Mathématiques Les exercices incontournables MPSI-PCSI-PTSI

De
Publié par

Pour être à l’aise dans le passage du cours aux exercices et être capable d’affronter un problème de type concours, l’étudiant de classes préparatoires doit connaître un certain nombre d’exercices fondamentaux et en maîtriser parfaitement la méthode de résolution.

Cet ouvrage propose ainsi d’accompagner l’élève dans cet apprentissage, en étudiant de fond en comble la méthode de résolution des exercices incontournables du programme de mathématiques de 1re année MPSI-PCSI-PTSI :

  •  les énoncés sont triés par difficulté et par thème du programme ;
  • la méthode de résolution est présentée étape par étape, en mettant l’accent sur les astuces à retenir et les pièges à éviter ;
  • une résolution, de type “copie d’élève”, est proposée pour chaque énoncé.
Publié le : mercredi 25 août 2010
Lecture(s) : 149
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782100555925
Nombre de pages : 400
Voir plus Voir moins
Cette publication est uniquement disponible à l'achat
Fonctions usuelles
Exercice 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse √ √ 1.Déterminer les réelsxtels quex(x3)=3x5 . x (x)x x 2.Déterminer les réels strictement positifsxtels quex=(x).
1
Il s’agit de questions ouvertes : on demande de trouver les solutions d’un problème sans les donner. Une stratégie consiste à raisonner par analyse-synthèse. C’est un raisonnement en deux étapes : • Première étape (analyse du problème) : on considère une solutionxde l’équation et on essaie, à partir des relations données dans l’énoncé, d’en déduire la forme dex. • Deuxième étape (synthèse) : l’étape précédente à montré que les solutions sont d’une certaine forme ; il ne reste plus qu’à vérifier, parmi ces solutions poten-tielles, lesquelles sont bien les solutions du problème.
La nécessité de cette deuxième étape apparaîtra clairement dans la résolution de la première question.
1.Analyse du problème :nous allons élever au carré pour nous ramener à une équation du second degré. √ √ Soitxun réel tel quex(x3)=3x5. Alors, en élevant au carré : 2 x(x3)=3x5, soitx6x+5=0. D’après le cours de Terminale les réelsxvérifiant cette relation sont1et5. Nous avons donc démontré :
sixest solution de l’équationalorsx=1oux=5.
Nous n’avons pas démontré que les solutions sont 1 et 5, mais uniquement qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il reste à vérifier si elle conviennent effec-tivement : c’est l’objet de l’étape de synthèse.
Synthèse :on remplace successivementxpar 5 puis 1 dans l’équation initiale, les calculs étant sans difficulté. © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3
4
Partie 1• Première période
Il est facile de vérifier que5est bien solution. En revanche, pourx=1, l’équation n’a pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi,1n’est pas solution. √ √ Conclusion :5est l’unique réelxtel quex(x3)=3x5.
Pourquoi l’étape d’analyse a-t-elle produit une « fausse solution » (dite également solution parasite) ? Nous avons élevé deux expressions au carré. Or cette opéra-2 2 tion n’est pas réversible : s’il est vrai quea=bentraînea=b, la réciproque est fausse en général. En élevant au carré, nous avons en fait résolu l’équation x(x3)=3x5 qui se trouve avoir plus de solutions que l’équation de l’énoncé.
2.Analyse du problème :nous allons prendre les logarithmes afin de simplifier les puissances. x (x)x x Soitxun réel strictement positif tel quex=(x). Alors, en prenant le x x2 logarithme :xln(x)=xln(x)=xln(x).
x2 On ne peut en déduirex=xen simplifiant par ln(x): en effet, ln(x)pourrait être nul. Il faut donc ajouter une hypothèse pour poursuivre les calculs :x=/1.
x2 Supposonsx=/1. On a alorsln(x)=/0, doncx=x. En considérant à nouveau les logarithmes il vient :xln(x)=2 ln(x). Comme on a supposé icix=/1, on peut encore simplifier parln(x), d’où x=2. Autrement dit, nous venons de démontrer : sixest un réel strictement posi-x (x)x x tif distinct de1vérifiantx=(x), alorsx=2. Ainsi, il y a ou plus deux solutions éventuelles au problème :1et2.
Synthèse :calculs sans astuce, attention cependant à la place des parenthèses. 2 (2)4 Il est clair que1convient bien. De même,2=2=16et 2 2 2 (2)=4=16, donc2convient également. Conclusion :il existe deux réels strictement positifsxtels que x (x)x x x=(x): ce sont1et2.
Si l’on oublie l’étape de synthèse dans la première question, on aboutit à un résul-tat faux : il y a une solution parasite. D’autre part, si l’on ne fait pas attention lors de la simplification par ln(x)dans la deuxième question, on n’obtient que la solutionx=2. Autrement dit, le manque de rigueur dans le raisonnement mathématique peut abou-tir à trouver de « fausses solutions » ou au contraire à en oublier de vraies !
Chapitre 1• Fonctions usuelles
Pour éviter cela, il faut : • prendre garde, dans le type de raisonnement présenté ici, à ne pas oublier l’étape de synthèse ; • s’assurer que tous les calculs sont licites (ne pas diviser par zéro, ne pas prendre la racine carrée ou le logarithme d’un nombre négatif...) et, au besoin, distinguer des cas comme dans la deuxième question.
Exercice 1.2 : Étude de fonction ln(x) 1.Étudier et tracer la fonctionfdéfinie parf(x)=. x b a 2.En déduire les couples(a,b)d’entiers tels que 2a<beta=b. πe 3.Quel est le plus grand :eouπ?
1.La démarche pour étudier une fonction est toujours la même : • déterminer le domaine de définition et de dérivabilité ; • calculer la dérivée ; • étudier les limites de la fonction aux bornes de son (ou ses) intervalle(s) de défi-nition ; • calculer les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s’annule ; • résumer tout ceci dans le tableau de variations. La fonctionfest définie et dérivable surRet, pour toutx>0: + 1ln(x) f(x)=. 2 x On a de plus, d’après les limites comparées vues en Terminale : f(1)=0 1 f(e)=e limf(x)= −∞ x0 limf(x)=0 x→+∞
On en déduit le tableau de variations def:
x f(x)
f(x)
0
−∞ © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
+
e 0 1 e
+∞
0
5
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.