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Mathématiques L1/L2 : Statistique et Probabilités

De
160 pages

30 fiches de 4 à 8 pages couvrant l'ensemble des notions de probabilités et de statistique utiles à un étudiant en L1/L2 mentions mathématiques, physique ou informatique. Chaque fiche comprend un rappel de cours suivi d'un ou plusieurs exercices dont la résolution détaillée est appuyée par des conseils méthodologiques.

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4
1 FICHE
d
Le langage es ensembles
I Opérationssur les ensembles Réunion. La réunion des deux ensemblesAetBest notéeABet est définie par : xAB(xAouxB). Intersection. L'intersection des deux ensemblesAetBest notéeABet est définie par : xAB(xAetxB). Deux ensemblesAetBsontdisjointssiAB= ∅. Partition. Une famille(Ai)iIde parties d'un ensembleest une partition de si   Ai=iI 2 (i,j)I,(i/=jAiAj= ∅). Complémentaire. SoitAune partie d'un ensembleE, le complémentaire deA c dansEest notéAet est défini par :
c xA(xEetx/A).
Différence. SoitAetBdeux parties deE, nous notonsA\Bl'ensemble défi-ni par : xA\B(xAetx/B).
c Par conséquent, nous avons l'égalitéA\B=AB. Différence symétrique. SoitAetBdeux parties deE, nous notonsABl'en-semble défini par : xAB[x(AouB)] et [x/ (AetB)].
Par conséquent, nous avons l'égalitéAB=(AB)\(AB).
M a t h é m a t i q u e s L 1 / L 2 : s t a t i s t i q u e s e t p r o b a b i l i t é s e n 3 0 f i c h e s
Produit cartésien. Le produit cartésien des deux ensembles E×F. Il est défini par :
E×F= {(x,y)/xEetyF}.
1 EetFest noté
Ensemble des parties. L'ensemble des parties d'un ensembleE, notéP(E), est l'ensemble de tous les sous-ensembles deE.
P(E)= {F|FE}.
Règles de calcul. SoitA,BetCtrois parties deE. 1.(AB)C=(AC)(BC). 2.(AB)C=(AC)(BC). c c 3.(A)=A. c c c 4.(AB)=AB. c c c 5.(AB)=AB.
II Ensembles et fonctions Images et images réciproques
L'ensemble des applications d'un ensembleEvers un ensembleFest notéF(E,F) E E ouF. SoitfdeF,Aune partie deEetBune partie deF. – L’imagedeAparfest l'ensemble :
f(A)= {yF/xAtel quey=f(x)}.
L’image réciproquedeBparfest l'ensemble :
1 f(B)= {xE/f(x)B}.
Règles de calcul. Soitfune application deEdansFetAetBdeux parties de F. 1 1.f()= ∅,f()= ∅. 111 2.f(AB)=f(A)f(B). 111 3.f(AB)=f(A)f(B).   c 1c1c 4.f(A)=f(A)Aest le complémentaire deAdansFet   c 11 f(A)est le complémentaire def(A)dansE.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
F I C H E 1e n s e m b l e sd e s a n g a g e e l – L
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6
Fonction caractéristique
d'une partie
SoitAune partie d'un ensembleE. La fonction caractéristique deA, ou fonction indicatrice deA, notée 1A, est une fonction définie surEet à valeurs dans{0,1} par : 1A(x)=1 sixAet 1A(x)=0 six/A.
c SoitAetBdeux parties d'un ensembleEetAle complémentaire deAdansE.
Inclusion. AB⇔ ∀xE,1A(x)1B(x). Complémentaire. xE,1A(x)=11A(x). c DifférenceA\B. xE,1A\B(x)=1A(x)1A(x)1B(x). Intersection. xE,1AB(x)=min(1A(x),1B(x))=1A(x)1B(x). En particulier 2 xE,1A(x)=1AA(x)=1A(x)1A(x)=1A(x) . Réunion. xE,1AB(x)=max(1A(x),1B(x)) =1A(x)+1B(x)1A(x)1B(x).
Différence symétrique. xE,1AB(x)=1A(x)+1B(x)21A(x)1B(x). Proposition: L'ensemble des parties deE,P(E)est en bijection avec l'ensemble des fonctions deEdans{0,1},F(E,{0,1}).
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