Mathématiques Méthodes et Exercices BCPST 1re année

De
Publié par

Cet ouvrage d'entraînement en mathématiques pour les étudiants en première année de classe préparatoire BCPST répond à une forte attente des étudiants de prépas sur l'apprentissage des méthodes et l'entraînement par des exercices.

Dans chaque chapitre :

  • le détail des méthodes à retenir, chacune renvoyant aux exercices correspondants ;
  • de nombreux énoncés d'exercices classés par niveau de difficulté, allant de l'application directe du cours à l'approfondissement des connaissances ;
  • une rubrique "Du mal à démarrer ?" donnant au lecteur des indications pour la résolution de chaque énoncé s'il se trouve bloqué ;
  • les corrigés détaillés de tous les exercices.

Cet ouvrage sera ainsi utile aux étudiants de BCPST tout au long de l'année, de l'apprentissage du cours à la révision d'un examen.

Publié le : mercredi 25 août 2010
Lecture(s) : 173
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782100556366
Nombre de pages : 320
Voir plus Voir moins
Cette publication est uniquement disponible à l'achat
Suites réelles
Plan
Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés
38 41 45 47
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. ©
CHAPITRE
3
Thèmes abordés dans les exercices Étude de la monotonie d'une suite Étude de la nature d'une suite (convergence ou divergence ?) Calculs de limite Études de suites récurrentes Études de suites définies par une relation implicite Calculs du terme général d'une suite Calculs et utilisations d'équivalents
Points essentiels du cours pour la résolution des exercices Suites monotones, majorées, minorées, bornées Suites convergentes, divergentes de première ou seconde espèce Opérations sur les limites, sous-suites Croissances comparées Passage à la limite dans une inégalité, théorème des gendarmes Théorème de la limite monotone, suites adjacentes Suites récurrentes Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2 Suites équivalentes
37
38
Chapitre 3• Suites réelles
Les méthodes à retenir
Pour étudier la monotonie d'une suite
Pour démontrer une implication ou une équivalence
Pour étudier la monotonie de(un), on détermine le signe de un+1unen fonction des valeurs den. Celui-ci doit être constant à partir d'un certain rang. Exercices 3.2, 3.9 et 3.10 Si la suite(un)est de signe constant au sens strict à partir d'un cer-un+1 tain rang, on peut aussi comparer le rapport à 1. un Ex .4 ercices 3.2 et 3 S'il existe une fonctionfdéfinie (au moins) sur un intervalle deRet vérifiantun=f(n)à partir d'un certain rang, alors la monotonie de la suite(un)est la même que celle de la fonctionf. Exercice 3.2
On commence par analyser si on peut utiliser les opérations sur les limites et/ou les croissances comparées. Ce n'est pas toujours pos-sible car on peut tomber sur une forme indéterminée. Très souvent, on lève l'indétermination en mettant en facteur au numérateur et au dénominateur le terme prépondérant. Exercices 3.3, 3.4, 3.7, 3.8 et 3.11
En encadrant la suite, le théorème des gendarmes peut donner l'exis-tence et le calcul de sa limite éventuelle. Exercices 3.1, 3.3, 3.5, 3.7, 3.9 et 3.13
Si la suite est monotone, sa limite existe d'après le théorème de la limi-te monotone. Il suffit alors d'étudier si elle est majorée ou minorée. E rcic xe es 3.4, 3.9 et 3.10
Si on dispose de deux suites, on peut essayer de démontrer qu'elles sont adjacentes. Exercices 3.12 et 3.15 ex i st e Pour prouver limun=!, il est équivalent de prouver ex i st e limu2n=limu2n+1=!. Les sous-suites(u2n)et(u2n+1)peu-vent aussi être utilisées pour prouver que la limite de(un)n'existe pas. Exercices 3.7 et 3. 9
Un équivalent simple donne souvent l'existence et la valeur de l'éventuelle limite. Exercices 3.10 et 3.12
Pour étudier une suite récurrente
Pour étudier une suite définie par une relation implicite
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. ©
Les méthodes à retenir
On doit d'abord vérifer qu'elle est bien définie. Exercices 3.2, 3.3, 3.11, 3.14, 3.16 et 3.18 S'il s'agit d'une formule de récurrence du typeun+1=f(un), où f:R−→R, il est utile de dresser le tableau de variations def, de rechercher ses points fixes et des intervalles stables parf. Exercice 3.14 On étudie la monotonie de(un)en calculantun+1unà l'aide de la formule de récurrence. Il faut éventuellement discuter en fonction des valeurs deu0. Exercices 3.2, 3.14, 3.15 et 3.16
Le théorème de la limite monotone permet de prouver l'existence d'une limite finie ou infine. Exercices 3.14, 3.16 et 3.18 Passer à la limite dans la formule de récurrence (ou dans un de ses encadrements) donne les valeurs possibles de l'éventuelle limite. Exercices 3.3, 3.14, 3.16 et 3.18
cou-Si on a plusieurs suites avec des relations de récurrence « plées », on peut essayer de montrer qu'elles sont adjacentes, ou plus généralement trouver une nouvelle relation de récurrence en combi-nant celles qui sont données dans l'énoncé. Exercices 3.15 et 3.18
Pour définir(un)par la relationfn(un)=0, il faut étudier la fonc-tionfnet utiliser le théorème de la bijection. Exercices 3.17 et 3.19 Si(un)est définie par la relationfn(un)=0, et sifnest monotone alors comparerunà un réelarevient à comparerfn(un)etfn(a). En particulier on obtient la monotonie de la suite en comparantfn(un) etfn(un+1)(ou aussifn(un)etfn(un1)). Exercices 3.17 et 3.19 Le théorème de la limite monotone permet de prouver l'existence d'une limite finie ou infine. Exercices 3.17 et 3.19 Lorsqu'on sait que la limite existe, passer à la limite dans la relation implicitefn(un)=0 (ou dans un de ses encadrements) donne les valeurs possibles de cette limite. Exercices 3.17 et 3.19
39
40
Chapitre 3• Suites réelles
Pour calculer le terme général d'une suite
Pour déterminer un équivalent simple
On conjecture une formule générale à l'aide des premiers termes. Cette formule doit ensuite être vérifiée par récurrence. Exercice 3.6 On essaye de reconnaître un des exemples du cours: suite arithmé-tique, géométrique, arithmético-géométrique, récurrente linéaire d'ordre 2. Exercices 3.6, 3.10 et 3.11 On effectue un changement de suite, pour obtenir une suite dont on sait calculer le terme général. On inverse ensuite les formules pour revenir à la suite de départ. Exerc ices 3.6, 3.10, 3.11 et 3.18
Une suite convergente de limite non nulle est équivalente à sa limite. Exercice 3.8
On utilise les équivalents usuels et les opérations sur les équivalents. Exercices 3.8, 3.10 et 3.12
On conjecture queunvn:et on le démontre en établissant que un lim=Pour cela, on peut faire appel à un encadrement et au1 . n→+∞ vn théorème des gendarmes. Exercice 3.13
On ne peut pas additionner des équivalents mais en prenant un équi-valent de chaque terme de la somme on peut deviner l'équivalent final. On le vérifie alors « à la main ». Exercice 3.8
Il n'y a pas de résultat général permettant de composer un équivalent par une fonction, mais on peut supposer que sur l'exemple considéré le résultat est valide. Il suffit de le vérifier « à la main ». Exercice 3.8
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.