Mathématiques du signal - 3e éd.

De
Publié par

Ce livre s'adresse en priorité aux élèves ingénieurs et aux étudiants en Master dans le domaine EEA. Il propose deux types d'exercices : certains visent au maniement intellectuel des concepts fondamentaux, d'autres à l'utilisation de ces concepts dans le cadre d'applications pratiques. Dans cette troisième édition, les exercices ont été renouvelés et des rappels de cours ont été ajoutés en début de chapitres.

Publié le : mercredi 11 juin 2008
Lecture(s) : 56
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782100538065
Nombre de pages : 352
Voir plus Voir moins
Cette publication est uniquement disponible à l'achat
Chapitre3
Séries de Fourier
RAPPELS 2 • Soitfune fonction de l’espaceL(0,T). Dans la base orthogonale{ϕ,ϕ,ϕ,...,ϕ}on a 0 1 2n +∞T ppf,ϕn f(x)cnϕn( =x)aveccn=etf,g = ,ϕ ϕn0 n n=0
f(x)g(x)d x
Soitfune fonction périodique de périodeT, on noteSfsa série de Fourier.
2πx2πx n2πx n2πx – Dans la base orthogonale{1,cos( ),sin( ),...,cos( ),sin( ),...} T T T T 2πx2πx )=aos( )+bsin( )+... Sf(x0+a1c1 T T n2πx n2πx +ancos( )+bnsin( )+... T T
T 1 a0=f(x)d x T0
T 2n2πx an=f(x)cos( )d x T0T
T 2n2πx bn=f(x)sin( )d x T0T
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
an+i bn cn=. 2
(R3.4)
T 1 etcn= T 0
Sf(x)=cnexp(i nωx) nZ
xR
1 + −   Sf(x)=(f(x)+f(x)) 2
i n2πx f(x)exp()d x.(R3.2) T
pp Dans les deux bases, on aSf(x)=f(x)
(R3.3)
  Tα+T Pour toutαréelf(x)d x=f(x)d x. 0α Sifest paire, lesbnsont nuls,Sfcosinus.est une série de Sifest impaire, lesansont nuls,Sfsérie de sinus.est une – Dans la base orthogonale exp(i nωx),avecnZ
2π soit en utilisant la pulsationω= T (aco Sf(x)=a0+ns(nωx)+bnsin(nωx)) nN
(R3.1)
Mathématiques du signal
c0=a0,et pournN
ani bn cn=, 2
Th. de Dirichlet
∞ ∞   2 =T cncn=T|cn| n=−∞n=−∞
1 Pourfde classeCpar morceaux, on a
46
Pourfcontinue surR,Sfconverge uniformément versfsurR. 1 Th. de dérivationPourfde classeCpar morceaux, continue surR, la série de Fourier defs’obtient en dérivant terme à terme celle defet elle converge 2 dansL(0,T). Identité de Parseval(énergie du signal et des harmoniques) :   1  2 2 2 2 f2=T a+a+b(R3.5) L(0,T)0n n 2 n=1
(R3.6)
3 •Séries de Fourier
Exercice 3.1
1)Développer en série de Fourier les fonctions suivantes et préciser si la série est égale à la fonction correspondante. 2 a)f(t) =tsit[0,π],fpaire, de période 2π. b)g(t) =tsit]–π,π[, de période 2π. c)h(t) =tsit]– 1, 1[, de période 2. d)K(t) =tsit]0, 2π[, de période 2π. 2)Calculer les sommes suivantes : ∞ ∞nn1 (1) (1) 1 S=,S=,S=,S=. 22∑ ∑4 1 2 3 4 n n2n+1n n=1n=1n=1n=1
1) a)f, étant paire, admet un développement en cosinus. 2 π 12π a=tdt= 2π3 0 π +π π 1222 a=tcosktdt=tcosktdt πππ0 k
π0
2 π
π
f
t
47
π 4 4 4k d’où, en intégrant par parties,a= −tsinktdt=coskπ=(1) . πk0k k k2 2 2k π(1) 1 La série de Fourier defestetS, p(ut)is=que+4 cosktfest continue etC f2 3k k=1 par morceaux (R3.4),S(t) =f(t)t. f g π 1 b)On a :g(t)=f(t)pourt/=(2p+ 1)π. 2 t 1 Commefest continue etCpar morceaux, la sérieπ 0π de Fourier degs’obtient en dérivant terme à terme celle def: π 1 S(t)=S(t) g f 2
k+1 (1) S(t)=2 sinkt k g k=1
. Mais,Sn’est pas égale àgpartout. g
g(t) pourt(2p+1)π S(t)= −π+π(R3.4) g=0 pourt=(2p+1)π 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.