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1 Chapitre Mathématiques
1.
1.1
Algèbre
Relations
Propriétés d'une relation binaire SoitRune relation binaire dansE; elle est dite : réflexivesi et seulement sixE,xRx 2 symétriquesi et seulement si(x,y)E,xRy=yRx xRy 2 antisymétriquesi et seulement si(x,y)E,=x=y yRx xRy 3 transitivesi et seulement si(x,y,z)E,=xRz yRz
Relation d'ordre Une relation binaireRdeEest diterelation d’ordresi et seulement si Rest réflexive, antisymétrique et transitive. Relation d'équivalence Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. c Une relation binaireRdeEest unerelation d’équivalencesi et seule ment siRest réflexive, symétrique et transitive.
2
1.2
Classe d'équivalence
[1] Mathématiques
SoitRune relation d’équivalence dansE; pourxE, on appelleclasse d’équivalencedex(moduloR) l’ensemble défini par : cl(x) ={yE,xRy} R
Ensemble-quotient
On appelleensemblequotientdeEparR, et on noteE/R, l’ensemble des classes d’équivalence moduloR: E/R={cl ,xE} R
Structures algébriques
Lois de compositions On appelle loi interne toute application deE×EE. Un loiest dite associative si et seulement si : 3 (x,y,z)E,x(yz) = (xy)z Une loiinterne est dite commutative si et seulement si : 2 (x,y)E,xy=yx On dit queeest un élément neutre poursi et seulement si : xE,xe=ex=x 1 On appelle symétrique dexEun élement deEnotéxvérifiant : 11 xx=xx=e On dit querHEest stable parsi et seulement si : 2 (x,y)H,xyH
Groupe Un ensemble muni d’une loi interne(G,)est ungroupesi et seule ment si : est associative ; admet un élément neutre :e; – tout élément deGadmet un symétrique pour la loi. Si la loiest commutative, on dit que le groupeGest abélien ou com mutatif.
1. Algèbre
Sous-groupe
3
Soit(G,)un groupe. Une partieHdeGest unsous groupedeGsi et seulement si : Hest stable par la loi; Hcontient l’élément neutre ; 1 xH,xH.
Groupe commutatif
(Z/,+)est un groupe commutatif. nZ – l’applicationpn:Z(Z/), appelée surjection canonique, est nZ x7→xmodn un morphisme surjectif de groupes.
Générateurs du groupe
ˆ Les générateurs du groupe(Z/,+)sont lesk, aveckZetkn= nZ 1. Groupe monogène – Groupe cyclique
– Un groupeGest ditmonogènesi et seulement s’il admet un généra teur, c’estàdire si et seulement s’il existeaGtel queG=<a> – Un groupeGest ditcycliquesi et seulement siGest monogène et fini.
Anneau
Un ensembleAmuni de deux lois internes notées+etest unanneau si et seulement si : (A,+)est un groupe commutatif, d’élément neutre 0 ; A est associative et admet un élément neutre 1 ; A est distributive par rapport à+, c’estàdire : 3 (x,y,z)A,x(y+z) = (xy) + (xz); Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. (x+y)z= (xz) + (yz). c Siest commutative, on dit que l’anneauAestcommutatif.