Les Fractions au clair est un ouvrage de « vulgarisation » mais complet, sur les fractions. Il s'adresse aux collégiens de 5ème (matheux), 4ème, 3ème et aux professeurs désireux d'étayer leurs cours par un « support : papier ou numérique », ainsi qu'à tout lecteur intéressé par le sujet. La méthode : CAC utilisée, permet d'acquérir progressivement le sujet, du cas particulier (numérique) au cas général (lettres). Cet ouvrage est innovant et original, à bien des égards, tant dans le fond que dans la forme. La difficulté rencontrée a été de faire cohabiter : « Explications » et « Concision ».
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ISBN numérique : 978-2-332-82551-3
© Edilivre, 2014
Les Fractions:
Opérations sur les fractions
Avertissement :
Ce sujet :« Les fractions »est exposé selon la méthode ;« CAC »:Concret,Abstrait,Concret.
Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois.
Concret :Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérirl’essentiel du « Concept Exposé », sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un« Cas Concret » représentatif.
Abstrait :Dans un deuxième temps, le« Cas Général »du concept est étudié de manièreabstraite; c’est-à-dire :en utilisant des lettres à la place des chiffres. Dans cette phase, tous lescas possiblessont étudiés et annoncés, ainsi que lescas d’impossibilité: Division par Zéro, par exemple.
Concret :Dans ce troisième temps, on revient à l’exposé des casconcretsdécrits dans l’exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d’impossibilité.
Ceci permet de montrercomment on utilise, en pratique,le « cas général »,dans un cas particulier
La « difficulté »rencontrée dans la rédaction de ce document a été d’écrire un document : « Explicatif », (donc long et lourd) et« Concis »à la fois.
La rédaction d’un document :« Concis », sans explications, serait peut-être souhaitable :
Un« Résumé »,en somme ! Utile, pour la mémoire, lorsque le « sujet » est acquis !
Un lecteur averti peut sauter les : « Préliminaires », en tout ou partie.
Dans ces « Préliminaires » ; l’étude : duPPCMet duPGCD,me semble toutefois intéressante.
Résumé
N° | N°Chapitre | Désignation | Page |
1 | 1.1.6.5 | Décomposition d’un nombreentier en« Facteurs premiers ». 72 = 8 * 9 = 23* 32 | 21 |
2 | 3.1 | Notions : « d’Égalités» et « d’Identités » Voir§ 3.2 | 59 |
3 | 1.1.7 | PPCM(a,b): Définition, Calcul,Règle générale de calcul, Utilisation PPCM(a,b)≡a * b ; S’il n’y a pas de facteurs communs dans les Développements(a et b). PPCM(a,b) * PGCD(a,b)≡a * b ; S’il y ades facteurs communs dans les Développements(a et b). Calcul du PPCM(a,b): a et b : Entiers positifs.
Lien : { PPCM(a,b), PGCD(a,b) }; PPCM(a,b) * PGCD(a,b)≡a * b≡b * a | 23 |
4 | 1.1.8 | PGCD(a,b): Définition, Calcul, Règle, Utilisation : Simplification des fractions; Pour calculer le PGCD(a,b) :
| 38 |
5 | 1.1 | Notion et définition de Fraction. Fraction ≈ Division non calculée;Reste nulounégligeable. | 8 |
6 | 1.1.4/1.1.5 | Comparer Division et Fraction. Division : D≡(d * Q) + R R =0 ouR≠0;R < Q | 11 |
7 | 2 | Opérations sur les Fractions: Addition, Soustraction, Multiplication, Division. | 43 |
8 | 2.2.3 | Addition de Fractions
| 46 |
9 | 2.3 | Soustraction de fractions: Idem à l’Addition. | 52 |
10 | 2.4 | Multiplication de fractions pour multiplier des fractions entre elles :
Nr = N1 * N2 *……
Dr = D1 * D2 *…… | 53 |
11 | 2.5 | Division de fractions Pour «Diviser» deux fractions, on «Multiplie» la première fraction par la seconde renversée . Utilisation d’un cas connu : « multiplication des fractions ». Fr =N1*D2 D1 N2 | 54 |
12 | 2.6 | Élévation d’une fraction F à une puissance p: Fp PouréleveruneFractionà une «Puissance : p’ :
Fr = Fp= (N/P)p= Np/ Dp | 55 |
L’étude des «Fractions», des «Opérations sur les Fractions» n’est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que :
Définitions de :
– Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d’un nombre,
–MultipleCommun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b),
– Décomposition d’un nombre en Facteurs Premiers,
– PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b),
– PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b).
Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces « notions et définitions préalables ».
Dans le langage courant, je dis : « donnes moi une fraction de ton gâteau » ; ou de tes économies ; cela veut dire :
« Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies ».
Plus précisément, les « Fractions » sont très utilisées dans les partages des Choses, d’Argent, de Grandeurs… entre plusieurs personnes ; Chez le notaire par exemple.
On dit que l’on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales (Equipartition).
Les partages sont donc supposés être équitables ; C’est-à-dire être effectués à parts égales : Equipartition.
Commençons par le partage d’une chose en plusieurs parts égales.
Un père de famille possède une (« 1 ») maison d’une valeur de : 200 000 €uros.
Il a : Trois enfants.
Il désire vendre la maison : 200 000 € et partager sa valeur entre les trois enfants.
Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable :
200 000 € : 3 = 66 666, 66€ ou 200 000 € / 3 = 66 666,66 € ou
200 000 € | = 66666,66 € |
3 |
La part de chacun est donc : 66 666,66 € environ ; mais ce chiffre n’est pas tout à fait exact.
En effet :
66 666,66 € * 3 = 199 999,98 € et non pas 200 000 €.
66 666,66 € est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant.
On peut approcher aussi prêt que l’on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l’atteindre cependant. En effet : 200 000 n’est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit).
Qu’est-ce qu’un camembert ? Toto répond : « Quelque chose qui pue, Monsieur » !
Ce n’est évidemment pas la réponse attendue !
Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d’égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d’argent, un sac de bonbons, un sac de canettes,
une longueur : 1 dm = | 1 m | ; 1 cm = | 1 m | ; une masse, etc… |
10 | 100 |
Ce peut être aussi un « Camembert » !
Si on divise, partage, un : (« 1 ») camembert entier en 2 parties égales, chaque partie est appelée : moitié.
Chaque moitié représente 1 part sur les deux parts égales découpées dans le camembert.
Cela s’écrit : | 1 | 1≈ | 1 | : C’esttoutle camembert ; |
2 | 1 |
1 (Numérateur) : C’est le nombre de parts considéré, dans le camembert
2 : C’est le nombre de parts du Camembert.
1 | : C’est la moitié du camembert |
2 |
Si on coupe le camembert en 3, Chaque part vaut 1/3 (un tiers) du Camembert
Deux parts valent 2 / 3 du camembert 1/3 * 2 = 2/3 (deux tiers) du Camembert
Si on coupe le camembert en 4, chaque part vaut 1/4 (un quart ) du Camembert
3 parts valent 3/4 du camembert ; 1/4 * 3 = 3/4 (Trois quarts) du Camembert.
Si on coupe le camembert en 5, chaque part vaut 1/5 (un cinquième) du Camembert ; etc…
5 / 5 = 1 1 = tout le camembert ; 5/5 = (cinq cinquième.) du Camembert. Etc…
Peu importe, la taille du camembert ; Petit ou grand, c’est un (« 1 » en maths) camembert !
Une fraction est une Division que l’on a posée mais que l’on n’a pas calculée, résolue.
Souvent cette division n’est pas exacte. On peut toutefois la calculer, si on le désire, avec toute la précision voulue ; c’est-à-dire avec le nombre de décimales nécessaires.
Ex : 20/3 = 6,66… | 20/3 = 6,6666666… |
20 /3 est une valeurexacte; | 6,66… est une valeurapprochée |
Quand on manie des nombres, on préfère manier des nombres exacts, que des nombres approchés (surtout aujourd’hui, avec les ordinateurs : Itération des calculs, effets de « bord »).
Quatre grandeurs interviennent dans toute division :
Le Dividende : D ; C’est le nombre à diviser. Opérande 1.
Le Diviseur : d ; C’est le nombre par lequel on divise le dividende ; d ≠ 0. Opérande 2
Le Quotient : Q ; C’est le premier résultat de la division : du dividende par le diviseur. Résultat 1
Le Reste : R ; Deuxième résultat ; Il peut être : nul oupas ;
Reste < Quotient. Résultat 2
Si R est nulalors la division est dite « juste » ;
Sinon elle est dite « approchée ».
Ex : Soit la division : 20 / 3 = 6,66 ; 6,66 * 3 = 19,98
R = 0,02.
«/» | est l’Opérateur de la Division. | |
20 | est le Dividende : D. | |
3 | est le Diviseur : d. | |
6,66 | est le Quotient : | Q :Résultat ouValeurnumérique décimale, approchée, de la division. |
0,02 | est le Reste : R. | R est souvent négligeable mais |
pas toujours. |
On a entre ces 4 éléments les relations :
La Division a deux résultats : Q et R
Dividende≡(Diviseur *Quotient) +Reste
Ex : 20 = ( 3 *6 ) +2 | Reste≠ 0 ; |
Ici : R = 2 (Significatif) | |
20 = (3 * 6,66) + 0,02 | Q: Premier résultat |
Reste < Diviseur | Reste, plus petit que le Diviseur; |
R: Deuxième résultat |
1.1.5.1 Présentation
La « Fraction » se présente sous la forme suivante : « Nombre du Haut » divisé par « Nombre du bas ».
Soit :
Fraction: → | Nombre du Haut | → | Numérateur | ; C’est leDividende. |
Nombre du Bas | → | Dénominateur | → C’est leDiviseur |
Vnd : Valeur numérique décimale de la Fraction : C’est le Quotient décimal de la Division.
Numérateur ≈ Valeur numérique décimale : Vnd ;
Dénominateur C’est le Diviseur
1.1.5.2 Valeur Numérique décimale d’une Fraction : Vnd
Une fraction a une Valeur numérique décimale : ( Vnd) . Celle-ci est :
Exacte. : Reste de la division correspondante : nul ;
Approchée : Reste non nul mais aussi petit que l’on veut ; donc : quasi nul(négligeable dans les conditions actuelles).
Par conséquent, on peut remplacer chaque fraction par sa Valeur numérique décimale (Vnd) et effectuer les opérations ordinaires : Additions, Soustractions, Multiplications, Divisions sur ces...
