Les Fractions au clair

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Les Fractions au clair est un ouvrage de « vulgarisation » mais complet, sur les fractions. Il s'adresse aux collégiens de 5ème (matheux), 4ème, 3ème et aux professeurs désireux d'étayer leurs cours par un « support : papier ou numérique », ainsi qu'à tout lecteur intéressé par le sujet. La méthode : CAC utilisée, permet d'acquérir progressivement le sujet, du cas particulier (numérique) au cas général (lettres). Cet ouvrage est innovant et original, à bien des égards, tant dans le fond que dans la forme. La difficulté rencontrée a été de faire cohabiter : « Explications » et « Concision ».


Publié le : mercredi 10 décembre 2014
Lecture(s) : 5
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782332825513
Nombre de pages : 80
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Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction,

intégrale ou partielle réservés pour tous pays.

 

ISBN numérique : 978-2-332-82551-3

 

© Edilivre, 2014

Les Fractions:

Opérations sur les fractions

Avertissement :

  • Ce sujet :« Les fractions »est exposé selon la méthode ;« CAC »:Concret,Abstrait,Concret.

  • Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois.

Concret :Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérirl’essentiel du « Concept Exposé », sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un« Cas Concret » représentatif.

Abstrait :Dans un deuxième temps, le« Cas Général »du concept est étudié de manièreabstraite; c’est-à-dire :en utilisant des lettres à la place des chiffres. Dans cette phase, tous lescas possiblessont étudiés et annoncés, ainsi que lescas d’impossibilité: Division par Zéro, par exemple.

Concret :Dans ce troisième temps, on revient à l’exposé des casconcretsdécrits dans l’exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d’impossibilité.

Ceci permet de montrercomment on utilise, en pratique,le « cas général »,dans un cas particulier

  • La « difficulté »rencontrée dans la rédaction de ce document a été d’écrire un document : « Explicatif », (donc long et lourd) et« Concis »à la fois.

  • La rédaction d’un document :« Concis », sans explications, serait peut-être souhaitable :

Un« Résumé »,en somme ! Utile, pour la mémoire, lorsque le « sujet » est acquis !

  • Un lecteur averti peut sauter les : « Préliminaires », en tout ou partie.

Dans ces « Préliminaires » ; l’étude : duPPCMet duPGCD,me semble toutefois intéressante.

Résumé

N°Chapitre

Désignation

Page

1

1.1.6.5

Décomposition d’un nombreentier en« Facteurs premiers ».

72 = 8 * 9 = 23* 32

21

2

3.1

Notions : « d’Égalités» et « d’Identités » Voir§ 3.2

59

3

1.1.7

PPCM(a,b): Définition, Calcul,Règle générale de calcul, Utilisation

PPCM(a,b)a * b ; S’il n’y a pas de facteurs communs dans les Développements(a et b).

PPCM(a,b) * PGCD(a,b)a * b ; S’il y ades facteurs communs dans les Développements(a et b).

Calcul du PPCM(a,b): a et b : Entiers positifs.

  • Utilisertous les facteurspremiers, des développements de (aetb).

  • Choisir, pour chaque facteur,l’exposant le plus grand.

Lien : { PPCM(a,b), PGCD(a,b) };

PPCM(a,b) * PGCD(a,b)a * bb * a

23

4

1.1.8

PGCD(a,b): Définition, Calcul, Règle, Utilisation :

Simplification des fractions;

Pour calculer le PGCD(a,b) :

  • Nutiliserquelesfacteurs premierscommunsde : a et b.

  • Choisir, pour chaque facteur commun,l’exposant le plus petit.

38

5

1.1

Notion et définition de Fraction.

Fraction ≈ Division non calculée;Reste nulounégligeable.

8

6

1.1.4/1.1.5

Comparer Division et Fraction.

Division : D(d * Q) + R R =0 ouR0;R < Q

11

7

2

Opérations sur les Fractions: Addition, Soustraction, Multiplication, Division.

