Cette publication ne fait pas partie de la bibliothèque YouScribe
Elle est disponible uniquement à l'achat (la librairie de YouScribe)
Achetez pour : 16,99 € Lire un extrait

Téléchargement

Format(s) : PDF

avec DRM

Mathématiques Licence 1

De
288 pages
Cet ouvrage propose aux étudiants de la première année d'études supérieures une méthode progressive et efficace pour apprendre, comprendre et appliquer les concepts fondamentaux des mathématiques. Associés à des rappels de cours clairs et concis, sous forme de fiches, 200 QCM et 200 exercices de difficulté croissante permettent de s'évaluer et de s'entraîner aux examens et concours. Les corrigés détaillés mettent l'accent sur la méthode de résolution. 
 
Voir plus Voir moins
MATHÉMATIQUES LICENCE 1
EXERCICES ET MÉTHODES
Myriam Maumy-Bertrand Maître de conférences à l’université de Strasbourg
Frédéric Bertrand Maître de conférences à l’université de Strasbourg
Daniel Fredon Maître de conférences en mathématiques appliquées
Illustration de couverture :©delabo - Fotolia.com
©Dunod, 2016
11 rue Paul Bert, 92240 Malakowww.dunod.com
ISBN 978-2-10-075418-2
Table
des
matières
Remerciements Structures fondamentales Fiche 1 Logique et raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 2 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 4 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 5 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 6 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 7 Arithmétique dansZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 8 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 9 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire Fiche 1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 4 Applications linéaires particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 5 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 6 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 7 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 8 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3
V 1 2 4 6 8 9 11 12 14 17 21 33 35 52 53 55 58 62 63 65 68 70 73 86 89 Bases fondamentales de l’ analyse 113 114 116 119 122 123 125 127 130 134 136 140 144 157 159
Fiche 1 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 2 Généralités sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 3 Limite d’ une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 4 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 5 Fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 6 Compléments sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 7 Fonctions logarithme népérien, exponentielle, puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 8 Fonctions trigonométriques et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 9 Fonctions hyperboliques et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 10 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fiche 11 Courbes planes définies pary=f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
©
iii
iv
4
Analyse 183 Fiche 1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Fiche 2 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Fiche 3 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Fiche 4 Intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Fiche 5 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Fiche 6 Équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5 Analyse combinatoire et probabilités 239 Fiche 1 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Fiche 2 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Fiche 3 Compléments sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Fiche 4 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Fiche 5 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Fiche 6 Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité . . . . . . . . 251 Fiche 7 Variables aléatoires réelles et discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Fiche 8 Moments et fonctions génératrices d’ une v.a. discrète . . . . . . . . . . . 256 Fiche 9 Couples de v.a.d. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Fiche 10 Lois discrètes usuelles 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Fiche 11 Lois discrètes usuelles 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Index307
Remerciements
Nous souhaitons ici remercier Claire Chion pour sa relecture attentive.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. ©
Que chacun y trouve son bonheur !
v
VI
Comment utiliser
5 chapitres et leurs mots-clés
Retrouvez des exercices supplémentaires sur la page associée à l’ouvrage@ sur dunod.com
Des rappels de cours sous forme de fiches
cet ouvrage ?
Des QCM pour s’auto-évaluer
Des questions Vrai/Faux
Des exercices pour s’entraîner
Toutes les réponses commentées
VII
Structures fondamentales
1
MO T S-C L É S Méthodologie mathématique : connecteurs logiques Quantificateurs Quelques mé-thodes de raisonnement : raisonnement par l’ absurde, par la contraposée et la récur-rence Base de la théorie des ensembles : élément, partie, complémentaire, intersection, réunion Lois de De Morgan Produit cartésien Application Injection Surjection Bi-jection Images directe et réciproque Raisonnement par récurrence Ensemble fini Entiers relatifs Division euclidienne PGCD PPCM Algorithme d’ Euclide Nombres premiers Théorème de Bézout Théorème de Gauss Congruences dansZNombres complexes Formes algébrique et trigonométrique Exponentielle complexe Racines nun nombre complexe Polynômes à une indéterminée Racines d’ un polynôme-ièmes d’ Théorème de d’ Alembert-Gauss Décomposition d’ un polynôme Fractions rationnelles Décomposition en éléments simples
Ce premier chapitre pose les bases principales pour aborder les chapitres suivantes de cet ouvrage. Il y a un grand intérêt à introduire immédiatement les quantificateurs, les notions de langage ensembliste et les principales méthodes de raisonnement comme le raisonnement par l’absurde, par la contraposée ou le raisonnement par récurrence. En eet, à l’occasion des démonstrations que vous devrez faire, vous aurez besoin de les manipuler et de les maîtriser. Ensuite ce chapitre rappelle les propriétés des nombres complexes déjà rencontrés et définis en classe de terminale. Il est important de les maî-triser et de s’en servir autant que possible. Beaucoup de problèmes de géométrie plane peuvent se résoudre grâce à l’utilisation de ces nombres. De plus, ces nombres sont très utiles dans d’autres sciences comme en électronique par exemple. Enfin ce chapitre se termine par les polynômes et les fractions rationnelles. Ces dernières seront utilisées dans le calcul d’intégrales qui est présenté dans cet ouvrage.
By Original design and concept : Tom Ruen ; SVG creation : Júlio Reis - Kepler poinsot Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. solids.gif by Tom Ruen used as a model to draw this file. CC BY-SA 3.0 ©
1
2
Fiche 1
Logique et raisonnement Logique binaire Proposition logique C’est un assemblage de lettres et de signes qui a une syntaxe correcte (le lecteur sait le lire), une sémantique correcte (le lecteur comprend ce qu’il lit) et qui a une seule valeur de vérité : vrai (V) ou faux (F). Deux propositions seront considérées comme égales si elles ont toujours la même valeur de vérité.
Connecteurs logiques À partir de propositionsp,q, . . .on peut former de nouvelles propositions définies par des tableaux de vérité. pnonp Négation : nonp(noté aussi¬p) V F F V p q petq pouq p=q p⇐⇒q Conjonction :petq(noté aussipq) V V V V V V Disjonction :pouq(noté aussipq) V F F V F F Implication :p=q F V F V V F Équivalence :p⇐⇒q F F F F V V
Le « ou » a un sens inclusif, à ne pas confondre avec le sens exclusif qui figure dans « fromage ou dessert », c’est-à-dire du fromage ou bien du dessert mais pas les deux.
Propriétés des connecteurs non ( nonp)=p non (pouq)=( nonp) et ( nonq) non (petq)=( nonp) ou ( nonq)   (p=q)=( nonp) ouq   non (p=q)=pet ( nonq)
La négation d’une implication n’est donc pas une implication.
  (p=q)=( nonq)=( nonp)
Cette seconde implication est la contraposée de la première. Faites attention à l’ordre des propositions.
  (p⇐⇒q)=(p=q) et (q=p)