue deux méthodes pour construire des schémas numériques pour résoudre l’EDO (1.1).
a) Méthodes basées sur des quotients aux différences On écrit l’équation (1.1) à l’instanttn(la variabletdésigne souvent un temps) et on remplaceu(tn) par un quotient aux différences en utilisant des développements de Taylor faisant intervenir les valeurs de l’inconnueuaux instants voisins detn. Prenons d’abord l’exemple de la dérivée première.
Définition 1.2Le pas de discrétisation h étant fixé, on définit les quotients aux différences finies – décentrées en avant (ou progressives) u(t+h)u(t) + D u(t) =,(1.3) h – décentrées en arrière (ou régressives) u(t)u(th) D u(t) =,(1.4) h – centrées u(t+h)u(th) 0 D u(t) =.(1.5) 2h
Supposons que la fonctionusoit deux fois continûment dérivable. Il existe alors + u[0,h] tel que n 2 h ′ ′′+ u6) u(tn+1) =u(tn) +hu(tn) +u(tn+n).(1. 2 On déduit de ce développement une approximation deu(tn) u(tn+1)u(tn)h′′+ + )u(t).(1.7) u(tn) =u(tn+unDn h2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.