43

8

2.2.3

Addition de Fractions

  • Réduction des fractions au même
    Dénominateur : « DCF ».

  • Choix, commeDénominateurCommun desFractions : lePPCM(D1,D2).

  • Multiplier : D1 de F1 et doncN1de F1 par :PPCM(a,b) / D1.

  • Multiplier : D2de F2 et doncN2de F2 par :PPCM(a,b) / D2.

  • On est « ramené » à l’addition de 2 fractions de «même dénominateur» :PPCM(D1,D2).

46

9

2.3

Soustraction de fractions: Idem à l’Addition.

52

10

2.4

Multiplication de fractions

pour multiplier des fractions entre elles :

  • Multiplier les numérateurs entre eux.

Nr = N1 * N2 *……

  • Multiplier les dénominateurs entre eux.

Dr = D1 * D2 *……

53

11

2.5

Division de fractions

Pour «Diviser» deux fractions, on «Multiplie» la première fraction par la seconde renversée . Utilisation d’un cas connu : « multiplication des fractions ».

Fr =N1*D2

D1 N2

54

12

2.6

Élévation d’une fraction F à une puissance p: Fp

PouréleveruneFractionà une «Puissance : p’ :

  • ÉleverN(Numérateur) à la puissance : p

  • ÉleverD(Dénominateur) à la puissance : p

Fr = Fp= (N/P)p= Np/ Dp

55

1
Préliminaires

L’étude des «Fractions», des «Opérations sur les Fractions» n’est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que :

  • Définitions de :

– Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d’un nombre,

MultipleCommun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b),

Décomposition d’un nombre en Facteurs Premiers,

– PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b),

– PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b).

Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces « notions et définitions préalables ».

1.1 Notion de Fraction

Dans le langage courant, je dis : « donnes moi une fraction de ton gâteau » ; ou de tes économies ; cela veut dire :

« Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies ».

Plus précisément, les « Fractions » sont très utilisées dans les partages des Choses, d’Argent, de Grandeurs… entre plusieurs personnes ; Chez le notaire par exemple.

On dit que l’on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales (Equipartition).

Les partages sont donc supposés être équitables ; C’est-à-dire être effectués à parts égales : Equipartition.

Commençons par le partage d’une chose en plusieurs parts égales.

1.1.1 Exemple1 : Partage d’une maison

Un père de famille possède une (« 1 ») maison d’une valeur de : 200 000 €uros.

Il a : Trois enfants.

Il désire vendre la maison : 200 000 € et partager sa valeur entre les trois enfants.

Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable :

200 000 € : 3 = 66 666, 66€ ou 200 000 € / 3 = 66 666,66 € ou

200 000 €

= 66666,66 €

3

La part de chacun est donc : 66 666,66 € environ ; mais ce chiffre n’est pas tout à fait exact.

En effet :

66 666,66 € * 3 = 199 999,98 € et non pas 200 000 €.

66 666,66 € est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant.

On peut approcher aussi prêt que l’on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l’atteindre cependant. En effet : 200 000 n’est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit).

1.1.2 Exemple1 : Partage d’un camembert

Qu’est-ce qu’un camembert ? Toto répond : « Quelque chose qui pue, Monsieur » !

Ce n’est évidemment pas la réponse attendue !

Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d’égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d’argent, un sac de bonbons, un sac de canettes,

une longueur : 1 dm =

1 m

; 1 cm =

1 m

; une masse, etc…

10

100

Ce peut être aussi un « Camembert » !

Si on divise, partage, un : (« 1 ») camembert entier en 2 parties égales, chaque partie est appelée : moitié.

Chaque moitié représente 1 part sur les deux parts égales découpées dans le camembert.

Cela s’écrit :

1

1

1

: C’esttoutle camembert ;

2

1

1 (Numérateur) : C’est le nombre de parts considéré, dans le camembert

2 : C’est le nombre de parts du Camembert.

