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6
1 FICHE
I
Nombres réels
Premières propriétés
• Corps ordonné On dit que l'ensembleRdesnombres réels est : – un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations+et×, avec toutes les pro-priétés dont vous avez l'habitude ; – un corps ordonné pour dire que la relation d'ordreest compatible avec+et×, c'est-à-dire : aRbRcRab⇒a+cb+c; aRbRc0ab⇒acbc.
Règles de calcul(xR,yR,nN)     n nk nkn n! n (x+y)=x y= k k k!(nk)! k=0 n1 n n nk1k xy=(xy)x y. k=0
Valeur absolue La valeur absolue d'un réela, notée|a|, est définie par : |a| =asia0; |a| = −asia0 .
Propriétés aRbR |a|0 ;|a| =0⇐⇒a=0 ;|ab| = |a| |b|;   |a+b||a| + |b|;|a| − |b||ab|. Propriété d'Archimède SoitaRetb>0. Alors il existekNtel quebk>a. Partie entière Étant donné un nombre réelx, il existe un plus grand entier relatif, notéE(x)ou [x] , tel queE(x)x. On l'appelle la partie entière dex. On a donc, par définition :E(x)x<E(x)+1 .
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
I
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quandx <0; par exempleE(4, 3) =5.
I
Intervalles
Définition Pourab, le segment, [a,b] est défini par : [a,b]= {xR;axb}. On utilise souvent la propriété : c[a,b]⇐⇒ ∃t[0,1]c=t a+(1t)b. On définit de même les autres types d'intervalles : ]a,b[, [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ]− ∞,b[, ]− ∞,b], ]− ∞,+∞[=R.
Propriété caractéristique Une partieAdeRest un intervalle si, et seulement si : aAbA a<c<b⇒cA. Voisinage d'un point SoitaR. Une partieVdeRest un voisinage deasi elle contient un intervalle ouvert centré sura, soit du type ]aα,a+α[ avecα>0. Densité deQdansR Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel. On dit queQet son complémentaireR\Qsont denses dansR.
III
Ordre dansR
1
Majoration, minoration Définitions SoitAune partie deR. On dit queaest un majorant deAsixapour toutxdeA. Si, en plus,aA, alorsaest le plus grand élément deA, noté maxA. SiAadmet un majorant, on dit queAest majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée. Unicité Si une partie non vide deRadmet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
F I C H E 1o m b r e s – N r é e l s
7
8
Surveillez votre vocabulaire :unmajorant,leplus grand élément.
Cas particulier des entiers naturels
Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. Toute partie non vide majorée deNadmet un plus grand élément.
Borne supérieure, inférieure Définitions La borne supérieure deAest le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants deA. La borne inférieure deAest le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants deA.
Caractérisation Mest la borne supérieure deAsi, et seulement si, on a, à la fois : xA xM, c'est-à-dire queMest un majorant ; ε>0xA Mε<x, c'est-à-dire queMεn'est pas un majorant. mest la borne inférieure deAsi, et seulement si, on a, à la fois : xA mx, c'est-à-dire quemest un minorant ; ε>0xA x<m+ε, c'est-à-dire quem+εn'est pas un minorant.
Remarque SiAadmet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure deA. SiAadmet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure deA.
Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) deRadmet une borne supérieu-re (resp. inférieure).
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s