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Mathématiques du signal - 3e éd.

De
352 pages

Ce livre s'adresse en priorité aux élèves ingénieurs et aux étudiants en Master dans le domaine EEA. Il propose deux types d'exercices : certains visent au maniement intellectuel des concepts fondamentaux, d'autres à l'utilisation de ces concepts dans le cadre d'applications pratiques. Dans cette troisième édition, les exercices ont été renouvelés et des rappels de cours ont été ajoutés en début de chapitres.

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Chapitre3
Séries de Fourier
RAPPELS 2 • Soitfune fonction de l’espaceL(0,T). Dans la base orthogonale{ϕ,ϕ,ϕ,...,ϕ}on a 0 1 2n +∞T ppf,ϕn f(x)cnϕn( =x)aveccn=etf,g = ,ϕ ϕn0 n n=0
f(x)g(x)d x
Soitfune fonction périodique de périodeT, on noteSfsa série de Fourier.
2πx2πx n2πx n2πx – Dans la base orthogonale{1,cos( ),sin( ),...,cos( ),sin( ),...} T T T T 2πx2πx )=aos( )+bsin( )+... Sf(x0+a1c1 T T n2πx n2πx +ancos( )+bnsin( )+... T T
T 1 a0=f(x)d x T0
T 2n2πx an=f(x)cos( )d x T0T
T 2n2πx bn=f(x)sin( )d x T0T
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
an+i bn cn=. 2
(R3.4)
T 1 etcn= T 0
Sf(x)=cnexp(i nωx) nZ
xR
1 + −   Sf(x)=(f(x)+f(x)) 2
i n2πx f(x)exp()d x.(R3.2) T
pp Dans les deux bases, on aSf(x)=f(x)
(R3.3)
  Tα+T Pour toutαréelf(x)d x=f(x)d x. 0α Sifest paire, lesbnsont nuls,Sfcosinus.est une série de Sifest impaire, lesansont nuls,Sfsérie de sinus.est une – Dans la base orthogonale exp(i nωx),avecnZ
2π soit en utilisant la pulsationω= T (aco Sf(x)=a0+ns(nωx)+bnsin(nωx)) nN
(R3.1)
Mathématiques du signal
c0=a0,et pournN
ani bn cn=, 2
Th. de Dirichlet
∞ ∞   2 =T cncn=T|cn| n=−∞n=−∞
1 Pourfde classeCpar morceaux, on a
46
Pourfcontinue surR,Sfconverge uniformément versfsurR. 1 Th. de dérivationPourfde classeCpar morceaux, continue surR, la série de Fourier defs’obtient en dérivant terme à terme celle defet elle converge 2 dansL(0,T). Identité de Parseval(énergie du signal et des harmoniques) :   1  2 2 2 2 f2=T a+a+b(R3.5) L(0,T)0n n 2 n=1
(R3.6)
3 •Séries de Fourier
Exercice 3.1
1)Développer en série de Fourier les fonctions suivantes et préciser si la série est égale à la fonction correspondante. 2 a)f(t) =tsit[0,π],fpaire, de période 2π. b)g(t) =tsit]–π,π[, de période 2π. c)h(t) =tsit]– 1, 1[, de période 2. d)K(t) =tsit]0, 2π[, de période 2π. 2)Calculer les sommes suivantes : ∞ ∞nn1 (1) (1) 1 S=,S=,S=,S=. 22∑ ∑4 1 2 3 4 n n2n+1n n=1n=1n=1n=1
1) a)f, étant paire, admet un développement en cosinus. 2 π 12π a=tdt= 2π3 0 π +π π 1222 a=tcosktdt=tcosktdt πππ0 k
π0
2 π
π
f
t
47
π 4 4 4k d’où, en intégrant par parties,a= −tsinktdt=coskπ=(1) . πk0k k k2 2 2k π(1) 1 La série de Fourier defestetS, p(ut)is=que+4 cosktfest continue etC f2 3k k=1 par morceaux (R3.4),S(t) =f(t)t. f g π 1 b)On a :g(t)=f(t)pourt/=(2p+ 1)π. 2 t 1 Commefest continue etCpar morceaux, la sérieπ 0π de Fourier degs’obtient en dérivant terme à terme celle def: π 1 S(t)=S(t) g f 2
k+1 (1) S(t)=2 sinkt k g k=1
. Mais,Sn’est pas égale àgpartout. g
g(t) pourt(2p+1)π S(t)= −π+π(R3.4) g=0 pourt=(2p+1)π 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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