Le formulaire MPSI, MP - 4e éd.

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Cette 4e édition revue et corrigée propose une nouvelle mise en page en deux couleurs afin d'apporter plus de clarté et de confort à la lecture. Quatre grandes parties forment l'ouvrage : Mathématiques, Physique, Chimie et Annexes. Toutes les formules essentielles du programme des filières MPSI et MP sont rappelées, systématiquement replacées dans leur contexte (dans quel cas les employer, signification des différents termes qui les composent...) et de nombreux schémas viennent illustrer ou compléter chaque notion abordée.

Publié le : mercredi 17 septembre 2008
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EAN13 : 9782100537877
Nombre de pages : 216
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1 Chapitre Mathématiques
1.
1.1
Algèbre
Relations
Propriétés d'une relation binaire SoitRune relation binaire dansE; elle est dite : réflexivesi et seulement sixE,xRx 2 symétriquesi et seulement si(x,y)E,xRy=yRx xRy 2 antisymétriquesi et seulement si(x,y)E,=x=y yRx xRy 3 transitivesi et seulement si(x,y,z)E,=xRz yRz
Relation d'ordre Une relation binaireRdeEest diterelation d’ordresi et seulement si Rest réflexive, antisymétrique et transitive. Relation d'équivalence Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. c Une relation binaireRdeEest unerelation d’équivalencesi et seule ment siRest réflexive, symétrique et transitive.
2
1.2
Classe d'équivalence
[1] Mathématiques
SoitRune relation d’équivalence dansE; pourxE, on appelleclasse d’équivalencedex(moduloR) l’ensemble défini par : cl(x) ={yE,xRy} R
Ensemble-quotient
On appelleensemblequotientdeEparR, et on noteE/R, l’ensemble des classes d’équivalence moduloR: E/R={cl ,xE} R
Structures algébriques
Lois de compositions On appelle loi interne toute application deE×EE. Un loiest dite associative si et seulement si : 3 (x,y,z)E,x(yz) = (xy)z Une loiinterne est dite commutative si et seulement si : 2 (x,y)E,xy=yx On dit queeest un élément neutre poursi et seulement si : xE,xe=ex=x 1 On appelle symétrique dexEun élement deEnotéxvérifiant : 11 xx=xx=e On dit querHEest stable parsi et seulement si : 2 (x,y)H,xyH
Groupe Un ensemble muni d’une loi interne(G,)est ungroupesi et seule ment si : est associative ; admet un élément neutre :e; – tout élément deGadmet un symétrique pour la loi. Si la loiest commutative, on dit que le groupeGest abélien ou com mutatif.
1. Algèbre
Sous-groupe
3
Soit(G,)un groupe. Une partieHdeGest unsous groupedeGsi et seulement si : Hest stable par la loi; Hcontient l’élément neutre ; 1 xH,xH.
Groupe commutatif
(Z/,+)est un groupe commutatif. nZ – l’applicationpn:Z(Z/), appelée surjection canonique, est nZ x7→xmodn un morphisme surjectif de groupes.
Générateurs du groupe
ˆ Les générateurs du groupe(Z/,+)sont lesk, aveckZetkn= nZ 1. Groupe monogène – Groupe cyclique
– Un groupeGest ditmonogènesi et seulement s’il admet un généra teur, c’estàdire si et seulement s’il existeaGtel queG=<a> – Un groupeGest ditcycliquesi et seulement siGest monogène et fini.
Anneau
Un ensembleAmuni de deux lois internes notées+etest unanneau si et seulement si : (A,+)est un groupe commutatif, d’élément neutre 0 ; A est associative et admet un élément neutre 1 ; A est distributive par rapport à+, c’estàdire : 3 (x,y,z)A,x(y+z) = (xy) + (xz); Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. (x+y)z= (xz) + (yz). c Siest commutative, on dit que l’anneauAestcommutatif.
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