1

: C’est la moitié du camembert

2

Si on coupe le camembert en 3, Chaque part vaut 1/3 (un tiers) du Camembert

Deux parts valent 2 / 3 du camembert 1/3 * 2 = 2/3 (deux tiers) du Camembert

Si on coupe le camembert en 4, chaque part vaut 1/4 (un quart ) du Camembert

3 parts valent 3/4 du camembert ; 1/4 * 3 = 3/4 (Trois quarts) du Camembert.

Si on coupe le camembert en 5, chaque part vaut 1/5 (un cinquième) du Camembert ; etc…

5 / 5 = 1 1 = tout le camembert ; 5/5 = (cinq cinquième.) du Camembert. Etc…

Peu importe, la taille du camembert ; Petit ou grand, c’est un (« 1 » en maths) camembert !

1.1.3 Définition d’une Fraction

Une fraction est une Division que l’on a posée mais que l’on n’a pas calculée, résolue.

Souvent cette division n’est pas exacte. On peut toutefois la calculer, si on le désire, avec toute la précision voulue ; c’est-à-dire avec le nombre de décimales nécessaires.

Ex : 20/3 = 6,66…

20/3 = 6,6666666…

20 /3 est une valeurexacte;

6,66… est une valeurapprochée

Quand on manie des nombres, on préfère manier des nombres exacts, que des nombres approchés (surtout aujourd’hui, avec les ordinateurs : Itération des calculs, effets de « bord »).

1.1.4 Rappel de la Division

Quatre grandeurs interviennent dans toute division :

  • Le Dividende : D ; C’est le nombre à diviser. Opérande 1.

  • Le Diviseur : d ; C’est le nombre par lequel on divise le dividende ; d ≠ 0. Opérande 2

  • Le Quotient : Q ; C’est le premier résultat de la division : du dividende par le diviseur. Résultat 1

  • Le Reste : R ; Deuxième résultat ; Il peut être : nul oupas ;

Reste < Quotient. Résultat 2

Si R est nulalors la division est dite « juste » ;

Sinon elle est dite « approchée ».

Ex : Soit la division : 20 / 3 = 6,66 ; 6,66 * 3 = 19,98

R = 0,02.

«/»

est l’Opérateur de la Division.

20

est le Dividende : D.

3

est le Diviseur : d.

6,66

est le Quotient :

Q :Résultat ouValeurnumérique

décimale, approchée, de la division.

0,02

est le Reste : R.

R est souvent négligeable mais

pas toujours.

On a entre ces 4 éléments les relations :

  • La Division a deux résultats : Q et R

Dividende(Diviseur *Quotient) +Reste

Ex : 20 = ( 3 *6 ) +2

Reste≠ 0 ;

Ici : R = 2 (Significatif)

20 = (3 * 6,66) + 0,02

Q: Premier résultat

Reste < Diviseur

Reste, plus petit que le Diviseur;

R: Deuxième résultat

1.1.5 La Fraction

1.1.5.1 Présentation

La « Fraction » se présente sous la forme suivante : « Nombre du Haut » divisé par « Nombre du bas ».

Soit :

Fraction: →

Nombre du Haut

Numérateur

; C’est leDividende.

Nombre du Bas

Dénominateur

→ C’est leDiviseur

Vnd : Valeur numérique décimale de la Fraction : C’est le Quotient décimal de la Division.

NumérateurValeur numérique décimale : Vnd ;

Dénominateur C’est le Diviseur

1.1.5.2 Valeur Numérique décimale d’une Fraction : Vnd

Une fraction a une Valeur numérique décimale : ( Vnd) . Celle-ci est :

  • Exacte. : Reste de la division correspondante : nul ;

  • Approchée : Reste non nul mais aussi petit que l’on veut ; donc : quasi nul(négligeable dans les conditions actuelles).

Par conséquent, on peut remplacer chaque fraction par sa Valeur numérique décimale (Vnd) et effectuer les opérations ordinaires : Additions, Soustractions, Multiplications, Divisions sur ces...

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